專題08 相似模型之梅涅勞斯（定理）模型與塞瓦（定理）模型（解析版）

專題08相似模型之梅涅勞斯（定理）模型與塞瓦（定理）模型梅內(nèi)勞斯（Menelaus，公元98年左右），是希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家，梅涅勞斯定理是平面幾何中的一個重要定理。梅涅勞斯（定理）模型：如圖1，如果一條直線與的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點，那么．這條直線叫的梅氏線，叫梅氏三角形．梅涅勞斯定理的逆定理：如圖1，若F、D、E分別是的三邊AB、BC、CA或其延長線的三點，如果，則F、D、E三點共線．圖1圖2塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利數(shù)學(xué)家兼水利工程師．他在1678年發(fā)表了一個著名的定理，后世以他的名字來命名，叫做塞瓦定理。塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC內(nèi)任取一點G，延長AG、BG、CG分別交對邊于D、E、F，如圖2，則。注意：①梅涅勞斯（定理）與塞瓦（定理）區(qū)別是塞瓦定理的特征是三線共點，而梅涅勞斯定理的特征是三點共線；②我們用梅涅勞斯（定理）與塞瓦（定理）解決的大部分問題，也添加輔助線后用平行線分線段成比例和相似來解決。例1.已知中，D是BC的中點，經(jīng)過D的直線交AB于E，交CA的延長線于F，求證:【解析】直線截三邊于D、E、F三點，應(yīng)用梅氏定理知：，又∵D是BC的中點，∴BD=DC，∴，即。【點睛】這道題也是梅氏定理的直接應(yīng)用，但是對于梅氏定理的應(yīng)用的難點，在于找梅氏線．例2.如圖，在中，D為BC的中點，．求．【解析】∵HFC是的梅氏線，∴，∵D為BC的中點，，∴，．∴，∴．∵GEC是的梅氏線，∴，∴，∴．∴．∴．【點睛】這道題主要考查多個梅氏定理的應(yīng)用，考查相對綜合．例3.如圖所示，內(nèi)三個三角形面積分別5，8，10，四邊形AEFD的面積為x，求x的值．【解析】有題意知：，，對和截線，由梅氏定理得：，即，∴解得：x=22．【點睛】這道題主要考查梅氏定理和面積問題．例4.已知AD是的高，點D在線段BC上，且，，作于點E，于點F，連接EF并延長，交BC的延長線于點G，求CG．【解析】如圖，設(shè)，EFG是的梅氏線．則由梅涅勞斯定理．顯然的，，于是，得．【點睛】這道題主要考查梅內(nèi)勞斯定理和射影模型的綜合．例5.如圖，CD、BE、AF分別為（不是等邊三角形）的三個外角平分線，分別交AB、AC、BC于D、E、F．證明：D、E、F三點共線．【解析】過C作BE的平行線，則，所以是等腰三角形．則．則有：．同理；．所以．所以D、E、F共線．【點睛】這道題主要是考查梅氏定理逆定理判定三點共線．例6．（2022上·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期末）梅涅勞斯（Menelaus）是古希臘數(shù)學(xué)家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內(nèi)容是：如圖（1），如果一條直線與△ABC的三邊AB，BC，CA或它們的延長線交于F、D、E三點，那么一定有．下面是利用相似三角形的有關(guān)知識證明該定理的部分過程：證明：如圖（2），過點A作，交DF的延長線于點G，則有，，∴．請用上述定理的證明方法解決以下問題：(1)如圖（3），△ABC三邊CB，AB，AC的延長線分別交直線l于X，Y，Z三點，證明：．(2)如圖（4），等邊△ABC的邊長為2，點D為BC的中點，點F在AB上，且，CF與AD交于點E，則AE的長為________．(3)如圖（5），△ABC的面積為2，F(xiàn)為AB中點，延長BC至D，使，連接FD交AC于E，則四邊形BCEF的面積為________．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）如圖，過點作，交的延長線于點，可知△YBX∽△YAE，△ZCX∽△ZAE，可得，代入進(jìn)而可證成立；（2）如圖，過點A作AG∥BC，交CF的延長線于點G，由題意可知，，代入求值即可；（3）如圖5，分別過作，由題意可知，，，有，，對計算求值即可．【詳解】（1）證明：如圖，過點作，交的延長線于點∴故可知△YBX∽△YAE，△ZCX∽△ZAE∴∵∴．（2）解：如圖，過點A作AG∥BC，交CF的延長線于點G∴由題意可知∵D是BC的中點，為等邊三角形∴，在中∵∴解得故答案為：．（3）解：如圖5，分別過作∵圖5同圖1，故可知∵F為AB中點，CD=BC，∴∵∴∴∴∵∴四邊形BCEF的面積為故答案為：．【點睛】本題考查了三角形相似，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識．解題的關(guān)鍵在于證明三角形相似．例7．如圖：P，Q，R分別是△ABC的BC，CA，AB邊上的點．若AP，BQ，CR相交于一點M，求證：．證明：如圖，由三角形面積的性質(zhì)，有，，．以上三式相乘，得．例8.如圖，設(shè)M為△ABC內(nèi)的一點，BM與AC交于點E，CM與AB交于點F，若AM通過BC的中點，求證：EF//BC?！驹斀狻孔C明：在中，∵點D為邊BC的中點，∴．對△ABC和點M應(yīng)用賽瓦定理可得：．∴，∴．即EF//BC；點評：本題考查了賽瓦定理，要熟練掌握定理的內(nèi)容，是解此題的關(guān)鍵．例9.如圖，四邊形ABCD的對邊AB和CD，AD、BC分別相交于L、K，對角線AC與BD交于點M，直線KL與BD，AC分別交于F、G，求證：.對△DKL和點B應(yīng)用賽瓦定理可得：．①對和截線，由梅氏定理得：②由①②得：點評：本題考查了賽瓦定理，要熟練掌握定理的內(nèi)容，是解此題的關(guān)鍵．例10．（2023·山西陽泉·九年級統(tǒng)考期中）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)．塞瓦定理：塞瓦定理載于年發(fā)表的《直線論》，是意大利數(shù)學(xué)家塞瓦的重大發(fā)現(xiàn)．如圖，塞瓦定理是指在內(nèi)任取一點，延長分別交對邊于，則．

任務(wù)：（1）當(dāng)點分別為邊的中點時，求證：點為的中點；（2）若為等邊三角形，，點是邊的中點，求的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）當(dāng)點分別為邊的中點時，會得到，根據(jù)塞瓦定理得，所以，從而得到點為的中點；（2）由△ABC是等邊三角形可得，根據(jù)題意可得BD，DC，CE，EA的長及AF=12-BF，根據(jù)塞瓦定理即可得出BF的長.【詳解】證明：分別為邊的中點，由塞瓦定理，得點為的中點解：為等邊三角形，點是的中點由賽瓦定理，得故答案為（1）見解析；（2）【點睛】本題考查了塞瓦定理的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是理解塞瓦定理，將對應(yīng)的線段長度代入計算即可.課后專項訓(xùn)練1．如圖，在△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點，AD與BE相交于點G，若AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3，則AE：EC的值是（）A． B． C． D．解：法1：對和截線，由梅氏定理得：，∵AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3，∴，∴，∴，故選B.法2：過D作DH∥AC交BE于H，∴△DHG∽△AEG，△BDH∽△CBE，∴，，∴AE＝4DH，CE＝DH，∴，故選：B．2．（河南2022-2023學(xué)年八年級期末）如圖，在中，，，，垂足為，為的中點，與交于點，則的長為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】連結(jié)DE，先由等腰三角形的性質(zhì)得到，再由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得到，然后證出DE是△ABC的中位線，得到，，則，即可解決問題．【詳解】解：連結(jié)DE，如圖所示，在Rt△ABC中，，，∴，∵，∴，∴，∵為的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴，，∴，∴，∴，∵，∴．故選：D【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中心性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理等知識．熟練掌握中位線定理，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·上海閔行·九年級校考期中）如圖，、、內(nèi)分正的三邊、、均為兩部分，、、相交成的的面積是的面積的（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，過作交于設(shè)等邊三角形的邊長為：結(jié)合題意可得：證明證明設(shè)等邊三角形的面積為：可得從而可得答案.【詳解】解：如圖，過作交于設(shè)等邊三角形的邊長為：結(jié)合題意可得：同理：設(shè)等邊三角形的面積為：，的面積是的面積的故選D【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積問題，掌握“作出適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建相似三角形”是解題的關(guān)鍵.4．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上一點．射線CF交AB于點E，且，則等于．解：法1：對和截線，由梅氏定理得：，∵AD是BC邊上的中線，∴，∵，∴，∴，∴法2：如圖：過點D作DG∥EC交AB于G，∵AD是BC邊上的中線，∴GD是△BEC的中位線，∴BD＝CD，BG＝GE．∵＝，∴＝∵DG∥EC，∴＝＝．故答案是：．5．（2023年山西省實驗中學(xué)中考考前適應(yīng)性訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，，．是邊上的中線．將沿方向平移得到．與相交于點，連接并延長，與邊相交于點．當(dāng)點為的中點時，的長為．【答案】/【分析】則E為的中點，得為的中點，證明，推出，在中，利用勾股定理求得，再根據(jù)相似比即可求解．【詳解】解：∵由平移的性質(zhì)得，，∴E為的中點，，∴，∴為的中點，∵D是邊上的中點，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，在中，，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平移的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．6．（山西省2021年中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，點是邊上的一點，且，連接并取的中點，連接，若，且，則的長為．【答案】．【分析】延長BE交AC于點F，過D點作，由可得此時為等腰直角三角形，E為CD的中點且，則，在等腰中，根據(jù)勾股定理求得，長度，由可得,即，由，可得，即，,求得，．【詳解】如下圖，延長BE交AC于點F，過D點作，∵，，∴，，為等腰．由題意可得E為CD的中點，且，∴，在等腰中，，，又∵，在，∴（AAS）∴，∵，，∴，∴，∴，，．故答案為：．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求對應(yīng)邊的長度，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，構(gòu)造合適的相似三角形，綜合運用以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022年山西省太原市九年級下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題）如圖，為的直徑，C為上一點，的切線交的延長線于點D，E為的中點，交的延長線于點F．若，，則的長為．【答案】/【分析】連接OC，BC，根據(jù)為的直徑，可得∠ACB=∠BCD=90°，再由E為的中點，可得CE=BE=DE，從而得到∠BCE=∠CBE，然后根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠ABD=90°，再由OC=OB，可得∠OCF=90°，然后根據(jù)，可得△OBC是等邊三角形，進(jìn)而得到∠A=30°，∠CBD=30°，最后根據(jù)銳角三角函數(shù)，即可求解．【詳解】解：如圖，連接OC，BC，∵為的直徑，∴∠ACB=∠BCD=90°，∵E為的中點，∴CE=BE=DE，∴∠BCE=∠CBE，∵是的切線，∴∠ABD=90°，即∠CBD+∠OBC=90°，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OCB+∠BCE=∠OBC+∠CBD=90°，即∠OCF=90°，∵，∴BC=OB=OC，∴△OBC是等邊三角形，∴∠BOC=∠OBC=60°，∴∠A=30°，∠CBD=30°，∵，∴，∴，故答案為：【點睛】本題主要考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、解直角三角形，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．8．（2023·江西景德鎮(zhèn)·九年級?？计谀┤鐖D，三邊，，的延長線分別交直線于，，三點，證明：．（即證明梅涅勞斯定理的其中一種形式）【答案】見解析【分析】連接CY、AX，設(shè)A到XZ的距離為h1，C到XZ的距離為h2，再根據(jù)“兩個三角形等高時面積之比等于底邊之比”的性質(zhì)，分別列出、、，再計算即可.【詳解】證明：如圖，連接CY、AX設(shè)A到XZ的距離為h1，C到XZ的距離為h2∴∴【點睛】本題考查了三角形的面積計算，作出輔助線，通過面積寫出線段比是解題關(guān)鍵.9．（2023上·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期末）梅涅勞斯定理梅涅勞斯（）是古希臘數(shù)學(xué)家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內(nèi)容是：如圖（1），如果一條直線與的三邊AB，BC，CA或它們的延長線交于F、D、E三點，那么一定有．下面是利用相似三角形的有關(guān)知識證明該定理的部分過程：證明：如圖（2），過點A作，交DF的延長線于點G，則有．任務(wù)：（1）請你將上述材料中的剩余的證明過程補充完整；（2）如圖（3），在中，，，點D為BC的中點，點F在AB上，且，CF與AD交于點E，則________．【答案】（1）見解析；（2）6【分析】（1）由題意可得，然后根據(jù)比例的性質(zhì)可進(jìn)行求證；（2）由（1）可得，進(jìn)而由題意易得，，然后可得，則由勾股定理可得，最后問題可求解．【詳解】解：（1）補充的證明過程如下：，，；（2）根據(jù)梅涅勞斯定理得，∵點D為BC的中點，，，，，∵，，∴AD⊥BC，BD=5，∴在中，，．故答案為6．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．10．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．塞瓦（GiovanniCeva，1648～1734）意大利水利工程師，數(shù)學(xué)家，塞瓦定理載于1678年發(fā)表的《直線論》一書，塞瓦定理是指如圖1，在△ABC內(nèi)任取一點O，延長AO，BO，CO分別交對邊于D，F(xiàn)，E，則．下面是該定理的部分證明過程：如圖2，過點A作BC的平行線分別交BE，CF的延長線于點M，N．則∠N＝∠FCB，∠NAF＝∠FBC．∴△NAF∽△CBF．∴①．同理可得△NOA∽△COD．∴②．任務(wù)一：(1)請分別寫出與△MOA，△MEA相似的三角形；(2)寫出由（1）得到的比例線段；任務(wù)二：結(jié)合①②和（2），完成該定理的證明；任務(wù)三：如圖3，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB，垂足為D，點E為DC的中點，連接AE并延長，交BC于點F，連接BE并延長，交AC于點G．小明同學(xué)自學(xué)了上面定理之后解決了如圖3所示的問題，并且他用所學(xué)知識已經(jīng)求出了BF與FC的比是25：16，請你直接寫出△ECG與△EAG面積的比．【答案】(1)△MOA∽△BOD；△MEA∽△BEC；(2)；．任務(wù)二：證明見解析；任務(wù)三：．【分析】任務(wù)一：可直接通過“8”字型相似得出答案；任務(wù)二：通過相似之間的對應(yīng)邊比例轉(zhuǎn)換得出結(jié)論；任務(wù)三：由任務(wù)一和任務(wù)二得出1，可得出的值，再由△ECG和△EAG為同高，故面積比就等于底邊CG和GA之比．【詳解】（1）解：任務(wù)一：∵M(jìn)N//BC∴△MOA∽△BOD；△MEA∽△BEC；（2）；任務(wù)二：證明：如圖所示：由任務(wù)一可得：；同理可得△OAN∽△ODC；△AFN∽△BFC；∴；∴；∴．任務(wù)三：由任務(wù)一和任務(wù)二可得：在△ABC中，1；∵Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∴AB；∴cos∠BAC；∴；∴AD；∴BD＝AB﹣AD；∵1；∴1；解得；過點E作EH⊥AC于H；∴【點睛】本題主要是根據(jù)“8”字型的相似得出對應(yīng)的邊之比，任務(wù)二的重難點在于各邊比例之間的轉(zhuǎn)換，任務(wù)三中兩個三角形同高，故面積比等于底邊比；本題屬于中等偏.上類題．11．（重慶2022-2023學(xué)年八年級月考）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是線段BC上一動點（不與點B、C重合），連接AD，延長BC至點E，使得CE＝CD，過點E作EF⊥AD于點F，再延長EF交AB于點M．（1）若D為BC的中點，AB＝4，求AD的長；（2）求證：BM＝CD．【答案】（1）；（2）詳見解析．【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AC＝BC＝2，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（2）過M作MH⊥BC于H，連接AE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AE＝AD，求得∠EAC＝∠DAC，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠AME＝∠EAM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD＝MH，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）∵在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC