蘇科版九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍專題1.3圓的基本性質(zhì)13大考點精講精練(知識梳理+典例剖析+變式訓(xùn)練)特訓(xùn)(原卷版+解析)

2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【蘇科版】專題1.3圓的基本性質(zhì)13大考點精講精練（知識梳理+典例剖析+變式訓(xùn)練）【知識梳理】一、圓的有關(guān)定義1、圓的定義：在一個個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑.2、弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦.3.直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，直徑等于半徑的2倍4.半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.5.弧、優(yōu)弧、劣?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.弧用符號“⌒”表示，大于半圓的弧叫做優(yōu)?。ǘ嘤萌齻€字母表示）；小于半圓的弧叫做劣弧二、垂徑定理及其推論1.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧2.推論：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.（3）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.3、圓的對稱性（1）圓的軸對稱性：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸.（3）圓的中心對稱性：圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形.三、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理1、圓心角頂點在圓心的角叫做圓心角.2、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦想等，所對的弦的弦心距相等.[來源:Z_xx_k.Com]推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.學(xué)-科網(wǎng)四、圓周角定理1、圓周角頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.2、圓周角定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.3、推論:推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等.推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑.推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.五、圓內(nèi)接四邊形：（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：①圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．②圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對角）．（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應(yīng)用時要注意是對角，而不是鄰角互補(bǔ)．【典例剖析】【考點1】圓的認(rèn)識【考點1】圓的基本概念【例1】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）有下列說法：（1）直徑是弦；（2）經(jīng)過三點一定可以作圓；（3）圓有無數(shù)條對稱軸；（4）優(yōu)弧的長度大于劣弧的長度．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1.1】（2021·江蘇無錫·九年級期中）有下列說法：①任意三點確定一個圓；②任意一個三角形有且僅有一個外接圓；③長度相等的兩條弧是等??；④直徑是圓中最長的弦，其中正確的是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【變式1..2】（2022·江蘇宿遷·九年級期末）下列說法正確的是（

）A．一個三角形只有一個外接圓 B．三點確定一個圓C．長度相等的弧是等弧 D．三角形的外心到三角形三條邊的距離相等【變式1..3】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知AB是半徑為2的圓的一條弦，則AB的長不可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【考點2】點與圓的位置關(guān)系【例2】（2022·江蘇泰州·八年級階段練習(xí)）若⊙O的直徑為10，點A到圓心O的距離為6，那么點A與⊙O的位置關(guān)系是（

）A．點A在⊙O外 B．點A在⊙O上 C．點A在⊙O內(nèi) D．不能確定【變式2.1】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）平面內(nèi)有兩點P，O，⊙O的半徑為5，若PO=6，則點P與⊙O的位置關(guān)系是（

）A．圓內(nèi) B．圓上 C．圓外 D．圓上或圓外【變式2.2】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4．以點A為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)點C在⊙A內(nèi)且點B在⊙A外時，r的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式2..3】（2021·江蘇常州·九年級期中）數(shù)軸上有兩個點A和B，點B表示實數(shù)6，點A表示實數(shù)a，⊙B半徑為4．若點A在⊙B內(nèi)部，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜2或a＞10 B．2＜a＜10 C．a(chǎn)＞2 D．a(chǎn)＜10【考點3】點到圓上一點距離的最值【例3】（2022·江蘇徐州·二模）如圖，點A，B的坐標(biāo)分別為A(3，0)、B(0，3)，點C為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點，且BC=2，點M為線段AC的中點，連接OM，則OM的最大值為（

）A．322+1 B．32+2【變式3.1】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，已知空間站A與星球B距離為a，信號飛船C在星球B附近沿圓形軌道行駛，B，C之間的距離為b．?dāng)?shù)據(jù)S表示飛船C與空間站A的實時距離，那么S的最大值是（

）A．a(chǎn) B．b C．a(chǎn)+b D．a(chǎn)?b【變式3.2】（2019·江蘇鎮(zhèn)江·九年級期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D是以點A為圓心，2為半徑的圓上一點，連接BD，M為BD的中點，則線段CM長度的最大值為

(

)

A．7 B．3.5 C．4.5 D．3【變式3.3】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(0，1)、B(0，3)、C(0，-1)、D(4，4)，點P為平面內(nèi)一點且滿足PC⊥PB，則線段PD的最大值為（）A．10 B．8 C．7 D．9【考點4】垂徑定理【例4】（2022·江蘇·九年級單元測試）如圖，在⊙O中，AB是弦，半徑OC⊥AB于點D，若OC＝10，AB＝16，則CD的長為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【變式4.1】（2022·江蘇·九年級期中）如圖，在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，AB⊥CD于E，AB＝8，OD＝5，則CE的長為（

）A．4 B．2 C．2 D．1【變式4.2】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）如圖，CD是圓O的弦，直徑AB⊥CD，垂足為E，若AB＝12，BE＝3，則四邊形ACBD的面積為(

)A．363 B．243 C．183 D．723【變式4.3】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，AB為⊙O的直徑，AE為⊙O的弦，C為優(yōu)弧ABE的中點，CD⊥AB，垂足為D，AE=8，DB=2，則⊙O的半徑為（

）A．6 B．5 C．42 D．【考點5】垂徑定理的應(yīng)用【例5】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）“圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸長一尺，問徑如何？”這段話的意思是：如圖，現(xiàn)有圓形木材，埋在墻壁里，不知木材大小，用鋸子將它鋸下來，深度CD為1寸，鋸長AB為1尺（10寸），問圓材直徑幾寸？則該問題中圓的直徑為（

）A．22寸 B．24寸 C．26寸 D．28寸【變式5.1】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）“圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個問題，“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何?”用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言表述是：如圖所示，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，CE為1寸，AB為10寸，求直徑CD的長．依題意，CD長為（

）A．252寸 B．13寸 C．25寸 【變式5.2】（2021·江蘇·啟東折桂中學(xué)九年級階段練習(xí)）把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知EF=CD=16cm，則球的半徑為（

）A．103cm B．10cm C．102cm D．83cm【變式5.3】（2019·江蘇鎮(zhèn)江·九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P的圓心坐標(biāo)是(-3，a)(a>3)，半徑為3，函數(shù)y=-x的圖像被⊙P截得的弦AB的長為42，則a的值是

(

A．4 B．3+2 C．32 D．【考點6】平行弦問題【例6】（2021·江蘇·九年級專題練習(xí)）⊙O的半徑為10cm，弦AB//CD，AB=16，CD=12，則AB、CD間的距離是：（

）A．14 B．2 C．14或2 D．以上都不對【變式6.1】（2021·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知AB、CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB＝6，CD＝8，⊙O的半徑為5，則AB與CD的距離是（）A．1 B．7 C．1或7 D．無法確定【變式6.2】（2021·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知⊙O的半徑為5，兩條平行弦AB、CD的長分別為6和8，求這兩條平行弦AB與CD之間的距離（）A．3 B．4 C．1或7 D．10【變式6.3】（2021·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥BC于點D，AC＝4，則OD的長為（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5【考點7】弧、弦、圓心角問題【例7】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）如圖，點A，B，C，D是⊙O上的四個點，且AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．AB=CD B．OE=OF C．∠AOB=∠COD 【變式7.1】（2022·江蘇·九年級單元測試）下列命題是真命題的是（

）A．相等的圓心角所對的弧，所對的弦相等B．兩邊及其一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等C．線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等D．菱形的對角線互相平分且相等【變式7.2】（2022·江蘇揚(yáng)州·二模）將一張正方形的透明紙片ABCD和⊙O按如圖位置疊放，頂點A、D在⊙O上，邊AB、BC、CD分別與⊙O相交于點E、F、G、H，則下列弧長關(guān)系中正確的是（

）A．AD=AE C．AF=DG 【變式7.3】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在半徑為5的⊙A中，弦BC，DE所對的圓心角分別是∠BAC，∠DAE．若DE=6，∠BAC+∠DAE=180°，則弦BC的弦心距為（

）.A．412 B．342 C．4【考點8】三角形的外接圓與外心【例8】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，若⊙O的半徑為2，則△ABC的面積為（

）A．32 B．3 C．23 【變式8.1】（2020·江蘇·無錫市第一女子中學(xué)九年級期中）已知方程x2－7x＋12＝0的兩根恰好是一個直角三角形的兩條直角邊的長，則這個直角三角形的外接圓的直徑為（）A．2.5 B．6 C．5 D．12【變式8.2】（2021·江蘇鹽城·九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A、B、C的坐標(biāo)為（1，3）、（5，3）、（1，－1），則△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（

）A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2）【變式8.3】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）下列命題是真命題的是（

）A．內(nèi)錯角相等 B．四邊形的外角和為180°C．等腰三角形兩腰上高相等 D．平面內(nèi)任意三點都可以在同一個圓上【考點9】圓周角定理【例9】（2022·江蘇泰州·九年級期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于以BD為直徑的⊙O，CA平分∠BCD，若四邊形ABCD的面積是30cm2，則AC=______cm．【變式9.1】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BE是⊙O的直徑，連接AE、BD．若∠BCD＝115°，則∠EBD的大小為_______．【變式9.2】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）如圖，直線l與⊙O相交于點B、D，點A、C是直線l兩側(cè)的圓弧上的動點，若⊙O的半徑為1，∠A＝30°，那么四邊形ABCD的面積的最大值是_______．【變式9.3】（2021·江蘇·南通田家炳中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在半徑為32的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D是AC?的中點，AC與BD交于點E．若E是BD的中點，則AC【考點10】四邊形外接圓【例10】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）已知⊙O半徑為r，弦AB＝r，則AB所對圓周角的度數(shù)為______．【變式10.1】（2021·江蘇鎮(zhèn)江·九年級期中）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，將BC沿BC翻折，BC交AC與點D，連接BD，若∠BAC＝68°，則∠ABD＝____．【變式10.2】（2022·江蘇宿遷·九年級期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為AB延長線上一點，若∠AOC＝150°，求∠EBC的度數(shù)．【變式10.3】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=80°，以BC邊的中點O為圓心，12BC長為半徑畫圓，該圓分別交AB，AC邊于點D，E，P是圓上一動點（與點D，E不重合），連結(jié)PD，PE，則∠DPE【考點11】圓有關(guān)線段計算綜合問題【例11】（2021·江蘇·南通市八一中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知AB是半圓O的直徑，OD⊥弦AC于D，過點O作OE∥AC交半圓O于點E，過點E作EF⊥AB于F．若AC＝2，(1)求OF的長；(2)連接BE，若BE=23，求半徑OA【變式11.1】（2022·江蘇·九年級單元測試）如圖，AB是⊙O的直徑，CB是弦，OD⊥CB于E，交BC于D，連接AC．(1)請寫出三個不同類型的正確結(jié)論；(2)若CB=8，ED=2，求⊙O的半徑．【變式11.2】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）如圖，在⊙O中，直徑AB=10，弦AC=8，連接BC．(1)尺規(guī)作圖：作半徑OD交AC于E，使得點E為AC中點；(2)連接AD，求三角形OAD的面積．【變式11.3】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）在《折疊圓形紙片》綜合實踐課上，小東同學(xué)展示了如下的操作及問題：(1)如圖1，⊙O1的半徑為4cm，通過折疊圓形紙片，使得劣弧AB沿弦AB折疊后恰好過圓心O1(2)如圖2，O2C⊥弦AB，垂足為點C，劣弧AB沿弦AB折疊后經(jīng)過O2C的中點D，【考點12】圓有關(guān)作圖及應(yīng)用問題【例12】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．(1)利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母（保留作圖痕跡，不寫作法）．①作△ABC的外接圓⊙O；②以線段AC為一邊，在AC的右側(cè)作等邊三角形ACD；③連接BD，交⊙O于點E，連接AE；(2)在（1）中所作的圖中，若AB=4，BC=2，則線段AE的長為______．【變式12.1】（2022·江蘇·泰興市教師發(fā)展中心二模）（1）如圖1，△ABD和△CBD中，___________．從下列4個信息“①AB=BC，②∠BAD=∠BCD，③BD平分∠ABC，④AD=DC”中，選取兩個將其序號填寫在橫線上，使得結(jié)論AC⊥BD成立，并說明理由．（2）如圖2，已知3個點，只用圓規(guī)作出半徑為OM的⊙O與點M，N所在直線的另一個交點（不寫作法，保留作圖痕跡）．【變式12.2】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）已知：如圖，△ABC．

(1)求作：△ABC的外接圓（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)若△ABC是直角三角形，則其外接圓的圓心在；(3)若△ABC是邊長為6的等邊三角形，其外接圓的圓心O到BC邊的距離為3，求其外接圓的面積．【變式12.3】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）將圖中的破輪子復(fù)原，已知弧上三點A，B，C．（1）用尺規(guī)作出該輪的圓心O，并保留作圖痕跡；（2）若△ABC是等腰三角形，設(shè)底邊BC＝8，腰AB＝5，求該輪的半徑R．【考點13】圓有關(guān)性質(zhì)綜合問題【例13】（2022·江蘇·九年級期中）如圖，點A、P、B、C是⊙O上的四個點，且∠APC=∠CPB=60°．(1)證明：△ABC是正三角形．(2)若⊙O的半徑是6，求正△ABC的邊長．【變式13.1】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O的直徑，∠ADB=∠CDB．(1)試判斷△ABC的形狀，并給出證明；(2)若AB=2，AD=1，求CD【變式13.2】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=AC，BD交AC于點E，延長AD，BC交于點F，且CF=AC．(1)求證∶CD=AD；(2)若AD=3，AB=22，求FD【變式13.3】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）如圖，D是△ABC的BC邊上一點，連結(jié)AD，作△ABD的外接圓O，將△ADC沿直線AD折疊，點C的對應(yīng)點E落在⊙O上．(1)若∠ABC=30°，如圖1．①求∠ACB的度數(shù)．②若AD=DE，求∠EAB的度數(shù)．(2)若AD=BE,AC=4,CD=22022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【蘇科版】專題1.3圓的基本性質(zhì)13大考點精講精練（知識梳理+典例剖析+變式訓(xùn)練）【知識梳理】一、圓的有關(guān)定義1、圓的定義：在一個個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑.2、弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦.3.直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，直徑等于半徑的2倍4.半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.5.弧、優(yōu)弧、劣弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.弧用符號“⌒”表示，大于半圓的弧叫做優(yōu)?。ǘ嘤萌齻€字母表示）；小于半圓的弧叫做劣弧二、垂徑定理及其推論1.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧2.推論：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.（3）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.3、圓的對稱性（1）圓的軸對稱性：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸.（3）圓的中心對稱性：圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形.三、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理1、圓心角頂點在圓心的角叫做圓心角.2、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦想等，所對的弦的弦心距相等.[來源:Z_xx_k.Com]推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.學(xué)-科網(wǎng)四、圓周角定理1、圓周角頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.2、圓周角定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.3、推論:推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等.推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑.推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.五、圓內(nèi)接四邊形：（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：①圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．②圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對角）．（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應(yīng)用時要注意是對角，而不是鄰角互補(bǔ)．【典例剖析】【考點1】圓的認(rèn)識【考點1】圓的基本概念【例1】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）有下列說法：（1）直徑是弦；（2）經(jīng)過三點一定可以作圓；（3）圓有無數(shù)條對稱軸；（4）優(yōu)弧的長度大于劣弧的長度．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)連接圓上任意兩點的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧進(jìn)行分析．【詳解】解：直徑是圓中最長的弦，說法正確，符合題意；經(jīng)過不在同一條直線上的三點一定可以作圓，不符合題意；圓有無數(shù)條對稱軸，符合題意；沒有強(qiáng)調(diào)是在同圓或等圓中，不符合題意；正確的說法有2個，故選：B．【點睛】本題主要考查了圓的認(rèn)識，關(guān)鍵是掌握直徑、弧的定義，注意在同圓或等圓中，優(yōu)弧的長度一定大于劣弧的長度．【變式1.1】（2021·江蘇無錫·九年級期中）有下列說法：①任意三點確定一個圓；②任意一個三角形有且僅有一個外接圓；③長度相等的兩條弧是等??；④直徑是圓中最長的弦，其中正確的是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】D【分析】根據(jù)與圓相關(guān)的基本概念、性質(zhì)和定義進(jìn)行逐項分析判斷即可．【詳解】解：①任意不在同一直線上的三個點確定一個圓，故原說法錯誤；②任意一個三角形三邊的中垂線有且僅有一個交點，則對應(yīng)的外接圓有且僅有一個，故原說法正確；③在同圓或等圓中，長度相等的兩條弧是等弧，故原說法錯誤；④連接圓上任意兩點的線段是弦，其中直徑是圓中最長的弦，故原說法正確；∴說法正確的有：②④，故選：D．【點睛】本題考查和圓相關(guān)的基本概念與性質(zhì)，掌握圓的基本性質(zhì)，理解圓中的相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．【變式1.2】（2022·江蘇宿遷·九年級期末）下列說法正確的是（

）A．一個三角形只有一個外接圓 B．三點確定一個圓C．長度相等的弧是等弧 D．三角形的外心到三角形三條邊的距離相等【答案】A【分析】根據(jù)確定圓的條件、三角形外接圓、圓的有關(guān)概念判斷即可．【詳解】解：A、一個三角形只有一個外接圓，故本選項正確；B、不在同一直線上的三點確定一個圓，故本選項錯誤；C、在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧，長度相等的弧不一定能夠重合，故本選項錯誤；D、三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，故本選項錯誤；故選：A．【點睛】本題考查了命題與定理以及圓有關(guān)的知識，關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)性質(zhì)和定理，能對命題的真假進(jìn)行判斷．【變式1.3】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知AB是半徑為2的圓的一條弦，則AB的長不可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根據(jù)半徑求得直徑的長，然后利用圓內(nèi)最長的弦是直徑作出判斷即可．【詳解】解：∵圓的半徑為2，∴直徑為4，∵AB是一條弦，∴AB的長應(yīng)該小于等于4，不可能為5，故選：D．【點睛】本題考查了圓的認(rèn)識，解題的關(guān)鍵是了解圓內(nèi)最長的弦是直徑．【考點2】點與圓的位置關(guān)系【例2】（2022·江蘇泰州·八年級階段練習(xí)）若⊙O的直徑為10，點A到圓心O的距離為6，那么點A與⊙O的位置關(guān)系是（

）A．點A在⊙O外 B．點A在⊙O上 C．點A在⊙O內(nèi) D．不能確定【答案】A【分析】根據(jù)題意得⊙O的半徑為5，則點A到圓心O的距離大于圓的半徑，則根據(jù)點與圓的位置關(guān)系可判斷點A在⊙O內(nèi)．【詳解】解：∵⊙O的直徑為10，∴⊙O的半徑為5，而圓心O的距離為6，∴點A在⊙O外．故選：A．【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則有點P在圓外?d>r；點P在圓上?d=r；點P在圓內(nèi)?d<r．【變式2.1】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）平面內(nèi)有兩點P，O，⊙O的半徑為5，若PO=6，則點P與⊙O的位置關(guān)系是（

）A．圓內(nèi) B．圓上 C．圓外 D．圓上或圓外【答案】C【分析】根據(jù)點到圓心的距離小于半徑即可判斷點P在⊙O的內(nèi)部．【詳解】∵⊙O的半徑為5，PO＝6，∴點P到圓心O的距離大于半徑，∴點P在⊙O的外部，故選C．【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，理解點與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式2.2】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4．以點A為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)點C在⊙A內(nèi)且點B在⊙A外時，r的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先利用勾股定理可得AC=3，再根據(jù)“點C在⊙A內(nèi)且點B在⊙A外”可得3<r<5，由此即可得出答案．【詳解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4，∴AC=A∵點C在⊙A內(nèi)且點B在⊙A外，∴AC<r<AB，即3<r<5，觀察四個選項可知，只有選項C符合，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理、點與圓的位置關(guān)系，熟練掌握點與圓的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式2.3】（2021·江蘇常州·九年級期中）數(shù)軸上有兩個點A和B，點B表示實數(shù)6，點A表示實數(shù)a，⊙B半徑為4．若點A在⊙B內(nèi)部，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜2或a＞10 B．2＜a＜10 C．a(chǎn)＞2 D．a(chǎn)＜10【答案】B【分析】先表示出AB=|6-a|，從而列出|6-a|＜4，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵點B表示實數(shù)6，點A表示實數(shù)a，∴AB=|6-a|，∵⊙B半徑為4．若點A在⊙B內(nèi)部，∴|6-a|＜4，即：2＜a＜10，故選B．【點睛】本題主要考查點與圓的位置關(guān)系，熟練掌握點在圓的內(nèi)部則點與圓心的距離小于圓的半徑，是解題的關(guān)鍵．【考點3】點到圓上一點距離的最值【例3】（2022·江蘇徐州·二模）如圖，點A，B的坐標(biāo)分別為A(3，0)、B(0，3)，點C為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點，且BC=2，點M為線段AC的中點，連接OM，則OM的最大值為（

）A．322+1 B．32+2【答案】A【分析】根據(jù)同圓的半徑相等可知：點C在半徑為2的⊙B上，通過畫圖可知，C在BD與圓B的交點時，OM最小，在DB的延長線上時，OM最大，根據(jù)三角形的中位線定理可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，∵點C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，BC=2，∴C在⊙B上，且半徑為2，取OD=OA=3，連接CD，∵AM=CM，OD=OA，∴OM是△ACD的中位線，∴OM=12=CD當(dāng)OM最大時，即CD最大，而D，B，C三點共線時，當(dāng)C在DB的延長線上時，OM最大，∵OB=3，OD=3，∠BOD=90°，∴BD=32∴CD=32∴OM=12CD=322+1，即故選A【點睛】本題考查了坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識，確定OM為最大值時點C的位置是關(guān)鍵，也是難點．【變式3.1】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，已知空間站A與星球B距離為a，信號飛船C在星球B附近沿圓形軌道行駛，B，C之間的距離為b．?dāng)?shù)據(jù)S表示飛船C與空間站A的實時距離，那么S的最大值是（

）A．a(chǎn) B．b C．a(chǎn)+b D．a(chǎn)?b【答案】C【分析】根據(jù)：三角形的任意兩邊的長度之和大于第三邊，可得：只有空間站A與星球B、飛船C在同一直線上時，S取到最大值，據(jù)此求解即可．【詳解】解：空間站A與星球B、飛船C在同一直線上時，S取到最大值a+b．故選：C．【點睛】此題主要考查了兩點間的距離的求法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形的任意兩邊的長度之和大于第三邊．【變式3.2】（2019·江蘇鎮(zhèn)江·九年級期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D是以點A為圓心，2為半徑的圓上一點，連接BD，M為BD的中點，則線段CM長度的最大值為

(

)

A．7 B．3.5 C．4.5 D．3【答案】B【分析】作AB的中點E，連接EM、CE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及三角形的中位線定理求得CE和EM的長，然后在△CEM中根據(jù)三邊關(guān)系即可求解．【詳解】解：作AB的中點E，連接EM、CE．在直角△ABC中，AB=∵E是直角△ABC斜邊AB上的中點，∴CE=∵M(jìn)是BD的中點，E是AB的中點，∴ME=∴在△CEM中，5∴3故選：B【點睛】本題考查了軌跡，要結(jié)合勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答．【變式3.3】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(0，1)、B(0，3)、C(0，-1)、D(4，4)，點P為平面內(nèi)一點且滿足PC⊥PB，則線段PD的最大值為（）A．10 B．8 C．7 D．9【答案】C【分析】根據(jù)點P為平面內(nèi)一點且滿足PC⊥PB，得到點P的運(yùn)動軌跡是以點A為圓心，半徑是2的圓，可得當(dāng)線段PD過圓心時，PD的值最大，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵A，B，C三點的坐標(biāo)為：(0，1)，(0，3)，(0，-1)，則有：AB=AC=2，又∵點P為平面內(nèi)一點且滿足PC⊥PB，則點P的運(yùn)動軌跡是以點A為圓心，半徑是2的圓，如圖示，當(dāng)線段PD過圓心時，PD的值最大，過D點作DF⊥x軸，交x軸于點F，過A點作AE⊥DF，交DF于點E，∵D點的坐標(biāo)是(4，4)，A點的坐標(biāo)是(0，1)，∴AE=4，DE=3，則：AD=5∴PD=AD+AP=5+2=7，故選：C．【點睛】本題考查了圓的基本性質(zhì)，勾股定理，平面坐標(biāo)系內(nèi)的兩點的距離，點的運(yùn)動等知識點，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點4】垂徑定理【例7】（2022·江蘇·九年級單元測試）如圖，在⊙O中，AB是弦，半徑OC⊥AB于點D，若OC＝10，AB＝16，則CD的長為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】連接OA，如圖，利用垂徑定理得到AD=BD=12AB=8，再利用勾股定理計算出OD，然后計算OC-OD【詳解】解：連接OA，如圖，∵OC⊥AB，∴AD=BD=12AB=在Rt△OAD中，OD=A∴CD=OC-OD=10-6=4．故選C．【點睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。咀兪?.1】（2022·江蘇·九年級期中）如圖，在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，AB⊥CD于E，AB＝8，OD＝5，則CE的長為（

）A．4 B．2 C．2 D．1【答案】B【分析】連接OA，如圖，先根據(jù)垂徑定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理計算出OE＝3，然后計算OC﹣OE即可．【詳解】解：連接OA，如圖，∵AB⊥CD，∴AE＝BE=12在Rt△OAE中，OE=O∴CE＝OC﹣OE＝5﹣3＝2．故選：B．【點睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【變式7.2】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）如圖，CD是圓O的弦，直徑AB⊥CD，垂足為E，若AB＝12，BE＝3，則四邊形ACBD的面積為(

)A．363 B．243 C．183 D．723【答案】A【分析】連接OC，首先根據(jù)題意可求得OC=6，OE=3，根據(jù)勾股定理即可求得CE的長，再根據(jù)垂徑定理即可求得CD的長，據(jù)此即可求得四邊形ACBD的面積．【詳解】解：如圖，連接OC，∵AB＝12，BE＝3，∴OB＝OC＝6，OE＝3，∵AB⊥CD，∴在Rt△COE中，EC=O∴CD＝2CE＝63，∴四邊形ACBD的面積＝12故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，垂徑定理，熟練掌握和運(yùn)用垂徑定理是解決本題的關(guān)鍵．【變式7.3】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，AB為⊙O的直徑，AE為⊙O的弦，C為優(yōu)弧ABE的中點，CD⊥AB，垂足為D，AE=8，DB=2，則⊙O的半徑為（

）A．6 B．5 C．42 D．【答案】B【分析】如圖，連接CO，延長CO交AE于點T．設(shè)⊙O的半徑為r．證明△AOT≌△COD(AAS)，推出CD=AT=4，在Rt△COD中，根據(jù)OC【詳解】解：如圖，連接CO，延長CO交AE于點T，設(shè)⊙O的半徑為r，∵AC∴CT⊥AE，∴AT=TE=1在△AOT和△COD中，{∠ATO=∠CDO=90°∴△AOT≌△COD(AAS)，∴CD=AT=4，在Rt△COD中，OC∴r∴r=5，故選：B．【點睛】此題主要考查圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解答該題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，該題屬于中考?？碱}型．【考點5】垂徑定理的應(yīng)用【例5】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）“圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸長一尺，問徑如何？”這段話的意思是：如圖，現(xiàn)有圓形木材，埋在墻壁里，不知木材大小，用鋸子將它鋸下來，深度CD為1寸，鋸長AB為1尺（10寸），問圓材直徑幾寸？則該問題中圓的直徑為（

）A．22寸 B．24寸 C．26寸 D．28寸【答案】C【分析】設(shè)圓材的圓心為O，延長CD，交⊙O于點E，連接OA，由題意知CE過點O，且OC⊥AB，AD=BD=5，設(shè)圓形木材半徑為r，可知OD=r?1，OA=r，根據(jù)OA【詳解】解：設(shè)圓材的圓心為O，延長CD，交⊙O于點E，連接OA，如圖所示：由題意知：CE過點O，且OC⊥AB，則AD=BD=1設(shè)圓形木材半徑為r，則OD=r?1，OA=r．∵OA∴r2解得r=13，即⊙O的半徑為13寸，∴⊙O的直徑為26寸．故選：C．【點睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理等知識，熟練掌握垂徑定理及勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式5.1】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）“圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個問題，“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何?”用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言表述是：如圖所示，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，CE為1寸，AB為10寸，求直徑CD的長．依題意，CD長為（

）A．252寸 B．13寸 C．25寸 【答案】D【分析】連結(jié)AO，根據(jù)垂徑定理可得：AE=12AB=5，然后設(shè)⊙O半徑為R，則OE【詳解】解：連結(jié)AO，∵CD為直徑，CD⊥AB，∴AE=1設(shè)⊙O半徑為R，則OE＝R－1．Rt△AOE中，OA2＝AE2+OE2，∴R2＝52+(R-1)2，∴

R＝13，∴

CD＝2R＝26(寸)．故選：D【點睛】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【變式5.2】（2021·江蘇·啟東折桂中學(xué)九年級階段練習(xí)）把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知EF=CD=16cm，則球的半徑為（

）A．103cm B．10cm C．102cm D．83cm【答案】B【分析】首先找到EF的中點M，作MN⊥AD于點M，取MN上的球心O，連接OF，設(shè)OF=x，則OM是16-x，MF=8，然后在直角三角形MOF中利用勾股定理求得OF的長即可．【詳解】解：取EF的中點M，作MN⊥AD于點M，根據(jù)垂徑定理知球心O在MN上，連接OF，設(shè)OF=x，則OM=16-x，MF=8，在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2，即：（16-x）2+82=x2，解得：x=10．即球的半徑為10cm．故選：B．【點睛】本題主考查垂徑定理及勾股定理的知識，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式5.3】（2019·江蘇鎮(zhèn)江·九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P的圓心坐標(biāo)是(-3，a)(a>3)，半徑為3，函數(shù)y=-x的圖像被⊙P截得的弦AB的長為42，則a的值是

(

A．4 B．3+2 C．32 D．【答案】B【分析】如圖所示過點P作PC⊥x軸于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，連結(jié)PB，可得OC=3，PC=a，把x=-3代入y=-x得y=3，可確定D點坐標(biāo)，可得△OCD為等腰直角三角形，得到△PED也為等腰直角三角形，又PE⊥AB，由垂徑定理可得AE=BE=12AB=22，在Rt△PBE中，由勾股定理可得PE=32-（22）2=1，可得【詳解】解：作PC⊥x軸于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，連結(jié)PB，如圖，∵⊙P的圓心坐標(biāo)是（-3，a），∴OC=3，PC=a，把x=-3代入y=-x得y=3，∴D點坐標(biāo)為（-3，3），∴CD=3，∴△OCD為等腰直角三角形，∴△PED也為等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE=BE=12AB=12×42=2在Rt△PBE中，PB=3，∴PE=32∴PD=2PE=2，∴a=3+2．故選B【點睛】本題主要考查了垂徑定理、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及勾股定理，熟練掌握圓中基本定理和基礎(chǔ)圖形是解題的關(guān)鍵．【考點6】平行弦問題【例6】（2021·江蘇·九年級專題練習(xí)）⊙O的半徑為10cm，弦AB//CD，AB=16，CD=12，則AB、CD間的距離是：（

）A．14 B．2 C．14或2 D．以上都不對【答案】C【分析】先根據(jù)勾股定理求出OE=6，OF=8，再分AB、CD在點O的同側(cè)時，AB、CD在點O的兩側(cè)時兩種情況分別計算求出EF即可.【詳解】如圖，過點O作OF⊥CD于F，交AB于點E，∵AB//CD，∴OE⊥AB，在Rt△AOE中，OA=10，AE=12在Rt△COF中，OC=10，CF=12當(dāng)AB、CD在點O的同側(cè)時，AB、CD間的距離EF=OF-OE=8-6=2；當(dāng)AB、CD在點O的兩側(cè)時，AB、CD間的距離EF=OE+OF=6+8=14，故選：C.【點睛】此題考查了圓的垂徑定理，勾股定理，在圓中通常利用垂徑定理和勾股定理求半徑、弦的一半、弦心距三者中的一個量.【變式6.1】（2021·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知AB、CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB＝6，CD＝8，⊙O的半徑為5，則AB與CD的距離是（）A．1 B．7 C．1或7 D．無法確定【答案】C【分析】由于弦AB、CD的具體位置不能確定，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：①弦AB和CD在圓心同側(cè)；②弦AB和CD在圓心異側(cè)；作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可.【詳解】解：①當(dāng)弦AB和CD在圓心同側(cè)時，如圖①，過點O作OF⊥CD，垂足為F，交AB于點E，連接OA，OC，∵AB∥CD，∴OE⊥AB，∵AB＝8，CD＝6，∴AE＝4，CF＝3，∵OA＝OC＝5，∴由勾股定理得：EO＝52?42＝3，∴EF＝OF﹣OE＝1；②當(dāng)弦AB和CD在圓心異側(cè)時，如圖②，過點O作OE⊥AB于點E，反向延長OE交AD于點F，連接OA，OC，EF＝OF+OE＝7，所以AB與CD之間的距離是1或7．故選：C．【點睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧.也考查了勾股定理及分類討論的思想的應(yīng)用.【變式6.2】（2021·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知⊙O的半徑為5，兩條平行弦AB、CD的長分別為6和8，求這兩條平行弦AB與CD之間的距離（）A．3 B．4 C．1或7 D．10【答案】C【分析】先根據(jù)題意畫出符合條件的兩種情況，過O作OE⊥AB于E，交CD于F，連接OA、OC，再根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求出OE、OF，然后結(jié)合圖形求出EF即可．【詳解】解：分為兩種情況：①當(dāng)AB和CD在O的同旁時，如圖1，過O作OE⊥AB于E，交CD于F，連接OA、OC，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，則由垂徑定理得：AE=12AB=3，CF=12在Rt△OAE中，由勾股定理得：OE=OA同理可求出OF=3，∴EF=4－3=1；②當(dāng)AB和CD在O的兩側(cè)時，如圖2，同法求出OE=4，OF=3，則EF=4+3=7；即AB與CD的距離是1或7.故選C.【點睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是能正確求出符合條件的兩種情況、熟練掌握垂徑定理.【變式6.3】（2021·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥BC于點D，AC＝4，則OD的長為（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5【答案】C【分析】由OD⊥BC，根據(jù)垂徑定理，可得CD＝BD，即可得OD是△ABC的中位線，則可求得OD的長．【詳解】解：∵OD⊥BC，∴CD＝BD，∵OA＝OB，AC＝4∴OD＝12AC故選C．【點睛】此題考查了垂徑定理以及三角形中位線的性質(zhì)．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【考點7】弧、弦、圓心角問題【例7】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）如圖，點A，B，C，D是⊙O上的四個點，且AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．AB=CD B．OE=OF C．∠AOB=∠COD 【答案】D【分析】在同圓中，根據(jù)圓心角、弧和弦之間的關(guān)系即可判斷．【詳解】解：在⊙O中，∵AB=CD∴AB=CD故A、C選項正確，不符合題意；∵AB=CD，OA=OD，OB=OC∴△OAB≌△ODC∴S△OAB∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴12∴OE=OF故B選項正確，不符合題意．故選D【點睛】本題考查圓的對稱性，理解同圓中圓心角、弧和弦之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式7.1】（2022·江蘇·九年級單元測試）下列命題是真命題的是（

）A．相等的圓心角所對的弧，所對的弦相等B．兩邊及其一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等C．線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等D．菱形的對角線互相平分且相等【答案】C【分析】判斷一個命題的真假，需要分析題設(shè)能否推出結(jié)論．【詳解】解：A、相等的圓心角所對的弧，所對的弦相等的前提條件是在同一個圓或者半徑相等的圓中，故A選項不正確；B、兩邊及其一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，故B選項不正確；C、線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，這是線段垂直平分線的性質(zhì)，故C選項正確；D、菱形的對角線互相平分但不一定相等，例如一個角為60°的菱形的對角線就不相等，故D選項不正確．故選：C．【點睛】本題主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假的關(guān)鍵在于對學(xué)過的性質(zhì)定理的掌握程度．【變式7.2】．（2022·江蘇揚(yáng)州·二模）將一張正方形的透明紙片ABCD和⊙O按如圖位置疊放，頂點A、D在⊙O上，邊AB、BC、CD分別與⊙O相交于點E、F、G、H，則下列弧長關(guān)系中正確的是（

）A．AD=AE C．AF=DG 【答案】C【分析】連接AF,DG，根據(jù)弦與弧的關(guān)系，只要比較弦長即可比較弧長的大小即可求解．【詳解】如圖，連接AF,DG，過點O作NM⊥AD，交AD于M，交BC于N，則MN⊥BC，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB=BC=CD，∠B=∠C，∴AM=MD，∴四邊形AMNB,MNCD是矩形，∴NB=AM=MD=NC，∴FN=GN，∴FB=GC，∴Rt△ABF≌Rt△CDG，∴AF=DG，A.∵AD>AE，∴AD>B.∵AD=AB<AF，∴ADC.∵AF=DG，∴AF=D.∵DH<DC<DG=AF，∴AF>故選：C.【點睛】本題考查了弦與弧的關(guān)系，掌握同圓或等圓中，等弦對等弧是解題的關(guān)鍵．【變式7.3】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在半徑為5的⊙A中，弦BC，DE所對的圓心角分別是∠BAC，∠DAE．若DE=6，∠BAC+∠DAE=180°，則弦BC的弦心距為（

）.A．412 B．342 C．4【答案】D【分析】作AH⊥BC于H，作直徑CF，連接BF，先利用等角的補(bǔ)角相等得到∠DAE=∠BAF，再利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根據(jù)垂徑定理得CH=BH，則AH為△CBF的中位線，然后根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得到AH=12BF【詳解】作AH⊥BC于H，作直徑CF，連接BF，如圖，∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，∴∠DAE=∠BAF，∴DE=∴DE=BF=6，∵AH⊥BC，∴CH=BH，而CA=AF，∴AH為△CBF的中位線，∴AH=12BF故選：D.【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了垂徑定理和三角形中位線性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【考點8】三角形的外接圓與外心【例8】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，若⊙O的半徑為2，則△ABC的面積為（

）A．32 B．3 C．23 【答案】D【分析】過點O作OH⊥BC于點H，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求出OH和BH的長，再根據(jù)垂徑定理求出BC的長，最后運(yùn)用三角形面積公式求解即可．【詳解】解：過點O作OH⊥BC于點H，連接AO，BO，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∵O為三角形外心，∴∠OAH=30°，∴OH=12OB∴BH=BO2?OH2=3∴BC=2BH=23∴SΔ故選：D【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．【變式8.1】（2020·江蘇·無錫市第一女子中學(xué)九年級期中）已知方程x2－7x＋12＝0的兩根恰好是一個直角三角形的兩條直角邊的長，則這個直角三角形的外接圓的直徑為（）A．2.5 B．6 C．5 D．12【答案】C【分析】先解一元二次方程求出兩條直角邊長，再用勾股定理得到斜邊長，從而得到直角三角形外接圓的直徑．【詳解】解：x2－7x＋12＝0，解得x1=3，x2=4，根據(jù)勾股定理得斜邊=32∴外接圓的直徑為5．故選：C．【點睛】本題考查勾股定理、一元二次方程解法和直角三角形外接圓的外心性質(zhì)，直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點處．【變式8.2】（2021·江蘇鹽城·九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A、B、C的坐標(biāo)為（1，3）、（5，3）、（1，－1），則△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（

）A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2）【答案】B【分析】根據(jù)三角形的外心的概念作出外心，根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)解答即可．【詳解】解：連接AB、AC，分別作AB、AC的垂直平分線，兩條垂直平分線交于點P，則點P為△ABC外接圓的圓心，由題意得：點P的坐標(biāo)為（3，1），即△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（3，1），故選：B．【點睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點是解題的關(guān)鍵．【變式8.3】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）下列命題是真命題的是（

）A．內(nèi)錯角相等 B．四邊形的外角和為180°C．等腰三角形兩腰上高相等 D．平面內(nèi)任意三點都可以在同一個圓上【答案】C【分析】根據(jù)內(nèi)錯角的定義、多邊形的外角和、等腰三角形的特征、確定圓的條件逐個進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、內(nèi)錯角不一定相等，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；B、四邊形的外角和為360°，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；C、等腰三角形兩腰上高相等，故原命題正確，是真命題，符合題意；D、平面內(nèi)不在同一條直線的三點可以在同一個圓上，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意．故選C．【點睛】本題考查了命題，解題的關(guān)鍵是掌握內(nèi)錯角的定義、多邊形的外角和、等腰三角形的特征、確定圓的條件，屬于基礎(chǔ)題，難度不大．【考點9】圓周角定理【例9】（2022·江蘇泰州·九年級期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于以BD為直徑的⊙O，CA平分∠BCD，若四邊形ABCD的面積是30cm2，則AC=______cm．【答案】2【分析】過A點作AE⊥AC，交CD的延長線與點E，證明△ABC≌△ADE，從而得到四邊形ABCD的面積等于△ACE的面積，然后證明出△ACE是等腰直角三角形，根據(jù)三角形的面積公式即可求出AC的長度．【詳解】如圖，過A點作AE⊥AC，交CD的延長線與點E．∵BD為⊙O的直徑∴∠BAD＝∠BCD＝90°∵CA平分∠BCD∴∠BCA＝∠ACD＝45°∴∠E＝∠ACD＝45°∴AC＝AE∵AE⊥AC∴∠CAE＝90°∴∠CAD+∠DAE＝90°又∵∠BAC+∠CAD＝90°∴∠BAC＝∠DAE又∵∠BCA＝∠E＝45°在△ABC≌△ADE中，∠BCA∴△ABC≌△ADE（ASA）∴S∴S∴1∴AC故答案為：2【點睛】本題主要考查了圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將四邊形ABCD的面積轉(zhuǎn)化為△ACE的面積．【變式9.1】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BE是⊙O的直徑，連接AE、BD．若∠BCD＝115°，則∠EBD的大小為_______．【答案】25°【分析】由圓的內(nèi)接四邊形的內(nèi)對角和為180°解得∠BAD=65°，連接DE，根據(jù)同弧所對的圓周角解得∠BED=65°，由直徑所對的圓周角是90°解得∠EBD=25°【詳解】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BCD＝115°，∴∠BAD=180°?115°=65°連接DE，∵∴∠BED=65°∵BE是⊙O的直徑，∴∠BDE=90°∴∠EBD=90°?65°=25°故答案為：25°．【點睛】本題考查圓的性質(zhì)，涉及圓周角性質(zhì)、直徑所對的圓周角是90°、圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)等知識，是基礎(chǔ)考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．【變式9.2】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）如圖，直線l與⊙O相交于點B、D，點A、C是直線l兩側(cè)的圓弧上的動點，若⊙O的半徑為1，∠A＝30°，那么四邊形ABCD的面積的最大值是_______．【答案】1【分析】當(dāng)A點和C點到BD的距離最大時，四邊形ABCD的面積最大，此時A點和C點為BD所對弧的中點，則AC⊥BD，利用圓周角定理得到∠BOC＝30°，接著計算出BH的長，則可計算出S△ABC＝12，從而得到四邊形ABCD【詳解】解：當(dāng)A點和C點到BD的距離最大時，四邊形ABCD的面積最大，此時A點和C點為BD所對弧的中點，∴AC為⊙O的直徑，如圖，∴AC⊥BD，∵∠BAC＝30°，∴∠BOC＝30°，在Rt△OBH中，BH＝12OB＝1∴S△ABC＝12?BH?AC＝12×2×12∴四邊形ABCD的面積＝2×12∴四邊形ABCD的面積的最大值為1．故答案為1．【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系，靈活應(yīng)用定理是解題的關(guān)鍵．【變式9.3】（2021·江蘇·南通田家炳中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在半徑為32的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D是AC?的中點，AC與BD交于點E．若E是BD的中點，則AC【答案】8【分析】連接OD，交AC于F，根據(jù)垂徑定理得出OD⊥AC，AF＝CF，進(jìn)而證得DF＝BC，根據(jù)三角形中位線定理求得OF＝12BC＝12DF，從而求得BC＝DF＝22，利用勾股定理即可求得【詳解】解：連接OD，交AC于F，∵D是AC?∴OD⊥AC，AF＝CF，∴∠DFE＝90°，∵OA＝OB，AF＝CF，∴OF＝12BC∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，在△EFD和△ECB中，∠DBE=∠BCE=90∴△EFD≌△ECB（AAS），∴DF＝BC，∴OF＝12DF∵OD＝32，∴OF＝2，∴BC＝22，在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，∴AC＝AB2?B故答案為8．【點睛】本題考查垂徑定理、圓周角定理及推論、全等三角形的判定、勾股定理、靈活應(yīng)用性質(zhì)及定理是關(guān)鍵，熟練掌握垂徑定理是重點．【考點10】四邊形外接圓【例10】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）已知⊙O半徑為r，弦AB＝r，則AB所對圓周角的度數(shù)為______．【答案】30°或150°【分析】先計算出∠AOB的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理即可求出∠C的度數(shù)，再根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形定理，可得的∠ADB度數(shù)，這兩個角都是弦AB所對的圓周角．【詳解】解：如圖，⊙O中OA=OB=AB，∴∠AOB=60°，

∴∠C=12∵四邊形ACBD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠C+∠ADB=180°，∴∠ADB=180°?30°=150°，∴弦AB所對的圓周角的度數(shù)是30°或150°．故答案為：30°或150°．【點睛】本題考查了圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形定理，熟練掌握這兩個定理是解題的關(guān)鍵．注意：圓當(dāng)中一條弦對了兩條弧，也就對了兩個圓周角，做題時防止漏掉一個解．【變式10.1】（2021·江蘇鎮(zhèn)江·九年級期中）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，將BC沿BC翻折，BC交AC與點D，連接BD，若∠BAC＝68°，則∠ABD＝____．【答案】44°##44度【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠A+∠BDC=180°，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵將BC沿BC翻折，BC交AC與點D，∴∠A+∠BDC=180°，∵∠A=68°，∴∠BDC=112°，∴∠ADB=180°-∠BDC=68°，∴∠ABD=180°-68°-68°=44°，故答案為：44°．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形，折疊的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．【變式10.2】（2022·江蘇宿遷·九年級期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為AB延長線上一點，若∠AOC＝150°，求∠EBC的度數(shù)．【答案】75°【分析】由圓周角定理求得∠ADC，再根據(jù)四點共圓的性質(zhì)，得到∠ABC的值，最后根據(jù)∠EBC與∠ABC互補(bǔ)，求得∠EBC的值．【詳解】解：由圓周角定理得，∠ADC=12∠AOC=∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ABC=180°?∠ADC=180°?75°=105°，∴∠EBC=180°?∠ABC=180°?105°=75°．【點睛】本題考查了圓周角定理及四點共圓的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式10.3】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=80°，以BC邊的中點O為圓心，12BC長為半徑畫圓，該圓分別交AB，AC邊于點D，E，P是圓上一動點（與點D，E不重合），連結(jié)PD，PE，則∠DPE【答案】170°或10°【分析】連接OD，OE，求出∠DOE，再分當(dāng)點P在優(yōu)弧DBE上時和當(dāng)點P在劣弧DE上時，分別求出∠DPE即可．【詳解】解：連接OD，OE，∵∠A=80°，AB=AC，∴∠B=∠C=12∵OD=OB=OC=OE，∴∠ODB=∠B=∠C=∠OEC=50°，∴∠BOD=∠COE=80°，∴∠DOE=20°，當(dāng)點P在優(yōu)弧DBE上時，∠DP1E=12∠DOE當(dāng)點P在劣弧DE上時，∠DP2E=180°-∠DP1E=170°，∴∠DPE=170°或10°，故答案為：170°或10°．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，圓心角，圓周角定理，理解題意，畫出圖形，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．【考點11】圓有關(guān)線段計算綜合問題【例11】（2021·江蘇·南通市八一中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知AB是半圓O的直徑，OD⊥弦AC于D，過點O作OE∥AC交半圓O于點E，過點E作EF⊥AB于F．若AC＝2，(1)求OF的長；(2)連接BE，若BE=23，求半徑OA【答案】(1)OF＝1(2)半徑為3【分析】（1）先根據(jù)垂徑定理得出AD＝CD＝1，根據(jù)“AAS”證明△ADO≌△OFE，即可得出OF＝AD＝1；（2）設(shè)OA=OB=OE=x，則：BF=OB-OF=x-1，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程即可．（1）解：∵OD⊥AC，AC＝2，∴AD＝CD＝1，∵OD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADO＝∠OFE＝90°，∵OE∥AC，∴∠DOE＝∠ADO＝90°，∴∠DAO+∠DOA＝90°，∠DOA+∠EOF＝90°，∴∠DAO＝∠EOF，∵在△ADO和△OFE中，∠ADO=∠EFO∠DAO=∠FOE∴△ADO≌△OFE（AAS），∴OF＝AD＝1．（2）解：設(shè)OA=OB=OE=x，則：BF=OB-OF=x-1，∵EF⊥AB，∴∠BFE＝∠OFE＝90°，∴EF∴x2解得：x1=3，∴半徑OA=3．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，作出輔助線，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【變式11.1】（2022·江蘇·九年級單元測試）如圖，AB是⊙O的直徑，CB是弦，OD⊥CB于E，交BC于D，連接AC．(1)請寫出三個不同類型的正確結(jié)論；(2)若CB=8，ED=2，求⊙O的半徑．【答案】(1)結(jié)論見解析(2)5【分析】（1）根據(jù)垂徑定理即可證明出BE=CE，BD?=CD（2）設(shè)圓的半徑等于R，利用垂經(jīng)定理和勾股定理列方程可求出圓的半徑．（1）不同類型的正確結(jié)論有：①BE=CE；②BD?=CD證明如下：∵CB是弦，OD⊥CB于E，∴BE=CE，BD?=CD（2）∵OD⊥CB∴BE=CE=12設(shè)半徑等于R，則OE=OD－DE=R－2在Rt△OEB中，由勾股定理得，OE2解得R=5∴⊙O的半徑為5．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，求圓的弦，半徑，弦心距的問題可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理．【變式11.2】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）如圖，在⊙O中，直徑AB=10，弦AC=8，連接BC．(1)尺規(guī)作圖：作半徑OD交AC于E，使得點E為AC中點；(2)連接AD，求三角形OAD的面積．【答案】(1)見解析(2)10【分析】（1）過點O作OD⊥AC，交AC于點E，交⊙O于點D；（2）由題意可得OD=5，由（1）得：OE⊥AC，點E為AC中點，繼而可得AE=1（1）解：如圖，點E即為所求；（2）解：如圖，連接AD，∵⊙O的直徑是10，∴OD=5，由（1）得：OE⊥AC，點E為AC中點，∴AE=1∴S△OAD【點睛】本題主要考查了垂徑定理、三角形的面積公式，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【變式11.3】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）在《折疊圓形紙片》綜合實踐課上，小東同學(xué)展示了如下的操作及問題：(1)如圖1，⊙O1的半徑為4cm，通過折疊圓形紙片，使得劣弧AB沿弦AB折疊后恰好過圓心O1(2)如圖2，O2C⊥弦AB，垂足為點C，劣弧AB沿弦AB折疊后經(jīng)過O2C的中點D，【答案】(1)43(2)35【分析】（1）如圖1，作O1M⊥AB交AB于N，交⊙O1于M，連接AO1，由題意知，O1N=MN=12×4=2（2）如圖2，延長O2C交⊙O2于E，連接AO2，設(shè)半徑為r，由題意知AC=CB=12AB=5（1）解：如圖1，作O1M⊥AB交AB于N，交⊙O1由題意知，O1N=MN=在Rt△AO1∴AB=4∴AB的長為43（2）解：如圖2，延長O2C交⊙O2于E由題意知AC=CB=12AB=5在Rt△AO2C中，由勾股定理得解得：r=35，r=?3∴半徑的長為35【點睛】本題考查了垂徑定理，折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用．【考點12】圓有關(guān)作圖及應(yīng)用問題【例12】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．(1)利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母（保留作圖痕跡，不寫作法）．①作△ABC的外接圓⊙O；②以線段AC為一邊，在AC的右側(cè)作等邊三角形ACD；③連接BD，交⊙O于點E，連接AE；(2)在（1）中所作的圖中，若AB=4，BC=2，則線段AE的長為______．【答案】(1)作圖見解析；(2)47【分析】（1）利用直角三角形的外心是直角三角形斜邊的中點，先做AB的垂直平分線，找出圓心O，以O(shè)為圓心，OA為半徑畫圓即可，再分別以A，B為圓心，AB為半徑畫弧交于點D，連接AD，CD，即可做出等邊三角形ACD；（2）證明∠BAD=90°，利用勾股定理求出BD=AB2（1）解：作圖如下：（2）解：∵AB=4，BC=2，△ACD是等邊三角形，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=30°+60°=90°，∴AD=AC=AB×3∴BD=A∴AE=1故線段AE的長為47【點睛】本題考查三角形的外接圓，垂直平分線的作法，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，（1）的關(guān)鍵是掌握直角三角形的外心是直角三角形斜邊的中點，（2）的關(guān)鍵是證明∠BAD=90°．【變式12.1】（2022·江蘇·泰興市教師發(fā)展中心二模）（1）如圖1，△ABD和△CBD中，___________．從下列4個信息“①AB=BC，②∠BAD=∠BCD，③BD平分∠ABC，④AD=DC”中，選取兩個將其序號填寫在橫線上，使得結(jié)論AC⊥BD成立，并說明理由．（2）如圖2，已知3個點，只用圓規(guī)作出半徑為OM的⊙O與點M，N所在直線的另一個交點（不寫作法，保留作圖痕跡）．【答案】①③或①④或②③，證明見解析【分析】（1）①③根據(jù)等腰三角形的三線合一即可得到結(jié)論，①④用垂直平分線的的判定可得到結(jié)論，②③先根據(jù)△ABED?△CBD,得出BA=BC,DA=DC,再根據(jù)垂直平分線的判定記得得出結(jié)論．（2）以M為圓心，MO長為半徑作弧，以N為圓心，NO為半徑作弧，兩弧相交于點E，再以點E圓心，EM為半徑作弧，以點O為圓心，OM長為半徑作弧，交于點F，點F為所求．【詳解】解：（1）在橫線上填①③或①④或②③，如圖所示：AC與BD相交于點E，若以①③為條件，∵AB=BC,BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE,∴△ABE?△CBE∴∠AEB=∠CEB,∵∠AEB+∠CEB=180°,∴∠AEB=∠CEB=90°,∴AC⊥BD,故以①③為條件成立．若以②③為條件，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE,∴△ABED?△CBD∴BA=BC,DA=DC,∴BD⊥AC,故以②③為條件成立．若以①④為條件，∵AB=BC,AD=DC,∴BD⊥AC,故以①④為條件成立．（2）如圖點F是所求作的另一個交點．【點睛】本題主要考查了在平面內(nèi)兩條直線垂直的判定，等腰三角形的三線合一，垂直平分線的判定，直線與圓的位置關(guān)系，熟練掌握等腰三角形的三線合一的性質(zhì)判定和垂直平分線的性質(zhì)判定是解此題的關(guān)鍵．【變式12.2】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）已知：如圖，△ABC．

(1)求作：△ABC的外接圓（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)若△ABC是直角三角形，則其外接圓的圓心在；(3)若△ABC是邊長為6的等邊三角形，其外接圓的圓心O到BC邊的距離為3，求其外接圓的面積．【答案】(1)見解析(2)斜邊中點(3)12π【分析】（1）作AB、AC的垂直平分線交于點O，以O(shè)為圓心，OA為半徑畫圓即可；（2）根據(jù)直角三角形外心為斜邊中點作答即可；（3）連接OB，利用勾股定