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對(duì)角互補(bǔ)模型鞏固練習(xí)(基礎(chǔ))1. 如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90o,AB=3,BC=4,在Rt△MPN中,點(diǎn)P在AC上,PM交AB于點(diǎn)E,PN交BC于點(diǎn)F,當(dāng)PE=PF時(shí),AP=.【解答】3【解析】如圖,作PQ⊥AB于點(diǎn)Q,PR⊥BC于R.∵∠PQB=∠QBR=∠BRP=90o,∴四邊形PQBR是矩形,∴∠QPR=90o=∠MPN,∴∠QPE=∠RPE,∴△QPE∽△RPF,,,設(shè),則,,,解得,.2. 如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,點(diǎn)E在對(duì)角線AC上,連接BE,作EF⊥BE,垂足為E,直線EF交線段DC于點(diǎn)F,則=.【解答】【解析】如圖,過點(diǎn)E分別作于點(diǎn)G,于點(diǎn)H.∵四邊形ABCD是矩形,∴四邊形CHEG也是矩形,∴∠GEH=90o,∴∠BEG+∠GEF=∠GEF+∠FEH=90o,∴∠BEG=∠FEH,又∵∠BGE=∠FHE=90o,∴△BEG∽△FEH,,.3. 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形ABCD頂點(diǎn)A(0,2),B點(diǎn)在軸上,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)M,,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.【解答】C(6,4)【解析】如圖,過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)F,連接EM.∠MFO=∠CEO=∠AOB=90o,AO∥MF∥CE,∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=90o,AM=CM,∴∠OAB=∠EBC,OF=EF,∴MF是梯形AOEC的中位線,,,∴OB=CE,AO=BE,,又∵OF=FE,∴△MOE是直角三角形,∵M(jìn)O=ME,∴△MOE是等腰直角三角形,.4. 如圖,在正方形外作直線FE并經(jīng)過正方形的頂點(diǎn)C,分別過點(diǎn)B、D作直線FE的垂線,垂足分別為點(diǎn)E、F,求證:△CBE≌△DCF.【解答】見解析【解析】證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴BC=CD,∵∠BCE+∠DCF=90o,∠BCE+∠CBE=90o,∴∠CBE=∠DCF,在Rt△CBE與Rt△DCF中,,.5. 如圖,正方形ABCD與正方形OMNP的邊長(zhǎng)均為10,點(diǎn)O是正方形ABCD的中心,正方形OMNP繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),求證:無論正方形OMNP旋轉(zhuǎn)到何種位置,這兩個(gè)重疊部分面積總是一個(gè)定值,并求這個(gè)定值.【解答】25【解析】當(dāng)OP∥AD或OP經(jīng)過點(diǎn)C時(shí),重疊部分面積為正方形面積的,即25;當(dāng)點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置時(shí),過點(diǎn)O分別作CD、BC的垂線,垂足分別為E、F.在Rt△OEG與Rt△OFH中,∠EOG=∠HOF,OE=OF=5,∴△OEG≌△OFH,.6. 如圖,在正方形ABCD中,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,E、F分別為AD、CD上的點(diǎn),若AE=4,CF=3,且OE⊥OF,求EF的長(zhǎng).【解答】5【解析】如圖,連接EF.∵四邊形ABCD是正方形,∴AO=DO,∠OAE=∠ODF=45o,∠ADC=90o,又∵OE⊥OF,∴∠OFD+∠EDO=180o,∵∠AEO+DEO=180o,∴∠OFD=∠AEO,∴△AEO≌△DFO(AAS),∴AE=DE=4,又∵AD=CD,∴DE=CF=3,在Rt△EOF中,.7. 如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),點(diǎn)E、F分別在AB、AC上,若∠A=60o,∠EDF+∠A=180o,求證:.【解答】見解析【解析】取AB的中點(diǎn)G,連接DG,如圖所示:∵AB=AC,∠A=60o,∴△ABC是等邊三角形,∵點(diǎn)D、G分別是AB、BC的中點(diǎn),∴DG是△ABC的中位線,∴DG=DC=BD,∵∠B=60o,∴△BDG是等邊三角形,∴∠BGD=∠C,∵∠AED+∠AFD=180o,且∠AFD+∠DFC=180o,∴∠AED=∠DFC,∴△GED≌△CFD,∴EG=FC,∴BE+CF=BE+EC=BG=.8. 在△ABC中,AD是BC邊上的中線,點(diǎn)M在AB邊上,點(diǎn)N在AC邊上,且∠MDN=90o,若,求證:.【解答】見解析【解析】證明:過點(diǎn)B作AC的平行線交ND的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接ME.∵BD=DC,∴ED=DN,在△BED與△CND中,,∴BE=NC,∵∠MDN=90o,∴MD為EN的中垂線,∴EM=MN,∴,∴△BEM為直角三角形,∠MBE=90o,∴∠ABC+∠ACB=∠ABC+∠EBC=90o,∴∠BAC=90o,.9.?dāng)?shù)學(xué)課上,張老師正在上課:同學(xué)們,我們學(xué)過四個(gè)頂點(diǎn)在圓上的四邊形是圓內(nèi)接四邊形,圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角(相對(duì)的兩個(gè)角)互補(bǔ).下面我們來研究它外角的性質(zhì).(1)在圖①中作出圓內(nèi)接四邊形ABCD中以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的外角∠DCE,并請(qǐng)你探究外角∠DCE與它的相內(nèi)角的對(duì)角(簡(jiǎn)稱內(nèi)對(duì)角)∠A的關(guān)系,并證明∠DCE與∠A的關(guān)系;(2)分別延長(zhǎng)BD、AD到點(diǎn)F、E,如圖②,已知四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形,如果DE平分∠FDC,請(qǐng)你探索AB與AC有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢?(3)如圖③,點(diǎn)D是圓上一點(diǎn),弦AB=3,DC是∠ADB的平分線,∠BAC=30°.當(dāng)∠DAC等于多少度時(shí),四邊形DACB【解答】(1)∠DCE=∠A;(2)AB=AC;(3)3【解析】(1)畫圖如圖,∠DCE=∠A.證明:∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形,∴∠A+∠BCD=180°,∴∠DCE+∠BCD=180°∠DCE=∠A;(2)AB=AC,證明:∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形,∴∠2=∠ABC,∵∠1=∠ADB,∠ADB=∠ACB,∴∠1=∠ACB,∵DE平分∠FDC,∴∠1=∠2,∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC;(3)∵DC平分∠ADB,∴∠ADC=∠BDC,又∵∠ADC=∠ABC,∠BDC=∠BAC,∴∠ABC=∠BAC,∴AC=BC,∵AB=3,∠BAC∴AC=BC=1,∵S四邊形DACB=S△ABC+S△DABS△ABC為定值,當(dāng)S△DAB最大時(shí),四邊形DACB面積最大,要使四邊形DACB面積最大,只需求
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