專題06 三角形中的倒角模型之燕尾（飛鏢）型、風(fēng)箏模型（原卷版）

專題06三角形中的倒角模型之燕尾（飛鏢）型、風(fēng)箏模型近年來(lái)各地考試中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就燕尾（飛鏢）型、風(fēng)箏（鷹爪）模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1、“飛鏢”模型（“燕尾”模型）圖1圖2圖3條件：如圖1，凹四邊形ABCD；結(jié)論：①；②。條件：如圖2，線段BO平分∠ABC，線段OD平分∠ADC；結(jié)論：∠O=（∠A+∠C）。條件：如圖3，線段AO平分∠DAB，線段CO平分∠BCD；結(jié)論：∠O=（∠D-∠B）。飛鏢模型結(jié)論的常用證明方法：例1．（2023·山西晉城·七年級(jí)校聯(lián)考期末）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：有趣的“飛鏢圖”．如圖1的四邊形，這種形似飛鏢的四邊形，我們形象地稱它為“飛鏢圖”．它實(shí)際上就是凹四邊形，同學(xué)們通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：凹四邊形中最大內(nèi)角外面的角等于其余三個(gè)內(nèi)角之和，即如圖1，．“智慧小組”通過(guò)互學(xué)證明了這個(gè)結(jié)論：方法一：如圖2，連接，則在中，，即，又：在中，，∴，即．“創(chuàng)新小組”想出了另外一種方法方法二：如圖3，連接并延長(zhǎng)至F，∵和分別是和的一個(gè)外角，…………任務(wù)：(1)填空：“智慧小組”用的“方法一”主要依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是______；(2)根據(jù)“創(chuàng)新小組”用的“方法二”中輔助線的添加方式，寫出該證明過(guò)程的剩余部分．例2．（2023春·河南南陽(yáng)·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）互動(dòng)學(xué)習(xí)課堂上，某小組同學(xué)對(duì)一個(gè)課題展開(kāi)了探究.小亮：已知，如圖①，在中，點(diǎn)D是內(nèi)一點(diǎn)，連接，試探究與之間的關(guān)系．

小紅：以用三角形內(nèi)角和定理去解決．小明：外角的相關(guān)結(jié)論也能解決．(1)請(qǐng)你在橫線上補(bǔ)全小紅的探究過(guò)程：∵（___________________）∴（等式性質(zhì)）∵_(dá)_______，∴________．∴．（________________）(2)請(qǐng)你按照小明的思路完成探究過(guò)程．(3)利用探究的結(jié)果填空．如圖②，，則_______．

例3．（2023·湖北·八年級(jí)專題練習(xí)）在社會(huì)實(shí)踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)形狀如圖所示的零件，如果，，那么的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．例4.（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖所示，在中，，在上，，是上的任意一點(diǎn)，求證．例5．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，那么在這一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)呢？下面就請(qǐng)你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問(wèn)題：(1)觀察“規(guī)形圖”，試探究與、、之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問(wèn)題：①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊、恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，若，則_____°；②如圖3，平分，平分，若，，則______°；③如圖4，，的10等分線相交于點(diǎn)，，…，，若，，求的度數(shù)．模型2、風(fēng)箏模型（鷹爪模型）或角內(nèi)翻模型圖1圖21）鷹爪模型：結(jié)論：∠A+∠O=∠1+∠2；2）鷹爪模型（變形）：結(jié)論：∠A+∠O=∠2-∠1。圖3圖43）角內(nèi)翻模型:如圖3，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABFE內(nèi)部時(shí)，結(jié)論：2∠C=∠1+∠2；如圖4，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABFE外部時(shí)，結(jié)論：2∠C=∠2-∠1。例1．（2023·四川達(dá)州·八年級(jí)期末）如圖，，，分別是四邊形的外角，判定下列大小關(guān)系：①；②；③；④．其中正確的是．（填序號(hào)）例2．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，將沿翻折后，點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)處，如果，那么的度數(shù)為．

例3．（2023·山西臨汾·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，將△ABC沿直線m翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)D的位置，若∠1?∠2=60°，則∠B的度數(shù)是．例4．（2023·甘肅天水·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖①，、是四邊形的兩個(gè)不相鄰的外角．

(1)猜想并說(shuō)明與、的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖②，在四邊形中，與的平分線交于點(diǎn)．若，，求的度數(shù)；(3)如圖③，、分別是四邊形外角、的角平分線．請(qǐng)直接寫出、與的數(shù)量關(guān)系．例5．（2023春·河南南陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)．在數(shù)學(xué)探究課上，老師出了這樣一個(gè)題：如圖1，銳角內(nèi)部有一點(diǎn)D，在其兩邊和上各取任意一點(diǎn)E，F(xiàn)，連接．求證：．小麗的證法小紅的證法證明：如圖2，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)M，，（

依據(jù)

），又∵，，∴．證明：∵，（量角器測(cè)量所得），∴，（計(jì)算所得）．∴（等量代換）．任務(wù)：(1)小麗證明過(guò)程中的“依據(jù)”是指數(shù)學(xué)定理：________________________；(2)下列說(shuō)法正確的是____________．A．小麗的證法用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明了該定理B．小麗的證法還需要改變的大小，再進(jìn)行證明，該定理的證明才完整C．小紅的證法用特殊到一般的方法證明了該定理D．小紅的證法只要將點(diǎn)D在的內(nèi)部任意移動(dòng)100次，重新測(cè)量進(jìn)行驗(yàn)證，就能證明該定理(3)如圖，若點(diǎn)D在銳角外部，與相交于點(diǎn)G，其余條件不變，原題中結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)?zhí)剿髦g的關(guān)系．例6．（2023春·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是一張三角形的紙片，點(diǎn)、分別是邊、上的點(diǎn)將沿折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)的位置．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，若，求的大?。?2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)落在內(nèi)部時(shí)，若，，求的大小．(3)當(dāng)點(diǎn)落在外部時(shí)，如圖③，若，，則______；如圖④，、和的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·成都市七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝110°，∠C＝80°．將△BMN沿MN翻折，得△FMN，若，，則∠B＝（）A．75° B．85° C．95° D．100°2．（2023·湖北八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，將沿直線折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)D的位置，則的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．無(wú)法確定3．（2023·山東七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，把△ABC沿EF對(duì)折，疊合后的圖形如圖所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，則∠2的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．4．（2023春·湖南衡陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將沿，翻折，頂點(diǎn)A，B均落在點(diǎn)O處，且與重合于線段，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．5．（2023·重慶·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，將沿DE翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，則的值為（

）A． B． C． D．6．（2023·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，∠1，∠2，∠3，∠4滿足的關(guān)系式是（

）A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4B．∠1＋∠2＝∠4－∠3C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3D．∠1＋∠4＝∠2－∠37．（2023·新疆烏魯木齊·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，，，，則（

）

A． B． C． D．8．（2023春·河南洛陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在五邊形中，若去掉一個(gè)的角后得到一個(gè)六邊形，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．9．（2023春·重慶大渡口·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，點(diǎn)，分別為，上一點(diǎn)，將沿直線翻折至同一平面內(nèi)，點(diǎn)落在點(diǎn)處，，分別交邊于點(diǎn)，．若，則的度數(shù)為．

10．（2023·天津·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，，將沿翻折后，點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)處．如果，那么的度數(shù)為．11．（2023·河北石家莊·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，等邊三角形中，點(diǎn)，分別在邊，上，把沿直線翻折，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，，分別交邊于點(diǎn)，，若，則的度數(shù)為．12．（2023·河南信陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，將△ABC沿著DE翻折，若∠1+∠2=70°，則∠B=．13．（2023·吉林白城·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）[題目]如圖①，∠BAC內(nèi)部有一點(diǎn)D．連接BD，CD．著∠A=68°，∠ABD=16°．∠ACD=24°，求∠BDC的大??；[應(yīng)用]如圖②，在五角星中，∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E=____度；[擴(kuò)展]如圖③，在∠BAD內(nèi)部有兩個(gè)向上突起的角，若∠ABE=20°，∠ECF=45°，∠ADF=15°，∠A=70°，則∠BEC+∠CFD=度．14．（2023·浙江·八年級(jí)期末）如圖（1）是一個(gè)三角形的紙片，點(diǎn)D、E分別是邊上的兩點(diǎn)，研究（1）：如果沿直線折疊，寫出與的關(guān)系，并說(shuō)明理由．研究（2）：如果折成圖2的形狀，猜想和的關(guān)系，并說(shuō)明理由．研究（3）：如果折成圖3的形狀，猜想和的關(guān)系，并說(shuō)明理由．15．（2023·河北唐山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，在四邊形ABCD中，．（1）求證：．（2）如圖1，若DE平分，BF平分的外角，寫出DE與BF的位置關(guān)系，并證明．（3）如圖2，若BF、DE分別平分，的外角，寫出BF與DE的位置關(guān)系，并證明．

16．（2023·成都市·七年級(jí)專題練習(xí)）箭頭四角形模型規(guī)律如圖1，延長(zhǎng)CO交AB于點(diǎn)D，則∠BOC＝∠1+∠B＝∠A+∠C+∠B．因?yàn)榘妓倪呅蜛BOC形似箭頭，其四角具有“∠BOC＝∠A+∠B+∠C”這個(gè)規(guī)律，所以我們把這個(gè)模型叫做“箭頭四角形”．模型應(yīng)用（1）直接應(yīng)用：①如圖2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝________．②如圖3，∠ABE、∠ACE的2等分線（即角平分線）BF、CF交于點(diǎn)F，已知∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，則