專題10 圓中的最值模型之瓜豆原理（曲線軌跡）（原卷版）

專題10圓中的最值模型之瓜豆原理（曲線軌跡）動點(diǎn)軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學(xué)生受解析幾何知識的局限和思維能力的束縛，該壓軸點(diǎn)往往成為學(xué)生在中考中的一個坎，致使該壓軸點(diǎn)成為學(xué)生在中考中失分的集中點(diǎn)。掌握該壓軸題型的基本圖形，構(gòu)建問題解決的一般思路，是中考專題復(fù)習(xí)的一個重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原理（動點(diǎn)軌跡為圓弧型）進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。【模型解讀】模型1、運(yùn)動軌跡為圓弧模型1-1.如圖，P是圓O上一個動點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，Q為AP中點(diǎn)．Q點(diǎn)軌跡是？如圖，連接AO，取AO中點(diǎn)M，任意時刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．則動點(diǎn)Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。模型1-2.如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，當(dāng)P在圓O運(yùn)動時，Q點(diǎn)軌跡是？如圖，連結(jié)AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意時刻均有△APO∽△AQM，且相似比為k。則動點(diǎn)Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。模型1-3.定義型：若動點(diǎn)到平面內(nèi)某定點(diǎn)的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧。（常見于動態(tài)翻折中）如圖，若P為動點(diǎn)，但AB=AC=AP，則B、C、P三點(diǎn)共圓，則動點(diǎn)P是以A圓心，AB半徑的圓或圓弧。模型1-4.定邊對定角（或直角）模型1）一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)軌跡是以定邊為直徑的圓或圓?。鐖D，若P為動點(diǎn)，AB為定值，∠APB=90°，則動點(diǎn)P是以AB為直徑的圓或圓弧。2）一條定邊所對的角始終為定角，則定角頂點(diǎn)軌跡是圓?。鐖D，若P為動點(diǎn)，AB為定值，∠APB為定值，則動點(diǎn)P的軌跡為圓弧?！灸Ｐ驮怼縿狱c(diǎn)的軌跡為定圓時，可利用：“一定點(diǎn)與圓上的動點(diǎn)距離最大值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之和，最小值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解。例1．（2023.江蘇九年級期中）如圖，中，于點(diǎn)是半徑為2的上一動點(diǎn)，連結(jié)，若是的中點(diǎn)，連結(jié)，則長的最大值為（）A．3 B． C．4 D．例2.（2023·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，線段為的直徑，點(diǎn)在的延長線上，，，點(diǎn)是上一動點(diǎn)，連接，以為斜邊在的上方作，且使，連接，則長的最大值為．例3．（2022·江蘇南通·?？寄M預(yù)測）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，以點(diǎn)A為圓心，1為半徑作圓，E是⊙A上的任意一點(diǎn)，將線段DE繞點(diǎn)D順時針方向旋轉(zhuǎn)90°并縮短到原來的一半，得到線段DF，連結(jié)AF，則AF的最小值是．

例4．如圖，在矩形紙片ABCD中，，，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD邊上的一個動點(diǎn)，將沿EF所在直線翻折，得到，則的長的最小值是A． B．3 C． D．例5．（2023·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）如圖，為的直徑，C為上一點(diǎn)，其中，，D為上的動點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)M，連接，則線段的最大值為．例5．（2022·河南·二模）如圖，正方形中，，，點(diǎn)坐標(biāo)為，連接，點(diǎn)為邊上一個動點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，當(dāng)取最小值時，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．例6．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，四邊形中，，，，，平分，邊DC、上分別有動點(diǎn)E、F，保持，和相交于點(diǎn)P，則的最小值為．課后專項訓(xùn)練1．（2023秋·河北唐山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)是正六邊形內(nèi)一點(diǎn)，，當(dāng)時，連接，則線段的最小值是（

）

A． B． C．6 D．2．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考二模）如圖，C在以為直徑半圓上，，，點(diǎn)D是弧上的一動點(diǎn)，，連接，則的長的最小值是（

）

A． B．1 C． D．3．（2023春·廣東·九年級專題練習(xí)）如圖，正方形中，，點(diǎn)為邊上一個動點(diǎn)，連接，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，在上截取點(diǎn)使，交于點(diǎn)，連接，則的最小值為（）A． B． C． D．4．（2022·陜西渭南·三模）如圖，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E在BC上，且，點(diǎn)M為矩形內(nèi)一動點(diǎn)，使得，連接AM，則線段AM的最小值為______．5．（2023·安徽合肥·?？家荒＃┤鐖D，在中，，，以為邊作等腰直角，連，則的最大值是（

）A． B． C． D．6．（2023春·浙江寧波·九年級校考階段練習(xí)）如圖，直徑，的夾角為，為上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)，，，重合）．，分別垂直于，，垂足分別為，．若的半徑長為，則的長（）A．隨點(diǎn)運(yùn)動而變化，最大值為 B．等于C．隨點(diǎn)運(yùn)動而變化，最小值為 D．隨點(diǎn)運(yùn)動而變化，沒有最值7．（2023·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，中，，，則邊的最大值為（）A． B． C．8 D．8．如圖，在中，，，，點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動，由點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則點(diǎn)經(jīng)過的路徑長為．9．（2022·江蘇揚(yáng)州·三模）如圖，在等邊△ABC和等邊△CDE中，AB＝6，CD＝4，以AB、AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF．若將△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，則線段AF的最小值是______．10．（2022·廣東·九年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，，M為線段的中點(diǎn)，連接，當(dāng)取最大值時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為__________________．11．（2022·廣東·二模）如圖，在中，AB是的直徑，，AD，BC交于點(diǎn)E，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)G為平面內(nèi)一動點(diǎn)，且，則AG的最小值為__________．12．（2020·四川成都市·中考真題）如圖，在矩形中，，，，分別為，邊的中點(diǎn)．動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿向點(diǎn)運(yùn)動，同時，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿向點(diǎn)運(yùn)動，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．若點(diǎn)的速度是點(diǎn)的速度的2倍，在點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動至點(diǎn)的過程中，線段長度的最大值為_________，線段長度的最小值為_________．13．（2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測）如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90，AC=6、BC=4，點(diǎn)F為射線CB上一動點(diǎn)，過點(diǎn)C作CM⊥AF于M交AB于E，D是AB的中點(diǎn)，則DM長度的最小值是(

)A． B． C．1 D．-214．（2023·廣東深圳·深圳?？寄M預(yù)測）如圖，在矩形中，，，為邊上一動點(diǎn)，為中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，則的最小值為．

15．（2023秋·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，為等腰直角三角形，，，點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，以、為邊作平行四邊形，則的最小值為．

16．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)是正方形的內(nèi)部一個動點(diǎn)（含邊界），且，點(diǎn)在上，，則以下結(jié)論：①的最小值為；②的最小值為；③；④的最小值為；正確的是．

17．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）【實(shí)驗操作】已知線段BC＝2，用量角器作，合作學(xué)習(xí)小組通過操作、觀察、討論后發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)A的位置不唯一，它在以BC為弦的圓弧上（點(diǎn)B、C除外），小麗同學(xué)畫出了符合要求的一條圓弧（圖1）．(1)請你幫助解決小麗同學(xué)提出的問題：①該弧所在圓的半徑長為______；②面積的最大值為______；(2)【類比探究】小亮同學(xué)所畫的角的頂點(diǎn)在圖1所示的弓形內(nèi)部，記為，請你證明；(3)【問題拓展】結(jié)合以上探究活動經(jīng)驗，解決新問題：如圖2，在平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)有一點(diǎn)，過點(diǎn)B作軸，軸，垂足分別為A、C，若點(diǎn)P在線段上滑動（點(diǎn)P可以與點(diǎn)A、B重合），使得的位置有兩個，求m的取值范圍．18．（2022·北京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)對于點(diǎn)給出如下定義：將點(diǎn)向右或向左平移個單