數(shù)學(xué)本章整合教案：第一章計數(shù)原理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精本章整合知識網(wǎng)絡(luò)專題探究專題一兩個計數(shù)原理分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理是本部分內(nèi)容的基礎(chǔ)．在應(yīng)用題的考查中，經(jīng)常要用它對問題進(jìn)行分類或分步分析求解,如何靈活利用這兩個原理對問題進(jìn)行分析往往是解應(yīng)用題的關(guān)鍵．兩個原理的共同之處是研究做一件事，完成它共有的方法種數(shù)問題，而它們的主要差異是“分類”與“分步”．分類計數(shù)原理的特點是：類與類相互獨立，每類方法均可獨立完成這件事（可類比物理中的“并聯(lián)”電路來理解）；分步計數(shù)原理的特點是：步與步相互依存，且只有當(dāng)所有步驟均完成了（每個步驟缺一不可），這件事才算完成(可類比物理中的“串聯(lián)"電路來理解)．運用時要掌握其計數(shù)本質(zhì),合理恰當(dāng)?shù)剡\用兩個原理．排列組合是解決計數(shù)問題的一種重要方法．但要注意，計數(shù)問題的基本原理是分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理，是最普遍使用的，不要把計數(shù)問題等同于排列組合問題．【例1】某地政府召集5家企業(yè)的負(fù)責(zé)人開會，其中甲企業(yè)有2人到會，其余4家企業(yè)各有1人到會，會上有3人發(fā)言,則這3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為()A．14B．16C．20D．48思路點撥：根據(jù)題意分成兩類，一類是甲企業(yè)有1人發(fā)言，另兩個發(fā)言人出自其余4家企業(yè)，另一類是3人全來自其余4家企業(yè),采用分類加法和分步乘法計數(shù)原理可得解．解析：分兩類,第一類：甲企業(yè)有1人發(fā)言，有2種情況，另兩個發(fā)言人出自其余4家企業(yè)，有6種情況,由分步乘法計數(shù)原理,得N1＝2×6＝12;第二類:3人全來自其余4家企業(yè),有4種情況．綜上可知，共有N＝N1＋N2＝12＋4＝16種情況．答案：B專題二排列與組合應(yīng)用題求解策略將具體問題抽象為排列問題或組合問題,是解排列、組合應(yīng)用題的關(guān)鍵一步．(1）正確分類或分步，恰當(dāng)選擇兩個計數(shù)原理．(2)有限制條件的排列組合問題應(yīng)優(yōu)先考慮“受限元素”或“受限位置”．而排列組合討論的問題共同點是“元素不相同”，不同點是排列與順序有關(guān)，組合與順序無關(guān)．【例2】在由數(shù)字1，2，3，4,5組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)中，大于23145且小于43521的數(shù)共有______個．解析：解法一:1,2，3，4,5組成無重復(fù)五位數(shù),大于23145且小于43521的有(1）形如后兩位只能填5,4,∴有1個數(shù)合要求．(2)形如第三位選4或5都滿足要求，后兩位任選都可．∴符合要求的數(shù)有Ceq\o\al(1,2）·Aeq\o\al(2，2）＝4個．(3)形如第二位選4或5，后三位任選，符合要求的數(shù)有Ceq\o\al（1,2）·Aeq\o\al(3,3)＝12個．（4）形如第二位開始，均可任選，符合要求的數(shù)有Aeq\o\al（4，4）＝24個．(5）形如第二位選1或2，后三位任選，符合要求的數(shù)有Ceq\o\al（1,2）·Aeq\o\al（3，3）＝12個．同理形如符合要求的數(shù)有2Aeq\o\al（2,2）＝4個，形如符合要求的數(shù)有1個．∴符合要求的數(shù)有(1＋4＋12）×2＋24＝58個．解法二：可用類似方法算出小于43521的5位數(shù)個數(shù)與小于等于23145的五位數(shù)個數(shù)．兩數(shù)之差即為小于43521且大于23145的五位數(shù)個數(shù)．答案：58專題三二項式定理的應(yīng)用對于二項式定理的考查常出現(xiàn)兩類問題，一類是直接運用通項公式來求特定項．另一類，需要運用轉(zhuǎn)化思想化歸為二項式定理來處理問題．從近幾年高考命題趨勢來看，對于本部分知識的考查以基礎(chǔ)知識和基本技能為主，難度不大，但不排除與其他知識的交匯,具體歸納如下：（1）考查通項公式問題．(2）考查系數(shù)問題：①涉及項的系數(shù)、二項式系數(shù)以及系數(shù)的和．②一般采用通項公式或賦值法解決．(3)可轉(zhuǎn)化為二項式定理解決問題．【例3】（1＋2eq\r(x））3(1－eq\r(3,x))5的展開式中x的系數(shù)是()A．－4B．－2C．2D．4思路點撥:利用(a＋b）n展開式中第r＋1項Tr＋1＝Ceq\o\al（r,n)an－rbr（r＝0,1,2，…，n）將兩項展開,確定x的系數(shù)．解析：(1＋2eq\r(x））3（1－eq\r(3,x))5＝（1＋＋12x＋)(1－＋－10x＋－)，x的系數(shù)是－10＋12＝2.答案：C【例4】eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\r(3，2）＋\f(1，\r（3,3））))n展開式中的第7項與倒數(shù)第7項的比是1∶6，則展開式中的第7項為________．思路點撥:本題是應(yīng)用二項式定理通項公式的典型問題，解答本題的關(guān)鍵是利用方程思想列出方程，求出n。解析：第7項：T7＝Ceq\o\al(6,n）(eq\r(3,2))n－6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,\r(3，3)）））6,倒數(shù)第7項：Tn－5＝Ceq\o\al（n－6，n)(eq\r（3,2)）6eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,\r（3，3））))n－6，由eq\f(C\o\al(6,n）\r（3，2）n－6\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,\r(3，3))）)6，C\o\al(n－6，n）\r（3，2）6\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,\r（3,3））)）n－6）＝eq\f（1，6)，∴n＝9,故T7＝Ceq\o\al(