蘇科版九年級數(shù)學上冊同步精講精練1.4用一元二次方程解決問題(八大題型)(原卷版+解析)

（蘇科版）九年級上冊數(shù)學《第1章一元二次方程》1.4用一元二次方程解決問題知識點知識點列一元二次方程解決問題的一般步驟(1)“審”：即審題，讀懂題意弄清題中的已知量和未知量；(2)“設”：即設未知數(shù)，設未知數(shù)的方法有直接設和間接設未知數(shù)兩種；(3)“列”：即根據(jù)題中等量關系列方程；(4)“解”：即求出所列方程的根；(5)“檢驗”：即驗證根是否符合題意；(6)“答”：即回答題目中要解決的問題．【注意】（1）設元時，可以問什么設什么（直接設元），也可設一個與問題有關聯(lián)且方便列方程的量（間接設元）．（2）對求出的結果進行檢驗，看是否為原問題的解以及是否符合題意，檢驗一般只寫出驗根后的結果，過程可以不必詳細，但此步驟必不可少，一定要充分利用題目中的條件把不符合題意的根設去.題型一增長率問題題型一增長率問題【例題1】（2022秋?安次區(qū)期末）某種品牌的手機經(jīng)過四、五月份連續(xù)兩次降價，每部售價由3200元降到了2500元，設平均每月降低的百分率為x，根據(jù)題意列出的方程是（）A．2500（1+x）2＝3200 B．2500（1﹣x）2＝3200 C．3200（1﹣x）2＝2500 D．3200（1+x）2＝2500解題技巧提煉平均增長（降低）率問題：增長率＝增長數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原有量是a，現(xiàn)有量是b,每次增長的百分率為x，則第一次增長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2，即原有量×（1+增長百分率）2＝現(xiàn)有量．平均降低率公式：a（1﹣x）2=b（x為減低率）【變式1-1】（2023?廬陽區(qū)校級三模）某工廠計劃用兩年時間使產(chǎn)值增加到目前的4倍，并且使第二年增長率是第一年增長率的2倍，設第一年增長率為x，則可列方程得（）A．（1+x）2＝4 B．x（1+2x+4x）＝4 C．2x（1+x）＝4 D．（1+x）（1+2x）＝4【變式1-2】（2022?渝北區(qū)校級模擬）某商場一月份的營業(yè)額為400萬元，第一季度（包含一月、二月和三月）的營業(yè)額共1800萬元，設該商場每月營業(yè)額的月平均增長率為x，則可列方程為（）A．400（1+x）2＝1800 B．400[1+（1+x）+（1+x）2]＝1800 C．400×3+400x2＝1800 D．400+400×3x＝1800【變式1-3】（2022秋?平陰縣期末）某商品經(jīng)過兩次連續(xù)提價，每件售價由原來的100元上漲到了121元．設平均每次漲價的百分率為x，則x是．【變式1-4】（2023?德慶縣一模）新能源汽車節(jié)能、環(huán)保，越來越受消費者喜愛，我國新能源汽車近幾年出口量逐年增加，2020年出口量為20萬臺，2022年出口量增加到45萬臺．（1）求2020年到2022年新能源汽車出口量的年平均增長率是多少？（2）按照這個增長速度，預計2023年我國新能源汽車出口量為多少？【變式1-5】（2023春?華龍區(qū)校級月考）受益于國家支持新能源汽車發(fā)展和“一帶一路”倡議等多重利好因素，我國某汽車零部件生產(chǎn)企業(yè)的利潤逐年增高，據(jù)統(tǒng)計，2019年利潤為2億元，2021年利潤為2.88億元．（1）求該企業(yè)從2019年至2021年利潤的年均增長率；（2）若2022年保持前兩年利潤的年均增長率不變，該企業(yè)2022年的利潤能否超過3.4億元？題型二傳播問題題型二傳播問題式有意義的條件【例題2】在畢業(yè)季，某班同學互贈畢業(yè)禮物，若每兩位同學之間互贈一件禮物，據(jù)統(tǒng)計，全班共贈送了2070件禮物，請問這個班有多少位同學？解題技巧提煉◆傳播問題：對于傳播問題，應弄清傳染源對應的基數(shù)及每輪傳播后的總量．設a為傳染源數(shù)，x為每個傳染源傳播的個數(shù)，則傳播兩輪后感染的總個數(shù)為a(1+x)2．◆握手問題：假設有x個人，每個人都要和除自己外的（x﹣1）個人握手，則所有人需要握手的次數(shù)為．【變式2-1】（2022春?龍口市期中）一次座談會上，每兩個參加會議的人都互相握手一次，經(jīng)統(tǒng)計，一共握手36次，則這次會議與會人數(shù)是共人．【變式2-2】（2023?富錦市校級二模）某?！把袑W”活動小組在一次野外實踐時，發(fā)現(xiàn)一種植物的1個主干上長出x個枝干，每個枝干上再長出x個小分支．若在一個主干上的主干，枝干和小分支的數(shù)量之和是57個，則x等于（）A．5 B．6 C．7 D．8【變式2-3】（2023?臨潼區(qū)三模）春節(jié)過后，甲型流感病毒（以下簡稱：甲流）開始悄然傳播，某辦公室最初有三人同時患上甲流，經(jīng)過兩輪傳播后，辦公室現(xiàn)有27人確診甲流，請問在兩輪傳染過程中，平均一人會傳染給幾個人？【變式2-4】（2023春?廬陽區(qū)校級期中）隨著通信事業(yè)的日益發(fā)達，信息傳播越來越快捷，如果有一個人收到一條信息后，轉發(fā)了此信息，收到轉發(fā)的信息的人中有13【變式2-5】（2022秋?昭通期中）新年到了，為增進同學友誼，某班主任規(guī)定本班同學間，每兩個人必須相互通電話1次．（1）若本班人數(shù)為20，則共通話次，若本班人數(shù)為n（n≥2，且n為正整數(shù)），則共通話次；（2）若同學們共通話1225次，求該班同學的人數(shù)；（3）王峰同學由打電話問題想到了一個數(shù)學問題：若線段AB上共有m個點（不含端點A、B），線段總數(shù)為多少呢？請直接寫出結論．題型三面積問題----幾何圖形的問題題型三面積問題----幾何圖形的問題綜合應用【例題3】（2022秋?鞍山期末）如圖1，將一張寬10cm的矩形硬紙片裁剪掉圖中陰影部分（兩個正方形，兩個矩形）之后，恰好折成如圖2的底面為正方形的有蓋紙盒（底面積大于側面積），紙盒側面積為32cm2，求該有蓋紙盒的底面邊長．（單位：cm）解題技巧提煉根據(jù)把不規(guī)則圖形轉化為熟悉的規(guī)則圖形從而列出一元二次方程．【變式3-1】（2023春?金寨縣期末）用一條長50cm的繩子圍成一個面積為100cm2的矩形，設矩形的一邊長為xcm，根據(jù)題意，可列方程為（）A．x（50﹣x）＝100 B．x（25﹣x）＝100 C．x（50+x）＝100 D．x（25+x）＝100【變式3-2】（2023?和平區(qū)模擬）南宋著名數(shù)學家楊輝所著的《楊輝算法》中記載：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長闊各幾何？”意思是“一塊矩形田地的面積是864平方步，只知道它的長與寬的和是60步，問它的長和寬各是多少步？”設矩形田地的長為x步，根據(jù)題意可以列方程為（）A．x2﹣60x﹣864＝0 B．x（x+60）＝864 C．x2﹣60x+864＝0 D．x（x+30）＝864【變式3-3】（2023?青海模擬）一塊矩形菜地的面積是120m2，如果它的長減少2m，那么菜地就變成正方形，則原菜地的長是m．【變式3-4】（2023春?舒城縣校級期中）如圖，長方形鐵皮的長為10cm，寬為8cm，現(xiàn)在它的四個角上剪去邊長為xcm的正方形，做成底面積為24cm2的無蓋的長方體盒子，則x的值為（）A．2 B．7 C．2或7 D．3或6【變式3-5】（2022秋?南岸區(qū)期末）如圖，一個長為acm，寬為bcm的矩形鐵片．（1）如果a＝30，b＝20，在矩形的中央挖掉一個200cm2的矩形后，成為一個各條邊一樣寬的鐵框，求這個鐵框的寬度；（2）如果a＝2b，在四個角上分別裁掉四個邊長為4cm的正方形，把它制作成一個體積為4576cm3的無蓋長方體，求原矩形的面積．題型四面積問題----邊框與甬道問題題型四面積問題----邊框與甬道問題綜合應用【例題4】（2022秋?中山市期末）如圖，矩形ABCD是一塊長16米、寬12米的荒地，要在這塊荒地上建造一個矩形花園EFGH，在花園的外圍是寬度相等的小路．要使花園所占面積為荒地面積的一半，則小路的寬為多少米？解題技巧提煉根據(jù)把不規(guī)則圖形轉化為熟悉的規(guī)則圖形從而列出一元二次方程．【變式4-1】（2022秋?成武縣校級期末）如圖，在長為30m，寬20m的矩形田地中開辟兩條寬度相等的道路，已知剩余田地的面積為551m2，求道路的寬度．設道路的寬度為xm，則可列方程（）A．（20+x）（30+x）＝551 B．（20﹣x）（30﹣x）＝551 C．20×30﹣20x﹣30x＝551 D．20×30﹣20x﹣30x﹣x2＝551【變式4-2】（2022秋?遵義期末）如圖，在一個長為60m，寬為40m的矩形場地內修筑兩條等寬的道路，剩余部分為綠化用地，如果綠化用地的面積為2204m2，那么道路的寬為m．【變式4-3】（2022秋?中寧縣期末）某校學生會組織周末愛心義賣活動，義賣所得利潤將全部捐獻給希望工程，活動選在一塊長40米、寬28米的矩形空地上．如圖，空地被劃分出6個矩形區(qū)域，分別擺放不同類別的商品，區(qū)域之間用寬度相等的小路隔開，已知每個區(qū)域的面積均為128平方米，小路的寬應為多少米？【變式4-4】（2023春?合肥期末）某工廠利用空地新建一個長方形電動車棚，其中一面靠院墻，如圖1，這堵墻的長度為10米．已知現(xiàn)有的木板材料（圖中細線部分）可新建圍墻26米，同時在與院墻平行的一面開一個2米寬的門，設該長方形電動車棚與院墻垂直的一邊長為a米．（1）求與墻平行的一邊長為多少米？（用含a的代數(shù)式表示）（2）當a＝10時，為了方便職工通行，施工單位決定在車棚內修建幾條等寬的小路（如圖2中內部陰影區(qū)域），使得停放電動車的空白面積為54平方米，那么小路的寬度是多少米？【變式4-5】（2022秋?欽州期末）如圖①，某校進行校園改造，準備將一塊正方形空地劃出部分區(qū)域栽種鮮花，原空地一邊減少了4m，另一邊減少了5m，剩余部分面積為650m2．（1）求原正方形空地的邊長；（2）在實際建造時，從校園美觀和實用的角度考慮，按圖②的方式進行改造，先在正方形空地一側建成1m寬的畫廊，再在余下地方建成寬度相等的兩條小道后，其余地方栽種鮮花，如果栽種鮮花區(qū)域的面積為812m2，求小道的寬度．題型五面積問題----圍墻問題題型五面積問題----圍墻問題【例題5】（2022秋?南宮市期末）如圖，有一段長為20米的籬笆，利用一面墻，圍成一個長方形花圃ABCD，設花圃的寬AB為x米（其中AB＜BC）．（1）請你用含x的代數(shù)式表示BC的長．（2）若此時花圃的面積剛好為42m2，求此時花圃的寬AB的長度．解題技巧提煉圍墻問題難點是用材料圍成的圖形的邊如何表示及所圍圖形的平行于墻的線段的取值范圍.【變式5-1】（2023?揭陽一模）如圖，有一面積為600m2的長方形雞場，雞場的一邊靠墻（墻長35m），另三邊用竹籬笆圍成，其中一邊開有1m的門，竹籬笆的總長為69m．設雞場垂直于墻的一邊為xm，則列方程正確的是（）A．x（69+1﹣2x）＝600 B．x（69﹣1﹣2x）＝600 C．x（69﹣2x）＝600 D．x（35+1﹣2x）＝600【變式5-1】（2022秋?昆都侖區(qū)期末）如圖，一農(nóng)戶準備圍建一個矩形豬舍，其中一邊靠墻，另外三邊用25m長的建筑材料圍成，已知墻長為12m，為方便進出，在垂直于墻的一邊留一個1m寬的門，所圍矩形豬舍的長、寬分別為多少時，豬舍面積為80m2？【變式5-3】某校為了在學生中進行黨史教育，決定在操場舉行“中國共產(chǎn)黨歷史知識展覽”，需要一塊面積為480平方米的矩形場地．若矩形場地的一邊靠墻（墻的長度足夠），另外三邊由總長為60米的圍繩圍成，并且在垂直于墻的邊上各設置了一個開口寬為1米的入口和出口（如圖）．請根據(jù)方案計算出矩形場地的長米．【變式5-4】學校打算用21米的籬笆圍成兩間長方形兔舍飼養(yǎng)小兔，兔舍的一面靠墻（如圖，墻足夠長）．（1）如果AB邊長為x米，求BC邊長（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若兩間兔舍的總面積是30平方米，求AB的長．【變式5-5】（2022秋?白云區(qū)校級期末）用54m長的竹柵欄圍一個矩形菜園，菜園的一邊靠長為am的墻，另三邊用竹柵欄圍成，且在與墻平行的一邊開兩扇門，寬度都是1m，設與墻垂直的一邊長為xm．（1）當a＝41時，矩形菜園面積是320m2，求x；（2）當a足夠大時，問矩形菜園的面積能否達到400m2？題型六數(shù)字問題題型六數(shù)字問題【例題6】已知一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4，且個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的平方和比這個兩位數(shù)小4，設個位上的數(shù)字為x，列出關于x的方程：．解題技巧提煉解決數(shù)字問題的關鍵是用代數(shù)式表示出這個多位數(shù)的數(shù)值，設未知數(shù)時，通常采用間接設未知數(shù)的方法，即設這個多位數(shù)的某一位上的數(shù)字為x，然后將其它數(shù)位上的數(shù)字用含x的式子表示出來，最后根據(jù)題中的等量關系列方程求解即．【變式6-1】一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4，且個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個兩位數(shù)大4．設個位數(shù)字為x，則方程為（）A．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x﹣4 B．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x+4 C．x2+（x﹣4）2＝10x+x﹣4﹣4 D．x2+（x+4）2＝10（x+4）+x+4【變式6-2】一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字的平方少9．如果把十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字對調，得到的兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)小27，則原來的兩位數(shù)是．【變式6-3】有一個兩位數(shù)，它的十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字小2，十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字的積的3倍剛好等于這個兩位數(shù)，求這個兩位數(shù)．【變式6-4】一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字的平方小2，如果把這個數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字交換，那么所得到的兩位數(shù)比原來的數(shù)小36，求原來的兩位數(shù)．【變式6-5】（2022秋?沈丘縣校級月考）有一個兩位數(shù)，它們的十位數(shù)字與個位數(shù)字之和為8，如果把十位數(shù)字與個位數(shù)字調換后，所得的兩位數(shù)乘以原來的兩位數(shù)就得1855，求這個兩位數(shù)．題型七商品銷售問題題型七商品銷售問題【例題7】（2023?偃師市模擬）某種服裝平均每天可銷售20件，每件盈利44元，在每件降價幅度不超過10元的情況下，若每件降價1元，則每天可多售5件，如果每天要盈利1600元，每件降價多少元？設每件降價x元，則可列方程為（）A．（44+x）（20+5x）＝1600 B．（44﹣x）（20+5x）＝1600 C．（44﹣x）（20﹣5x）＝1600 D．（44﹣10x）（20+5x）＝1600解題技巧提煉◆商品銷售問題：利潤=售價－進價；利潤率=利潤進價×100%售價=進價×（1+利潤率）；總利潤=總售價－總進價=（售價－進價）×銷售量【變式7-1】某商品進價為3元，當售價為x元時可銷售商品（x+3）個，此時獲利160元，則該商品售價為元．【變式7-2】某種服裝，平均每天可以銷售20件，每件盈利44元．在每件降價幅度不超過10元的情況下，若每件每降價1元，則每天可多售出5件．如果每天要盈利1600元，則每件應降價元．【變式7-3】在水果銷售旺季，某水果店購進一種優(yōu)質水果，進價為20元/千克，售價不低于20元/千克，且不超過32元/千克，根據(jù)銷售情況，發(fā)現(xiàn)該水果一天的銷售量（千克）與該天的售價x（元/千克）滿足的關系為一次函數(shù)y＝﹣2x+80．（1）某天這種水果的售價為23.5元/千克，求當天該水果的銷售量；（2）如果某天銷售這種水果獲利150元，那么該天水果的售價為多少元？【變式7-4】（2022秋?天府新區(qū)期末）2022年11月29日，神舟十五號發(fā)射升空，中國首次實現(xiàn)空間站三船三艙構型，以及6名航天員同時在軌駐留．某網(wǎng)店為滿足航空航天愛好者的需求，特推出了“中國空間站”模型．已知該模型平均每天可售出20個，每個盈利40元．為了擴大銷售，該網(wǎng)店準備適當降價，經(jīng)過一段時間測算，每個模型每降低1元，平均每天可以多售出2個．（1）若每個模型降價4元，平均每天可以售出多少個模型？此時每天獲利多少元？（2）在每個模型盈利不少于25元的前提，要使“中國空間站”模型每天獲利1200元，每個模型應降價多少元？【變式7-5】（2023春?舒城縣校級期中）某商店如果將進貨價為20元的商品按每件32元售出，每天可銷售100件，現(xiàn)在采取降低售價，增加售貨量的方法增加利潤，已知這種商品每降價0.5元，其銷量增加5件．（1）若降價x元，則每天的銷量為件（用含x的代數(shù)式表示）；（2）要使每天獲得720元的利潤，請你幫忙確定售價；（3）該商店能否通過降價銷售的方式保證每天獲得1500元的利潤？并說明理由．題型八動點運動問題題型八動點運動問題【例題8】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．動點P，Q分別從點A，B同時開始移動，點P在AB上以1cm/s的速度向B點移動，點Q在BC上以2cm/s的速度向C點移動．當點Q移動到點C后停止，點P也隨之停止移動．下列時刻中，能使△PBQ的面積為15cm2的是（）A．2s B．3s C．4s D．5s解題技巧提煉以“靜”制“動”求解動態(tài)問題1、分析出動點的運動軌跡，用含未知數(shù)的代數(shù)式把相應的線段的長度表示出來是解決這類問題的關鍵；2、結合題意，用“靜”的方法處理“動”的問題.【變式8-1】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．動點P，Q分別從點A，B同時開始移動，點P在AB上以1cm/s的速度向B點移動，點Q在BC上以2cm/s的速度向C點移動．當點Q移動到點C后停止，點P也隨之停止移動．下列時刻中，能使△PBQ的面積為15cm2的是（）A．2s B．3s C．4s D．5s【變式8-2】（2022秋?確山縣校級月考）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝7cm，動點P，Q分別從點A，B同時開始移動（移動方向如圖所示），點P的速度為1cm/s，點Q的速度為2cm/s，點Q移動到點C后停止，點P也隨之停止運動，若使△PBQ的面積為15cm2，則點P運動的時間是（）A．3.5s B．5s C．4s D．3s【變式8-3】如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，動點P從點A出發(fā)沿AB邊以1cm/秒的速度向點B移動，點Q從點B出發(fā)，沿BC邊以2cm/秒的速度向點C移動，如果點P，Q分別從點A，B同時出發(fā)，當有一個點到達終點時另一個點也停止運動，在運動過程中，設點P的運動時間為t，則當△BPQ的面積為8cm2時，t的值（）A．2或3 B．2或4 C．1或3 D．1或4【變式8-4】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝9cm．現(xiàn)有動點P從點A出發(fā)，沿AC向點C方向運動，動點Q從點C出發(fā)，沿線段CB向點B方向運動，如果點P的速度是2cm/s，點Q的速度是1cm/s，它們同時出發(fā)，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動．設運動的時間為ts，Rt△CPQ的面積Scm2．（1）用含t的代數(shù)式表示S．（2）當運動多少秒時，Rt△CPQ的面積等于5cm2？【變式8-5】如圖，在長方形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，點P以2cm/s的速度從頂點A出發(fā)，沿折線A﹣B﹣C向點C運動，同時點Q以1cm/s的速度從頂點C出發(fā)，沿CD向點D運動，當其中一個動點到達終點時，另一點也隨之停止運動．（1）兩動點運動幾秒時，四邊形PBCQ的面積是長方形ABCD面積的49（2）是否存在某一時刻，使得點P與點Q之間的距離為5cm？若存在，求出該時刻；若不存在，請說明理由．

（蘇科版）九年級上冊數(shù)學《第1章一元二次方程》1.4用一元二次方程解決問題知識點知識點列一元二次方程解決問題的一般步驟(1)“審”：即審題，讀懂題意弄清題中的已知量和未知量；(2)“設”：即設未知數(shù)，設未知數(shù)的方法有直接設和間接設未知數(shù)兩種；(3)“列”：即根據(jù)題中等量關系列方程；(4)“解”：即求出所列方程的根；(5)“檢驗”：即驗證根是否符合題意；(6)“答”：即回答題目中要解決的問題．【注意】（1）設元時，可以問什么設什么（直接設元），也可設一個與問題有關聯(lián)且方便列方程的量（間接設元）．（2）對求出的結果進行檢驗，看是否為原問題的解以及是否符合題意，檢驗一般只寫出驗根后的結果，過程可以不必詳細，但此步驟必不可少，一定要充分利用題目中的條件把不符合題意的根設去.題型一增長率問題題型一增長率問題【例題1】（2022秋?安次區(qū)期末）某種品牌的手機經(jīng)過四、五月份連續(xù)兩次降價，每部售價由3200元降到了2500元，設平均每月降低的百分率為x，根據(jù)題意列出的方程是（）A．2500（1+x）2＝3200 B．2500（1﹣x）2＝3200 C．3200（1﹣x）2＝2500 D．3200（1+x）2＝2500【分析】可根據(jù)：原售價×（1﹣降低率）2＝降低后的售價得出兩次降價后的價格，然后即可列出方程．【解答】解：依題意得：兩次降價后的售價為3200（1﹣x）2＝2500，故選：C．【點評】本題考查降低率問題，由：原售價×（1﹣降低率）2＝降低后的售價可以列出方程．解題技巧提煉平均增長（降低）率問題：增長率＝增長數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原有量是a，現(xiàn)有量是b,每次增長的百分率為x，則第一次增長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2，即原有量×（1+增長百分率）2＝現(xiàn)有量．平均降低率公式：a（1﹣x）2=b（x為減低率）【變式1-1】（2023?廬陽區(qū)校級三模）某工廠計劃用兩年時間使產(chǎn)值增加到目前的4倍，并且使第二年增長率是第一年增長率的2倍，設第一年增長率為x，則可列方程得（）A．（1+x）2＝4 B．x（1+2x+4x）＝4 C．2x（1+x）＝4 D．（1+x）（1+2x）＝4【分析】由增長率間的關系，可得出第二年增長率為2x，設該工廠原產(chǎn)值為a，則兩年后產(chǎn)值為4a，利用兩年后產(chǎn)值＝原產(chǎn)值×（1+第一年增長率）×（1+第二年增長率），即可列出關于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：∵第二年增長率是第一年增長率的2倍，且第一年增長率為x，∴第二年增長率為2x．設該工廠原產(chǎn)值為a，則兩年后產(chǎn)值為4a，根據(jù)題意得：a（1+x）（1+2x）＝4a，即（1+x）（1+2x）＝4．故選：D．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式1-2】（2022?渝北區(qū)校級模擬）某商場一月份的營業(yè)額為400萬元，第一季度（包含一月、二月和三月）的營業(yè)額共1800萬元，設該商場每月營業(yè)額的月平均增長率為x，則可列方程為（）A．400（1+x）2＝1800 B．400[1+（1+x）+（1+x）2]＝1800 C．400×3+400x2＝1800 D．400+400×3x＝1800【分析】先得到二月份的營業(yè)額，三月份的營業(yè)額，等量關系為：一月份的營業(yè)額+二月份的營業(yè)額+三月份的營業(yè)額＝1800，把相關數(shù)值代入即可．【解答】解：∵一月份的營業(yè)額為400萬元，平均每月增長率為x，∴二月份的營業(yè)額為400×（1+x），∴三月份的營業(yè)額為400×（1+x）×（1+x）＝400×（1+x）2，∴可列方程為400+400×（1+x）+400×（1+x）2＝1800，即400[1+（1+x）+（1+x）2]＝1800，故選：B．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式1-3】（2022秋?平陰縣期末）某商品經(jīng)過兩次連續(xù)提價，每件售價由原來的100元上漲到了121元．設平均每次漲價的百分率為x，則x是．【分析】可先表示出第一次提價后的價格，那么第一次提價后的價格×（1+提價的百分率）＝121，把相應數(shù)值代入即可求解．【解答】解：設平均每次提價的百分率為x，根據(jù)題意，得100（1+x）2＝121．解得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去）．故答案是：10%．【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用，掌握求平均變化率的方法：若設變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關系為a（1±x）2＝b是解決問題的關鍵．【變式1-4】（2023?德慶縣一模）新能源汽車節(jié)能、環(huán)保，越來越受消費者喜愛，我國新能源汽車近幾年出口量逐年增加，2020年出口量為20萬臺，2022年出口量增加到45萬臺．（1）求2020年到2022年新能源汽車出口量的年平均增長率是多少？（2）按照這個增長速度，預計2023年我國新能源汽車出口量為多少？【分析】（1）根據(jù)2020年某款新能源車銷售量為20萬輛，到2022年銷售量為45萬輛，若年增長率x不變，可得關于x的一元二次方程；（2）利用（1）中所求，進而利用2023年出口量＝2022年出口量×（1+增長率），即可得出答案．【解答】解：設年平均增長率為x，根據(jù)題意可列方程：20（1+x）2＝45，解得：x1＝0.5，x2＝﹣2.5（不合題意舍去），答：2020年到2022年新能源汽車出口量的年平均增長率是50%；（2）由（1）得，45×（1+50%）＝67.5（萬），答：預計2023年我國新能源汽車出口量為67.5萬輛．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式1-5】（2023春?華龍區(qū)校級月考）受益于國家支持新能源汽車發(fā)展和“一帶一路”倡議等多重利好因素，我國某汽車零部件生產(chǎn)企業(yè)的利潤逐年增高，據(jù)統(tǒng)計，2019年利潤為2億元，2021年利潤為2.88億元．（1）求該企業(yè)從2019年至2021年利潤的年均增長率；（2）若2022年保持前兩年利潤的年均增長率不變，該企業(yè)2022年的利潤能否超過3.4億元？【分析】（1）設該企業(yè)從2019年至2021年利潤的年均增長率為x，根據(jù)該企業(yè)2021年的利潤＝該企業(yè)2019年利潤×（1+該企業(yè)從2019年至2021年利潤的年均增長率）2，可得出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論；（2）利用該企業(yè)2022年的利潤＝該企業(yè)2021年的利潤×（1+該企業(yè)從2019年至2021年利潤的年均增長率），可求出該企業(yè)2022年的利潤，再將其與3.45億元比較后，即可得出結論．【解答】解：（1）設該企業(yè)從2019年至2021年利潤的年均增長率為x，根據(jù)題意得：2（1+x）2＝2.88，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合題意，舍去）．答：該企業(yè)從2019年至2021年利潤的年均增長率為20%；（2）∵2.88×（1+20%）＝3.456（億元），3.456＞3.4，∴該企業(yè)2022年的利潤能超過3.4億元．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．題型二傳播問題題型二傳播問題式有意義的條件【例題2】在畢業(yè)季，某班同學互贈畢業(yè)禮物，若每兩位同學之間互贈一件禮物，據(jù)統(tǒng)計，全班共贈送了2070件禮物，請問這個班有多少位同學？【分析】設這個班有x位同學，則每位同學需送出（x﹣1）件禮物，根據(jù)全班共贈送了2070件禮物，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．【解答】解：設這個班有x位同學，則每位同學需送出（x﹣1）件禮物，依題意得：x（x﹣1）＝2070，整理得：x2﹣x﹣2070＝0，解得：x1＝46，x2＝﹣45（不符合題意，舍去）．答：這個班有46位同學．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．解題技巧提煉◆傳播問題：對于傳播問題，應弄清傳染源對應的基數(shù)及每輪傳播后的總量．設a為傳染源數(shù)，x為每個傳染源傳播的個數(shù)，則傳播兩輪后感染的總個數(shù)為a(1+x)2．◆握手問題：假設有x個人，每個人都要和除自己外的（x﹣1）個人握手，則所有人需要握手的次數(shù)為．【變式2-1】（2022春?龍口市期中）一次座談會上，每兩個參加會議的人都互相握手一次，經(jīng)統(tǒng)計，一共握手36次，則這次會議與會人數(shù)是共人．【分析】設這次會議與會人數(shù)是x人，利用握手的總次數(shù)＝參會人數(shù)×（參會人數(shù)﹣1）÷2，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．【解答】解：設這次會議與會人數(shù)是x人，依題意得：12x（x整理得：x2﹣x﹣72＝0，解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合題意，舍去），∴這次會議與會人數(shù)是共9人．故答案為：9．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式2-2】（2023?富錦市校級二模）某?！把袑W”活動小組在一次野外實踐時，發(fā)現(xiàn)一種植物的1個主干上長出x個枝干，每個枝干上再長出x個小分支．若在一個主干上的主干，枝干和小分支的數(shù)量之和是57個，則x等于（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根據(jù)在1個主干上的主干、枝干和小分支的數(shù)量之和是57個，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．【解答】解：依題意得：1+x+x2＝57，整理，得：x2+x﹣56＝0，解得：x1＝7，x2＝﹣8（不合題意，舍去）．故選：C．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式2-3】（2023?臨潼區(qū)三模）春節(jié)過后，甲型流感病毒（以下簡稱：甲流）開始悄然傳播，某辦公室最初有三人同時患上甲流，經(jīng)過兩輪傳播后，辦公室現(xiàn)有27人確診甲流，請問在兩輪傳染過程中，平均一人會傳染給幾個人？【分析】設在兩輪傳染過程中，平均一人會傳染給x個人，則第一輪傳染中有3x人被傳染，第二輪傳染中有（3+3x）x人被傳染，根據(jù)“經(jīng)過兩輪傳播后，辦公室現(xiàn)有27人確診甲流”，可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出結論．【解答】解：設在兩輪傳染過程中，平均一人會傳染給x個人，則第一輪傳染中有3x人被傳染，第二輪傳染中有（3+3x）x人被傳染，根據(jù)題意得：3+3x+（3+3x）x＝27，整理得：（1+x）2＝9，解得：x1＝2，x2＝﹣4（不符合題意，舍去）．答：在兩輪傳染過程中，平均一人會傳染給2個人．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式2-4】（2023春?廬陽區(qū)校級期中）隨著通信事業(yè)的日益發(fā)達，信息傳播越來越快捷，如果有一個人收到一條信息后，轉發(fā)了此信息，收到轉發(fā)的信息的人中有13【分析】設平均每人每輪轉發(fā)給x個人，則第一輪轉發(fā)給了x個人，第二輪轉發(fā)給了13x2個人，根據(jù)“有一個人收到一條信息后，經(jīng)過兩輪轉發(fā)后，共有169人收到此信息”，可得出關于x【解答】解：設平均每人每輪轉發(fā)給x個人，則第一輪轉發(fā)給了x個人，第二輪轉發(fā)給了13x2根據(jù)題意得：1+x+13x整理得：x2+3x﹣504＝0，解得：x1＝21，x2＝﹣24（不符合題意，舍去）．答：平均每人每輪轉發(fā)給21個人．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式2-5】（2022秋?昭通期中）新年到了，為增進同學友誼，某班主任規(guī)定本班同學間，每兩個人必須相互通電話1次．（1）若本班人數(shù)為20，則共通話次，若本班人數(shù)為n（n≥2，且n為正整數(shù)），則共通話次；（2）若同學們共通話1225次，求該班同學的人數(shù)；（3）王峰同學由打電話問題想到了一個數(shù)學問題：若線段AB上共有m個點（不含端點A、B），線段總數(shù)為多少呢？請直接寫出結論．【分析】（1）利用通話總次數(shù)＝本班人數(shù)×（本班人數(shù)﹣1）÷2，即可得出結論；（2）根據(jù)同學們共通話1225次，即可得出關于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；（3）利用線段的總數(shù)＝點的個數(shù)×（點的個數(shù)﹣1）÷2，即可用含m的代數(shù)式表示出線段的總數(shù)．【解答】解：（1）20×（20﹣1）÷2＝190（次），若本班人數(shù)為n（n≥2，且n為正整數(shù)），則共通話12n（n故答案為：190；12n（n（2）依題意得：12n（n整理得：n2﹣n﹣2450＝0，解得：n1＝50，n2＝﹣49（不符合題意，舍去）．答：該班同學的人數(shù)為50人．（3）∵線段AB上共有m個點（不含端點A，B），∴該線段上共有（m+2）個點（含端點A，B），∴線段總數(shù)為12（m+2）（m【點評】本題考查了一元二次方程的應用以及列代數(shù)式，解題的關鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，用含n的代數(shù)式表示出通話總數(shù)；（2）找準等量關系，正確列出一元二次方程；（3）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，用含m的代數(shù)式表示出線段總數(shù)．題型三面積問題----幾何圖形的問題題型三面積問題----幾何圖形的問題綜合應用【例題3】（2022秋?鞍山期末）如圖1，將一張寬10cm的矩形硬紙片裁剪掉圖中陰影部分（兩個正方形，兩個矩形）之后，恰好折成如圖2的底面為正方形的有蓋紙盒（底面積大于側面積），紙盒側面積為32cm2，求該有蓋紙盒的底面邊長．（單位：cm）【分析】設剪掉的小正方形的邊長為xcm，則該有蓋紙盒的底面邊長為（10﹣2x）cm，根據(jù)紙盒側面積為32cm2，可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，結合底面積大于側面積，可確定x的值，再將其代入（10﹣2x）中，即可求出結論．【解答】解：設剪掉的小正方形的邊長為xcm，則該有蓋紙盒的底面邊長為（10﹣2x）cm，根據(jù)題意得：4x（10﹣2x）＝32，整理得：x2﹣5x+4＝0，解得：x1＝1，x2＝4，當x＝1時，（10﹣2x）2＝（10﹣2×1）2＝64＞32，符合題意，此時10﹣2x＝10﹣2×1＝8；當x＝4時，（10﹣2x）2＝（10﹣2×4）2＝4＜32，不符合題意，舍去．答：該有蓋紙盒的底面邊長為8cm．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．解題技巧提煉根據(jù)把不規(guī)則圖形轉化為熟悉的規(guī)則圖形從而列出一元二次方程．【變式3-1】（2023春?金寨縣期末）用一條長50cm的繩子圍成一個面積為100cm2的矩形，設矩形的一邊長為xcm，根據(jù)題意，可列方程為（）A．x（50﹣x）＝100 B．x（25﹣x）＝100 C．x（50+x）＝100 D．x（25+x）＝100【分析】由繩子的長度及矩形的一邊長，可得出與該邊相鄰的邊長為（25﹣x）cm，根據(jù)矩形的面積為100cm2，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：∵繩子的長度為50cm，且圍成的矩形的一邊長為xcm，∴與該邊相鄰的邊長為50?2x2=（25﹣x）根據(jù)題意得：x（25﹣x）＝100．故選：B．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式3-2】（2023?和平區(qū)模擬）南宋著名數(shù)學家楊輝所著的《楊輝算法》中記載：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長闊各幾何？”意思是“一塊矩形田地的面積是864平方步，只知道它的長與寬的和是60步，問它的長和寬各是多少步？”設矩形田地的長為x步，根據(jù)題意可以列方程為（）A．x2﹣60x﹣864＝0 B．x（x+60）＝864 C．x2﹣60x+864＝0 D．x（x+30）＝864【分析】由矩形田地的長與寬的和是60步，可得出矩形田地的寬為（60﹣x）步，根據(jù)矩形田地的面積是864平方步，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：∵矩形田地的長為x步，矩形田地的長與寬的和是60步，∴矩形田地的寬為（60﹣x）步．依題意得：x（60﹣x）＝864，整理得：x2﹣60x+864＝0．故選：C．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程以及數(shù)學常識，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式3-3】（2023?青海模擬）一塊矩形菜地的面積是120m2，如果它的長減少2m，那么菜地就變成正方形，則原菜地的長是m．【分析】設原菜地的長是xm，則寬是（x﹣2）m，根據(jù)矩形菜地的面積是120m2，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出原菜地的長．【解答】解：設原菜地的長是xm，則寬是（x﹣2）m，根據(jù)題意得：x（x﹣2）＝120，整理得：x2﹣2x﹣120＝0，解得：x1＝12，x2＝﹣10（不符合題意，舍去），∴原菜地的長是12m．故答案為：12．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式3-4】（2023春?舒城縣校級期中）如圖，長方形鐵皮的長為10cm，寬為8cm，現(xiàn)在它的四個角上剪去邊長為xcm的正方形，做成底面積為24cm2的無蓋的長方體盒子，則x的值為（）A．2 B．7 C．2或7 D．3或6【分析】根據(jù)各邊之間的關系，可得出做成無蓋的長方體盒子的底面是長為（10﹣2x）cm，寬為（8﹣2x）cm的長方形，結合長方體盒子的底面積為24cm2，可得出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論．【解答】解：∵長方形鐵皮的長為10cm，寬為8cm，且在它的四個角上剪去邊長為xcm的正方形，∴做成無蓋的長方體盒子的底面是長為（10﹣2x）cm，寬為（8﹣2x）cm的長方形．根據(jù)題意得：（10﹣2x）（8﹣2x）＝24，整理得：x2﹣9x+14＝0，解得：x1＝2，x2＝7（不符合題意，舍去），∴x的值為2．故選：A．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式3-5】（2022秋?南岸區(qū)期末）如圖，一個長為acm，寬為bcm的矩形鐵片．（1）如果a＝30，b＝20，在矩形的中央挖掉一個200cm2的矩形后，成為一個各條邊一樣寬的鐵框，求這個鐵框的寬度；（2）如果a＝2b，在四個角上分別裁掉四個邊長為4cm的正方形，把它制作成一個體積為4576cm3的無蓋長方體，求原矩形的面積．【分析】（1）直接利用已知表示出里面矩形的邊長，進而得出答案；（2）利用已知表示出長方體的體積，進而求出a，b的值，進而得出答案．【解答】解：（1）設這個鐵框的寬度為xcm，根據(jù)題意可得：（30﹣2x）（20﹣2x）＝200，解得：x1＝5，x2＝20（不合題意舍去），答：這個鐵框的寬度為5cm；（2）由題意可得：4（a﹣8）（b﹣8）＝4576，則4（2b﹣8）（b﹣8）＝4576，解得：b1＝30，b2＝﹣18（不合題意舍去），則a＝30×2＝60（cm），故ab＝30×60＝1800（cm2），答：原矩形的面積為1800cm2．【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用，正確表示出長方體的體積是解題關鍵．題型四面積問題----邊框與甬道問題題型四面積問題----邊框與甬道問題綜合應用【例題4】（2022秋?中山市期末）如圖，矩形ABCD是一塊長16米、寬12米的荒地，要在這塊荒地上建造一個矩形花園EFGH，在花園的外圍是寬度相等的小路．要使花園所占面積為荒地面積的一半，則小路的寬為多少米？【分析】設小路的寬為x米，則矩形花園的長為（16﹣2x）米，寬為（12﹣2x）米，根據(jù)矩形花園所占面積為荒地面積的一半，可得出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論．【解答】解：設小路的寬為x米，則矩形花園的長為（16﹣2x）米，寬為（12﹣2x）米，根據(jù)題意得：（16﹣2x）（12﹣2x）=1整理得：x2﹣14x+24＝0，解得：x1＝2，x2＝12（不符合題意，舍去）．答：小路的寬為2米．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．解題技巧提煉根據(jù)把不規(guī)則圖形轉化為熟悉的規(guī)則圖形從而列出一元二次方程．【變式4-1】（2022秋?成武縣校級期末）如圖，在長為30m，寬20m的矩形田地中開辟兩條寬度相等的道路，已知剩余田地的面積為551m2，求道路的寬度．設道路的寬度為xm，則可列方程（）A．（20+x）（30+x）＝551 B．（20﹣x）（30﹣x）＝551 C．20×30﹣20x﹣30x＝551 D．20×30﹣20x﹣30x﹣x2＝551【分析】由道路的寬度為xm，可得出剩余田地部分可合成長為（30﹣x）m，寬為（20﹣x）m的矩形，根據(jù)剩余田地的面積為551m2，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：∵道路的寬度為xm，∴剩余田地部分可合成長為（30﹣x）m，寬為（20﹣x）m的矩形．依題意得：（20﹣x）（30﹣x）＝551．故選：B．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式4-2】（2022秋?遵義期末）如圖，在一個長為60m，寬為40m的矩形場地內修筑兩條等寬的道路，剩余部分為綠化用地，如果綠化用地的面積為2204m2，那么道路的寬為m．【分析】設道路的寬為xm，則剩余部分可合成長為（60﹣x）m，寬為（40﹣x）m的矩形，根據(jù)綠化用地的面積為2204m2，可得出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論．【解答】解：設道路的寬為xm，則剩余部分可合成長為（60﹣x）m，寬為（40﹣x）m的矩形，根據(jù)題意得：（60﹣x）（40﹣x）＝2204，整理得：x2﹣100x+196＝0，解得：x1＝2，x2＝98（不符合題意，舍去），∴道路的寬為2m．故答案為：2．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式4-3】（2022秋?中寧縣期末）某校學生會組織周末愛心義賣活動，義賣所得利潤將全部捐獻給希望工程，活動選在一塊長40米、寬28米的矩形空地上．如圖，空地被劃分出6個矩形區(qū)域，分別擺放不同類別的商品，區(qū)域之間用寬度相等的小路隔開，已知每個區(qū)域的面積均為128平方米，小路的寬應為多少米？【分析】設小路的寬應為x米，則6個矩形區(qū)域可合成長為（40﹣2x）米，寬為（28﹣x）米的矩形，根據(jù)6個矩形區(qū)域的面積為128×6平方米，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結論．【解答】解：設小路的寬應為x米，則6個矩形區(qū)域可合成長為（40﹣2x）米，寬為（28﹣x）米的矩形，依題意得：（40﹣2x）（28﹣x）＝128×6，整理得：x2﹣48x+176＝0，解得：x1＝4，x2＝44（不合題意，舍去）．答：小路的寬應為4米．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式4-4】（2023春?合肥期末）某工廠利用空地新建一個長方形電動車棚，其中一面靠院墻，如圖1，這堵墻的長度為10米．已知現(xiàn)有的木板材料（圖中細線部分）可新建圍墻26米，同時在與院墻平行的一面開一個2米寬的門，設該長方形電動車棚與院墻垂直的一邊長為a米．（1）求與墻平行的一邊長為多少米？（用含a的代數(shù)式表示）（2）當a＝10時，為了方便職工通行，施工單位決定在車棚內修建幾條等寬的小路（如圖2中內部陰影區(qū)域），使得停放電動車的空白面積為54平方米，那么小路的寬度是多少米？【分析】（1）根據(jù)題意可得：車棚與墻平行的一邊長＝[（26+2）﹣2a]米，然后進行計算即可解答；（2）把a＝10，代入（1）中的結論可得：車棚與墻平行的一邊長為8米，然后設小路的寬為x米，根據(jù)題意可得：（10﹣x）（8﹣2x）＝54，最后進行計算即可解答．【解答】（1）解：由題意得：（26+2）﹣2a＝（28﹣2a）米，∴車棚與墻平行的一邊長（28﹣2a）米；（2）解：當a＝10時，28﹣2a＝28﹣2×10＝28﹣20＝8（米），設小路的寬為x米，由題意得：（10﹣x）（8﹣2x）＝54，整理得：x2﹣14x+13＝0，解得：x1＝13＞10（舍去），x2＝1，答：小路的寬為1米．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，列代數(shù)式，代數(shù)式求值，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．【變式4-5】（2022秋?欽州期末）如圖①，某校進行校園改造，準備將一塊正方形空地劃出部分區(qū)域栽種鮮花，原空地一邊減少了4m，另一邊減少了5m，剩余部分面積為650m2．（1）求原正方形空地的邊長；（2）在實際建造時，從校園美觀和實用的角度考慮，按圖②的方式進行改造，先在正方形空地一側建成1m寬的畫廊，再在余下地方建成寬度相等的兩條小道后，其余地方栽種鮮花，如果栽種鮮花區(qū)域的面積為812m2，求小道的寬度．【分析】（1）設原正方形空地的邊長為xm，則剩余部分長（x﹣4）m，寬（x﹣5）m，根據(jù)剩余部分面積為650m2，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；（2）設小道的寬度為ym，則栽種鮮花的區(qū)域可合成長（30﹣y）m，寬（30﹣1﹣y）m的矩形，根據(jù)栽種鮮花區(qū)域的面積為812m2，即可得出關于y的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結論．【解答】解：（1）設原正方形空地的邊長為xm，則剩余部分長（x﹣4）m，寬（x﹣5）m，依題意得：（x﹣4）（x﹣5）＝650，整理得：x2﹣9x﹣630＝0，解得：x1＝30，x2＝﹣21（不合題意，舍去）．答：原正方形空地的邊長為30m．（2）設小道的寬度為ym，則栽種鮮花的區(qū)域可合成長（30﹣y）m，寬（30﹣1﹣y）m的矩形，依題意得：（30﹣y）（30﹣1﹣y）＝812，整理得：y2﹣59y+58＝0，解得：y1＝1，y2＝58（不合題意，舍去）．答：小道的寬度為1m．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．題型五面積問題----圍墻問題題型五面積問題----圍墻問題【例題5】（2022秋?南宮市期末）如圖，有一段長為20米的籬笆，利用一面墻，圍成一個長方形花圃ABCD，設花圃的寬AB為x米（其中AB＜BC）．（1）請你用含x的代數(shù)式表示BC的長．（2）若此時花圃的面積剛好為42m2，求此時花圃的寬AB的長度．【分析】（1）利用BC的長＝籬笆的總長﹣2×AB的長，可用含x的代數(shù)式表示BC的長；（2）根據(jù)花圃的面積為42m2，可得出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論．【解答】解：（1）∵籬笆的全長為20米，花圃的寬AB為x米，∴BC的長為（20﹣2x）米；（2）根據(jù)題意得：x（20﹣2x）＝42，整理得：x2﹣10x+21＝0，解得：x1＝3，x2＝7，當x＝3時，20﹣2x＝20﹣2×3＝14＞3，符合題意；當x＝7時，20﹣2x＝20﹣2×7＝6＜7，不符合題意，舍去．答：此時花圃的寬AB的長度是3米．【點評】本題考查了一元二次方程的應用以及列代數(shù)式，解題的關鍵是：（1）根據(jù)各邊之間的關系，用含x的代數(shù)式表示BC的長；（2）找準等量關系，正確列出一元二次方程．解題技巧提煉圍墻問題難點是用材料圍成的圖形的邊如何表示及所圍圖形的平行于墻的線段的取值范圍.【變式5-1】（2023?揭陽一模）如圖，有一面積為600m2的長方形雞場，雞場的一邊靠墻（墻長35m），另三邊用竹籬笆圍成，其中一邊開有1m的門，竹籬笆的總長為69m．設雞場垂直于墻的一邊為xm，則列方程正確的是（）A．x（69+1﹣2x）＝600 B．x（69﹣1﹣2x）＝600 C．x（69﹣2x）＝600 D．x（35+1﹣2x）＝600【分析】根據(jù)各邊之間的關系，可得出雞場平行于墻的一邊為（69+1﹣2x）m，根據(jù)長方形雞場的面積為600m2，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：∵竹籬笆的總長為69m，雞場垂直于墻的一邊為xm，∴雞場平行于墻的一邊為（69+1﹣2x）m．根據(jù)題意得：x（69+1﹣2x）＝600．故選：A．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式5-1】（2022秋?昆都侖區(qū)期末）如圖，一農(nóng)戶準備圍建一個矩形豬舍，其中一邊靠墻，另外三邊用25m長的建筑材料圍成，已知墻長為12m，為方便進出，在垂直于墻的一邊留一個1m寬的門，所圍矩形豬舍的長、寬分別為多少時，豬舍面積為80m2？【分析】設垂直于墻的一邊長為xm，則平行于墻的一邊長為（25+1﹣2x）m，根據(jù)豬舍面積為80m2，即可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結合豬舍的一邊利用長為12m的住房墻，即可得出結論．【解答】解：設垂直于墻的一邊長為xm，則平行于墻的一邊長為（25+1﹣2x）m，依題意得：x（25+1﹣2x）＝80，整理得：x2﹣13x+40＝0，解得：x1＝5，x2＝8，當x＝5時，25+1﹣2x＝25+1﹣2×5＝16＞12，不符合題意，舍去；當x＝8時，25+1﹣2x＝25+1﹣2×8＝10＜12，符合題意．答：所圍矩形豬舍的長為10m，寬為8m時，豬舍面積為80m2．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式5-3】某校為了在學生中進行黨史教育，決定在操場舉行“中國共產(chǎn)黨歷史知識展覽”，需要一塊面積為480平方米的矩形場地．若矩形場地的一邊靠墻（墻的長度足夠），另外三邊由總長為60米的圍繩圍成，并且在垂直于墻的邊上各設置了一個開口寬為1米的入口和出口（如圖）．請根據(jù)方案計算出矩形場地的長米．【分析】設矩形場地的長為x米，則寬為12（60+2﹣x【解答】解：設矩形場地的長為x米，則寬為12（60+2﹣x根據(jù)題意，得12（60+2﹣x）?x解得x1＝30，x2＝32．所以矩形場地的長為30或32米．故答案是：30或32．【點評】本題主要考查了一元二次方程的應用，掌握長方形的周長和面積計算公式是解決問題的前提．【變式5-4】學校打算用21米的籬笆圍成兩間長方形兔舍飼養(yǎng)小兔，兔舍的一面靠墻（如圖，墻足夠長）．（1）如果AB邊長為x米，求BC邊長（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若兩間兔舍的總面積是30平方米，求AB的長．【分析】（1）用總長減去三條垂直于墻的邊長即可求得BC的長；（2）根據(jù)矩形的面積公式列式求解即可．【解答】解：（1）設AB邊長為x米，則EF＝DC＝AB＝x米，所以BC＝（21﹣3x）米；（2）根據(jù)題意得：x（21﹣3x）＝30，解得：x＝2或x＝5，答：AB的長為2米或5米．【點評】考查了一元二次方程的應用的知識，解題的關鍵是能夠正確的表示出BC的長，難度不大．【變式5-5】（2022秋?白云區(qū)校級期末）用54m長的竹柵欄圍一個矩形菜園，菜園的一邊靠長為am的墻，另三邊用竹柵欄圍成，且在與墻平行的一邊開兩扇門，寬度都是1m，設與墻垂直的一邊長為xm．（1）當a＝41時，矩形菜園面積是320m2，求x；（2）當a足夠大時，問矩形菜園的面積能否達到400m2？【分析】設與墻垂直的一邊長為xm，則與墻平行的一邊長為（54﹣2x+2）m．（1）由矩形菜園面積是320m2，可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結合a＝41，即可確定x的值；（2）由矩形菜園面積是400m2，可得出關于x的一元二次方程，由根的判別式Δ＝﹣16＜0，即可得出該方程無實數(shù)根，進而可得出矩形菜園的面積不能達到400m2；【解答】解：設與墻垂直的一邊長為xm，則與墻平行的一邊長為（54﹣2x+2）m．（1）依題意得：x（54﹣2x+2）＝320，整理得：x2﹣28x+160＝0，解得：x1＝8，x2＝20．當x＝8時，56﹣2x＝40＜41，符合題意；當x＝20時，56﹣2x＝16＜41，符合題意．答：x的值為8或20．（2）令x（54﹣2x+2）＝400①，整理得：x2﹣28x+200＝0．∵Δ＝（﹣28）2﹣4×1×200＝﹣16＜0，∴方程①無實數(shù)根，∴矩形菜園的面積不能達到400m2．【點評】本題考查了一元二次方程的應用、列代數(shù)式以及根的判別式，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出一元二次方程；（2）牢記“當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．題型六數(shù)字問題題型六數(shù)字問題【例題6】已知一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4，且個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的平方和比這個兩位數(shù)小4，設個位上的數(shù)字為x，列出關于x的方程：．【分析】根據(jù)個位數(shù)與十位數(shù)的關系，可知十位數(shù)為x+4，那么這兩位數(shù)為：10（x+4）+x，這兩個數(shù)的平方和為：x2+（x+4）2，再根據(jù)兩數(shù)的值相差4即可得出答案．【解答】解：依題意得：十位數(shù)字為：x+4，這個數(shù)為：x+10（x+4）這兩個數(shù)的平方和為：x2+（x+4）2，∵兩數(shù)相差4，∴x2+（x+4）2＝x+10（x+4）﹣4．故答案為：x2+（x+4）2＝x+10（x+4）﹣4．【點評】本題考查了數(shù)的表示方法，要會利用未知數(shù)表示兩位數(shù)，然后根據(jù)題意列出對應的方程求解．解題技巧提煉解決數(shù)字問題的關鍵是用代數(shù)式表示出這個多位數(shù)的數(shù)值，設未知數(shù)時，通常采用間接設未知數(shù)的方法，即設這個多位數(shù)的某一位上的數(shù)字為x，然后將其它數(shù)位上的數(shù)字用含x的式子表示出來，最后根據(jù)題中的等量關系列方程求解即．【變式6-1】一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4，且個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個兩位數(shù)大4．設個位數(shù)字為x，則方程為（）A．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x﹣4 B．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x+4 C．x2+（x﹣4）2＝10x+x﹣4﹣4 D．x2+（x+4）2＝10（x+4）+x+4【分析】根據(jù)個位數(shù)與十位數(shù)的關系，可知十位數(shù)為x+4，那么這兩位數(shù)為：10（x+4）+x，這兩個數(shù)的平方和為：x2+（x+4）2，再根據(jù)兩數(shù)的值相差4即可得出答案．【解答】解：依題意得：十位數(shù)字為：x+4，這個數(shù)為：x+10（x+4）這兩個數(shù)的平方和為：x2+（x+4）2，∵兩數(shù)相差4，∴x2+（x+4）2＝x+10（x+4）+4．故選：D．【點評】本題考查了數(shù)的表示方法，要會利用未知數(shù)表示兩位數(shù)，然后根據(jù)題意列出對應的方程求解．【變式6-2】一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字的平方少9．如果把十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字對調，得到的兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)小27，則原來的兩位數(shù)是．【分析】等量關系為：原來的兩位數(shù)﹣新兩位數(shù)＝27，把相關數(shù)值代入計算可得各位上的數(shù)字，根據(jù)兩位數(shù)的表示方法求得兩位數(shù)即可．【解答】解：設原兩位數(shù)個位上的數(shù)字為x，則十位上的數(shù)字為（x2﹣9）．∴10（x2﹣9）+x﹣10x﹣（x2﹣9）＝27，解得x1＝4，x2＝﹣3（不符合題意，舍去）．∴x2﹣9＝7，∴10（x2﹣9）+x＝74．答：原兩位數(shù)為74．故答案為：74．【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用；得到兩個兩位數(shù)之間的等量關系是解決本題的關鍵；用到的知識點為：兩位數(shù)＝10×十位數(shù)字+個位數(shù)字．【變式6-3】有一個兩位數(shù)，它的十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字小2，十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字的積的3倍剛好等于這個兩位數(shù)，求這個兩位數(shù)．【分析】設十位上的數(shù)字為x，則個位上的數(shù)字為（x+2），根據(jù)十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字的積的3倍剛好等于這個兩位數(shù)，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．【解答】解：設十位上的數(shù)字為x，則個位上的數(shù)字為（x+2），根據(jù)題意得：3x（x+2）＝10x+（x+2），整理得：3x2﹣5x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2=?1∴x+2＝4，∴這個兩位數(shù)為24．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式6-4】一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字的平方小2，如果把這個數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字交換，那么所得到的兩位數(shù)比原來的數(shù)小36，求原來的兩位數(shù)．【分析】首先設個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x2﹣2，由題意得等量關系：原兩位數(shù)﹣新兩位數(shù)＝36，根據(jù)等量關系列出方程解方程即可．【解答】解：設個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x2﹣2，由題意得：10（x2﹣2）+x﹣（10x+x2﹣2）＝36，解得：x1＝3，x2＝﹣2（不合題意，舍去），十位數(shù)字：32﹣2＝7，這個兩位數(shù)為：73，答：原來的兩位數(shù)73．【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用，關鍵是正確理解題意，表示出原兩位數(shù)和新兩位數(shù)是解決問題的關鍵．【變式6-5】（2022秋?沈丘縣校級月考）有一個兩位數(shù)，它們的十位數(shù)字與個位數(shù)字之和為8，如果把十位數(shù)字與個位數(shù)字調換后，所得的兩位數(shù)乘以原來的兩位數(shù)就得1855，求這個兩位數(shù)．【分析】設個位為x，則十位上的數(shù)字為8﹣x，根據(jù)如果十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字對調，則所得兩位數(shù)乘以原來的兩位數(shù)就得1855，求解即可．【解答】解：設原來個位為x，則十位上的數(shù)字為8﹣x，由題意得，[10×（8﹣x）+x][10x+8﹣x]＝1855解得：x1＝3，x2＝5，原來十位上的數(shù)字為5或3，答：原來這個兩位數(shù)53或35．【點評】本題考查了一元二次次方程的應用，解答本題的關鍵是表示出對調前后兩位數(shù)的表示方法．題型七商品銷售問題題型七商品銷售問題【例題7】（2023?偃師市模擬）某種服裝平均每天可銷售20件，每件盈利44元，在每件降價幅度不超過10元的情況下，若每件降價1元，則每天可多售5件，如果每天要盈利1600元，每件降價多少元？設每件降價x元，則可列方程為（）A．（44+x）（20+5x）＝1600 B．（44﹣x）（20+5x）＝1600 C．（44﹣x）（20﹣5x）＝1600 D．（44﹣10x）（20+5x）＝1600【分析】關系式為：每件服裝的盈利×（原來的銷售量+增加的銷售量）＝1600，為了減少庫存，計算得到降價多的數(shù)量即可．【解答】解：設每件服裝應降價x元，根據(jù)題意，得：（44﹣x）（20+5x）＝1600故選：B．【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用，得到現(xiàn)在的銷售量是解決本題的難點；根據(jù)每天盈利得到相應的等量關系是解決本題的關鍵．解題技巧提煉◆商品銷售問題：利潤=售價－進價；利潤率=利潤進價×100%售價=進價×（1+利潤率）；總利潤=總售價－總進價=（售價－進價）×銷售量【變式7-1】某商品進價為3元，當售價為x元時可銷售商品（x+3）個，此時獲利160元，則該商品售價為元．【分析】利用總利潤＝每個的銷售利潤×銷售數(shù)量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．【解答】解：依題意得：（x﹣3）（x+3）＝160，整理得：x2＝169，解得：x1＝13，x2＝﹣13（不符合題意，舍去），∴該商品售價為13元．故答案為：13．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式7-2】某種服裝，平均每天可以銷售20件，每件盈利44元．在每件降價幅度不超過10元的情況下，若每件每降價1元，則每天可多售出5件．如果每天要盈利1600元，則每件應降價元．【分析】設每件降價x元，則每件盈利（44﹣x）元，平均每天可銷售（20+5x）件，利用總利潤＝每件的銷售利潤×日銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結論．【解答】解：設每件降價x元，則每件盈利（44﹣x）元，平均每天可銷售（20+5x）件，依題意得：（44﹣x）（20+5x）＝1600，整理得：x2﹣40x+144＝0，解得：x1＝4，x2＝36（不符合題意，舍去），∴每件應降價4元．故答案為：4．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式7-3】在水果銷售旺季，某水果店購進一種優(yōu)質水果，進價為20元/千克，售價不低于20元/千克，且不超過32元/千克，根據(jù)銷售情況，發(fā)現(xiàn)該水果一天的銷售量（千克）與該天的售價x（元/千克）滿足的關系為一次函數(shù)y＝﹣2x+80．（1）某天這種水果的售價為23.5元/千克，求當天該水果的銷售量；（2）如果某天銷售這種水果獲利150元，那么該天水果的售價為多少元？【分析】（1）把x＝23.5代入函數(shù)式即可求出結論；（2）根據(jù)總利潤＝每千克利潤×銷售數(shù)量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論．【解答】解：（1）∵y與x之間的函數(shù)關系式為y＝﹣2x+80．∴當x＝23.5時，y＝﹣2x+80＝33．答：當天該水果的銷售量為33千克．（2）根據(jù)題意得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，解得：x1＝35，x2＝25．∵20≤x≤32，∴x＝25．答：如果某天銷售這種水果獲利150元，那么該天水果的售價為25元．【點評】本題考查了一元二次方程的應用以及一次函數(shù)的應用，解題的關鍵是：（1）代入求值；（2）找準等量關系，正確列出一元二次方程．【變式7-4】（2022秋?天府新區(qū)期末）2022年11月29日，神舟十五號發(fā)射升空，中國首次實現(xiàn)空間站三船三艙構型，以及6名航天員同時在軌駐留．某網(wǎng)店為滿足航空航天愛好者的需求，特推出了“中國空間站”模型．已知該模型平均每天可售出20個，每個盈利40元．為了擴大銷售，該網(wǎng)店準備適當降價，經(jīng)過一段時間測算，每個模型每降低1元，平均每天可以多售出2個．（1）若每個模型降價4元，平均每天可以售出多少個模型？此時每天獲利多少元？（2）在每個模型盈利不少于25元的前提，要使“中國空間站”模型每天獲利1200元，每個模型應降價多少元？【分析】（1）利用平均每天的銷售量＝20+2×每個模型降低的價格，可求出平均每天的銷售量；利用總利潤＝每個的銷售利潤×日銷售量，可求出此時每天獲得的總利潤；（2）設每個模型應降價x元，則每個模型可盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）個，利用總利潤＝每個的銷售利潤×日銷售量，可得出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論．【解答】解：（1）20+2×4＝20+8＝28（個）；（40﹣4）×28＝36×28＝1008（元）．答：若每個模型降價4元，平均每天可以售出28個模型，此時每天獲利1008元；（2）設每個模型應降價x元，則每個模型可盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）個，根據(jù)題意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20，又∵每個模型盈利不少于25元，∴x＝10．答：每個模型應降價10元．【點評】本題考查了一元二次方程的應用以及有理數(shù)的混合運算，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式7-5】（2023春?舒城縣校級期中）某商店如果將進貨價為20元的商品按每件32元售出，每天可銷售100件，現(xiàn)在采取降低售價，增加售貨量的方法增加利潤，已知這種商品每降價0.5元，其銷量增加5件．（1）若降價x元，則每天的銷量為件（用含x的代數(shù)式表示）；（2）要使每天獲得720元的利潤，請你幫忙確定售價；（3）該商店能否通過降價銷售的方式保證每天獲得1500元的利潤？并說明理由．【分析】（1）利用每天的銷量＝100+5×每件降低的錢數(shù)0.5，即可用含x的代數(shù)式表示出降價（2）設每件降價y元，則每件的銷售利潤為（32﹣y﹣20）元，每天的銷量為（100+10y）件，利用每天銷售該商品獲得的利潤＝每件的銷售利潤×每天的銷量，可得出關于y的一元二次方程，解之可得出y值，將符合題意的值代入（32﹣y）中，即可求出售價應定為24元/件；（3）該商店不能通過降價銷售的方式保證每天獲得1500元的利潤，設每件降價m元，則每件的銷售利潤為（32﹣m﹣20）元，每天的銷量為（100+10m）件，利用每天銷售該商品獲得的利潤＝每件的銷售利潤×每天的銷量，可得出關于m的一元二次方程，由根的判別式Δ＝﹣116＜0，可得出所列一元二次方程沒有實數(shù)根，即該商店不能通過降價銷售的方式保證每天獲得1500元的利潤．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：當降價x元時，每天的銷量為100+5×x0.5=故答案為：（100+10x）；（2）設每件降價y元，則每件的銷售利潤為（32﹣y﹣20）元，每天的銷量為（100+10y）件，根據(jù)題意得：（32﹣y﹣20）（100+10y）＝720，整理得：y2﹣2y﹣48＝0，解得：y1＝8，y2＝﹣6（不符合題意，舍去），∴32﹣y＝32﹣8＝24．答：要使每天獲得720元的利潤，售價應定為24元/件；（3）該商店不能通過降價銷售的方式保證每天獲得1500元的利潤，理由如下：設每件降價m元，則每件的銷售利潤為（32﹣m﹣20）元，每天的銷量為（100+10m）件，根據(jù)題意得：（32﹣m﹣20）（100+10m）＝1500，整理得：m2﹣2m+30＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×