專題08 相似模型之梅涅勞斯（定理）模型與塞瓦（定理）模型（原卷版）

專題08相似模型之梅涅勞斯（定理）模型與塞瓦（定理）模型梅內(nèi)勞斯（Menelaus，公元98年左右），是希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家，梅涅勞斯定理是平面幾何中的一個重要定理。梅涅勞斯（定理）模型：如圖1，如果一條直線與的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點(diǎn)，那么．這條直線叫的梅氏線，叫梅氏三角形．梅涅勞斯定理的逆定理：如圖1，若F、D、E分別是的三邊AB、BC、CA或其延長線的三點(diǎn)，如果，則F、D、E三點(diǎn)共線．圖1圖2塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利數(shù)學(xué)家兼水利工程師．他在1678年發(fā)表了一個著名的定理，后世以他的名字來命名，叫做塞瓦定理。塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)G，延長AG、BG、CG分別交對邊于D、E、F，如圖2，則。注意：①梅涅勞斯（定理）與塞瓦（定理）區(qū)別是塞瓦定理的特征是三線共點(diǎn)，而梅涅勞斯定理的特征是三點(diǎn)共線；②我們用梅涅勞斯（定理）與塞瓦（定理）解決的大部分問題，也添加輔助線后用平行線分線段成比例和相似來解決。例1.已知中，D是BC的中點(diǎn)，經(jīng)過D的直線交AB于E，交CA的延長線于F，求證:例2.如圖，在中，D為BC的中點(diǎn)，．求．例3.如圖所示，內(nèi)三個三角形面積分別5，8，10，四邊形AEFD的面積為x，求x的值．例4.已知AD是的高，點(diǎn)D在線段BC上，且，，作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，連接EF并延長，交BC的延長線于點(diǎn)G，求CG．例5.如圖，CD、BE、AF分別為（不是等邊三角形）的三個外角平分線，分別交AB、AC、BC于D、E、F．證明：D、E、F三點(diǎn)共線．例6．（2022上·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期末）梅涅勞斯（Menelaus）是古希臘數(shù)學(xué)家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內(nèi)容是：如圖（1），如果一條直線與△ABC的三邊AB，BC，CA或它們的延長線交于F、D、E三點(diǎn)，那么一定有．下面是利用相似三角形的有關(guān)知識證明該定理的部分過程：證明：如圖（2），過點(diǎn)A作，交DF的延長線于點(diǎn)G，則有，，∴．請用上述定理的證明方法解決以下問題：(1)如圖（3），△ABC三邊CB，AB，AC的延長線分別交直線l于X，Y，Z三點(diǎn)，證明：．(2)如圖（4），等邊△ABC的邊長為2，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AB上，且，CF與AD交于點(diǎn)E，則AE的長為________．(3)如圖（5），△ABC的面積為2，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，延長BC至D，使，連接FD交AC于E，則四邊形BCEF的面積為________．例7．如圖：P，Q，R分別是△ABC的BC，CA，AB邊上的點(diǎn)．若AP，BQ，CR相交于一點(diǎn)M，求證：．例8.如圖，設(shè)M為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，BM與AC交于點(diǎn)E，CM與AB交于點(diǎn)F，若AM通過BC的中點(diǎn)，求證：EF//BC。例9.如圖，四邊形ABCD的對邊AB和CD，AD、BC分別相交于L、K，對角線AC與BD交于點(diǎn)M，直線KL與BD，AC分別交于F、G，求證：.例10．（2023·山西陽泉·九年級統(tǒng)考期中）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)．塞瓦定理：塞瓦定理載于年發(fā)表的《直線論》，是意大利數(shù)學(xué)家塞瓦的重大發(fā)現(xiàn)．如圖，塞瓦定理是指在內(nèi)任取一點(diǎn)，延長分別交對邊于，則．

任務(wù)：（1）當(dāng)點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)時，求證：點(diǎn)為的中點(diǎn)；（2）若為等邊三角形，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，求的長．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．如圖，在△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)G，若AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3，則AE：EC的值是（）A． B． C． D．2．（河南2022-2023學(xué)年八年級期末）如圖，在中，，，，垂足為，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則的長為（）A． B． C． D．3．（2023上·上海閔行·九年級校考期中）如圖，、、內(nèi)分正的三邊、、均為兩部分，、、相交成的的面積是的面積的（

）A． B． C． D．4．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上一點(diǎn)．射線CF交AB于點(diǎn)E，且，則等于．5．（2023年山西省實(shí)驗(yàn)中學(xué)中考考前適應(yīng)性訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，，．是邊上的中線．將沿方向平移得到．與相交于點(diǎn)，連接并延長，與邊相交于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時，的長為．6．（山西省2021年中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，且，連接并取的中點(diǎn)，連接，若，且，則的長為．7．（2022年山西省太原市九年級下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題）如圖，為的直徑，C為上一點(diǎn)，的切線交的延長線于點(diǎn)D，E為的中點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)F．若，，則的長為．8．（2023·江西景德鎮(zhèn)·九年級校考期末）如圖，三邊，，的延長線分別交直線于，，三點(diǎn)，證明：．（即證明梅涅勞斯定理的其中一種形式）9．（2023上·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期末）梅涅勞斯定理梅涅勞斯（）是古希臘數(shù)學(xué)家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內(nèi)容是：如圖（1），如果一條直線與的三邊AB，BC，CA或它們的延長線交于F、D、E三點(diǎn)，那么一定有．下面是利用相似三角形的有關(guān)知識證明該定理的部分過程：證明：如圖（2），過點(diǎn)A作，交DF的延長線于點(diǎn)G，則有．任務(wù)：（1）請你將上述材料中的剩余的證明過程補(bǔ)充完整；（2）如圖（3），在中，，，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AB上，且，CF與AD交于點(diǎn)E，則________．10．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．塞瓦（GiovanniCeva，1648～1734）意大利水利工程師，數(shù)學(xué)家，塞瓦定理載于1678年發(fā)表的《直線論》一書，塞瓦定理是指如圖1，在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，延長AO，BO，CO分別交對邊于D，F(xiàn)，E，則．下面是該定理的部分證明過程：如圖2，過點(diǎn)A作BC的平行線分別交BE，CF的延長線于點(diǎn)M，N．則∠N＝∠FCB，∠NAF＝∠FBC．∴△NAF∽△CBF．∴①．同理可得△NOA∽△COD．∴②．任務(wù)一：(1)請分別寫出與△MOA，△MEA相似的三角形；(2)寫出由（1）得到的比例線段；任務(wù)二：結(jié)合①②和（2），完成該定理的證明；任務(wù)三：如圖3，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB，垂足為D，點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，連接AE并延長，交BC于點(diǎn)F，連接BE并延長，交AC于點(diǎn)G．小明同學(xué)自學(xué)了上面定理之后解決了如圖3所示的問題，并且他用所學(xué)知識已經(jīng)求出了BF與FC的比是25：16，請你直接寫出△ECG與△EAG面積的比．11．（重慶2022-2023學(xué)年八年級月考）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是線段BC上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接AD，延長BC至點(diǎn)E，使得CE＝CD，過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，再延長