專題10 三角形中的特殊模型-“8”字模型、“A”字模型與三角板模型（解析版）

專題10.三角形中的特殊模型-“8”字模型、“A”字模型與三角板模型近年來(lái)各地考試中常出現(xiàn)一些幾何導(dǎo)角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題“8”字模型、“A”字模型與三角板模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1、“8”字模型圖1圖28字模型（基礎(chǔ)型）條件：如圖1，AD、BC相交于點(diǎn)O，連接AB、CD；結(jié)論：①；②。8字模型（加角平分線）條件：如圖2，線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD；結(jié)論：2∠P=∠B+∠D例1．（2023秋·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下圖是某工人加工的一個(gè)機(jī)器零件（數(shù)據(jù)如圖），經(jīng)過(guò)測(cè)量不符合標(biāo)準(zhǔn)．標(biāo)準(zhǔn)要求是：，且、、保持不變?yōu)榱诉_(dá)到標(biāo)準(zhǔn)，工人在保持不變情況下，應(yīng)將圖中（填“增大”或“減小”）度．【答案】減小15【分析】延長(zhǎng)EF到H與CD交于H，先利用對(duì)頂角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出DCE=60°，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠DHE=∠E+∠DCE=100°，∠DFE=∠D+∠DHF，由此求解即可．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)EF到H與CD交于H，∵∠DCE=∠ACB=180°-∠A-∠B，∠A=70°，∠B=50°，∴∠DCE=60°，∴∠DHE=∠E+∠DCE=100°，∵∠DFE=∠D+∠DHF，∴∠D=∠DFE-∠DHF=120°-100°=20°，∴∠D從35°減小到20°，減小了15°，故答案為：減小，15．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．例2．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度數(shù)．【答案】540°【分析】如圖所示，由三角形外角的性質(zhì)可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，然后由多邊形的內(nèi)角和公式可求得答案．【詳解】解：如圖所示：由三角形的外角的性質(zhì)可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形外角的性質(zhì)和多邊形的內(nèi)角和公式的應(yīng)用，利用三角形外角和的性質(zhì)將所求各角的和轉(zhuǎn)化為五邊形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵例3．（2022秋·安徽淮北·八年級(jí)?？计谥校白帧钡男再|(zhì)及應(yīng)用：(1)如圖相交于點(diǎn)，得到一個(gè)“字”，試說(shuō)明的理由；(2)如圖，以圖中給的字母為頂點(diǎn)的“字”有多少個(gè)；(3)如圖和的平分線相交于點(diǎn)，利用(1)中的結(jié)論試說(shuō)明的理由．【答案】(1)理由見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等即可解答；（2）根據(jù)題中給出的“字”的概念即可解答；（3）根據(jù)角平分線的定義和三角形的外角的性質(zhì)即可解答．【詳解】（1）解：，∴，∵，．（2）解：圖中有個(gè)“字”分別是：、、、、．（3）解：平分平分，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、對(duì)頂角相等等知識(shí)點(diǎn)，掌握三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．例4．（2023·成都市·八年級(jí)月考）如圖，AC、BD是四邊形ABCD的對(duì)角線，且AC、BD相交于點(diǎn)O．求證：（1）；（2）．（1）在中，，在中，，兩不等式相加得，∴即 （2）應(yīng)用上題的結(jié)論：，，∴．例5．（2023春·廣東深圳·七年級(jí)部?？计谥校┨骄款}(1)如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，則，，，四個(gè)角的數(shù)量關(guān)系是______；(2)如圖2，若，的角平分線，交于點(diǎn)，則與，的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____；(3)如圖3，，分別平分，，當(dāng)時(shí)，試求的度數(shù)（提醒：解決此問(wèn)題可以直接利用上述結(jié)論）；(4)如圖4，如果，，當(dāng)時(shí)，則的度數(shù)為_(kāi)_____．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證明；（2）如圖2，設(shè)，，根據(jù)外角的性質(zhì)得：，，所以，最后由三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論；(3)如圖3，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，根據(jù)（2）的結(jié)論，并將，代入可得結(jié)論；（4）如圖4，同理計(jì)算可得結(jié)論．【詳解】（1）在中，，在中，，∵，∴故答案為：（2）設(shè)，，∵，分別平分，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：（3）由（2）可知：，∵，∴，∴，∴，（4）如圖4，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，設(shè)，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，，，∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用方程的思想思考問(wèn)題．模型2、“A”字模型結(jié)論：①∠3+∠4=∠D+∠E；②∠1+∠2=∠A+180°。例1．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖是某建筑工地上的人字架，若，那么的度數(shù)為．【答案】【分析】根據(jù)平角的定義求出，再利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)、平角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考基礎(chǔ)題．例2．（2023·重慶·八年級(jí)期中）如圖，在中，，若按圖中虛線剪去，則等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，根據(jù)題意可知，，然后結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可推出的度數(shù)．【詳解】解：如圖．∵為直角三角形，，∴，∵，，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵在于得出，．例3．（2023秋·廣西·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，的兩邊上各有一點(diǎn)，連接，求證．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和證明即可．【詳解】解：和是的外角，．又，．【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．例4．（2023·廣東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知在中，，現(xiàn)將一塊直角三角板放在上，使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直角頂點(diǎn)D落在的內(nèi)部，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再說(shuō)明∠DBC+∠DCB=90°，進(jìn)而完成解答．【詳解】解：∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°∴40°-90°=50°故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理成為解答本題的關(guān)鍵．例5．（2023秋·新疆阿克蘇·八年級(jí)統(tǒng)考期末）探索歸納：(1)如圖1，已知為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則．A．

90°

B．

315°

C．

135°

D.270°(2)如圖2，已知中，，剪去后形成四邊形，則度．(3)如圖2，根據(jù)上面的求解過(guò)程，猜想與的關(guān)系是．(4)如圖3，若沒(méi)有剪掉，而是把它折成如圖3的形狀，請(qǐng)猜想與的關(guān)系是．【答案】(1)D(2)240(3)(4)【分析】（1）由三角形的外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，即可得到答案（2）由三角形的外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，即可得到答案（3）由三角形的外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，即可得到答案（4）由三角形的外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，即可得到答案．【詳解】（1）解：，，，故選：D．（2）解：，，，故答案為：240．（3）解：，，，故答案為：．（4）解：連接，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角，關(guān)鍵是掌握三角形的外角的性質(zhì)．例6．（2023春·浙江七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）利用“模型”解決幾何綜合問(wèn)題往往會(huì)取得事半功倍的效果．幾何模型：如圖（1），我們稱它為“A”型圖案，易證明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．運(yùn)用以上模型結(jié)論解決問(wèn)題：（1）如圖（2），“五角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝？分析：圖中A1A3DA4是“A”型圖，于是∠A2DA5＝∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝；（2）如圖（3），“七角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度數(shù)．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)把5個(gè)角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中可得答案；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)把7個(gè)角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中可得答案．【詳解】解：（1）如圖（4），由三角形外角的性質(zhì)可得，∠1＝∠A1+∠A4，∵∠A2DA5＝∠1+∠A3，∴∠A2DA5＝∠A1+∠A4+∠A3，∵∠A2DA5+∠A2+∠A5＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝180°，故答案為：180°；（2）如圖（5），由（1）得，∠1＝∠A1+∠A4+∠A5，∠2＝∠A2+∠A3+∠A6，∵∠1+∠2+∠A7＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7＝180°．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和與三角形外角的性質(zhì)，能夠根據(jù)三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．模型3、三角板模型【模型解讀】由一副三角板拼湊出的幾個(gè)圖形我們稱他們?yōu)槿前迥Ｐ汀D①中：∠A=30°，∠C=60°，圖②中：∠A=∠C=45°，例1．（2023春·四川成都·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，將一副學(xué)生用三角板（一個(gè)銳角為的直角三角形，一個(gè)銳角為的直角三角形）的直角頂點(diǎn)重合并如圖疊放，當(dāng)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：，，，，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．例2．（2022秋·陜西西安·八年級(jí)?？计谀⒁桓比浅甙慈鐖D所示的方式疊放，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出和的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)求解即可．【詳解】解：由三角板的性質(zhì)可得：，，∴，故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形外角性質(zhì)，熟記三角形外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例3．（2022秋·福建廈門(mén)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）將一副三角板如圖擺放，若，點(diǎn)F在邊上，頂點(diǎn)A，C，D在同一直線上，則下列角的大小為的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角板的特征得到特定角的度數(shù)，進(jìn)一步利用外角和內(nèi)角和定理分別計(jì)算出，，的度數(shù)，即可判斷．【詳解】解：由三角板可知：，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴角的大小為的是，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，以及三角板的特征，解題時(shí)要熟練根據(jù)這些性質(zhì)逐步計(jì)算角的度數(shù)．例4．（2023春·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)統(tǒng)考期末）有一副直角三角板、，其中，，．如圖，將三角板的頂點(diǎn)E放在上，移動(dòng)三角板，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A沿向點(diǎn)B移動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)E、C、D始終保持在一條直線上．下列結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，；②逐漸變小；③若直線與直線交于點(diǎn)M，則為定值；④若的一邊與的某一邊平行，則符合條件的點(diǎn)E的位置有3個(gè)．正確的有．（填序號(hào)）

【答案】①③④【分析】①由即可判斷；②過(guò)點(diǎn)C作，即可判斷；③分別討論當(dāng)直線與線段相交、直線與線段的延長(zhǎng)線相交即可判斷；④根據(jù)平行線的判定定理即可進(jìn)行判斷．【詳解】解：①∵，點(diǎn)E、C、D始終保持在一條直線上∴∵∴故①正確；②如圖1：過(guò)點(diǎn)C作

當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)H位置時(shí)，的度數(shù)在逐漸增大∴的度數(shù)在逐漸減小當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)H移動(dòng)到點(diǎn)B位置時(shí)，的度數(shù)在逐漸增大故②錯(cuò)誤；③當(dāng)直線與線段交于點(diǎn)M，如圖2：∵∴∴當(dāng)直線與線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，如圖3：∵∴∴故若直線與直線交于點(diǎn)M，則為定值故③正確；④當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，且，則；當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，且，則；當(dāng)時(shí)，則；∴若的一邊與的某一邊平行，則符合條件的點(diǎn)E的位置有3個(gè)故④正確；故答案為：①③④【點(diǎn)睛】本題以三角板的運(yùn)動(dòng)為背景，考查了平行線的判定、三角形的內(nèi)角和、三角形的外角等知識(shí)點(diǎn)．掌握相關(guān)數(shù)學(xué)結(jié)論是解題關(guān)鍵．例5．（2023春·湖南衡陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）一副三角板如圖1擺放，，，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且平分，現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（當(dāng)點(diǎn)落在射線上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)），設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒．

(1)當(dāng)______秒時(shí)，；當(dāng)______秒時(shí)，；(2)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，與的交點(diǎn)記為，如圖2，若有兩個(gè)內(nèi)角相等，求的值；(3)當(dāng)邊與邊、分別交于點(diǎn)、時(shí)，如圖3，連接，設(shè)，，，試問(wèn)是否為定值？若是，請(qǐng)求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)當(dāng)為6或15或24時(shí)，有兩個(gè)內(nèi)角相等(3)是定值，，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由平行和垂直求出旋轉(zhuǎn)角，結(jié)合旋轉(zhuǎn)速度求出旋轉(zhuǎn)時(shí)間；（2）畫(huà)出圖形，分類討論，①；②；③，求出旋轉(zhuǎn)角，再求出值；（3）找出與，，，有關(guān)的數(shù)量關(guān)系，再把無(wú)關(guān)的角消去，得出結(jié)論．【詳解】（1）如圖，當(dāng)時(shí)，

平分，，，又為的一個(gè)外角，，；如圖，當(dāng)時(shí)，，，，，．故答案為：3；21．（2）①如圖，當(dāng)時(shí)，

，，；②如圖，當(dāng)時(shí)，，，，；③如圖，當(dāng)時(shí)，，，綜上所述：當(dāng)為6或15或24時(shí)，有兩個(gè)內(nèi)角相等．（3）是為定值105，理由如下：是的一個(gè)外角，是的一個(gè)外角，，，又，，，，．【點(diǎn)睛】本題以求三角形旋轉(zhuǎn)時(shí)間為背景，考查了學(xué)生對(duì)圖形的旋轉(zhuǎn)變換、平行的性質(zhì)、垂直的性質(zhì)和求等腰三角形內(nèi)角的掌握情況，第（2）問(wèn)分情況討論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，第（3）問(wèn)找到三個(gè)角之間的關(guān)系是關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果將一副三角板按如圖方式疊放，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，易得，利用三角形的外角的性質(zhì)，得到，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，，∴，∴；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查三角板中角度的計(jì)算，三角形的外角的性質(zhì)．熟練掌握三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，是解題的關(guān)鍵．2．（2023·廣西南寧·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合按如圖放置，，，小明得到下列結(jié)論：①如果，則；②；③如果，則；④如果，則．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定和三角形內(nèi)角和定理逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：∵∠2＝30°，∠CAB＝90°，∴∠1＝60°，∵∠E＝60°，∴∠1＝∠E，∴，故①正確；∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠BAE+∠CAD＝90°﹣∠1+90°+∠1＝180°，故②正確；∵，∠B＝45°，∴∠3＝∠B＝45°，∵∠2+∠3＝∠DAE＝90°，∴∠2＝45°，故③錯(cuò)誤；∵∠CAD＝150°，∠BAE+∠CAD＝180°，∴∠BAE＝30°，∵∠E＝60°，∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°，∴∠4+∠B＝90°，∵∠B＝45°，∴∠4＝45°，∵∠C＝45°，∴∠4＝∠C，故④正確；所以其中正確的結(jié)論有①②④共3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)和判定，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．3．（2023春·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）一副三角板如圖擺放，且，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，由，，，證明，，結(jié)合，利用三角形的外角的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：如圖，

∵，，，∴，，∵，∴，故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，理清楚圖形中角與角之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．4．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）如圖，已知在中，，若沿圖中虛線剪去，則的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用四邊形內(nèi)角和為和直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵在中，，∴，∵，∴故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了直角三角形的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和，解題關(guān)鍵在于根據(jù)四邊形內(nèi)角和為和直角三角形的性質(zhì)求解．5．（2022春·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，沿圖中虛線截去，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)四邊形內(nèi)角和求出∠A+∠B，再利用三角形內(nèi)角和求出∠C即可．【詳解】解：直線DE與AC、BC分別交于E、D，∵∠B+∠A+∠1+∠2=360°，，∴∠B+∠A=360°-260°=100°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°-（∠A+∠B）=80°．故選擇C．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形內(nèi)角和與三角形內(nèi)角和，本題難度不大，只要掌握四邊形內(nèi)角和與三角形內(nèi)角和是解題關(guān)鍵．6．（2022秋·河南商丘·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖所示，五條線段首尾相連形成的圖形中，，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)外角之和求出，，由，求出，再由外角和是即可求出答案．【詳解】解：如圖，，，，，，，，，．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)定理、多邊形外角和定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．7．（2023秋·湖北武漢·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在由線段組成的平面圖形中，，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖標(biāo)記，然后利用三角形的外角性質(zhì)得，，再利用互為鄰補(bǔ)角，即可得答案．【詳解】解：如下圖標(biāo)記，，，，又，，，，故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的外角性質(zhì)與鄰補(bǔ)角的意義，熟練掌握并靈活運(yùn)用三角形的外角性質(zhì)與鄰補(bǔ)角的意義是解答此題的關(guān)鍵．8．（2023·全國(guó)·八年級(jí)期中）如圖，將一副直角三角板如圖放置，．若邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，則．【答案】/15度【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到答案．【詳解】解：由題意得，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了三角板的角度計(jì)算，三角形外角的性質(zhì)的應(yīng)用，正確理解三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝．【答案】900°【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和，可得答案．【詳解】解：連EF，GI，如圖，∵6邊形ABCDEFK的內(nèi)角和＝（6－2）×180°＝720°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2），即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°，∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°，故答案為：900°．【點(diǎn)睛】本題考查了n邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為（n－2）×180°（n≥3的整數(shù)）．10．（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，若，則．【答案】230°【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案為：230°．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握三角形外角性質(zhì)．11．（2023·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)?？计谀┮阎鐖D，∠COD＝90°，直線AB與OC交于點(diǎn)B，與OD交于點(diǎn)A，射線OE與射線AF交于點(diǎn)G．（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA＝36°，則∠OGA＝°．（2）若∠GOA＝∠BOA，∠GAD＝∠BAD，∠OBA＝36°，則∠OGA＝°．（3）將（2）中的“∠OBA＝36°”改為“∠OBA＝α”，其它條件不變，求∠OGA的度數(shù)．（用含α的代數(shù)式表示）（4）若OE將∠BOA分成1：4兩部分，∠GAD═∠BAD，∠ABO＝α（18°＜α＜90°），求∠OGA的度數(shù)．（用含α的代數(shù)式表示）【答案】（1）18；（2）12；（3）α；（4）α+42°或α﹣12°．【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；（3）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；（4）分兩種討論：∠EOD：∠COE=1：4，∠EOD：∠COE=4：1，分別運(yùn)用上述方法即可得到∠OGA的度數(shù)【詳解】解：（1）∵∠BOA＝90°，∠OBA＝36°，∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝126°，∵AF平分∠BAD，OE平分∠BOA，∠BOA＝90°，∴∠GAD＝∠BAD＝63°，∠EOA＝∠BOA＝45°，∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOA＝63°﹣45°＝18°；故答案為：18°；（2）∵∠BOA＝90°，∠OBA＝36°，∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝126°，∵∠BOA＝90°，∠GOA＝∠BOA，∠GAD＝∠BAD，∴∠GAD＝42°，∠EOA＝30°，∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOA＝42°﹣30°＝12°；故答案為12°；（3）∵∠BOA＝90°，∠OBA＝α，∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝90°+α，∵∠BOA＝90°，∠GOA＝∠BOA，∠GAD＝∠BAD，∴∠GAD＝30°+α，∠EOA＝30°，∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOA＝α；（4）當(dāng)∠EOD：∠COE＝1：4時(shí)，∠EOD＝18°，∵∠BAD＝∠ABO+∠BOA＝α+90°，∵∠GAD＝∠BAD，∴∠FAD＝∠BAD＝（α+90°），∵∠FAD＝∠EOD+∠OGA，∴18°+∠OGA＝（α+90°），解得∠OGA＝α+42°；當(dāng)∠EOD：∠COE＝4：1時(shí)，∠EOD＝72°，同理可得∠OGA＝α﹣12°；綜上所述，∠OGA的度數(shù)為α+42°或α﹣12°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義以及三角形外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握：三角形內(nèi)角和為180°，三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．12．（2023春·江西南昌·七年級(jí)南昌二中校考期末）問(wèn)題情景：如圖1，在同一平面內(nèi)，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別位于一塊直角三角板的兩條直角邊，點(diǎn)A與點(diǎn)P在直線的同側(cè)，若點(diǎn)P在內(nèi)部，與的大小是否滿足某種確定的數(shù)量關(guān)系？

(1)特殊探究：若，則度，度，度；(2)類比探索：請(qǐng)猜想與的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)類比延伸：改變點(diǎn)A的位置，使點(diǎn)P在外，其它條件都不變（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由，請(qǐng)直接寫(xiě)出與滿足的數(shù)量關(guān)系式．【答案】(1)125，90，35(2)，理由見(jiàn)解析(3)（2）中的結(jié)論不成立，結(jié)論：或，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理求解即可．（2）猜想：．利用三角形內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題．（3）結(jié)論不成立．分三種情形討論求解即可．【詳解】（1）解：由題意：，，．故答案為125，90，35．（2）猜想：．理由：在中，，∵，∴，∴，又∵在中，，∴，∴，∴．（3）判斷：（2）中的結(jié)論不成立．①如圖3﹣1中，結(jié)論：．理由：設(shè)交于O．

∵，∴，∴．②如圖4﹣2中，結(jié)論：

③如圖3﹣7中，結(jié)論：．

理由：∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．13．（2022春·山西晉城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：凸四邊形的性質(zhì)研究如果把某個(gè)四邊形的任何一邊向兩端延長(zhǎng)，其他各邊都在延長(zhǎng)所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形，凸四邊形是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見(jiàn)的圖形，它有一個(gè)非常有趣的性質(zhì)：任意凸四邊形被對(duì)角線分成的兩對(duì)對(duì)頂三角形的面積之積相等，例如，在圖①中，凸四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，且，的面積分別為則有，證明過(guò)程如下：…任務(wù)：(1)請(qǐng)將材料中的證明過(guò)程補(bǔ)充完整；(2)如圖②，任意凸四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，分別記的面積為，求證：(3)如圖③，在四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，，則四邊形的面積為_(kāi)__________．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)21【分析】（1）根據(jù)三角形的高相同，面積比等于底的比求解即可；（2）分別過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)于點(diǎn)，再根據(jù)三角形的高相同，面積比等于底的比計(jì)算即可；（3）根據(jù)“任意凸四邊形被對(duì)角線分成的兩對(duì)對(duì)頂三角形的面積之積相等”求解即可．【詳解】（1）∵，，；（2）如圖，分別過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)于點(diǎn)．，，，；（3）∵，根據(jù)任意凸四邊形被對(duì)角線分成的兩對(duì)對(duì)頂三角形的面積之積相等，∴，∴四邊形的面積=+++=．故答案為：21【點(diǎn)睛】本題考查了面積及等積變換，掌握三角形的高相同，面積比等于底的比、任意凸四邊形被對(duì)角線分成的兩對(duì)對(duì)頂三角形的面積之積相等是解題的關(guān)鍵．14．（2022·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，AB、CD相交于點(diǎn)O，∠A＝48°，∠D＝46°．(1)若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，求∠BEC的度數(shù)；(2)若直線BM平分∠ABD交CD于F，CM平分∠DCH交直線BF于M，求∠BMC的度數(shù)．

【答案】（1）47°；（2）43°【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及對(duì)頂角相等可得出，由平分線的定義可得出、，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可得出，代入度數(shù)即可得出結(jié)論；（2）由鄰補(bǔ)角互補(bǔ)結(jié)合角平分線可得出，根據(jù)三角形外角性質(zhì)結(jié)合（1）中即可得出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出，代入度數(shù)即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1），，，，，，．平分交于，平分交于，，．，，，．（2），平分交直線于，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定義、角平分線、三角形的外角性質(zhì)、對(duì)頂角以及鄰補(bǔ)角，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理找出；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理找出．本題屬于中檔題，難度不大，但重復(fù)用到三角形內(nèi)角和定義稍顯繁瑣．15．（2023·廣東湛江·八年級(jí)統(tǒng)考期中）問(wèn)題情景：如圖①，有一塊直角三角板放置在上（點(diǎn)在內(nèi)），三角板的兩條直角邊、恰好分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．探究與是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系．(1)特殊探究：若，則____度，____度，____度；(2)類比探索：請(qǐng)?zhí)骄颗c的關(guān)系；(3)類比延伸：如圖②，改變直角三角板的位置，使點(diǎn)在外，三角板的兩條直角邊、仍然分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若不成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由．【答案】(1)；；(2)(3)不成立，，理由見(jiàn)解析【分析】（1）已知，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理易求的度數(shù)，已知，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理易求的度數(shù)，進(jìn)而得到的度數(shù)；（2）由（1）中的度數(shù)，的度數(shù)，相減即可得到與的關(guān)系；（3）由于在中，，在中，，相減即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴．故答案為：；；．（2）與的關(guān)系為：，理由如下：由（1）得：，∵，∴，∴．∴．（3）不成立，存在，理由如下：在中，，在中，∵，∴，∴，∴，∴．∴（2）中的結(jié)論不成立．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和，直角三角形兩銳角互余．三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于．注意運(yùn)用整體法計(jì)算，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是求出，的度數(shù)．16．（2023·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）(1)如圖①，已知△ABC為直角三角形，∠A＝90°，若沿圖中虛線剪去∠A，則∠1＋∠2等于()A．90°

B．135°

C．270°

D．315°(2)如圖②，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四邊形，則∠1＋∠2＝________°；(3)根據(jù)(1)與(2)的求解過(guò)程，請(qǐng)你歸納猜想∠1＋∠2與∠A的關(guān)系是______________．【答案】（1）C；（2）220；（3）∠1＋∠2＝180°＋∠A.【分析】（1）利用了四邊形內(nèi)角和為360°和直角三角形的性質(zhì)求解；（2）根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和求解；（3）根據(jù)（1）（2）可以直接寫(xiě)出結(jié)果；【詳解】解：(1)∵四邊形的內(nèi)角和為360°，直角三角形中兩個(gè)銳角的和為90°，∴∠1＋∠2＝360°－(∠C＋∠B)＝360°－90°＝270°.故選C.(2)在△ABC中，∠A＝40°，∠C＋∠B＝180°－40°=140°∴∠1＋∠2＝360°－(∠C＋∠B)＝220°，故答案是：220.(3)根據(jù)（1）（2）的結(jié)果可得：∠1＋∠2＝180°＋∠A故答案是：∠1＋∠2＝180°＋∠A【點(diǎn)睛】主要考查了三角形的內(nèi)角和外角之間的關(guān)系．（1）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和．（2）三角形的內(nèi)角和是180度．求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180°”這一隱含的條件．17．（2023春·河南洛陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，與的角平分線交于點(diǎn)．

(1)若，，求的度數(shù)；(2)直接寫(xiě)出，，的數(shù)量關(guān)系；(3)若與的大小發(fā)生變化，（2）的結(jié)論是否仍然成立？若成立，說(shuō)明理由，若不成立，寫(xiě)出成立的式子．【答案】(1)(2)(3)（2）的結(jié)論仍然成立，見(jiàn)解析【分析】（1）頂角相等可得，，利用三角形的內(nèi)角和定理得，，兩式相加并利用角平分線的定義和等式的基本性質(zhì)變形可得，，從而求出的度數(shù)；（2）頂角相等可得，，利用三角形的內(nèi)角和定理得，，兩式相加并利用角平分線的定義和等式的基本性質(zhì)變形可得，，從而求出，，的數(shù)量關(guān)系；（3）的解析可得，時(shí)，，的關(guān)系與與的大小無(wú)關(guān)，所以，即（2）的結(jié)論仍然成立．【詳解】（1）解：∵，，∴，，∴，得，，∵與的角平分線交于點(diǎn)，∴，∴，∴；（2）解：∵，，∴，，∴，得，，∵與的角平分線交于點(diǎn)，∴，∴，∴；（3）解：∵，，∴，，∴，得，，∵與的角平分線交于點(diǎn)，∴，∴，此時(shí)，，的關(guān)系與與的大小無(wú)關(guān)，即（2）的結(jié)論仍然成立．【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形的內(nèi)角和定理和角的和與差，掌握三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．18．（2022秋·湖北省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖所示，有一塊直角三角板足夠大，其中，把直角三角板放置在銳角上，三角板的兩邊、恰好分別經(jīng)過(guò)、．(1)若，則______，______，______(2)若，則______．（寫(xiě)出求解過(guò)程）(3)請(qǐng)你猜想一下與所滿足的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)140，90，50；(2)35，過(guò)程見(jiàn)解析；(3)，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）在中，由和三角形內(nèi)角和定理求得，在中，由及三角形內(nèi)角和定理求得，即可求得；（2）按照（1）的過(guò)程即可得到答案；（3）在中，．在中，，利用，即可得到答案．【詳解】（1）在中，，，在中，，，；故答案為：140，90，50．（2）在中，，，在中，，，，故答案為：35；（3）與之間的數(shù)量關(guān)系為：．理由如下：在中，．在中，．，．【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形內(nèi)角和