專題11 動點產(chǎn)生的面積問題、角度問題（中考壓軸?？碱}）（解析版）

專題11動點產(chǎn)生的面積問題、角度問題（中考壓軸?？碱}）（解析版）題目精選自：2023、2024年上海名校及一二模真題，包含動點引起的數(shù)量關系之面積問題、角度問題15道。一、解答題1．（2023上·上海靜安·九年級上海市市北初級中學?？计谀┤鐖D，矩形中，，點是邊上的一個動點，聯(lián)結，過點作，垂足為點.

(1)設，的余切值為，求關于的函數(shù)解析式；(2)若存在點，使得、與四邊形的面積比是，試求矩形的面積；(3)對（2）中求出的矩形，聯(lián)結，當?shù)拈L為多少時，是等腰三角形？【答案】(1)(2)(3)或或1【分析】（1）根據(jù)已知條件矩形和，得出，，從而求出，再根據(jù)求出結果；（2）假設存在，由題意、與四邊形的面積比是，可得，設，證，根據(jù)三角形的相似比，從而求解；（3）過點作，垂足為點，判斷是等腰三角形，要分類討論，①；②；③，根據(jù)三角形相似進行求解．【詳解】（1）解：，，，，∵在矩形中，，∴，則，；（2）：四邊形的面積比是，，，設，則，∵，，，且，，，解得，，∴；（3）①時，過點作，垂足為點，則，，延長交于點，

，，當時，是等腰三角形；②時，則，

，，，則，當時，是等腰三角形；③時，則點在的垂直平分線上，故為中點．

，，，∴，，，即，∴，解得，當時，是等腰三角形，綜上：的長度為或或1．【點睛】此題難度比較大，主要考查矩形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)及等腰三角形的判定，考查知識點比較多，綜合性比較強，另外要注意輔助線的作法．2．（2022上·上海寶山·九年級統(tǒng)考期末）已知在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點、，頂點為點．(1)求拋物線的表達式及頂點的坐標；(2)聯(lián)結，試判斷與是否相似，并證明你的結論；(3)拋物線上是否存在點，使得．如果存在，請求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)，頂點坐標為：；(2)，證明見解析；(3)存在點P，，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)題意設拋物線解析式為：，將點C代入解得，代入拋物線可得函數(shù)解析式；將一般式化為頂點式即可確定頂點坐標；（2）結合圖象，分別求出的三邊長，的三邊長，由勾股定理逆定理可得為直角三角形，且兩個三角形的三條邊對應成比例，即可證明；（3）設存在點P使，作線段AC的中垂線交AC于點E，交AP于點F，聯(lián)結CF，可得，，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，再由勾股定理可得，設，根據(jù)直角坐標系中兩點之間的距離利用勾股定理可得，同理可得=，利用代入消元法解方程即可確定點F的坐標，然后求出直線AF的直線解析式，聯(lián)立拋物線解析式求交點坐標即可得．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過點，，，設拋物線解析式為：，將點C代入可得：，解得：，∴，∴頂點坐標為：；（2）相似，證明如下：如圖所示：為直角三角形且三邊長分別為：，，，的三邊長分別為：，，，∴，∴為直角三角形，∵，∴；（3）解：設存在點P使，作線段AC的中垂線交AC于點E，交AP于點F，聯(lián)結CF，如（2）中圖：∴，，∵，∴，∴為等腰直角三角形，∴，，∴，即解得：，設，∴，，∴，整理得：①，=，即②，將①代入②整理得：，解得：，，∴，，∴或（不符合題意舍去），∴，，設直線FA解析式為：，將兩個點代入可得：，解得：，∴，∴聯(lián)立兩個函數(shù)得：，將①代入②得：，整理得：，解得：，，當時，，∴．【點睛】題目主要考查待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，相似三角形得判定和性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等，理解題意，作出相應輔助線，綜合運用這些知識點是解題關鍵．3．（2022上·上海靜安·九年級上海市民立中學校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點A、C分別在x軸和y軸的正半軸上，點B的坐標為，點P是邊上的一動點（不與C、B重合），連接、，過點O作射線交的延長線于點E，交于點M，．(1)當時，求直線的解析式；(2)設，，在點P的運動過程中，是否存在x，使的面積與的面積之和等于的面積？如果存在，請求出x的值；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，見解析【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定求證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，繼而求得和點P坐標，根據(jù)待定系數(shù)法求直線的解析式；（2）過點E作于點D，交于點F，則，根據(jù)相似三角形的判定求證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得關于的函數(shù)關系式，要使的面積與的面積之和等于的面積，則，繼而求得和，根據(jù)相似三角形的判定求證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，繼而可得的值，代入關于的函數(shù)關系式即可求解．【詳解】（1）根據(jù)題意可得：，，，，當時，則，，在和中，又，，，即，或1（舍去），，，，設直線的解析式為：，則：解得：，當時，直線的解析式為；（2）如圖所示，過點E作于點D，交于點F，則，，，又，，又，，，即，，點P是邊上的一動點（不與C、B重合），，，，，，，，，即，要使的面積與的面積之和等于的面積，則，即，，，，，，，，即，解得：，，，解得：，（舍去），故在點P的運動過程中存在，使的面積與的面積之和等于的面積．【點睛】本題考查相似三角形的判定及其性質(zhì)，矩形的性質(zhì)、坐標與圖形，待定系數(shù)法求解析式，解題的關鍵是熟練掌握并運用相似三角形的判定及其性質(zhì)．4．（2022上·上海青浦·九年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，頂點為的拋物線經(jīng)過點和軸正半軸上的點，．

(1)求這條拋物線的表達式；(2)聯(lián)結，求的度數(shù)；(3)聯(lián)結、、，若在坐標軸上存在一點，使，求點的坐標．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)已知條件求出點的坐標，將，的坐標代入，即可求得、，從而求得拋物線的表達式.（2）應用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出點的坐標，從而求得，進而求得的大小.（3）根據(jù)（2）的結論得出，進而分類討論，即可求解．【詳解】（1）解：∵∴，∵∴，則將，代入得：，解得，∴這條拋物線的表達式為；（2）過點作軸于點，過點作軸于點，∵∴，∴，則∵

∵∴，即，∴，∴.∴.（3）解：∵,∴∵∴，∴，∵∴軸或如圖所示，

當軸時，，當時，，則是等邊三角形，∴，∴，綜上所述，或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，已知特殊角的三角函數(shù)值求角度，等腰三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．5．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，中，，，，是邊上的一個動點，過點作與相交于點，連接，設線段的長為，的面積為．

(1)求與之間的函數(shù)關系式，并指出函數(shù)的定義域；(2)是否存在一個位置的點，使的面積等于的面積的？如果存在，求出的長；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）由已知條件可求出，由，得出，從而算出結果；（2）由的面積等于的面積的，得到方程，解一元二次方程即可求出的長．【詳解】（1）解：過點作于點．

由，可得，又，故．又，，故，代入得．故．（2）過點作于點．

由，∴，故．又的面積是面積的，∴，解得：，(舍去)即．【點睛】考查三角形中一邊平行線性質(zhì)的綜合應用，同時在題目中，注意對于特殊角的利用．6．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）已知：的直徑，C是的中點，D是上的一個動點（不與點A、B、C重合），射線交射線于點E．(1)如圖1，當，求線段的長；(2)如圖2，當點D在上運動時，連接中是否存在度數(shù)保持不變的角？如果存在，請指出這個角并求其度數(shù)；如果不存在，請說明理由；(3)連接，當是以為腰的等腰三角形時，求與面積的比值．【答案】(1)，詳見解析(2)存在，，詳見解析(3)與面積的比值為或或，詳見解析【分析】（1）連，構造直角三角形利用勾股定理求出的長，再利用，求出的長，即可得解；（2）由C為的中點，為直徑得出的度數(shù)為，再利用圓周角定理即可得出答案；（3）分類討論，分點在線段的延長線上和點在線段上，利用勾股定理和面積公式分別求出它們的面積，然后求出比值即可得出答案．【詳解】（1）連，如圖1∵∴，∵C為的中點，為直徑∴在中∴∵∴∴即∴∴∴（2）當D在上運動時，如圖2，在中，為度數(shù)不變的角，理由如下：∵C為的中點，為直徑，∴的度數(shù)∴的度數(shù)為∴所對的圓心角為，圓周角為∴（3）如圖，當點在線段的延長線上，是以為腰的等腰三角形時，當時，連，∵∴由知∴∴∴又∵∴∴為等邊三角形∴∴∴∵為中點∴又∵∴∴，當時∴∵∴∴與，，三點共線矛盾，所以此情況不存在；當點在線段上，且小于或等腰時，過點作交于點，過點作于點，，由點在線段上可知，是以為腰的等腰三角形時，不等于，只能有，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵由知，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴；當點在線段上，且大于時，過點作交于點，過點作于點，同可得，，，∴∴；綜上所述：與面積的比值為或或．【點睛】本題考查了三角形相似，圓周角定理，圓心角定理，勾股定理，等腰三角形等知識的綜合應用，熟練掌握其性質(zhì)，合理作出輔助線是解決此題的關鍵．7．（2023上·上海青浦·九年級?？计谥校┤鐖D，已知，點P是內(nèi)一點，，垂足為點C，，，A是延長線上一點，連接并延長與射線交于點B．(1)當點P恰好是線段的中點時，試判斷的形狀，并說明理由；(2)當?shù)拈L度為多少時，是等腰三角形；(3)設，是否存在適當?shù)膋，使得，若存在，試求出k的值；若不存在，試說明理由．【答案】(1)是直角三角形，理由見解析(2)的值為或或1(3)存在，k的值為【分析】（1）如圖，作于，證明，則，即，解得，，，由，可得，解得，，由，可得，由，可得，然后作答即可；（2）設，，則，，，，由勾股定理得，證明，則，即，解得，，，，由題意知，當是等腰三角形時，分①，②，③，三種情況，根據(jù)等量關系進行求解即可；（2）同理（2），則，，，由，，可得，，則，結合，計算求出滿足要求的的解，進而可求．【詳解】（1）解：是直角三角形，理由如下：∵點P恰好是線段的中點，∴，如圖，作于，∵，∴，∴，∴，即，解得，，，∴，∵，∴，解得，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴是直角三角形；（2）解：設，，則，，，，由勾股定理得，∵，∴，∴，即，解得，，∴，，由題意知，當是等腰三角形時，分①，②，③，三種情況求解；①當時，則，解得，；②當時，則，解得，；③當時，則，解得，或（舍去）；綜上所述，的值為或或1；（3）解：同理（2），則，，∴，∵，，∴，解得，，∵，∴，解得，，∵，∴，解得，或（舍去），∴，∴存在，k的值為．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，正切，三角形內(nèi)角和等知識．熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正切是解題的關鍵．8．（2023·上?！つM預測）如圖1，拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點C.

圖1

圖2(1)求該拋物線的解析式；(2)若點E是拋物線的對稱軸與直線BC的交點，點F是拋物線的頂點，求EF的長；(3)設點P是（1）中拋物線上的一個動點，是否存在滿足的點P？如果存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.（請在圖2中探討）【答案】(1)(2)2(3)當點的坐標分別為，，，時，，理由見解析．【分析】（1）把點A、B的坐標分別代入函數(shù)解析式，列出關于系數(shù)b、c的方程組，通過解方程組求得它們的值即可；（2）結合拋物線的解析式得到點C、F的坐標，利用B、C的坐標可以求得直線BC的解析式，由一次函數(shù)圖像上點的坐標特征和點的坐標與圖形的性質(zhì)進行解答即可；（3）根據(jù)P點在拋物線上設出P點，然后再由S△PAB=8，從而求出P點坐標．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸的兩個交點分別為，，∴，解得．∴所求拋物線的解析式為．（2）解：由（1）知，拋物線的解析式為，則，又，∴．設直線的解析式為，把代入，得，解得，則該直線的解析式為．故當時，，即，∴，即．（3）解：設點，由題意，得，∴，∴，當時，，∴，，當時，，∴，，∴當點的坐標分別為，，，時，．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和待定系數(shù)法求一次函數(shù)以及一次函數(shù)圖像上點的坐標特征，拋物線解析式的三種形式之間的轉(zhuǎn)化，熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)是解答此題的關鍵．9．（2023·上海徐匯·上海市徐匯中學校考一模）如圖，拋物線與軸相交于A、兩點，與軸相交于點，已知點的坐標為，拋物線的對稱軸為直線，點是上方拋物線上的一個動點.(1)求這個拋物線的解析式；(2)當?shù)拿娣e為時，求點的坐標；(3)是否存在點，使得？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)或(3)存在，【分析】(1)利用待定系數(shù)法列方程組求解拋物線的解析式即可；(2)連接，設，即可求得點C的坐標，即可求得、，再根據(jù)，列方程求解即可；(3)過點D作于點E，過點C作于F，設與交于點G，首先根據(jù)矩形的性質(zhì)及，即可證得，據(jù)此即可證得，可得，再由點B、C的坐標，即可求得直線的解析式為，設，則，則，，可得，，即可得方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：點的坐標為，拋物線的對稱軸為直線，，解得：.，所以，拋物線的解析式為：；（2）解：如圖：連接，過點D作于點E，設，，∵點D是上方拋物線上的一個動點，，，令，則，，．，．，的面積為，，∴，整理得：．解得：或，的坐標為或；（3）解：存在點，使得，理由如下：如圖：過點D作于點E，過點C作于F，設與交于點G，四邊形是矩形，，，，，，在和中，，，，設的解析式為：，，解得：，

∴直線的解析式為：，設，則，則，，∵點D是上方拋物線上的一個動點，，，，，，，整理得：，解得，(不合題意，舍去)，∴點D的坐標為．【點睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式，坐標與圖形，不規(guī)則圖形面積的求法，一元二次方程的解法，全等三角形的判定及性質(zhì)，采用數(shù)形結合的思想及正確作出輔助線是解決此題的關鍵．10．（2023·上海嘉定·統(tǒng)考二模）如圖，在直角坐標平面中，點A在y軸的負半軸上，點C在x軸的正半軸上，，拋物線經(jīng)過A、B、C三點．(1)求點A、B的坐標；(2)聯(lián)結、、，當時，①求拋物線表達式：②在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得?如果存在，求出所有符合條件的點P坐標；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)①；②存在，或【分析】（1）求出拋物線的對稱軸為，再根據(jù)A的坐標為，，即可作答；（2）①證明，即有，進而可得，問題得解；②先求出，設點P的坐標為，設拋物線對稱軸交于N點，利用待定系數(shù)法可求出直線的解析式為：，，則有：，則有，進而可得，解方程即可求解．【詳解】（1）該拋物線的表達式為，，該拋物線的對稱軸為，拋物線經(jīng)過點A，且點A在y軸的負半軸上，點A的坐標為，，對稱軸為，點B的坐標為；（2）①，，，，，，，，，，，，，即：，，點C在x軸的正半軸上，點C的坐標為，將代入中，解得，該拋物線的表達式為；②存在，理由如下：，，，，設點P的坐標為，如圖，拋物線對稱軸交于N點，，，利用待定系數(shù)法可求出直線的解析式為：，即時，，即，則有：，，即有：，解得，或者，點P的坐標為或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關鍵．11．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A（3，0），C（0，1）．將矩形OABC繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形OA′B′C′．設直線BB′與x軸交于點M、與y軸交于點N，拋物線y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點C′、M、N．解答下列問題：（1）求出該拋物線所表示的函數(shù)解析式；（2）在拋物線上有一點E，且點E在C′的左側(cè)，過點E作EF⊥x軸，垂足為點F，若△EFM與△MON相似，求點E的坐標；（3）在拋物線上是否存在一點P（C′點除外），使得∠PMN＝∠OMN，若存在，寫出點P坐標，不存在，寫出理由．【答案】（1）；（2）點E的坐標為（﹣2，﹣）或（﹣5，﹣20）；（3）P（，）【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定點A′、C′、B′的坐標，用待系數(shù)法求直線BB′的解析式，再求出點N、點M的坐標，將點M、N、C′的坐標代入y＝ax2+bx+c列方程組，解方程組求出a、b、c的值即可；（2）設E（x，），則F（x，0），由∠MFE＝∠MON＝90°，且△EFM∽△MON，可得或，列方程求出點E的坐標即可；（3）作OQ⊥MN于點Q，延長OQ到點G，使GQ＝OQ，作GR⊥y軸于點R，作射線MG交拋物線于點P，則∠PMN＝∠OMN，求出點G的坐標，再求出直線MP的解析式且與拋物線的解析式組成方程組，解方程組即可求出點P的坐標．【詳解】解：（1）如圖1，∵四邊形OABC是矩形，且A（3，0），C（0，1），∴B（3，1），由旋轉(zhuǎn)得A′（0，3），C（﹣1，0），且四邊形OA′B′C′是矩形，∴B′（﹣1，3），設直線BB′的解析式為y＝kx+m，則，解得，∴直線BB′的解析式為，當x＝0時，y＝；當y＝0時，則，解得x＝5，∴M（5，0），N（0，），把M（5，0）、N（0，）、C'（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c，得，解得，∴該拋物線的解析式為：．（2）如圖1，設E（x，），則F（x，0），∵∠MFE＝∠MON＝90°，且△EFM∽△MON，∴或，若，則，整理得x2﹣3x﹣10＝0，解得x1＝﹣2，x2＝5（不符合題意，舍去），∴E（﹣2，）；若，則，整理得x2＝25，解得x1＝﹣5，x2＝5（不符合題意，舍去），∴E（﹣5，﹣20），綜上所述，點E的坐標為（﹣2，）或（﹣5，﹣20）．（3）如圖2，作OQ⊥MN于點Q，延長OQ到點G，使GQ＝OQ，GR⊥y軸于點R，作射線MG交拋物線于點P，∵MN垂直平分OG，∴GM＝OM，∴∠PMN＝∠OMN，∵∠MON＝90°，ON＝，OM＝5，

∴MN＝，∴×OQ＝××5＝S△MON，解得OQ＝，∴OG＝2OQ＝2，∵∠OQM＝90°，∴∠ROG＝90°﹣∠QOM＝∠OMN，∵∠ORG＝∠MON＝90°，∴△ROG∽△OMN，∴，∴RG＝，OR＝×5＝4，∴G（2，4），設直線MP的解析式為y＝px+n，則，解得，∴直線MP的解析式為，由，得，（不符合題意，舍去），∴P（，）．【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合問題，主要涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，理解二次函數(shù)圖像與基本性質(zhì)，熟練求解函數(shù)解析式，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關鍵．12．（2023上·上海浦東新·九年級?？茧A段練習）已知拋物線y＝ax2+bx+5與x軸交于點A(1，0)和點B(5，0)，頂點為M．點C在x軸的負半軸上，且AC＝AB，點D的坐標為(0，3)，直線l經(jīng)過點C、D．(1)求拋物線的表達式；(2)點P是直線l在第三象限上的點，連接AP，且線段CP是線段CA、CB的比例中項，求tan∠CPA的值；(3)在(2)的條件下，連接AM、BM，在直線PM上是否存在點E，使得∠AEM＝∠AMB？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）E的坐標為（-2，-4）或（4，-4）.【詳解】試題分析：（1）把A、B兩點帶入拋物線解析式，求得a、b的值，即可得到拋物線解析式；（2）由AC=AB且點C在點A的左側(cè)，及線段CP是線段CA、CB的比例中項，可得CP=，由兩邊對應成比例且夾角相等的三角形相似，可得△CPA∽△CBP，由此∠CPA=∠CBP.過P作PH⊥x軸于H，易得PH=4，H（-7，0），BH=12.由于P（-7，-4），可求；（3）分兩種情況：點E在M左側(cè)和點E在M右側(cè)討論即可.試題解析：（1）∵拋物線與x軸交于點A（1，0），B（5，0），∴,解得∴拋物線的解析式為.（2）∵

A（1，0），B（5，0），∴OA=1，AB=4.∵AC=AB且點C在點A的左側(cè)，∴AC=4.∴CB=CA+AB=8.∵線段CP是線段CA、CB的比例中項，∴

.∴

CP=.

又∵∠PCB是公共角，∴△CPA∽△CBP.

∴∠CPA=∠CBP.過P作PH⊥x軸于H.∵

OC=OD=3，∠DOC=90°，∴∠DCO=45°.∴∠PCH=45°

∴PH=CH=CP=4，∴H（-7，0），BH=12，∴P（-7，-4），∴，tan∠CPA=.（3）∵拋物線的頂點是M（3，-4），又∵

P（-7，-4），∴PM∥x軸.當點E在M左側(cè)，則∠BAM=∠AME.∵∠AEM=∠AMB，

∴△AEM∽△BMA.∴,∴.∴ME=5，∴E（-2，-4）.

過點A作AN⊥PM于點N，則N（1，-4）.當點E在M右側(cè)時，記為點，∵∠AN=∠AEN，∴點與E關于直線AN對稱，則（4，-4）.綜上所述，E的坐標為（-2，-4）或（4，-4）.點睛：本題主要考查二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義，證得△AEM∽△BMA是解題的關鍵.13．（2023·上海閔行·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系中，拋物線線經(jīng)過，點C是該拋物線上的一個動點，連接，與y軸的正半軸交于點D．設點C的橫坐標為m．(1)求該拋物線的表達式；(2)當時，求點C到x軸的距離；(3)如果過點C作x軸的垂線，垂足為點E，連接，當時，在中是否存在大小保持不變的角？如果存在，請指出并求其度數(shù)；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在；【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）過點C作y軸的垂線，垂足為點N，過點A作y的垂線，垂足為點M，設點，證明，求出，，然后分兩種情況進行討論，求出結果即可；（3）過點C作y軸的垂線，垂足為點P，過點A作的垂線，垂足為點Q，設點C的坐標為，求出，得出，在中，根據(jù)，，得出，即可得出答案．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過和，∴，∴，∴該拋物線的表達式為．（2）解：過點C作y軸的垂線，垂足為點N，過點A作y的垂線，垂足為點M，如圖所示：設點，∵，∴，，∵軸，軸，即，∵，∴，∴，即，解得：，，①當時，點，設直線的解析式為，將，代入得：，解得：，∴直線的解析式為，令代入得：，則，此時點在y軸的負半軸，不符合題意，舍去；②當時，點，設直線的解析式為，將，代入得：，解得：，∴直線的解析式為，令代入得：，則，符合題意，則點C到x軸的距離為．（3）解：存在，．過點C作y軸的垂線，垂足為點P，過點A作的垂線，垂足為點Q，如圖所示：由題意得，點C的坐標為，∵軸，得，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，在中，，，∴∵軸，∴．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用，求一次函數(shù)解析式，三角形相似的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是作出輔助線，數(shù)形結合，注意分類討論．14．（2023·上海長寧·統(tǒng)考一模）已知拋物線與軸交于點和，與軸交于點，為坐標原點，且．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點是線段上的一個動點（不與點、重合），過點作軸的垂線交拋物線于點，連接．