專題10 圓中的最值模型之瓜豆原理（曲線軌跡）（原卷版）

專題10圓中的最值模型之瓜豆原理（曲線軌跡）動點軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學生受解析幾何知識的局限和思維能力的束縛，該壓軸點往往成為學生在中考中的一個坎，致使該壓軸點成為學生在中考中失分的集中點。掌握該壓軸題型的基本圖形，構(gòu)建問題解決的一般思路，是中考專題復習的一個重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原理（動點軌跡為圓弧型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握?！灸Ｐ徒庾x】模型1、運動軌跡為圓弧模型1-1.如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點．Q點軌跡是？如圖，連接AO，取AO中點M，任意時刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．則動點Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。模型1-2.如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，當P在圓O運動時，Q點軌跡是？如圖，連結(jié)AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意時刻均有△APO∽△AQM，且相似比為k。則動點Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。模型1-3.定義型：若動點到平面內(nèi)某定點的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧。（常見于動態(tài)翻折中）如圖，若P為動點，但AB=AC=AP，則B、C、P三點共圓，則動點P是以A圓心，AB半徑的圓或圓弧。模型1-4.定邊對定角（或直角）模型1）一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點軌跡是以定邊為直徑的圓或圓?。鐖D，若P為動點，AB為定值，∠APB=90°，則動點P是以AB為直徑的圓或圓弧。2）一條定邊所對的角始終為定角，則定角頂點軌跡是圓?。鐖D，若P為動點，AB為定值，∠APB為定值，則動點P的軌跡為圓弧?！灸Ｐ驮怼縿狱c的軌跡為定圓時，可利用：“一定點與圓上的動點距離最大值為定點到圓心的距離與半徑之和，最小值為定點到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解。例1．（2023.江蘇九年級期中）如圖，中，于點是半徑為2的上一動點，連結(jié)，若是的中點，連結(jié)，則長的最大值為（）A．3 B． C．4 D．例2.（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖，線段為的直徑，點在的延長線上，，，點是上一動點，連接，以為斜邊在的上方作，且使，連接，則長的最大值為．例3．（2022·江蘇南通·?？寄M預測）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，以點A為圓心，1為半徑作圓，E是⊙A上的任意一點，將線段DE繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)90°并縮短到原來的一半，得到線段DF，連結(jié)AF，則AF的最小值是．

例4．如圖，在矩形紙片ABCD中，，，點E是AB的中點，點F是AD邊上的一個動點，將沿EF所在直線翻折，得到，則的長的最小值是A． B．3 C． D．例5．（2023·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）如圖，為的直徑，C為上一點，其中，，D為上的動點，連接，取中點M，連接，則線段的最大值為．例5．（2022·河南·二模）如圖，正方形中，，，點坐標為，連接，點為邊上一個動點，連接，過點作于點，連接，當取最小值時，點的縱坐標為（

）A． B． C． D．例6．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，四邊形中，，，，，平分，邊DC、上分別有動點E、F，保持，和相交于點P，則的最小值為．課后專項訓練1．（2023秋·河北唐山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點是正六邊形內(nèi)一點，，當時，連接，則線段的最小值是（

）

A． B． C．6 D．2．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考二模）如圖，C在以為直徑半圓上，，，點D是弧上的一動點，，連接，則的長的最小值是（

）

A． B．1 C． D．3．（2023春·廣東·九年級專題練習）如圖，正方形中，，點為邊上一個動點，連接，點為上一點，且，在上截取點使，交于點，連接，則的最小值為（）A． B． C． D．4．（2022·陜西渭南·三模）如圖，在矩形ABCD中，，，點E在BC上，且，點M為矩形內(nèi)一動點，使得，連接AM，則線段AM的最小值為______．5．（2023·安徽合肥·?？家荒＃┤鐖D，在中，，，以為邊作等腰直角，連，則的最大值是（

）A． B． C． D．6．（2023春·浙江寧波·九年級?？茧A段練習）如圖，直徑，的夾角為，為上的一個動點（不與點，，，重合）．，分別垂直于，，垂足分別為，．若的半徑長為，則的長（）A．隨點運動而變化，最大值為 B．等于C．隨點運動而變化，最小值為 D．隨點運動而變化，沒有最值7．（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖，中，，，則邊的最大值為（）A． B． C．8 D．8．如圖，在中，，，，點在以為直徑的半圓上運動，由點運動到點，連接，點是的中點，則點經(jīng)過的路徑長為．9．（2022·江蘇揚州·三模）如圖，在等邊△ABC和等邊△CDE中，AB＝6，CD＝4，以AB、AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF．若將△CDE繞點C旋轉(zhuǎn)一周，則線段AF的最小值是______．10．（2022·廣東·九年級專題練習）如圖，點A，B的坐標分別為為坐標平面內(nèi)一點，，M為線段的中點，連接，當取最大值時，點M的坐標為__________________．11．（2022·廣東·二模）如圖，在中，AB是的直徑，，AD，BC交于點E，點D為的中點，點G為平面內(nèi)一動點，且，則AG的最小值為__________．12．（2020·四川成都市·中考真題）如圖，在矩形中，，，，分別為，邊的中點．動點從點出發(fā)沿向點運動，同時，動點從點出發(fā)沿向點運動，連接，過點作于點，連接．若點的速度是點的速度的2倍，在點從點運動至點的過程中，線段長度的最大值為_________，線段長度的最小值為_________．13．（2022·江蘇無錫·模擬預測）如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90，AC=6、BC=4，點F為射線CB上一動點，過點C作CM⊥AF于M交AB于E，D是AB的中點，則DM長度的最小值是(

)A． B． C．1 D．-214．（2023·廣東深圳·深圳校考模擬預測）如圖，在矩形中，，，為邊上一動點，為中點，為上一點，，則的最小值為．

15．（2023秋·湖北武漢·九年級?？茧A段練習）如圖，為等腰直角三角形，，，點為所在平面內(nèi)一點，，以、為邊作平行四邊形，則的最小值為．

16．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，點是正方形的內(nèi)部一個動點（含邊界），且，點在上，，則以下結(jié)論：①的最小值為；②的最小值為；③；④的最小值為；正確的是．

17．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）【實驗操作】已知線段BC＝2，用量角器作，合作學習小組通過操作、觀察、討論后發(fā)現(xiàn)：點A的位置不唯一，它在以BC為弦的圓弧上（點B、C除外），小麗同學畫出了符合要求的一條圓?。▓D1）．(1)請你幫助解決小麗同學提出的問題：①該弧所在圓的半徑長為______；②面積的最大值為______；(2)【類比探究】小亮同學所畫的角的頂點在圖1所示的弓形內(nèi)部，記為，請你證明；(3)【問題拓展】結(jié)合以上探究活動經(jīng)驗，解決新問題：如圖2，在平面直角坐標系的第一象限內(nèi)有一點，過點B作軸，軸，垂足分別為A、C，若點P在線段上滑動（點P可以與點A、B重合），使得的位置有兩個，求m的取值范圍．18．（2022·北京·中考真題）在平面直角坐標系中，已知點對于點給出如下定義：將點向右或向左平移個單