專題04 特殊的平行四邊形中的最值模型之將軍飲馬模型（解析版）

專題04特殊的平行四邊形中的最值模型之將軍飲馬模型“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩(shī)人李頎《古從軍行》里的一句詩(shī)，由此卻引申出一系列非常有趣的數(shù)學(xué)問題，通常稱為“將軍飲馬”。將軍飲馬問題從本質(zhì)上來(lái)看是由軸對(duì)稱衍生而來(lái)，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就特殊的平行四邊形背景下的將軍飲馬問題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。在解決將軍飲馬問題主要依據(jù)是：兩點(diǎn)之間，線段最短；垂線段最短；涉及的基本方法還有：利用軸對(duì)稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。模型1.求兩條線段和的最小值（將軍飲馬模型）【模型解讀】在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA+PB最??；（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：（2）點(diǎn)A、B在直線同側(cè)：【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。上圖中A’是A關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)。例1．（2022·山東德州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)在上，，點(diǎn)是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，，根據(jù)正方形的對(duì)稱性可得，進(jìn)而可知，再利用，，三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，將轉(zhuǎn)化為，最后運(yùn)用勾股定理即可解答．【詳解】如圖，連接，，、關(guān)于對(duì)稱，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即的值最小，，，由勾股定理得：，即的最小值為，故選C．

【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用軸對(duì)稱解決最短路徑問題、勾股定理的應(yīng)用、正方形的性質(zhì)，明確當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值是解題的關(guān)鍵．例2．（2023上·山東青島·八年級(jí)?？甲灾髡猩┤鐖D，正方形的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊，上兩點(diǎn)，，平分，連接，分別交，于點(diǎn)G，M，點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作，垂足為N，連接，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）①；②；③的最小值為；④三角形的面積是．

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及，可得，進(jìn)而可得，由等腰三角形三線合一可得，即點(diǎn)M關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為點(diǎn)B；過(guò)點(diǎn)B作，結(jié)合正方形的對(duì)角線相互垂直平分即可得出答案．【詳解】四邊形為正方形，在和中，故①正確；平分由等腰三角形的三線合一可得，，故②錯(cuò)誤；點(diǎn)M關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B過(guò)點(diǎn)B作，交于點(diǎn)

則的最小值即為的長(zhǎng)正方形的對(duì)角線相互垂直且平分的最小值為，故③正確；，故④錯(cuò)誤；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題以及正方形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．例3．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，是的邊的中點(diǎn)，是對(duì)角線上一點(diǎn)．若，則的最小值是（

）

A．1 B．2 C． D．4【答案】C【分析】本題主要考查軸對(duì)稱-最短路線問題，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．找出B點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)D，連接交于P，則就是的最小值，求出即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，∴是菱形，連接，交于O，連接交于P，

由菱形的對(duì)角線互相垂直平分，可得B、D關(guān)于對(duì)稱，則，∴，即就是的最小值．∵四邊形是菱形，∴，，∴是等邊三角形，∵，∴．在中，．即的最小值為．故選：C．例4．（2023下·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知菱形的面積為20，邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接、，、和點(diǎn)不重合，則的最小值為（

）

A． B． C．10 D．【答案】D【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理可得，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，垂直于方向?yàn)檩S，建立平面直角坐標(biāo)系，可得，，，，，然后證明，可得，連接，，，由，可得，，三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，所以的最小值的最小值，利用勾股定理即可解決問題．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，四邊形是菱形，，，菱形的面積為20，邊長(zhǎng)為5，，在中，根據(jù)勾股定理得：，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，垂直于方向?yàn)檩S，建立平面直角坐標(biāo)系，

，，，，，，，，在和中，，，，連接，，，，，，三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，的最小值的最小值．但是當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)不在邊上，．故選：D．例5．（2023下·湖北武漢·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，若在上各取一個(gè)點(diǎn)M，N，連接，則的最小值為（

）

A．6 B．8 C．12 D．16【答案】D【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱最短路徑問題，作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)E，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)F，連接，由對(duì)稱性可知，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)F、點(diǎn)N與點(diǎn)G重合時(shí)，等號(hào)成立．利用勾股定理求出，利用面積法求出，則，由對(duì)稱軸的性質(zhì)可得，設(shè)，，由勾股定理建立方程，解得，則利用勾股定理得到則的最小值是16．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)E，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)F，連接由對(duì)稱性可知，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)F、點(diǎn)N與點(diǎn)G重合時(shí)，等號(hào)成立．∵四邊形是矩形，∴，在中，根據(jù)勾股定理可得，點(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于AC對(duì)稱，，，，∴，由對(duì)稱軸的性質(zhì)可得，設(shè)，，由勾股定理得，∴，解得，∴∴∴的最小值是16，故選D．

例6．（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是矩形，，，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合），連接．點(diǎn)M，N分別是的中點(diǎn)，連接，，，點(diǎn)E在邊上，，則的最小值是（

）

A． B．3 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直線三角形斜邊中線的性質(zhì)可得，，通過(guò)證明四邊形是平行四邊形，可得，則，作點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)M，則，點(diǎn)B，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為．【詳解】解：四邊形是矩形，，，點(diǎn)M，N分別是的中點(diǎn)，，，，，，，，又，四邊形是平行四邊形，，，如圖，作點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)M，連接，，則，

當(dāng)點(diǎn)B，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為，在中，，，，的最小值，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，直線三角形斜邊中線的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，線段的最值問題等，解題關(guān)鍵是牢固掌握上述知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用等量代換思想．例7．（2023上·福建龍巖·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)E是邊上且．F是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接、，則的最小值．【答案】【分析】取得中點(diǎn)N，連接，，，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，先求出，，，再說(shuō)明是等邊三角形，根據(jù)“”證明≌，可求，即可得出點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線，然后證明≌，可確定的最小值，根據(jù)勾股定理求出答案即可．【詳解】解：如圖，取得中點(diǎn)N，連接，，，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．由題意，得，，．∵點(diǎn)N是的中點(diǎn)，∴，∴．∵，∴是等邊三角形，∴，，，∴．∵，，∴，∴，∴，∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線．∵，，，∴，∴，∴．在中，，，，∴，，∴．根據(jù)勾股定理，得，∴，∴的最小值是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形與旋轉(zhuǎn)的綜合問題，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形三邊關(guān)系，勾股定理等，確定點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．模型2.求多條線段和（周長(zhǎng)）最小值【模型解讀】在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)：（2）一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)：（3）兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：（4）臺(tái)球兩次碰壁模型1）已知點(diǎn)A、B位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，使得圍成的四邊形ADEB周長(zhǎng)最短.2）已知點(diǎn)A位于直線m,n的內(nèi)側(cè),在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA周長(zhǎng)最短.【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023·四川廣元·一模）如圖，已知正方形邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E在邊上且，點(diǎn)P，Q分別是邊，的動(dòng)點(diǎn)（均不與頂點(diǎn)重合），當(dāng)四邊形的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，四邊形的面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，四邊形的周長(zhǎng)最小，根據(jù)，即可解．【詳解】解：如圖1所示，作E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，四邊形的周長(zhǎng)最小，∵，，∴，．∵，D是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，，∵，∴，∴，即，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，找出四邊形的周長(zhǎng)最小時(shí)，P、Q的位置．例2．（2023.無(wú)錫市初三數(shù)學(xué)期中試卷）方法感悟：如圖①，在矩形中，，是否在邊上分別存在點(diǎn)G、H，使得四邊形的周長(zhǎng)最??？若存在，求出它周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．問題解決：【答案】（1）存在得四邊形的周長(zhǎng)最小，最小值為；（2）當(dāng)所裁得的四邊形部件為四邊形時(shí)，裁得了符合條件的最大部件，這個(gè)部件的面積為，【分析】作E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作F關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于G，交于H，連接，得到此時(shí)四邊形的周長(zhǎng)最小，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到，于是得到，求出即可得到結(jié)論；【詳解】解：（1）存在，理由：作E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作F關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于G，交于H，連接，∴，則此時(shí)四邊形的周長(zhǎng)最小，由題意得：，∴，

∴，∴四邊形的周長(zhǎng)的最小值2，∴在邊上分別存在點(diǎn)G、H，使得四邊形的周長(zhǎng)最小，最小值為；例3．（2023春·湖北黃石·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，、分別是和上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則的最小值是________；【答案】/【分析】延長(zhǎng)作點(diǎn)D的關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，延長(zhǎng)作點(diǎn)M的關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱點(diǎn)，作，且，即為最小值；【詳解】解：如下圖所示，延長(zhǎng)作點(diǎn)D的關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，延長(zhǎng)作點(diǎn)M的關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱點(diǎn)，作，且，可得，∴，∴的最小值為，∵，且，四邊形為矩形，∴四邊形為矩形，∵為的中點(diǎn)∴，，∴；【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱-最短路線問題、矩形的性質(zhì)，根據(jù)題意找到使所求線段的和最小時(shí)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．例4．（2023上·江蘇蘇州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，，在的同側(cè)，，，，為的中點(diǎn)．若，則長(zhǎng)的最大值是（

）

A．8 B．10 C．12 D．14【答案】D【分析】如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，證明為等邊三角形，即可解決問題．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)．，，，，，為等邊三角形，的最大值為，故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)利用兩點(diǎn)之間線段最短解決最值問題模型3.求兩條線段差最大值【模型解讀】在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA與PB的差最大；（1）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：延長(zhǎng)AB交直線m于點(diǎn)P，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此時(shí)最大，因此點(diǎn)P為所求的點(diǎn)。（2）點(diǎn)A、B在直線m異側(cè)：過(guò)B作關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)B’,連接AB’交點(diǎn)直線m于P,此時(shí)PB=PB’，PA-PB最大值為AB’【最值原理】三角形兩邊之差小于第三邊。例1．（2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，，AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)N在AC上且AN＝2，點(diǎn)M在BC上且BM＝BC，P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，則PM﹣PN的最大值為．【答案】2【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，從而可得，再根據(jù)菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定證出是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，由此即可得．【詳解】解：四邊形是菱形，，，，，，是等邊三角形，，，，，如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則，，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)，等號(hào)成立，，，，是等邊三角形，，即的最大值為2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．例2．（2023春·湖南永州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，O為對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)P在邊上，且，點(diǎn)Q在邊上，連接與，則的最大值為____________，的最小值為__________．【答案】【分析】①連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，則這個(gè)點(diǎn)Q滿足使的值最大，最大值為的長(zhǎng)度，證明四邊形是矩形可得，，，再利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可；②過(guò)點(diǎn)O作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)Q，的值最小，的最小值為的長(zhǎng)度，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得，再根據(jù)，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，可得，從而求得，再利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：①連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，則這個(gè)點(diǎn)Q滿足使的值最大，最大值為的長(zhǎng)度，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，∴，，∵，∴，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)P，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴；②過(guò)點(diǎn)O作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)Q，的值最小，的最小值為的長(zhǎng)度，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，∵，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∴，∴，，∴，，∴，∴的最小值為：，故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及軸對(duì)稱?最短路徑，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形中，，，，點(diǎn)為直線左側(cè)平面上一點(diǎn)，的面積為，則的最大值為．【答案】10【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)作于．過(guò)點(diǎn)作直線，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線于，此時(shí)的值最大，即的值最大，最大值為線段的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作于．利用勾股定理即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴是直角三角形，且，∴如圖，過(guò)點(diǎn)作于．∵的面積為，即，∴，過(guò)點(diǎn)作直線，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線于，此時(shí)的值最大，即的值最大，最大值為線段的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作于．∵，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴的最大值為10．故答案為10．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱?最短問題，三角形的面積，矩形的判定，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最值問題，屬于中考填空題中的壓軸題．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·湖北鄂州·二模）如圖，矩形中，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)分別為邊上的動(dòng)點(diǎn)，將沿直線翻折得到，連接，則的最小值為（

）

A．5 B． C． D．【答案】D【分析】作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，根據(jù)條件求出的長(zhǎng)度，當(dāng)、、、四點(diǎn)共線時(shí)，最小，即可求出答案．【詳解】解：作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，，

沿直線翻折得到，，，，，，四邊形為矩形，，在中，，當(dāng)、、、四點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小為，的最小值為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，解答的關(guān)鍵是作出輔助線．2．（2023·河南信陽(yáng)·?？既＃┤鐖D，菱形，，邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在上，且，F(xiàn)為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）

A． B． C． D．4【答案】B【分析】由于點(diǎn)B與D關(guān)于對(duì)稱，所以連接．此時(shí)最小，再作垂足為M，根據(jù)菱形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算．【詳解】解：連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)M．

∵四邊形是菱形，∴B點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)即為點(diǎn)，連接即為的最小值．∵四邊形是菱形，∴，．∴，又∵，∴．∴是等邊三角形．又∵，∴．∴．在中，．∴．在中，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是軸對(duì)稱-最短路徑問題，菱形的性質(zhì)，掌握軸對(duì)稱-最短路徑的確定方法、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023下·浙江杭州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，矩形中，，，點(diǎn)E、F分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值是（）

A． B．12 C． D．16【答案】A【分析】連接，作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)G，連接，，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，進(jìn)一步可知四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，的最小值等于的最小值，即的長(zhǎng)度，進(jìn)一步求的長(zhǎng)，即可確定的最小值．【詳解】連接，作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)G，連接，，如圖所示：

則，，在矩形中，，，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴的最小值等于的最小值，等于的最小值，即的長(zhǎng)度，∵，，∴，根據(jù)勾股定理，得，∴的最小值為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，涉及軸對(duì)稱-最短路線問題，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023下·江蘇連云港·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖正方形的面積為，是等邊三角形，點(diǎn)在正方形內(nèi)，在對(duì)角線上有一動(dòng)點(diǎn)，要使最小，則這個(gè)最小值為(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】連接．由正方形的對(duì)稱性可知，則，依據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知當(dāng)點(diǎn)、、在一條直線上時(shí)，有最小值，最小值為的長(zhǎng)，然后依據(jù)正方形和等邊三角形的性質(zhì)求解即可【詳解】解：連接．

點(diǎn)與關(guān)于對(duì)稱，，．由兩點(diǎn)之間線段最短可知當(dāng)點(diǎn)為點(diǎn)處時(shí)，有最小值，最小值為的長(zhǎng)．正方形的面積為，，又是等邊三角形，，的最小值為故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)和軸對(duì)稱-最短路線問題，熟知“兩點(diǎn)之間，線段最短”是解答此題關(guān)鍵．5．（2023下·廣西欽州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)、，點(diǎn)在軸上，則最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】取B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)M，即，在x軸上另取一點(diǎn)N，即根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)有，即，當(dāng)A、N、三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，即M點(diǎn)滿足取最大值，再根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】取B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)M，如圖，即根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)有，∴，在x軸上另取一點(diǎn)N，如圖，即根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)有，∴，當(dāng)A、N、三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，即M點(diǎn)滿足取最大值，∵，∴，∵，∴，∴的最大值為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，構(gòu)造合理的輔助線，找到M點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．6．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)是正方形內(nèi)部一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，，則的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】取，則,證明得出，進(jìn)而證明，即可證明，得出，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為的長(zhǎng)，勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，取，則,連接，

∵，，∴點(diǎn)在以為圓心為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在以為圓心為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，在中，，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴，又，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為的長(zhǎng)，在中，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．7．（2023·重慶北碚·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，矩形中，，點(diǎn)是矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】作PM⊥AD于M，作點(diǎn)D關(guān)于直線PM的對(duì)稱點(diǎn)E，連接PE，EC．設(shè)AM=x．由PM垂直平分線段DE，推出PD=PE，推出PC+PD=PC+PE≥EC，利用勾股定理求出EC的值即可．【詳解】解：如圖，作PM⊥AD于M，作點(diǎn)D關(guān)于直線PM的對(duì)稱點(diǎn)E，連接PE，EC．設(shè)AM=x．∵四邊形ABC都是矩形，∴AB∥CD，AB=CD=4，BC=AD=6，∵S△PAB=S△PCD，∴×4×x=××4×（6-x），∴x=2，∴AM=2，DM=EM=4，在Rt△ECD中，EC==4，∵PM垂直平分線段DE，∴PD=PE，∴PC+PD=PC+PE≥EC，∴PD+PC≥4，∴PD+PC的最小值為4．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．8．（2023上·安徽滁州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為4，且于點(diǎn)為上一點(diǎn)，且的周長(zhǎng)最小，則的周長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先確定出的周長(zhǎng)的最小值就是的最小值，然后利用將軍飲馬問題的模型構(gòu)造出的周長(zhǎng)的最小值，再利用勾股定理求出，進(jìn)而解決問題．【詳解】解：連接交于點(diǎn)，連接，，四邊形是菱形，對(duì)角線所在直線是其一條對(duì)稱軸，點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，與是等邊三角形，，，是的中點(diǎn)，，的周長(zhǎng)，要求的周長(zhǎng)的最小值可先求出的最小值即可，而的最小值就是的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，四邊形是菱形，，，在中，，，在中，，，，的周長(zhǎng)的最小值為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱最短路線問題，菱形的性質(zhì)，勾股定理，特殊值的三角函數(shù)，掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)和構(gòu)造出最短路線是解題的關(guān)鍵．9．（2023下·四川資陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形是菱形，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，，點(diǎn)P是上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，則的最小值為．

【答案】/【分析】如圖：連接，過(guò)D作,垂足為H，先根據(jù)菱形的性質(zhì)即可計(jì)算出、的長(zhǎng)，再運(yùn)用勾股定理求得，進(jìn)而求得,然后運(yùn)用勾股定理求得的長(zhǎng)，最后根據(jù)線段的性質(zhì)得到的最小值為的長(zhǎng)即可解答．【詳解】解：如圖：連接，過(guò)D作,垂足為H

∵四邊形是菱形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，，∴，，，∴，又∵E是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∴,∴∵，∴的最小值為DE的長(zhǎng)，即的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、兩點(diǎn)直接線段最短等知識(shí)點(diǎn)，掌握菱形的性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短是解答本題的關(guān)鍵．10．（2023·湖南·統(tǒng)考一模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在上且，為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為．【答案】【分析】連接，，當(dāng)，，在一條直線上時(shí)，可以取得最小值，最小值為，可證得，得到，進(jìn)而可求得答案．【詳解】如圖所示，連接，．

根據(jù)題意可知，當(dāng)，，在一條直線上時(shí)，可以取得最小值，最小值為．．在和中，，∴．∴．∴的最小值為．∴周長(zhǎng)的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定、正方形的性質(zhì)、勾股定理，能根據(jù)題意構(gòu)建輔助線是解題的關(guān)鍵．11．（2023下·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┰谥?，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，將沿著翻折得到，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接、，若，，，則的最小值為．

【答案】【分析】取的中點(diǎn)，連接，，利用翻折的性質(zhì)證明全等，得到，判斷出的最小值就是的長(zhǎng)，再過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，求出，，最后在中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，

由翻折得到，，又點(diǎn)為中點(diǎn)，，，在和中，，，，要求的最小值，只要求的最小值即可，當(dāng)，，三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，取最小值，此時(shí)，即的最小值為．在中，，，則∴,，在中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是以翻折為背景兩線段和最小值問題，考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)定義，勾股定理．利用翻折將不共端點(diǎn)的兩線段的和轉(zhuǎn)化為共端點(diǎn)的兩線段的和是解題的關(guān)鍵．12．（2023下·內(nèi)蒙古呼和浩特·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形是矩形紙片，，對(duì)折矩形紙片，使與重合，折痕為，展平后再過(guò)點(diǎn)折疊矩形紙片，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，折痕為；再次展平，連接，．則，若為線段上一動(dòng)點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則的最小值是．

【答案】/60度【分析】首先根據(jù)垂直平分，可得；然后根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得，據(jù)此判斷出為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到；點(diǎn)是的中點(diǎn)，根據(jù)折疊可知點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱可得，因此與重合時(shí)，，據(jù)此求出的最小值即可．【詳解】解：如圖，連接，設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)，

對(duì)折矩形紙片，使與重合，折痕為，垂直平分，，折疊矩形紙片，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)，，，為等邊三角形，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，由折疊可知：點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，，與重合時(shí)，有最小值，此時(shí)，，，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何變換綜合問題，折疊的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱最短問題，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2023·廣西·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)，分別從點(diǎn)，以相同的速度同時(shí)出發(fā)，沿，向終點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)，連接，，則的最小值是．

【答案】【分析】根據(jù)動(dòng)點(diǎn)，分別從點(diǎn)，以相同的速度同時(shí)出發(fā)，沿，向終點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)，得出，設(shè)，由，由勾股定理可得根據(jù)二次函數(shù)最值可得當(dāng)時(shí)，值最小，此時(shí)，此時(shí)值最小，則最小值，把代入即可求解．【詳解】解：∵矩形∴，，，∵動(dòng)點(diǎn)，分別從點(diǎn)，以相同的速度同時(shí)出發(fā)，沿，向終點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)，∴設(shè)，由，∴，，∴∵，∴當(dāng)時(shí)，值最小，此時(shí)，此時(shí)也是最小，即當(dāng)時(shí)，值最小，∴最小值．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)撮值，根據(jù)題意得出當(dāng)時(shí)，值最小，此時(shí)，則此時(shí)值最小是解題的關(guān)鍵．14．（2023上·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，在的同側(cè)，點(diǎn)A在線段上，，，則的最大值是．

【答案】【分析】如圖：將沿折疊形成，將沿折疊形成，連接，，根據(jù)折疊的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得、，再結(jié)合可得，運(yùn)用勾股定理可得，最后根據(jù)兩點(diǎn)之間、線段最短可得當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，有最大值，最后據(jù)此求解即可．【詳解】解：將沿折疊形成，將沿折疊形成，連接，，∵，，∴，，∴，∴，同理：，∵∴，∴,∴,∴,當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，有最大值，即的最大值為：．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、最短距離等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．15．（2023上·福建三明·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形中，點(diǎn)F為中點(diǎn)，點(diǎn)E在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，若，則長(zhǎng)的最大值為．

【答案】2【分析】連接，，根據(jù)正方形的性質(zhì)得點(diǎn)B、D關(guān)于直線對(duì)稱，，，所以，從而得出，設(shè)，則，在中，，由勾股定理，得，即，由此即可求解．【詳解】如圖，連接，，

∵正方形∴點(diǎn)B、D關(guān)于直線對(duì)稱，，，∵點(diǎn)E在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，∴，∴，即，設(shè)，則，在中，，由勾股定理，得，∴解得：，∴x最大值為2，即長(zhǎng)的最大值為2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，兩點(diǎn)間距離，正確作出輔助線，證得，得出是解題的關(guān)鍵．16．（2023·湖北·統(tǒng)考二模）如圖，已知，正中，，將沿翻折，得到，連接，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，是的中點(diǎn)，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為．【答案】【分析】根據(jù)題意可知，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，最大，利用勾股定理求出此時(shí)和的長(zhǎng)即可解決問題．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)，，在中，，，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，最大為，為等邊三角形，，，將沿翻折，得到，，四邊形為菱形，，，，，，，為中點(diǎn)，，，，的最大值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱﹣線段問題，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，明確同側(cè)差最大是解題的關(guān)鍵．17．（2023·山東日照·?？级＃┤鐖D，在邊長(zhǎng)為1的正方形中，E為邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E，B不重合），以為直角邊在直線上方作等腰直角三角形，，連接，則在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，周長(zhǎng)的最小值是______．

【答案】【分析】首先說(shuō)明點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則點(diǎn)、、在一條直線上，此時(shí)的最小值即為的長(zhǎng)，即可得出答案．【詳解】解：證明：四邊形是正方形，，，，，，在上取點(diǎn)，使，連接，，，，，，，，，，

作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則點(diǎn)、、在一條直線上，此時(shí)的最小值即為的長(zhǎng)，在中，由勾股定理得，以、、為頂點(diǎn)的三角形周長(zhǎng)的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱-最短路線問題等知識(shí)，確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是解題的關(guān)鍵．18．（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，己知長(zhǎng)方體，是棱上任意一點(diǎn)，是側(cè)面對(duì)角線上一點(diǎn)，則的最小值是________．

【答案】【分析】將正方形展開，取及兩個(gè)面，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)P，此時(shí)取最小值，由正方形的性質(zhì)可得出，再利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出的長(zhǎng)度，此題得解．【詳解】解：將正方形展開，取及兩個(gè)面，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)P，此時(shí)取最小值．

∵為正方形，∴．在中，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱中的最短路線問題、正方形的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值，找出點(diǎn)P、Q的位置是解題的關(guān)鍵．19．（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，，，AH是的平分線，于點(diǎn)E，點(diǎn)P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是________．【答案】/【分析】作點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)F，連接OF交AB于G，連接PE交直線AB于P，連接PO，則PO=PF，此時(shí)，PO+PE最小，最小值=EF，利用菱形的性質(zhì)與直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，求出OF，OE長(zhǎng)，再證明△EOF是直角三角形，然后由勾股定理求出EF長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)F，連接OF交AB于G，連接PE交直線AB于P，連接PO，則PO=PF，此時(shí)，PO+PE最小，最小值=EF的長(zhǎng)，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AD=AB=3，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BD=AB=3，∠BAO=30°，∴OB==，∴OA=，∴點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)F，∴OF⊥AB，OG=FG，∴OF=2OG=OA=，∠AOG=60°，∵CE⊥AH于E，OA=OC，∴OE=OC=OA=，∴∠AEC=∠CAE，∵AH平分∠BAC，∴∠CAE=15°，∴∠AEO=∠CAE=15°，∴∠COE=∠AEO+∠CAE=30°，∴∠COE+∠AOG=30°+60°=90°，∴∠FOE=90°，∴由勾股定理，得EF=,∴PO+PE最小值=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，利用軸對(duì)稱求最短距離問題，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理