專題07 線段中的動態(tài)模型（原卷版）

專題07線段中的動態(tài)模型線段中的動態(tài)模型一直都是一大難點(diǎn)和常考點(diǎn)，它經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn)?？疾闃邮揭彩呛茇S富，和平時(shí)所學(xué)的內(nèi)容結(jié)合在一起考。本專題就線段中的動態(tài)模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。【知識儲備】1、在與線段長度有關(guān)的問題中，常會涉及線段較多且關(guān)系較復(fù)雜的問題，而且題中的數(shù)據(jù)無法直接利用，常設(shè)未知數(shù)列方程。2、線段的動態(tài)模型解題步驟：1）設(shè)入未知量t表示動點(diǎn)運(yùn)動的距離；2）利用和差（倍分）關(guān)系表示所需的線段；3）根據(jù)題設(shè)條件建立方程求解；4）觀察運(yùn)動位置可能的情況去計(jì)算其他結(jié)果。模型1、線段中點(diǎn)、和差倍分關(guān)系中的動態(tài)模型例1．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·七年級期末）如圖，線段厘米，點(diǎn)D和點(diǎn)C在線段AB上，且，．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以4厘米/秒的速度沿射線AD向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C所在位置后立即按照原路原速返回，到達(dá)點(diǎn)D所在位置后停止運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以1厘米/秒的速度沿著射線BC的方向運(yùn)動，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D所在的位置后停止運(yùn)動．點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)Q運(yùn)動的時(shí)間為t秒．（1）求線段AD的長度；（2）當(dāng)點(diǎn)C恰好為PQ的中點(diǎn)時(shí)，求t的值；（3）當(dāng)厘米時(shí)，求t的值．例2．（2022·江蘇蘇州·七年級期末）如圖所示．點(diǎn)A，B，C是數(shù)軸上的三個(gè)點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)，，．(1)點(diǎn)A表示的數(shù)是______；(2)若點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿著數(shù)軸以每秒2個(gè)單位的速度向左運(yùn)動，則經(jīng)過______秒時(shí)，點(diǎn)C恰好是BP的中點(diǎn)；(3)若點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿著數(shù)軸以每秒1個(gè)單位的速度向右運(yùn)動，線段QB的中點(diǎn)為M，當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)Q運(yùn)動了多少秒？請說明理由．例3.（2023秋·江西吉安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，的邊上有一動點(diǎn)P，從距離O點(diǎn)18cm的點(diǎn)M處出發(fā)，沿線段，射線運(yùn)動，速度為3cm/s：動點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線運(yùn)動，速度為2cm/s，點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動時(shí)間是t（s）．

(1)當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動時(shí)，t為何值，能使？(2)若點(diǎn)Q運(yùn)動到距離O點(diǎn)16cm的點(diǎn)N處停止，在點(diǎn)Q停止運(yùn)動前，點(diǎn)P能否追上點(diǎn)Q？如果能，求出t的值；如果不能，請說出理由；(3)若P、Q兩點(diǎn)不停止運(yùn)動，當(dāng)P、Q均在射線上，t為何值時(shí)，它們相距1cm．模型2、線段上動點(diǎn)問題中的存在性（探究性）模型例1．（2023·江蘇南通·七年級月考）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A，C對應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為和4，線段，，，若線段以3cm/秒的速度向右勻速運(yùn)動，同時(shí)線段以1cm/秒的速度向左勻速運(yùn)動．(1)問運(yùn)動多少秒時(shí)？(2)線段與線段從開始相遇到完全離開共經(jīng)過多長時(shí)間？(3)P是線段上一點(diǎn)，當(dāng)B點(diǎn)運(yùn)動到線段上時(shí)，是否存在關(guān)系式．若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由．例2．（2022·廣東·七年級期中）已知線段AB＝m（m為常數(shù)），點(diǎn)C為直線AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），點(diǎn)M、N分別在線段BC、AC上，且滿足CN＝3AN，CM＝3BM．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)C恰好在線段AB中點(diǎn)，且m＝8時(shí)，則MN＝；（2）若點(diǎn)C在點(diǎn)A左側(cè)，同時(shí)點(diǎn)M在線段AB上（不與端點(diǎn)重合），請判斷CN+2AM﹣2MN的值是否與m有關(guān)？并說明理由．（3）若點(diǎn)C是直線AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），同時(shí)點(diǎn)M在線段AB上（不與端點(diǎn)重合），求MN長度（用含m的代數(shù)式表示）．模型3、閱讀理解型（新定義）模型例1．（2022·江蘇淮安·七年級期末）【探索新知】如圖1，點(diǎn)在線段上，圖中共有3條線段：、和，若其中有一條線段的長度是另一條線段長度的兩倍，則稱點(diǎn)是線段的“二倍點(diǎn)”.（1）①一條線段的中點(diǎn)這條線段的“二倍點(diǎn)”；（填“是”或“不是”）②若線段，是線段的“二倍點(diǎn)”，則（寫出所有結(jié)果）【深入研究】如圖2，若線段，點(diǎn)從點(diǎn)的位置開始，以每秒2的速度向點(diǎn)運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動，運(yùn)動的時(shí)間為秒.（2）問為何值時(shí)，點(diǎn)是線段的“二倍點(diǎn)”；（3）同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)的位置開始，以每秒1的速度向點(diǎn)運(yùn)動，并與點(diǎn)同時(shí)停止.請直接寫出點(diǎn)是線段的“二倍點(diǎn)”時(shí)的值.例2．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·七年級校考階段練習(xí)）【概念與發(fā)現(xiàn)】當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上，時(shí)，我們稱n為點(diǎn)C在線段AB上的“點(diǎn)值”，記作．例如，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)時(shí)，即，則；反之，當(dāng)時(shí)，則有．因此，我們可以這樣理解：“”與“”具有相同的含義．【理解與應(yīng)用】(1)如圖，點(diǎn)C在線段AB上．若，，則________；若，則________AB．【拓展與延伸】(2)已知線段，點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，向點(diǎn)B運(yùn)動．同時(shí)，點(diǎn)Q以3cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)，先向點(diǎn)A方向運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A后立即按原速向點(diǎn)B方向返回．當(dāng)P，Q其中一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)均停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t（單位：s）．①小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B向點(diǎn)A方向運(yùn)動時(shí)，的值是個(gè)定值，則m的值等于________；②t為何值時(shí)，．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上，O是原點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)是4，線段（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)）在直線上運(yùn)動，且．下列說法正確的是（）甲：當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，；乙：當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，若P是線段延長線上的點(diǎn)，則；丙：在線段運(yùn)動過程中，若M，N為線段的中點(diǎn)，則線段的長度不變A．甲、乙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙、丙2．（2022·江蘇·無錫市七年級期中）如圖，數(shù)軸上有兩點(diǎn)，點(diǎn)C從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒的速度在線段上運(yùn)動，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒的速度在線段上運(yùn)動．在運(yùn)動過程中滿足，若點(diǎn)M為直線上一點(diǎn)，且，則的值為_______．3．（2022·江蘇宿遷·七年級期末）如圖，C為線段AB上一點(diǎn)，，AC比BC的多5，P，Q兩點(diǎn)分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，分別以3個(gè)單位/秒和1.5個(gè)單位/秒的速度在射線AB上沿AB方向運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為秒，M為BP的中點(diǎn)，N為QM的中點(diǎn)，以下結(jié)論：①；②；③當(dāng)時(shí)，．其中正確的結(jié)論是________．4．（2023秋·河北邢臺·七年級統(tǒng)考期末）已知長方形中，，，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動；同時(shí)，點(diǎn)也從點(diǎn)出發(fā)以每秒3個(gè)單位的速度沿運(yùn)動，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為秒．

（1）當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)在邊；（2）當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動時(shí)，用表示的式子為；（3）點(diǎn)、相遇時(shí)，秒．5．（2022·江蘇·江陰市七年級階段練習(xí)）直線l上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C，若滿足BC＝AB，則稱點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的“半距點(diǎn)”．如圖1，BC＝AB，此時(shí)點(diǎn)C就是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的一個(gè)“半距點(diǎn)”．若M、N、P三個(gè)點(diǎn)在同一條直線m上，且點(diǎn)P是點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)N的“半距點(diǎn)”，MN＝6cm．(1)(2)若點(diǎn)G也是直線m上一點(diǎn)，且點(diǎn)G是線段MP的中點(diǎn)，求線段GN的長度．6．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·七年級統(tǒng)考期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A對應(yīng)數(shù)a，點(diǎn)B對應(yīng)數(shù)b，點(diǎn)C對應(yīng)數(shù)16，且滿足．(1)_______，_______，_______；(2)點(diǎn)P為位于線段上的一點(diǎn)，且滿足，請求出點(diǎn)P在數(shù)軸上所表示的數(shù)；(3)當(dāng)甲以4單位長度/分的度從A出發(fā)，向右運(yùn)動，乙同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，以6單位長度/分的速度向左運(yùn)動，當(dāng)甲到A、B、C的距離之和為40個(gè)單位長度時(shí)，假如甲立即掉頭沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動，請問甲、乙還能碰面嗎？若能，求出碰面的地點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)；若不能，請說明理由．8．（2022·江蘇·七年級統(tǒng)考期末）已知與為同類項(xiàng)，數(shù)軸上兩點(diǎn)A，B對應(yīng)的數(shù)分別為a，b．(1)______，______，線段______；(2)若數(shù)軸上有一點(diǎn)C，使得，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，求的長______；(3)有一動點(diǎn)G從點(diǎn)A出發(fā)，以3個(gè)單位每秒的速度向右方向運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)H從點(diǎn)B出發(fā)，以1個(gè)單位每秒的速度在數(shù)軸上作同方向運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒（），點(diǎn)D為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段上且，在G，H的運(yùn)動過程中，求的值______（用含t的代數(shù)式表示）7．（2022·廣西七年級期中）已知數(shù)軸上三點(diǎn)M，O，N對應(yīng)的數(shù)分別為－3，0，1，點(diǎn)P為數(shù)軸上任意一點(diǎn)，其對應(yīng)的數(shù)為x．(1)如果點(diǎn)P到點(diǎn)M，點(diǎn)N的距離相等，那么x的值是______；(2)數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)M，點(diǎn)N的距離之和是5？若存在，請直接寫出x的值；若不存在，請說明理由．(3)如果點(diǎn)P以每分鐘3個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)O向左運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別以每分鐘1個(gè)單位長度和每分鐘4個(gè)單位長度的速度也向左運(yùn)動，且三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，那么幾分鐘時(shí)點(diǎn)P到點(diǎn)M，點(diǎn)N的距離相等.（直接寫出答案）9．（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）已知線段，點(diǎn)在線段上，且．(1)求線段，的長；(2)點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)且不與點(diǎn)，，重合，線段的中點(diǎn)為，設(shè)①請用含有的代數(shù)式表示線段，的長；②若三個(gè)點(diǎn)，，中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)，則稱，，三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”，請直接寫出使得，，三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”的的值．10．（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）【新知理解】如圖①，點(diǎn)C在線段AB上，若BC=πAC，則稱點(diǎn)C是線段的圓周率點(diǎn)，線段AC、BC稱作互為圓周率伴侶線段．（1）若AC=2，求AB的長；（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)D也是圖①中線段AB的圓周率點(diǎn)（不同于點(diǎn)C），試求出線段BD的長，并判斷AC與BD的數(shù)量關(guān)系；【解決問題】（3）如圖②，現(xiàn)有一個(gè)直徑為1個(gè)單位長度的圓片，將圓片上的某點(diǎn)與數(shù)軸上表示1的點(diǎn)重合，并把圓片沿?cái)?shù)軸向右無滑動性的滾動1周，該點(diǎn)到達(dá)C的位置，求點(diǎn)C所表示的數(shù)；若點(diǎn)M、N是線段OC的圓周率點(diǎn)，求MN的長；（4）圖②中，若點(diǎn)D在射線OC上，且線段CD與O、C、D中某兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段互為圓周率伴侶線段，請直接寫出點(diǎn)D所表示的數(shù)（答案保留π）．11．（2023·新疆·七年級期末）如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為a，B表示的數(shù)為b，且a、b滿足．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒8個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t（t＞0）秒．（1）寫出數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是____________，點(diǎn)B表示的數(shù)是______，點(diǎn)P表示的數(shù)是____________（用含t的式子表示）；（2）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)運(yùn)動時(shí)，M、N分別是PA、PB的中點(diǎn)，求PM－PN的值（3）動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動，若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P運(yùn)動多少秒時(shí)P、Q兩點(diǎn)相距4個(gè)單位長度？12．（2023秋·福建福州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是a，點(diǎn)B表示的數(shù)是b，且，(1)填空：，；(2)在線段上有一點(diǎn)C，滿足，求點(diǎn)C表示的數(shù)；(3)動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒6個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動；動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速移動；動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速移動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，當(dāng)時(shí)，的值是否發(fā)生變化？若不變求出其值；若變化，寫出范圍．13．（2023秋·云南臨滄·七年級統(tǒng)考期末）如圖，C是線段上一點(diǎn)，，，點(diǎn)P從A出發(fā)，以的速度沿向右運(yùn)動，終點(diǎn)為B；點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，以的速度沿向左運(yùn)動，終點(diǎn)為A，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為s

(1)當(dāng)P、Q兩點(diǎn)重合時(shí)，求t的值；(2)是否存在某一時(shí)刻，使得C、P、Q這三個(gè)點(diǎn)中，有一個(gè)點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)?若存在，求出所有滿足條件的t值；若不存在，請說明理由．14．（2023·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，直線上有，，，四個(gè)點(diǎn)，，，．

(1)線段______；(2)動點(diǎn)，分別從A點(diǎn)，點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)沿線段以3/秒的速度，向右運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)后立即按原速向A點(diǎn)返回；點(diǎn)沿線段以1/秒的速度，向左運(yùn)動；點(diǎn)再次到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為（單位：秒）①求，兩點(diǎn)第一次相遇時(shí)，運(yùn)動時(shí)間的值；②求，兩點(diǎn)第二次相遇時(shí)，與點(diǎn)A的距離．15．（2023春·吉林長春·七年級?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)為數(shù)軸原點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，以為邊，在數(shù)軸上方作正方形．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，向右運(yùn)動，速度為每秒個(gè)單位長度，到達(dá)點(diǎn)后點(diǎn)停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為秒．

(1)正方形的邊長是_______．(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動秒時(shí)，則點(diǎn)表示的數(shù)為________(用含的式子表示)．(3)當(dāng)時(shí)求的值．(4)當(dāng)點(diǎn)出發(fā)時(shí)，點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，速度為每秒個(gè)單位長度，向左運(yùn)動到點(diǎn)處立即按原速返回到點(diǎn)停止運(yùn)動，為何值時(shí)，．直接寫出答案答：的值是______．16．（2023秋·廣東珠?！て吣昙壗y(tǒng)考期末）在一條水平直線上，自左向右依次有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，，線段以每秒的速度水平向右運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，線段停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)秒時(shí)，___________，=___________；(2)當(dāng)線段與線段重疊部分為時(shí)，求t的值；(3)當(dāng)秒時(shí)，線段上是否存在點(diǎn)P，使得？若存在，求出此時(shí)的長，若不存在，請說明理由．17．（2022秋·吉林長春·七年級?？计谀┤鐖D，數(shù)軸上點(diǎn)、表示的數(shù)分別為和3，點(diǎn)為原點(diǎn)．動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向終點(diǎn)運(yùn)動，在點(diǎn)出發(fā)的同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)后立即以每秒3個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸向終點(diǎn)運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)運(yùn)動時(shí)間為秒．(1)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)為_________；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的值為_________；(2)①在點(diǎn)由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動的過程中，點(diǎn)表示數(shù)為_________（用含的代數(shù)式表示）；②當(dāng)_________時(shí)，、第一次相遇；(3)點(diǎn)從點(diǎn)返回后，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)運(yùn)動的時(shí)間的值；(4)若在點(diǎn)運(yùn)動的同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動，當(dāng)時(shí)，直接寫出的值．18．（2023秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)