專題07 圓中的最值模型之阿氏圓模型（原卷版）

專題07圓中的最值模型之阿氏圓模型最值問(wèn)題在中考數(shù)學(xué)常以壓軸題的形式考查，“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以高檔題為主，中考說(shuō)明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的阿氏圓問(wèn)題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握?！灸Ｐ捅尘啊恳阎矫嫔蟽牲c(diǎn)A、B，則所有滿足PA=k·PB（k≠1）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”?！灸Ｐ徒庾x】如圖1所示，⊙O的半徑為r，點(diǎn)A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，已知r=k·OB，連接PA、PB，則當(dāng)“PA+k·PB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r，則可說(shuō)明△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值，其中與A與C為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“PA+PC”值最小。如圖3所示：注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸”問(wèn)題中，我們見(jiàn)識(shí)了“k·PA+PB”最值問(wèn)題，其中P點(diǎn)軌跡是直線，而當(dāng)P點(diǎn)軌跡變?yōu)閳A時(shí)，即通常我們所說(shuō)的“阿氏圓”問(wèn)題．【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短及垂線段最短解題。例1．（2020·廣西中考真題）如圖，在Rt中，AB＝AC＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是扇形AEF的上任意一點(diǎn)，連接BP，CP，則BP+CP的最小值是_____．例2．（2022·湖北·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，⊙B的半徑為2，點(diǎn)P是⊙B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PD﹣PC的最大值為_(kāi)____．例3．（2023·成都市·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知菱形的邊長(zhǎng)為4，，的半徑為2，P為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值_______．的最小值_______例4.（2023·北京·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PB的最小值為_(kāi)_______．例5．（2022·江蘇淮安·九年級(jí)期中）問(wèn)題提出：如圖1，在等邊△ABC中，AB=12，⊙C半徑為6，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，BP，求AP+BP的最小值．（1）嘗試解決：為了解決這個(gè)問(wèn)題，下面給出一種解題思路：如圖2，連接CP，在CB上取點(diǎn)D，使CD=3，則有==，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴=，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD．請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+BP的最小值為．（2）自主探索：如圖1，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P為矩形內(nèi)部一點(diǎn)，且PB=3，AP+PC的最小值為．（3）拓展延伸：如圖2，扇形COD中，O為圓心，∠COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，求2PA+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過(guò)程．例6．（2022·重慶·九年級(jí)專題練習(xí)）（1）如圖1，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9，圓B的半徑為6，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么PD＋的最小值為_(kāi)_，PD﹣的最大值為_(kāi)_．（2）如圖2，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠B＝60°，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么PD＋的最小值為_(kāi)_，PD﹣的最大值為_(kāi)_．例7．（2022·江蘇·蘇州九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E為邊AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，且線段EF＝4，點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為_(kāi)____．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（

）A．7 B．5 C． D．2．（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)AB=8，E為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且AE=4，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，CF=2，連接EF，ED，則EFED的最小值為()A．6 B．4 C．4 D．63．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，點(diǎn)A、點(diǎn)在上，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是劣弧上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．4．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，，半徑為2的圓內(nèi)切于．為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作、分別垂直于的兩邊，垂足為、，則的取值范圍為．5．（2023·湖南·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PB的最小值為．6．（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，以點(diǎn)B為圓心作圓B與相切，點(diǎn)P為圓B上任一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．7．（2023·成都市·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，0），B（4，4），點(diǎn)P在半徑為2的圓O上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為

____________．8．（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)D在OB上，且OD＝4，動(dòng)點(diǎn)P在上．求2PC＋PD的最小值．9．（2023·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知菱形的邊長(zhǎng)為8，，圓的半徑為4，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為．10．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，M點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，A為圓心，AB為半徑的圓交AD于點(diǎn)E．點(diǎn)P在弧BE上運(yùn)動(dòng)，則PM+DP的最小值為．11.（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，的半徑為，，Q為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值．的最小值12．（2023·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PB的最小值為．13．（2022·湖北武漢·?？既＃┤鐖D，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，M為AB上一點(diǎn)，且BM＝2，N為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接MN，點(diǎn)B關(guān)于MN對(duì)稱，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P，連接PA，PC，則PA+2PC的最小值為．14．（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）（1）如圖1，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值，的最小值，的最大值．（2）如圖2，已知正方形的邊長(zhǎng)為9，圓B的半徑為6，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值，的最大值，的最小值．（3）如圖3，已知菱形的邊長(zhǎng)為4，，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值和的最大值．的最小值15．（2023秋·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形為平行四邊形，以為直徑的交于點(diǎn)，連接，，，．過(guò)點(diǎn)作直線．過(guò)點(diǎn)作，垂足為．(1)求的值；(2)若，且與交于另一點(diǎn)，求的長(zhǎng)；(3)過(guò)點(diǎn)作，垂足為，當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，求的最大值．16．（2023·山東濟(jì)南·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖1，拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)（），過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M．(1)求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式：(2)設(shè)△PMN的周長(zhǎng)為，△AEN的周長(zhǎng)為，若求m的值．(3)如圖2，在（2）的條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為（），連接、，求的最小值．17．（2023·福建·九年級(jí)統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知一拋物線頂點(diǎn)為，拋物線與軸交于點(diǎn)，交軸于兩點(diǎn)（在的左邊），（1）求出該拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)且不與重合，作軸交直線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，連接，．當(dāng)是以為底邊的等腰三角形時(shí)，為線段上一點(diǎn)，連接，求出的最小值；（3）若直線與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)，以為圓心1為半徑作圓，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；（4）如圖，直線，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，作直線于點(diǎn)，交拋物線于，連接，，，當(dāng)為等邊時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．18．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)任務(wù)．阿波羅尼斯（ApolloniusofPerga），古希臘人（公元前262~190年），數(shù)學(xué)家，寫了八冊(cè)圓錐曲線論著，其中有七冊(cè)流傳下來(lái)，書中詳細(xì)討論了圓錐曲線的各種性質(zhì)，阿波羅尼斯圓是他的論著中一個(gè)著名的問(wèn)題．一動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比等于定比，則點(diǎn)的軌跡是以定比內(nèi)分和外分線段的兩個(gè)分點(diǎn)的連線為直徑的圓，這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱“阿氏圓”．如圖1，點(diǎn)，為兩定點(diǎn)，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，滿足，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上且，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為直徑的圓．下面是“阿氏圓”的證明過(guò)程（部分）：過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．∴，．∴．∴．又∵，∴．∴．∴．∴．如圖2，在圖1（隱去，）的基礎(chǔ)上過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，可知，……任務(wù)：（1）判斷是否平分，并說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)根據(jù)上面的部分證明及任務(wù)（1）中的結(jié)論，完成“阿氏圓”證明的剩余部分；（3）應(yīng)用：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，則點(diǎn)所在圓的圓心坐標(biāo)為_(kāi)_______．19．（2022秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）已知：

圖1