專題05 特殊的平行四邊形中的最值模型之胡不歸模型（解析版）

專題05特殊的平行四邊形中的最值模型之胡不歸模型胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握。本專題就最值模型中的胡不歸問題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。在解決胡不歸問題主要依據(jù)是：點(diǎn)到線的距離垂線段最短?！灸Ｐ捅尘啊繌那坝袀€(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”看到這里很多人都會(huì)有一個(gè)疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.補(bǔ)充知識(shí)：在直角三角形中銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即。若無法理解正弦，也可考慮特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三邊關(guān)系?！灸Ｐ徒庾x】一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最?。ㄗ⒁馀c阿氏圓模型的區(qū)分）1），記，即求BC+kAC的最小值.2）構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.3）過B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．【解題關(guān)鍵】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．（若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）?！咀钪翟怼績牲c(diǎn)之間線段最短及垂線段最短。例1．（2023·四川樂山·統(tǒng)考二模）如圖，菱形中，，，是對(duì)角線上的任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）．

A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖：過點(diǎn)E作，過點(diǎn)B作，連接,由菱形的性質(zhì)結(jié)合題意可得結(jié)合可得，則,即；再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得,則當(dāng)時(shí)，即F與重合時(shí)，有最小值，最后解直角三角形求出即可．【詳解】解：如圖：過點(diǎn)E作，過點(diǎn)B作，連接．

∵在菱形中，，∴，∵，∴，，即．∴．∴．∵∴當(dāng)時(shí)，即F與重合時(shí)，有最小值∴的最小值．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，找到有最小值的位置是解答本題的關(guān)鍵．例2．（2023·四川宜賓·?？寄M預(yù)測）如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于________．【答案】【分析】過點(diǎn)P作PQ⊥AD于點(diǎn)Q，由于∠PDQ=60°，因此，由此可知當(dāng)B、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)有最小值，然后利用解直角三角形的知識(shí)進(jìn)行求解即可.【詳解】過點(diǎn)P作PQ⊥AD，垂足為Q，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC//AB，∴∠QDP=∠DAB=60°，∴PQ=PD?sin∠QDP=PD，∴=BP+PQ，∴當(dāng)點(diǎn)B、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)有最小值，∴的最小值為，故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，線段之和最短問題，正確添加輔助線，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.例3．（2023上·廣東佛山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在長方形中，，，點(diǎn)在上，連接，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，的最小值為．

【答案】/【分析】在線段下方作，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，求出此時(shí)的長度便可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，，，∴，，，∴，在線段下方作，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，

∴，∴，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，此時(shí)，∴，∴，，∴，∴的最小值為：，∴的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了長方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，垂線段最短性質(zhì)，關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造的最小值．例4．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）如圖，正方形邊長為4，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，且．P是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】連接AC，作，證明當(dāng)取最小值時(shí)，A，P，G三點(diǎn)共線，且，此時(shí)最小值為AG，再利用勾股定理，所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可求出結(jié)果．【詳解】解：連接AC，作∵是正方形且邊長為4，∴，，，∵，∴，∴，∴當(dāng)取最小值時(shí)，A，P，G三點(diǎn)共線，且，此時(shí)最小值為AG，∵，，∴，∵，∴，設(shè)，則，∴，解得：，設(shè)，則，∵，∴，解得：∴，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問題，勾股定理，所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，解題的關(guān)鍵是證明當(dāng)取最小值時(shí)，A，P，G三點(diǎn)共線，且，此時(shí)最小值為AG．例5．（2022·山東濟(jì)寧·?？寄M預(yù)測）如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱圖形為．（1）求證：四邊形是菱形；（2）連接，若，．①求的值；②若點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再以的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，到達(dá)點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)所需要的時(shí)間最短時(shí)，求的長和點(diǎn)走完全程所需的時(shí)間．【答案】（1）證明見解析；（2）①；②和走完全程所需時(shí)間為．【分析】（1）利用四邊相等的四邊形是菱形進(jìn)行證明即可；（2）①構(gòu)造直角三角形求即可；②先確定點(diǎn)沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)所需要的時(shí)間最短時(shí)的位置，再計(jì)算運(yùn)到的時(shí)間．【詳解】（1）四邊形是矩形，，與交于點(diǎn)O,且關(guān)于對(duì)稱，，，四邊形是菱形；（2）①連接,直線分別交于點(diǎn),交于點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱圖形為，，在矩形中，為的中點(diǎn)，且O為AC的中點(diǎn)，為的中位線，

，同理可得：為的中點(diǎn)，，

，；②過點(diǎn)P作交于點(diǎn)，由運(yùn)動(dòng)到所需的時(shí)間為3s，由①可得，，點(diǎn)Q以的速度從P到A所需的時(shí)間等于以從M運(yùn)動(dòng)到A，即：，由O運(yùn)動(dòng)到P所需的時(shí)間就是OP+MA和最小.如下圖，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到,即時(shí)，所用時(shí)間最短.，在中，設(shè)，，，解得：，，和走完全程所需時(shí)間為．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·廣東廣州·?？既＃┤鐖D：等邊三角形中，，E、F分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中點(diǎn)D、G，連接，則可得，，因此轉(zhuǎn)而求的最小值；過A作，且，連接，可證明，則有，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求的最小值，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，取得最小值，在中由勾股定理即可求得最小值，從而求得的最小值．【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)D、G，連接，∴，，∴；

∵，∴的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值；在等邊三角形中，，∴，∴，，∵，∴，∴；過A作，且，連接，則，∴，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，取得最小值，且最小值為線段的長；∵，在中，由勾股定理得：，∴的最小值為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了求線段和的最小值問題，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，把求的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求的最小值，是本題的難點(diǎn)與關(guān)鍵所在．2．（2023上·江蘇徐州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，．若點(diǎn)P是邊上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值為．【答案】【分析】如圖所示，在下方作，過點(diǎn)P作于E，則由含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到，故當(dāng)當(dāng)三點(diǎn)共線，且時(shí)最小，即此時(shí)最小，由矩形的性質(zhì)得到，，則可證明是等邊三角形，則，，，再求出，得到，則的最小值為．【詳解】解：如圖所示，在下方作，過點(diǎn)P作于E，∴，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線，且時(shí)最小，即此時(shí)最小，∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線確定當(dāng)三點(diǎn)共線，且時(shí)，最小是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·湖北黃石·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，將線段繞點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，，取中點(diǎn)，，連接，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，那么將線段繞點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)過程中，的最小值為．

【答案】【分析】連接，取中點(diǎn)，連接，由三角形中位線定理可得，即，由三角形三邊關(guān)系可得，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，上式取等號(hào)，由的坐標(biāo)可得，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得，即可得到答案．【詳解】解：連接，取中點(diǎn)，連接，

，為的中點(diǎn)，，即，，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，上式取等號(hào)，，，，，的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形、三角形中位線定理、勾股定理、三角形三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．4．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為．【答案】4【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此時(shí)PA+2PB＝2＝＝2BF，通過解直角三角形ABF，進(jìn)一步求得結(jié)果．【詳解】解：如圖，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此時(shí)PA+2PB最小，∴∠AFB＝90°∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝，∴PA+2PB＝2＝＝2BF，在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝AB?sin45°＝4，∴（PA+2PB）最大＝2BF＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角直角三角形，解題的關(guān)鍵是作輔助線．5．（2023·廣東東莞·?？既＃┤鐖D，菱形ABCD的邊長為6，∠B＝120°．點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)A重合），則AP+PD的最小值為_____．【答案】3【分析】過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，根據(jù)四邊形ABCD是菱形，且∠B＝120°，∠DAC＝∠CAB＝30°，可得PE＝AP，當(dāng)點(diǎn)D，P，E三點(diǎn)共線且DE⊥AB時(shí)，PE+DP的值最小，最小值為DF的長，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F,∵四邊形ABCD是菱形，且∠B＝120°,∴∠DAC＝∠CAB＝30°,∴PE＝AP;∵∠DAF＝60°,∴∠ADF＝30°,∴AF＝AD＝×6＝3;∴DF＝3;∵AP+PD＝PE+PD,∴當(dāng)點(diǎn)D，P，E三點(diǎn)共線且DE⊥AB時(shí),PE+DP的值最小，最小值為DF的長,∴AP+PD的最小值為3.故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查菱形性質(zhì)，結(jié)合直角三角形、等邊三角形的判定與性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)，準(zhǔn)確判斷最小值的判定.6．如圖，中，，，，為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于．解：如圖，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線且時(shí)，有最小值，即最小值為，故答案為：7．（2023·湖南湘西·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知菱形ABCD的邊長為4，點(diǎn)是對(duì)角線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，且∠ABC=120°，則的最小值是____________．【答案】【分析】作DE⊥AB于E點(diǎn)，連接BD，根據(jù)垂線段最短，此時(shí)DE最短，即PA+PB+PD最小，根據(jù)菱形性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)即可求出DE的長，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，作DE⊥AB于E點(diǎn)，連接BD∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°∴∠DAB=60°，則△ABD為等邊三角形∴∠PAE=30°∴AP=2PE∵PD=PB∴PA+PB+PD=2PE+2PD=2DE根據(jù)垂線段最短，此時(shí)DE最短，即PA+PB+PD最小∵菱形的邊長為4∴AB=4，AE=2∴DE=∴2DE=∴PA+PB+PD最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)，將多條線段轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．8．（2023·重慶沙坪壩·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在直角坐標(biāo)系中，直線：與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，分別以、為邊作矩形，點(diǎn)、在直線上，且，則的最小值是．【答案】【分析】如圖，過點(diǎn)B作BM∥AC交x軸于M，在直線BM上截取BB′＝DE＝1，過點(diǎn)B′作B′F⊥OM于F，過點(diǎn)E作EH⊥OC于H，連接B′H．證明BD＋EC＝B′E＋EH≥B′H，再根據(jù)B′H≥B′F，求出B′F即可解決問題．【詳解】如圖，過點(diǎn)B作BM∥AC交x軸于M，在直線BM上截取BB′＝DE＝1，過點(diǎn)B′作B′F⊥OM于F，過點(diǎn)E作EH⊥OC于H，連接B′H．與x軸交于點(diǎn)C，與y軸變于點(diǎn)A，令x=0，y=，令y=0,得x=∴A（0，），C（，0），∴OA＝，OC＝，∴AC==2OA，∴∠ACO＝30°，∵EH⊥OC，∴EH＝EC，∵BB′＝DE，BB′∥DE，∴四邊形DBB′E是平行四邊形，∴BD＝B′E，∵BM∥AC，∴∠BMC＝∠ACO＝30°，∵∠BCM＝90°，BC＝，∴BM＝2BC＝3，∴B′M＝1＋3，∵∠MFB′＝90°，∴B′F＝MB′＝，∵BD＋EC＝B′E＋EH≥B′H，B′H≥B′F，∴BD＋EC≥，∴BD＋EC的最小值為，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，解直角三角形，垂線段最短，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．9．（2023·湖南·九年級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝6，△BCD為等邊三角形點(diǎn)E為△BCD圍成的區(qū)域（包括各邊）的一點(diǎn)過點(diǎn)E作EM∥AB，交直線AC于點(diǎn)M作EN∥AC交直線AB于點(diǎn)N，則AN+AM的最大值為．【解答】解：過E作EH⊥AC交AC的延長線于點(diǎn)H，∵EN∥AC，EM∥AB，∴四邊形ANEM是平行四邊形，∠HME＝∠A＝60°，設(shè)EM＝AN＝a，AM＝b，Rt△HEM中，∠HEM＝30°，∴MH＝ME＝a，∴AN+AM＝a+b＝MH+AM＝AH，當(dāng)E在點(diǎn)D時(shí)，AH的值最大是：3+4.5＝7.5，AN+AM的最大值為7.5，故答案為：7.5．10．（2022·四川眉山·統(tǒng)考一模）兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD．如圖所示若，P是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．【答案】【分析】先證明四邊形ABCD是菱形，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，連接AC，交BD于點(diǎn)O，可得，，然后根據(jù)勾股定理可得，則，進(jìn)而求出，要使的值最小，則需要滿足為最小，即為最小，當(dāng)B、P、M在同一直線上時(shí)，為最小，過點(diǎn)A作AM⊥AP，且使，連接BM，進(jìn)而求解即可．【詳解】兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD，即，四邊形ABCD是平行四邊形，，，四邊形ABCD是菱形，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，連接AC，交BD于點(diǎn)O，如圖，，，，，，，，，過點(diǎn)A作AM⊥AP，且使，連接BM，如圖，，要使的值最小，則需要滿足為最小，即為最小，當(dāng)B、P、M在同一直線上時(shí)，為最小，如圖，，，的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)、菱形的性質(zhì)與判定及含30°直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用“胡不歸”原理找到最小值的情況，然后根據(jù)三角函數(shù)及菱形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．11．（2023上·廣東佛山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在長方形中，，，點(diǎn)在上，連接，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，的最小值為．

【答案】/【分析】在線段下方作，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，求出此時(shí)的的長度便可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，，，∴，，，∴，在線段下方作，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，

∴，∴，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，此時(shí)，∴，∴，，∴，∴的最小值為：，∴的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了長方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，垂線段最短性質(zhì)，關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造的最小值．12．（2023·湖北孝感·校考模擬預(yù)測）如圖，四邊形是正方形紙片，．對(duì)折正方形紙片，使與重合，折痕為；展平后再過點(diǎn)折疊正方形紙片，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，折痕為；再次展平，延長交于點(diǎn)Q．有如下結(jié)論：①；②；③；④；⑤為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．其中正確結(jié)論的序號(hào)是．

【答案】①③④⑤【分析】①首先根據(jù)垂直平分，可得；然后根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得，據(jù)此判斷出為等邊三角形，即可判斷出．②首先根據(jù)，，求出；然后在中，根據(jù)，求出的大小即可．③證明所以．④構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理即可得出結(jié)論．⑤首先過點(diǎn)作，在同一條直線上且時(shí)的值最?。驹斀狻拷猓喝鐖D，連接，

垂直平分，，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得：，，為等邊三角形，，即結(jié)論①正確；，，，，即結(jié)論②不正確．∵折疊，∴，∴∵∴∴∴，即結(jié)論③正確．設(shè)，則，∵，，∴，在中由，∴，解得：，即，即結(jié)論④正確．過點(diǎn)H作，是等邊三角形，，∴，在同一條直線上且時(shí)的值最小，此時(shí)，的最小值是，即結(jié)論⑤正確．故答案為：①③④⑤．【點(diǎn)睛】此題主要考查了幾何變換綜合題，考查了分析推理能力，考查了空間想象能力，考查了數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用，要熟練掌握．13．（2023下·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【閱讀理解】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)R，S為平面內(nèi)不重合的兩點(diǎn)．給出如下定義：將點(diǎn)R繞點(diǎn)S順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則稱點(diǎn)為點(diǎn)R關(guān)于點(diǎn)S的“旋對(duì)點(diǎn)”．【遷移應(yīng)用】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B．平面內(nèi)有一點(diǎn)．

(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)O的“旋對(duì)點(diǎn)”，并直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)Q為直線上一動(dòng)點(diǎn)．①若點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)M的“旋對(duì)點(diǎn)”為點(diǎn)，試探究直線經(jīng)過某一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；②在①的條件下，設(shè)直線所經(jīng)過的定點(diǎn)為H，取的中點(diǎn)N，連接，求的最小值．【答案】(1)畫圖見解析，(2)①；②的最小值為．【分析】（1）根據(jù)新定義的含義結(jié)合網(wǎng)格特點(diǎn)逐步畫圖即可，再根據(jù)點(diǎn)的位置可得其坐標(biāo)；（2）①如圖，設(shè)，過作軸的平行線，過作軸的平行線，兩直線交于點(diǎn)，則，延長與交于點(diǎn)，則，，而，，，，結(jié)合新定義可得；，從而可得答案；②證明，即在直線上運(yùn)動(dòng)，如圖，連接，，作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則，由分別為的中點(diǎn)，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，此時(shí)最??；記與軸的交點(diǎn)為，則，直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，連接，都是等腰直角三角形，而，則，再利用勾股定理可得答案．【詳解】（1）解：如圖，即為所求，∴；

（2）①如圖，∵點(diǎn)Q為直線上一動(dòng)點(diǎn)．設(shè)，過作軸的平行線，過作軸的平行線，兩直線交于點(diǎn)，則，延長與交于點(diǎn)，則，

∴，∴，∴，∵，∴，而，∴，，∴，結(jié)合新定義可得；，而，∴的中點(diǎn)坐標(biāo)為：，∴直線經(jīng)過定點(diǎn)；②∵，∴，∴，即在直線上運(yùn)動(dòng)，如圖，連接，，作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則，

由分別為的中點(diǎn)，則，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，此時(shí)最小；記與軸的交點(diǎn)為，則，直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，連接，∴都是等腰直角三角形，而，∴，∴．即的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)的幾何應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，理解題意，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．14．（2023·達(dá)州市九年級(jí)期中）如圖，矩形的頂點(diǎn)、分別在、軸的正半軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，一次函數(shù)的圖象與邊、、軸分別交于點(diǎn)、、，，并且滿足，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求的值；（2）連接，若的面積與四邊形的面積之比為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)，用表示點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求解；（2）首先求出四邊形的面積，再根據(jù)條件求出的面積，即可解決問題；（3）過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，則，即可轉(zhuǎn)化為求的最小值，作點(diǎn)關(guān)于一次函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn)，交一次函數(shù)于點(diǎn)，即的最小值為，算出長度即可．【詳解】（1）在中，令，則，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，把代入中得：，解得：；（2）由（1）得一次函數(shù)為，，，，，，，的面積與四邊形的面積之比為，的面積與四邊形的面積之比為，，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，解得：，把代入中得：，；（3）如圖所示，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，，，，作點(diǎn)關(guān)于一次函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn)，且OO’與直線DF交于Q點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn)，，，當(dāng)、、在同一直線時(shí)最小，即的最小值為，，，，，在中，，，在中．，的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查幾何圖形與函數(shù)的綜合題，包括一次函數(shù)、矩形的性質(zhì)、四邊形的面積，解直角三角形以及胡不歸問題，屬于中考?jí)狠S題．15．（2023春·廣東廣州·八年級(jí)?？计谥校┰诹庑沃?，．(1)如圖1，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，連接，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接，若，求線段的長度；(2)如圖2，連接．點(diǎn)Q是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用含30度的直角三角形的性質(zhì)求出，從而得到，，利用勾股定理求出，再運(yùn)用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得出答案；（2）過點(diǎn)在直線的上方作，分別過點(diǎn)、作于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，則，，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，．再根據(jù)菱形性質(zhì)和等腰直角三角形性質(zhì)即可求得答案．