人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難考點(diǎn)專題06正多邊形與圓(知識(shí)串講+4大考點(diǎn))特訓(xùn)(原卷版+解析)

專題06正多邊形與圓考點(diǎn)類型知識(shí)串講（一）正多邊形與圓（1）正多邊形：各邊相等，各角相等的多邊形叫做正多邊形．（2）正n邊形的內(nèi)角和=180°（n-2）；正n邊形的每個(gè)內(nèi)角度數(shù)=180°(n?2)n；正n邊形外角和=360°（3）圓與正多邊形的有關(guān)概念：一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角，中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．半徑、邊心距，邊長(zhǎng)之間的關(guān)系：考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：正多邊形與圓——求角典例1：（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P在AF上，Q是DE的中點(diǎn)，則∠CPQ的度數(shù)為（

）A．30° B．36° C．45° D．60°【變式1】（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)M在AB上，則∠CME的度數(shù)為（

）

A．30° B．36° C．45° D．60°【變式2】（2023·吉林長(zhǎng)春·校聯(lián)考二模）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)M在AF上，則∠CMD的大小為（）A．60° B．45° C．30° D．15°【變式3】（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正六邊形與正方形有重合的中心O，若∠BOC是正n邊形的一個(gè)中心角，則n的值為（

）A．8 B．10 C．12 D．16考點(diǎn)2：正多邊形與圓——求邊長(zhǎng)、邊心距典例2：（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，多邊形A1A2A3???An是⊙O的內(nèi)接正n邊形，已知⊙O的半徑為r，∠A1OA2①當(dāng)n變化時(shí)，α隨n的變化而變化，α與n滿足的函數(shù)關(guān)系是反比例函數(shù)關(guān)系；②若α為定值，當(dāng)r變化時(shí)，d隨r的變化而變化，d與r滿足的函數(shù)關(guān)系是正比例函數(shù)關(guān)系；③若n為定值，當(dāng)r變化時(shí)，S隨r的變化而變化，S與r滿足的函數(shù)關(guān)系是二次函數(shù)關(guān)系．其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【變式1】（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接正四邊形，△AEF為⊙O的內(nèi)接正三角形，若DF恰好是同圓的一個(gè)內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值為（）A．6 B．8 C．10 D．12【變式2】（2022秋·云南紅河·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為2，則邊心距OM的長(zhǎng)為（

）A．1 B．3 C．23 D．【變式3】（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，點(diǎn)O為正多邊形的中心，若∠ADB=18°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（A．10 B．12 C．15 D．20考點(diǎn)3：正多邊形與圓——求面積典例3：（2023·廣西梧州·統(tǒng)考二模）剪紙藝術(shù)是我國(guó)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，如圖是一幅包含了圓，正八邊形等圖形設(shè)計(jì)成的剪紙作品，已知圓的半徑是2，此作品的陰影部分面積是（）

A．π2 B．π C．2π D．【變式1】（2022秋·浙江紹興·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF對(duì)角線FD上一點(diǎn)，S△AFO=4,S△CDO=1A．12 B．15 C．18 D．20【變式2】（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）下列圖形中，正多邊形內(nèi)接于半徑相等的圓，其中正多邊形周長(zhǎng)最小的是（

）A．B．C．D．【變式3】（2023·河北承德·統(tǒng)考一模）如圖，正六邊形的兩條對(duì)角線AE、BE把它分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，則該三部分的面積比為（

）A．1:2:3 B．2:2:4 C．1:2:4 D．2:3:5考點(diǎn)4：正多邊形與圓的綜合應(yīng)用典例4：（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，設(shè)正六邊形ABCDEF的面積為S1，△ACE的面積為S2，則S

【變式1】（2023·山東菏澤·統(tǒng)考二模）如圖，邊長(zhǎng)為4的正六邊形ABCDEF的中心與原點(diǎn)O重合，AB∥x軸，交y軸于點(diǎn)P，將△OAP繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為

【變式2】（2023·湖南株洲·校考三模）古人認(rèn)為“天圓地方”，故以圓璧祭天，以玉琮祭地，《周禮·春官·大宗伯》記載“以玉作六器，以禮天地四方”，長(zhǎng)江流域良渚文化，創(chuàng)制美玉，尤以琮（如圖1所示）、璧最為經(jīng)典．琮為內(nèi)圓外方之器，此玉琮素面琢磨細(xì)膩，色澤溫潤(rùn)，兩端射口稍露，比例恰到好處．如圖2，是“琮”的橫截面的示意圖，其“外方”是一個(gè)邊長(zhǎng)為10cm的正方形ABCD，內(nèi)圓圓O的圓心與正方形的中心重合，正方形的四個(gè)角上各有一個(gè)腰長(zhǎng)為4cm的等腰Rt△，圓O與其斜邊相切，則圓O

【變式3】（2023·湖南長(zhǎng)沙·?？既＃┤鐖D所示，已知正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于⊙O，連接AC，BD，相交于點(diǎn)P．若⊙O的半徑為1，以下結(jié)論正確的是．（填序號(hào)）①AC=2；②∠APD=135°；③△ABC的面積為2?12

同步過(guò)關(guān)一、單選題1．（2022秋·廣東云浮·九年級(jí)?？计谀┮阎呅蔚倪呴L(zhǎng)為4，則它的邊心距為（）A．1 B．2 C．3 D．22．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，⊙O的半徑為2，△ABC是⊙O的內(nèi)接等邊三角形，點(diǎn)DE在⊙O上．四邊形BCDE為平行四邊形，則平行四邊形BCDE的面積是（）A．43 B．4 C．2 D．233．（2023·山東青島·九年級(jí)青島二中?？计谥校┤鐖D，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，若⊙O的半徑為5，則AB的長(zhǎng)度為（

）A．π B．2π C．5π D．105．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）如圖①，直六棱柱的底面是正六邊形，側(cè)面ABCD中，AB＝10cm，BC＝20cm，現(xiàn)用一塊矩形紙板EFGH制作圖①中的直六棱柱，按圖②中的方案裁剪，則GF的長(zhǎng)是（

）A．（20+103）cm B．（30+103）cm C．（20+203）cm D．403cm6．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考二模）如圖，正十二邊形A1A2…A12，連接A3A7，A7A10，則∠A3A7A10的度數(shù)為（）A．60° B．65° C．70° D．75°7．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）利用圓的等分，在半徑為3的圓中作出如圖的圖案，則相鄰兩等分點(diǎn)之間的距離為（

）A．3 B．33 C．4 8．（2022·江蘇南通·校聯(lián)考一模）若一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是135°，則這個(gè)正多邊形的中心角為(A．20° B．45° C．60°9．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知圓內(nèi)接正六邊形的半徑為2，則該內(nèi)接正六邊形的邊心距為(

)A．1 B．2 C．3 D．510．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為3，則正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為（

）

A．3 B．6 C．33 D．11．（2022秋·湖北恩施·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形ABCD與正方形DEFG彼此相鄰且正方形ABCD內(nèi)接于半圓，點(diǎn)F在半圓上，若小正方形DEFG的面積為16cm2，則該半圓的半徑為（A．4+5cm B．9cm C．412．（2022秋·福建福州·九年級(jí)福州三牧中學(xué)?？计谀┮阎暹呅蔚倪呴L(zhǎng)為1，則該正五邊形的對(duì)角線長(zhǎng)度為（

）．A．3 B．5?12 C．5+113．（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）下列命題：①各邊相等的多邊形是正多邊形；②正多邊形是中心對(duì)稱圖形；③正六邊形的外接圓半徑與邊長(zhǎng)相等；④正n邊形共有n條對(duì)稱軸．其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．114．（2022秋·湖北孝感·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）半徑為a的圓的內(nèi)接正六邊形的邊心距是（）A．a(chǎn)2 B．2a2 C．315．（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）半徑相等的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長(zhǎng)之比（

）A．1：2：5 B．3：2：1 C．3：2：1 D．1：2：3二、填空題16．（2022秋·河南鄭州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）六個(gè)帶30°角的直角三角板拼成一個(gè)正六邊形，直角三角板的最短邊為2，求中間正六邊形的面積．17．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，⊙O的半徑為1，作兩條互相垂直的直徑AB，CD，弦AC是⊙O的內(nèi)接正四邊形的一條邊.若以A為圓心，以1為半徑畫弧，交⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AE，CE，弦EC是該圓一個(gè)內(nèi)接正多邊形的一邊，則該正多邊形的面積為．

18．（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，⊙O是正五邊形ABCDE的外接圓，則∠ADC的度數(shù)是．19．（2022秋·天津?qū)幒印ぞ拍昙?jí)階段練習(xí)）一個(gè)正六邊形的半徑為R，則這個(gè)正六邊形的邊心距為20．（2023春·廣東揭陽(yáng)·九年級(jí)普寧二中實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為4的正六邊形ABCDEF的中心與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，AF∥x軸，將正六邊形ABCDEF繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n次，每次旋轉(zhuǎn)60°，當(dāng)n=2023時(shí)，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為．21．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）如圖，有六個(gè)矩形水池環(huán)繞，矩形的內(nèi)側(cè)邊所在直線恰好圍成正六邊形ABCDEF，正六邊形的邊長(zhǎng)為4米．要從水源點(diǎn)P處向各水池鋪設(shè)供水管道，這些管道的總長(zhǎng)度最短是米．（結(jié)果保留根號(hào)）22．（2022秋·河北石家莊·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，如果AB、AC分別是圓O的內(nèi)接正三角形和內(nèi)接正方形的一條邊，則∠COB=°，BC一定是圓O的內(nèi)接正n邊形的一條邊，那么n=．23．（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，連接AF，若∠AFC＝126°，則∠BAF的度數(shù)為．24．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期末）圓內(nèi)接正方形的每條邊所對(duì)的圓心角的度數(shù)是．25．（2023·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣．”這是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到的“如何求圓的周長(zhǎng)和面積”的方法，即“割圓術(shù)”．“割圓術(shù)”的主要意思是用圓內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓．劉徽從圓內(nèi)接正六邊形出發(fā)，將邊數(shù)逐次加倍，并逐次得到正多邊形的周長(zhǎng)和面積．如圖，AB是圓內(nèi)接正六邊形的一條邊，半徑OB=1，OC⊥AB于點(diǎn)D，則圓內(nèi)接正十二邊形的邊BC的長(zhǎng)是（結(jié)果不取近似值）．26．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若正多邊形的邊心距與邊長(zhǎng)的比為1:2，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是．27．（2022秋·北京朝陽(yáng)·九年級(jí)對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)附屬中學(xué)（北京市第九十四中學(xué)）校考期中）已知：如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，點(diǎn)P是劣弧CD，則∠BPC的度數(shù)是．28．（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF邊長(zhǎng)為23cm，則該正六邊形的面積為cm29．（2022秋·浙江·九年級(jí)期末）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于圓O，點(diǎn)M是邊CD的中點(diǎn)，連結(jié)AM，若圓O的半徑為2，則AM=.30．（2023·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）已知正多邊形的邊長(zhǎng)為a，且它的一個(gè)外角是其內(nèi)角的一半，那么此正多邊形的邊心距是．（用含字母a的代數(shù)式表示）．

專題06正多邊形與圓考點(diǎn)類型知識(shí)串講（一）正多邊形與圓（1）正多邊形：各邊相等，各角相等的多邊形叫做正多邊形．（2）正n邊形的內(nèi)角和=180°（n-2）；正n邊形的每個(gè)內(nèi)角度數(shù)=180°(n?2)n；正n邊形外角和=360°（3）圓與正多邊形的有關(guān)概念：一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角，中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．半徑、邊心距，邊長(zhǎng)之間的關(guān)系：考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：正多邊形與圓——求角典例1：（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P在AF上，Q是DE的中點(diǎn)，則∠CPQ的度數(shù)為（

）A．30° B．36° C．45° D．60°【答案】C【分析】先計(jì)算正六邊形的中心角，再利用同圓或等圓中，等弧對(duì)的圓心角相等，圓周角定理計(jì)算即可．【詳解】如圖，連接OC,OD,OQ,OE，∵正六邊形ABCDEF，Q是DE的中點(diǎn)，∴∠COD=∠DOE=360°6=60°∴∠COQ=∠COD+∠DOQ=90°，∴∠CPQ=1故選Ｃ．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理，熟練掌握正多邊形中心角計(jì)算，圓周角定理是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)M在AB上，則∠CME的度數(shù)為（

）

A．30° B．36° C．45° D．60°【答案】D【分析】先求出正六邊形的中心角，再利用圓周角定理求解即可．【詳解】解：連接OC、OD、OE，如圖所示：

∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，∴∠COD=3606=60°，則∠COE∴∠CME=12∠COE故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的中心角、圓周角定理，熟練掌握正n多邊形的中心角為360n【變式2】（2023·吉林長(zhǎng)春·校聯(lián)考二模）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)M在AF上，則∠CMD的大小為（）A．60° B．45° C．30° D．15°【答案】C【分析】由正六邊形的性質(zhì)得出∠COD=60°，由圓周角定理求出∠CMD．【詳解】解：連接OC，OD，∵多邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠COD=60°，∴∠CMD=1故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正六邊形與正方形有重合的中心O，若∠BOC是正n邊形的一個(gè)中心角，則n的值為（

）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【分析】連接OA，先求出∠AOB的度數(shù)，然后利用正多邊形外角和等于360°，即可求出答案．【詳解】解：連接OA，如圖：根據(jù)題意，正六邊形和正方形的中心都是點(diǎn)O，∴∠AOC=90°，∠AOB=60°，∴∠COB=90°?60°=30°；∵∠COB是某正n邊形的一個(gè)中心角，∴n=360°故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的外角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握正多邊形的性質(zhì)，正確求出∠COB的度數(shù)．考點(diǎn)2：正多邊形與圓——求邊長(zhǎng)、邊心距典例2：（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，多邊形A1A2A3???An是⊙O的內(nèi)接正n邊形，已知⊙O的半徑為r，∠A1OA2①當(dāng)n變化時(shí)，α隨n的變化而變化，α與n滿足的函數(shù)關(guān)系是反比例函數(shù)關(guān)系；②若α為定值，當(dāng)r變化時(shí)，d隨r的變化而變化，d與r滿足的函數(shù)關(guān)系是正比例函數(shù)關(guān)系；③若n為定值，當(dāng)r變化時(shí)，S隨r的變化而變化，S與r滿足的函數(shù)關(guān)系是二次函數(shù)關(guān)系．其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】（1）正n邊形每條邊對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為α=360（2）d與r是α2的鄰邊和斜邊，因此是d（3）三角形面積為12×底×高，底為2rsinα【詳解】①α=360°n，所以α與②dr=cosα2，所以d=r?③S=12?2r?sinα故選D【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形、圓心角的度數(shù)、弦心距、三角形的面積之間的函數(shù)關(guān)系，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，求出其中的函數(shù)關(guān)系式．【變式1】（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接正四邊形，△AEF為⊙O的內(nèi)接正三角形，若DF恰好是同圓的一個(gè)內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值為（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】連接AC,OD,OF，先根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)可得點(diǎn)O在AC上，且AC是∠BAD和∠EAF的角平分線，從而可得∠CAD=12∠BAD=45°,∠CAF=12【詳解】解：如圖，連接AC,OD,OF，∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接正四邊形，△AEF為⊙O的內(nèi)接正三角形，∴點(diǎn)O在AC上，且AC是∠BAD和∠EAF的角平分線，∠BAD=90°,∠EAF=60°，∴∠CAD=1∴∠DAF=∠CAD?∠CAF=15°，∴∠DOF=2∠DAF=30°，∵DF恰好是圓O的一個(gè)內(nèi)接正n邊形的一邊，∴n=360°故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接正多邊形、圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·云南紅河·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為2，則邊心距OM的長(zhǎng)為（

）A．1 B．3 C．23 D．【答案】B【分析】證明△OAB是等邊三角形，得出AB=OA=2，由等邊三角形的性質(zhì)求出AM，再由勾股定理求出OM即可．【詳解】解：如圖所示，連接OA，∵六邊形ABCDEF為正六邊形，∠AOB=360°∵OA=OB，∴△OAB是等邊三角形，∴AB=OA=2，∵OM⊥AB，∴AM=BM=1∴OM=O故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓，證明三角形是等邊三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式3】（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，點(diǎn)O為正多邊形的中心，若∠ADB=18°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（A．10 B．12 C．15 D．20【答案】A【分析】作正多邊形的外接圓，根據(jù)圓周角定理得到∠AOB=36°，根據(jù)中心角的定義即可求解．【詳解】解：如圖，作正多邊形的外接圓，∵∠ADB=18∴∠AOB=2∠ADB=36°，∴這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為360°故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查正多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知圓周角定理．考點(diǎn)3：正多邊形與圓——求面積典例3：（2023·廣西梧州·統(tǒng)考二模）剪紙藝術(shù)是我國(guó)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，如圖是一幅包含了圓，正八邊形等圖形設(shè)計(jì)成的剪紙作品，已知圓的半徑是2，此作品的陰影部分面積是（）

A．π2 B．π C．2π D．【答案】C【分析】由圓及正八邊形的對(duì)稱性可得：圖中陰影部分的面積等于圓面積的一半，據(jù)此即可求解.【詳解】解：由圓及正八邊形的對(duì)稱性可得：圖中陰影部分的面積等于圓面積的一半，所以此作品的陰影部分面積是12故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了求陰影部分的面積，熟知圓及正八邊形的對(duì)稱性、得出陰影部分的面積等于圓面積的一半是解題的關(guān)鍵.【變式1】（2022秋·浙江紹興·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF對(duì)角線FD上一點(diǎn)，S△AFO=4,S△CDO=1A．12 B．15 C．18 D．20【答案】B【分析】連接三條對(duì)角線交于一點(diǎn)，會(huì)形成6個(gè)全等的等邊三角形，那么求出一個(gè)三角形面積即可；S△AFO與S△CDO的和可轉(zhuǎn)化為S△ADF【詳解】解：連接AD，BE，CF交于點(diǎn)P，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴AF=CD，求出S△APF即可求出S∵S△AFO又∵S△AFD∴S△AFD∵P是AD中點(diǎn)，∴S△APF∴S正六邊形故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查正多邊形和圓，解題關(guān)鍵是將正六邊形的面積轉(zhuǎn)化為等邊三角形的面積，解題技巧是將陰影部分面積換成一個(gè)大三角形的面積．【變式2】（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）下列圖形中，正多邊形內(nèi)接于半徑相等的圓，其中正多邊形周長(zhǎng)最小的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)越多，越接近圓的周長(zhǎng)，正多邊形周長(zhǎng)越長(zhǎng)．【詳解】解：圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)越多，越接近圓的周長(zhǎng)，正多邊形周長(zhǎng)越長(zhǎng)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形與圓，解題的關(guān)鍵是掌握“圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)越多，越接近圓的周長(zhǎng)，正多邊形周長(zhǎng)越長(zhǎng)”．【變式3】（2023·河北承德·統(tǒng)考一模）如圖，正六邊形的兩條對(duì)角線AE、BE把它分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，則該三部分的面積比為（

）A．1:2:3 B．2:2:4 C．1:2:4 D．2:3:5【答案】A【分析】根據(jù)正多邊形的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，S△AFE∴Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分的面積比為1:2:3，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形，三角形中線的性質(zhì)，熟記圖形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)4：正多邊形與圓的綜合應(yīng)用典例4：（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，設(shè)正六邊形ABCDEF的面積為S1，△ACE的面積為S2，則S

【答案】2【分析】連接OA,OC,OE，首先證明出△ACE是⊙O的內(nèi)接正三角形，然后證明出△BAC≌△OACASA，得到S△BAC=【詳解】如圖所示，連接OA,OC,OE，

∵六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，∴AC=AE=CE，∴△ACE是⊙O的內(nèi)接正三角形，∵∠B=120°，AB=BC，∴∠BAC=∠BCA=1∵∠CAE=60°，∴∠OAC=∠OAE=30°，∴∠BAC=∠OAC=30°，同理可得，∠BCA=∠OCA=30°，又∵AC=AC，∴△BAC≌△OACASA∴S△BAC由圓和正六邊形的性質(zhì)可得，S△BAC由圓和正三角形的性質(zhì)可得，S△OAC∵S1∴S1故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)，正六邊形和正三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．【變式1】（2023·山東菏澤·統(tǒng)考二模）如圖，邊長(zhǎng)為4的正六邊形ABCDEF的中心與原點(diǎn)O重合，AB∥x軸，交y軸于點(diǎn)P，將△OAP繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為

【答案】(?2【分析】首先確定點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)4次一個(gè)循環(huán)，推出經(jīng)過(guò)第2023次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】解：∵正六邊形ABCDEF邊長(zhǎng)為4，中心與原點(diǎn)O重合，AB∥∴AP=2，∴OP=A∴第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為23第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為?2，第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為?23第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為2，∴4次一個(gè)循環(huán)，∵2023÷4=505??3，∴第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(?23故答案為：(?23【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)，規(guī)律型問(wèn)題，坐標(biāo)與圖形變化——旋轉(zhuǎn)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律的方法，屬于中考常考題型．【變式2】（2023·湖南株洲·?？既＃┕湃苏J(rèn)為“天圓地方”，故以圓璧祭天，以玉琮祭地，《周禮·春官·大宗伯》記載“以玉作六器，以禮天地四方”，長(zhǎng)江流域良渚文化，創(chuàng)制美玉，尤以琮（如圖1所示）、璧最為經(jīng)典．琮為內(nèi)圓外方之器，此玉琮素面琢磨細(xì)膩，色澤溫潤(rùn)，兩端射口稍露，比例恰到好處．如圖2，是“琮”的橫截面的示意圖，其“外方”是一個(gè)邊長(zhǎng)為10cm的正方形ABCD，內(nèi)圓圓O的圓心與正方形的中心重合，正方形的四個(gè)角上各有一個(gè)腰長(zhǎng)為4cm的等腰Rt△，圓O與其斜邊相切，則圓O

【答案】3【分析】設(shè)AC與EF交于點(diǎn)M，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到△AME是等腰直角三角形，然后利用勾股定理得到AM=22，AC=【詳解】如圖所示，設(shè)AC與EF交于點(diǎn)M，

∵△AEF是等腰直角三角形，∴∠AEF=45°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠CAE=45°，∴△AME是等腰直角三角形，∴AM2+E∴解得AM=22∵AB=AC=10cm，∠B=90°∴AC=A∴AO=OC=1∴OM=AO?AM=32故答案為：32【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．【變式3】（2023·湖南長(zhǎng)沙·?？既＃┤鐖D所示，已知正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于⊙O，連接AC，BD，相交于點(diǎn)P．若⊙O的半徑為1，以下結(jié)論正確的是．（填序號(hào)）①AC=2；②∠APD=135°；③△ABC的面積為2?12

【答案】①②③④【分析】連接OA，OB，OC，OD，OB交AC于Q，由正多邊形與圓可知OA=OB=OC=1，∠AOB=∠BOC=∠COD=360°8=45°，進(jìn)而可知△AOC，△BOD【詳解】解：連接OA，OB，OC，OD，OB交AC于Q，

∵正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于⊙O，∴OA=OB=OC=1，故④正確，∠AOB=∠BOC=∠COD=360°8=45°，則∠AOC=90°∴△AOC為等腰直角三角形，同理，△BOD為等腰直角三角形，∴AC=2∠OAC=∠ODB=45°，則△AOQ為等腰直角三角形，由四邊形AODP的內(nèi)角和為360°，可知∠APD=135°，故②正確，∵△AOQ為等腰直角三角形，∴OQ=22OA=∴S△ABC故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，掌握正多邊形與圓的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．同步過(guò)關(guān)一、單選題1．（2022秋·廣東云浮·九年級(jí)校考期末）已知正六邊形的邊長(zhǎng)為4，則它的邊心距為（）A．1 B．2 C．3 D．2【答案】D【分析】證出△AOB是等邊三角形，再由勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖所示，過(guò)O作OG⊥AB于G，∵∠AOB=360°6=60°∴△AOB是等邊三角形，∵OG⊥AB，∴∠AOG=30°，∴AG=1∴OG=O故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，⊙O的半徑為2，△ABC是⊙O的內(nèi)接等邊三角形，點(diǎn)DE在⊙O上．四邊形BCDE為平行四邊形，則平行四邊形BCDE的面積是（）A．43 B．4 C．2 D．23【答案】A【分析】連接BD、OC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得∠BCD=90°，再根據(jù)圓周角定理得BD為⊙O的直徑，利用圓周角定理得到∠BOC=2∠A=120°，根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到CD，【詳解】解：連接BD、OC，如圖，∵四邊形BCDE為平行四邊形，∴∠E=∠BCD，∵∠E+∠BCD=180°，∴∠E=∠BCD=90°，∴BD為⊙O的直徑，∴BD=4，∵△ABC為等邊三角形，∴∠A=60°，∴∠BOC=2∠A=120°，而OB=OC，∴∠CBD=30°，在Rt△BCD中，CD=12BD=2∴矩形BCDE的面積=BC?CD=43故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外接圓與外心，垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。部疾榱藞A周角定理、等邊三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·山東青島·九年級(jí)青島二中?？计谥校┤鐖D，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，若⊙O的半徑為5，則AB的長(zhǎng)度為（

）A．π B．2π C．5π D．10π【答案】B【分析】利用正五邊形的性質(zhì)得出中心角度數(shù)，進(jìn)而利用弧長(zhǎng)公式求出即可．【詳解】解：連接OA、OB，∵⊙O為正五邊形ABCDE的外接圓，⊙O的半徑2，∴∠AOB=360°5∴AB的長(zhǎng)度=72π×5180=2π故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形的性質(zhì)、弧長(zhǎng)的計(jì)算，掌握正多邊形的中心角的計(jì)算公式、弧長(zhǎng)的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·河南商丘·九年級(jí)統(tǒng)考期中）一個(gè)圓的半徑為2，則該圓的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為（

）A．3 B．23 C．2 D．【答案】D【分析】通過(guò)添加輔助線構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而運(yùn)用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意可畫出圖形，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∴OB2+O∴BC=22故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接正方形，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用圓內(nèi)接正多邊形解決問(wèn)題．5．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）如圖①，直六棱柱的底面是正六邊形，側(cè)面ABCD中，AB＝10cm，BC＝20cm，現(xiàn)用一塊矩形紙板EFGH制作圖①中的直六棱柱，按圖②中的方案裁剪，則GF的長(zhǎng)是（

）A．（20+103）cm B．（30+103）cm C．（20+203）cm D．403cm【答案】C【分析】直接利用正六邊形的性質(zhì)結(jié)合六棱柱側(cè)面展開圖的性質(zhì)分析得出答案．【詳解】如圖所示：可得MN＝BC＝20cm，△OWM是等邊三角形，邊長(zhǎng)為10cm，則它的高為：102?52＝5故FG＝20+4×53＝（20+203）cm．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形，正確掌握正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考二模）如圖，正十二邊形A1A2…A12，連接A3A7，A7A10，則∠A3A7A10的度數(shù)為（）A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】D【詳解】設(shè)該正十二邊形的中心為O，如圖，連接A10O和A3O，由題意知，A3B7∴∠A3OA10=512∴∠A3A7A10=75°.故選D．7．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）利用圓的等分，在半徑為3的圓中作出如圖的圖案，則相鄰兩等分點(diǎn)之間的距離為（

）A．3 B．33 C．4 【答案】A【分析】如解析圖，只需要證明△AOB是等邊三角形，即可得到AB=OA=3．【詳解】解：如圖所示，A、B是相鄰兩等分點(diǎn)，連接AB，由題意得∠AOB=360°∵OA=OB，∴△AOB是等邊三角形，∴AB=OA=3，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形和圓，證明△AOB是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．8．（2022·江蘇南通·校聯(lián)考一模）若一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是135°，則這個(gè)正多邊形的中心角為(A．20° B．45° C．60°【答案】B【分析】根據(jù)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是135°，則知該正多邊形的一個(gè)外角為45°，再根據(jù)多邊形的外角之和為【詳解】解：∵正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是135°∴該正多邊形的一個(gè)外角為45°∵多邊形的外角之和為360°∴邊數(shù)n=∴該正多邊形為正八邊形，故這個(gè)正多邊形的中心角為：360°故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形和圓，解答本題的關(guān)鍵是知道多邊形的外角之和為360°9．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知圓內(nèi)接正六邊形的半徑為2，則該內(nèi)接正六邊形的邊心距為(

)A．1 B．2 C．3 D．5【答案】C【分析】構(gòu)建直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系即可求出．【詳解】解：連接OA，作OM⊥AB，則∠AOM=30°，AB=2，∴AM=1，根據(jù)勾股定理可得OM=O∴正六邊形的邊心距是3．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了正多邊形和圓、勾股定理，正確掌握正六邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為3，則正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為（

）

A．3 B．6 C．33 D．【答案】A【分析】連接OA，OF，證明△AOF是等邊三角形，即可得AF的長(zhǎng)，即正六邊形的邊長(zhǎng)．【詳解】解：連接OA，OF，如圖．

∵∠AOF是正六邊形ABCDEF的中心角，∴∠AOF=1又∵OA=OF=3，∴△AOF是等邊三角形，∴AF=OA=3．∴正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為3．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，外接圓的定義與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋·湖北恩施·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形ABCD與正方形DEFG彼此相鄰且正方形ABCD內(nèi)接于半圓，點(diǎn)F在半圓上，若小正方形DEFG的面積為16cm2，則該半圓的半徑為（A．4+5cm B．9cm C．4【答案】C【分析】連接OC，OF，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2x，圓的半徑為r，在Rt△COD和Rt△FOG中，由勾股定理可得：5x【詳解】解:連接OC，OF，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2x，圓的半徑為r，∵正方形ABCD與正方形DEFG彼此相鄰且正方形ABCD內(nèi)接于半圓，點(diǎn)F在半圓上，∴OD=x，CD=2x，∵小正方形DEFG的面積為16cm∴小正方形DEFG的邊長(zhǎng)DG=FG=4，在Rt△COD和Rtr2=OD2+C∴5x解得：x=4或x=?2（舍去）∴r2∴r=45故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、勾股定理及正方形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接正方形的性質(zhì)及作出輔助線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵12．（2022秋·福建福州·九年級(jí)福州三牧中學(xué)?？计谀┮阎暹呅蔚倪呴L(zhǎng)為1，則該正五邊形的對(duì)角線長(zhǎng)度為（

）．A．3 B．5?12 C．5+1【答案】C【分析】如圖，五邊形ABCDE為正五邊形，證明AB=BC=AE=CD,AF=BF=BG=CG,AB=AG=1,再證明△ABF∽△ACB,可得：ABAC=BFCB,設(shè)AF=x【詳解】解：如圖，五邊形ABCDE為正五邊形，∴五邊形的每個(gè)內(nèi)角均為108°，AB=BC=AE=CD,

∴∠BAG=∠ABF=∠ACB=∠CBD=36°，∴∠BGF=∠BFG=72°，∠ABG=∠AGB=72°,

AF=BF,BG=GC,BG=BF,∴AF=BF=BG=CG,AB=AG=1,∵∠BAC=∠FAB,∠ABF=∠ACB,∴△ABF∽△ACB,∴ABAC設(shè)AF=x，則AC=1+x，∴1∴x解得：x1經(jīng)檢驗(yàn)：x=?1?∴AC=1+?1+故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，證明△ABF∽△ACB是解本題的關(guān)鍵.13．（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）下列命題：①各邊相等的多邊形是正多邊形；②正多邊形是中心對(duì)稱圖形；③正六邊形的外接圓半徑與邊長(zhǎng)相等；④正n邊形共有n條對(duì)稱軸．其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)正多邊形的性質(zhì)以及正多邊形與圓的關(guān)系逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：各邊相等各角相等的多邊形是正多邊形，只有各邊相等的多邊形不一定是正多邊形，如菱形，故①是假命題；正三角形和正五邊形就不是中心對(duì)稱圖形，故②為假命題；正六邊形中由外接圓半徑與邊長(zhǎng)可構(gòu)成等邊三角形，所以外接圓半徑與邊長(zhǎng)相等，故③為真命題；根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義和正多邊形的特點(diǎn)，可知正n邊形共有n條對(duì)稱軸，故④為真命題.故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形的概念以及正多邊形與圓的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題型．14．（2022秋·湖北孝感·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）半徑為a的圓的內(nèi)接正六邊形的邊心距是（）A．a(chǎn)2 B．2a2 C．3【答案】C【分析】連接OA、OB，過(guò)點(diǎn)O作OH垂直AB于點(diǎn)H．根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)，即可證明△AOB是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理，即可解出正六邊形邊心距．【詳解】如圖，連接OA、OB，過(guò)點(diǎn)O作OH垂直AB于點(diǎn)H，∵六邊形ABCDEF為正六邊形∴∠AOB=60°，OA=OB=AB=a，AH=BH=a2∴OH=OOH即為正六邊形邊心距．故選C【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)．了解圓的半徑即為正六邊形的邊長(zhǎng)是解本題的關(guān)鍵．15．（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）半徑相等的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長(zhǎng)之比（

）A．1：2：5 B．3：2：1 C．3：2：1 D．1：2：3【答案】B【分析】設(shè)圓的半徑為R，分別畫出圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，等腰直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，求出邊長(zhǎng)即可．【詳解】解：設(shè)圓的半徑為R，如圖（一），連接OB，過(guò)O作OD⊥BC于D，則∠OBC=30°，BD=OB·cos故BC=2BD=3如圖（二），連接OB、OC，過(guò)O作OE⊥BC于E，則△OBE是等腰直角三角形，即BE=2故BC=2BE=2如圖（三），連接OA、OB，過(guò)O作OG⊥AB于G，則△OAB是等邊三角形，故AG=OA·cos∴AB=2AG=R，故圓內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長(zhǎng)之比為3R:故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的計(jì)算，一般是通過(guò)中心作邊的垂線，連接半徑，把正多邊形中的半徑，邊長(zhǎng)，邊心距，中心角之間的計(jì)算轉(zhuǎn)化為解直角三角形．二、填空題16．（2022秋·河南鄭州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）六個(gè)帶30°角的直角三角板拼成一個(gè)正六邊形，直角三角板的最短邊為2，求中間正六邊形的面積．【答案】6【分析】利用△ABG≌△BCH得到AG=BH，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BG=2AG，接著證明HG=AG可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，作正六邊形的中心點(diǎn)O，連接OM、ON、OP、OQ、OH、OG，∵△ABG≌△BCH，∴AG=BH，∵∠ABG=30°，∴BG=2AG，即BH+HG=2AG，∴HG=AG=2，∴中間正六邊形可以看作是6個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形組成的，∴中間正六邊形的面積=6×1故答案為：63【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形：在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．也考查了正多邊形與圓，解題的關(guān)鍵是求出HG．17．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，⊙O的半徑為1，作兩條互相垂直的直徑AB，CD，弦AC是⊙O的內(nèi)接正四邊形的一條邊.若以A為圓心，以1為半徑畫弧，交⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AE，CE，弦EC是該圓一個(gè)內(nèi)接正多邊形的一邊，則該正多邊形的面積為．

【答案】3【分析】如圖所示，連接OE，作EG⊥OC于點(diǎn)G，由題意可得三角形AEO是等邊三角形，進(jìn)而可得∠EOC=30°，可得EC是該圓內(nèi)接正十二邊形的一邊，然后根據(jù)該正多邊形的面積=12S【詳解】解：如圖所示，連接OE，作EG⊥OC于點(diǎn)G．

根據(jù)題意可知，AB⊥CD，AE=AO=EO，∴三角形AEO是等邊三角形，∠AOC=90°，∴∠AOE=60°，∴∠EOC=30°，∴EC是該圓內(nèi)接正十二邊形的一邊．∵△COE是頂角為30°的等腰三角形，∴EG=1∴該正多邊形的面積為12S故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓，屬于常考題型，正確理解題意、熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．18．（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，⊙O是正五邊形ABCDE的外接圓，則∠ADC的度數(shù)是．【答案】72°【分析】連接AC，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得∠ACB+∠BAC=72°，根據(jù)圓周角定理可得∠ADC=∠ADB+∠CDB=∠ACB+∠BAC=72°．【詳解】解：連接AC，∵ABCDE是正五邊形，∴其每個(gè)內(nèi)角都是108°，∴∠ACB+∠BAC=72°，∵∠ACB=∠ADB，∠BAC=∠CDB，∴∠ADC=∠ADB+∠CDB=∠ACB+∠BAC=72°，故答案為：72°．【點(diǎn)睛】本題考查圓與正多邊形，掌握?qǐng)A周角定理、正五邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．19．（2022秋·天津?qū)幒印ぞ拍昙?jí)階段練習(xí)）一個(gè)正六邊形的半徑為R，則這個(gè)正六邊形的邊心距為【答案】32【詳解】試題解析：如圖所示，∵正六邊形的半徑是OA=OB=R，∴∠AOB=（3606）°=60°，∠AOD=1∴OD=OA?cos30°=3220．（2023春·廣東揭陽(yáng)·九年級(jí)普寧二中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為4的正六邊形ABCDEF的中心與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，AF∥x軸，將正六邊形ABCDEF繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n次，每次旋轉(zhuǎn)60°，當(dāng)n=2023時(shí)，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為．【答案】（4，0）【分析】由正六邊形的中心角是60°可知，將正六邊形ABCDEF繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2023次時(shí)，點(diǎn)A所在的位置與點(diǎn)E點(diǎn)所在的位置重合．【詳解】解：連接OA、OC、OD、OF，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠AOF=∠FOE=∠EOD=∠DOC=∠COB=∠BOA=60°，∵將正六邊形ABCDEF繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，∴點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)6次回到點(diǎn)A，2023÷6=336…2，∴正六邊形ABCDEF繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2023次，與點(diǎn)E重合，∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），故答案為（4，0）．【點(diǎn)睛】此題主要考查了圖形類探索與規(guī)律，正六邊形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)-旋轉(zhuǎn)，此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．21．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）如圖，有六個(gè)矩形水池環(huán)繞，矩形的內(nèi)側(cè)邊所在直線恰好圍成正六邊形ABCDEF，正六邊形的邊長(zhǎng)為4米．要從水源點(diǎn)P處向各水池鋪設(shè)供水管道，這些管道的總長(zhǎng)度最短是米．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】123【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，可得ED∥AB，DC∥FA，EF∥CB，然后根據(jù)平行線之間的距離處處相等，可令點(diǎn)P為正六邊形ABCDEF的中心，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥ED于G，先求出正六邊形的中心角，即可求出∠P，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)分別求出GD和PG，根據(jù)垂線段最短，P到ED的最短距離即為PG，最后根據(jù)正六邊形的性質(zhì)即可求出這些管道的最短總長(zhǎng)度.【詳解】解：∵六邊形ABCDEF為正六邊形∴ED∥AB，DC∥FA，EF∥CB根據(jù)平行線之間的距離處處相等，可令點(diǎn)P為正六邊形ABCDEF的中心過(guò)點(diǎn)P作PG⊥ED于G，∵正六邊形的中心角為360°÷6＝60°，∴∠P＝30°，∵正六邊形的邊長(zhǎng)為4米，∴GD＝12×4＝2PG＝GDtan30°＝23根據(jù)垂線段最短，P到ED的最短距離為PG＝23米．∴這些管道的總長(zhǎng)度最短是6×23＝123米．故答案為:123.【點(diǎn)睛】此題考查的是正六邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和解直角三角形，掌握正六邊形的性質(zhì)、平行線之間的距離處處相等、垂線段最短和用銳角三角函數(shù)解直角三角形是解決此題的關(guān)鍵.22．（2022秋·河北石家莊·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，如果AB、AC分別是圓O的內(nèi)接正三角形和內(nèi)接正方形的一條邊，則∠COB=°，BC一定是圓O的內(nèi)接正n邊形的一條邊，那么n=．【答案】3012【分析】利用正多邊形與圓，分別計(jì)算圓O的內(nèi)接正方形與內(nèi)接正三角形的中心角得到∠AOC=90°，∠AOB=120°，則∠BOC=30°，然后計(jì)算即可得到n的值．【詳解】解：如圖，∵AB、AC分別為圓O的內(nèi)接正方形與內(nèi)接正三角形的一邊，∴∠AOC=360°4=90°∴∠BOC=∠AOB?∠AOC=30°，∴n=360°故答案為：30，12．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓：把一個(gè)圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)正多邊形的外接圓；熟練掌握正多邊形的有關(guān)概念是關(guān)鍵．23．（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，連接AF，若∠AFC＝126°，則∠BAF的度數(shù)為．【答案】18°．【分析】根據(jù)正五邊形內(nèi)角和可以求出∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出∠BAF的度數(shù)．【詳解】解：∵正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，∴∠ABC=(5?2)×180°5∵∠AFC=126°，∴∠BAF=