人教版九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典專題24.5點(diǎn)與圓的位置關(guān)系特訓(xùn)(原卷版+解析)

【講練課堂】2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】專題24.5點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【名師點(diǎn)睛】1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，則有：①點(diǎn)P在圓外?d＞r②點(diǎn)P在圓上?d=r①點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r（2）點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．（3）符號“?”讀作“等價(jià)于”，它表示從符號“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．2.確定圓的條件不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．注意：這里的“三個(gè)點(diǎn)”不是任意的三點(diǎn)，而是不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，而在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)不能畫一個(gè)圓．“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓，過一點(diǎn)可畫無數(shù)個(gè)圓，過兩點(diǎn)也能畫無數(shù)個(gè)圓，過不在同一條直線上的三點(diǎn)能畫且只能畫一個(gè)圓．3.三角形的外接圓與外心（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．（3）概念說明：①“接”是說明三角形的頂點(diǎn)在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形的外部．③找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個(gè)．【典例剖析】【例1】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝25，BC＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，若以點(diǎn)D為圓心，r為半徑作⊙D，使點(diǎn)B在⊙D內(nèi)，點(diǎn)C在⊙D外，試求r的取值范圍．【變式1】若⊙O的半徑為5cm，點(diǎn)A到圓心O的距離為4cm，那么點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系是：點(diǎn)A在⊙O______．（填“上”、“內(nèi)”、“外”）【例2】．（2020·福建南平·九年級期中）已知：△ABC．（1）求作：△ABC的外接圓⊙O（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）若已知△ABC的外接圓的圓心O到BC邊的距離OD=8，BC=12，求⊙O的半徑．【變式2】（2020·江蘇·建湖縣秀夫初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖：已知P是半徑為10cm的⊙O內(nèi)一點(diǎn)．解答下列問題：（1）用尺規(guī)作圖作出圓心O的位置．（要求：保留所有的作圖痕跡，不寫作法）（2）用三角板分別畫出過點(diǎn)P的最長弦AB和最短弦CD．（3）已知OP=6cm，過點(diǎn)P的弦中，長度為整數(shù)的弦共有條．【例3】（2021?福田區(qū)校級三模）如圖，⊙O為△ABC的外接圓，AB為⊙O直徑，AC＝BC，點(diǎn)D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，連接BD．（1）求證：△ACE≌△BCD．（2）若CD＝2，BD＝3，求⊙O的半徑．【變式3】（2021?西湖區(qū)一模）如圖，⊙O為△ABC的外接圓，AB為⊙O直徑，AC＝BC，點(diǎn)D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，連接BD．（1）求證：△ACE≌△BCD．（2）若CD＝2，BD＝3，求⊙O的半徑．（3）若點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，連接CF，F(xiàn)O，設(shè)CD＝a，BD＝b，求CF+FO．（用含有a，b的代數(shù)式表示）【滿分訓(xùn)練】一．選擇題（共10小題）1．（2022?北海二模）已知⊙O的半徑為3，OA＝5，則點(diǎn)A和⊙O的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)A在圓上 B．點(diǎn)A在圓外 C．點(diǎn)A在圓內(nèi) D．不確定2．（2022?宿豫區(qū)二模）⊙O是△ABC的外接圓，若BC長等于半徑，則∠A的度數(shù)為（）A．60° B．120° C．30°或150° D．60°或30°3．（2022?浦江縣模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，若⊙A的半徑為5，A點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，0），P點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，3），則點(diǎn)P與⊙A的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)P在⊙A內(nèi) B．點(diǎn)P在⊙A外 C．點(diǎn)P在⊙A上 D．不能確定4．（2022?寶山區(qū)模擬）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，如果點(diǎn)B（a，0）在以A（1，0）為圓心，2為半徑的圓內(nèi)，那么a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞﹣1 B．a(chǎn)＜3 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤3．5．（2021秋?龍鳳區(qū)期末）小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的一塊碎片應(yīng)該是（）A．第一塊 B．第二塊 C．第三塊 D．第四塊6．（2021秋?蕭山區(qū)期中）下列說法：①等弧所對的圓心角相等；②經(jīng)過三點(diǎn)可以作一個(gè)圓；③平分弦的直徑垂直于這條弦；④圓的內(nèi)接平行四邊形是矩形．其中正確的有（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④7．（2022?阿城區(qū)模擬）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，∠CAD＝15°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．75° B．70° C．65° D．60°8．（2022?固安縣模擬）如圖，AB是⊙O的一條弦，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），C、D分別是AB、BP的中點(diǎn)．若AB＝8，∠APB＝45°，則CD長的最大值為（）A． B．4 C． D．89．（2020?河北）有一題目：“已知：點(diǎn)O為△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答為：畫△ABC以及它的外接圓O，連接OB，OC．如圖，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇說：“嘉嘉考慮的不周全，∠A還應(yīng)有另一個(gè)不同的值．”下列判斷正確的是（）A．淇淇說的對，且∠A的另一個(gè)值是115° B．淇淇說的不對，∠A就得65° C．嘉嘉求的結(jié)果不對，∠A應(yīng)得50° D．兩人都不對，∠A應(yīng)有3個(gè)不同值10．（2021?湖北）如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，OE⊥AB交⊙O于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)D，AE，CB的延長線交于點(diǎn)F．若OD＝3，AB＝8，則FC的長是（）A．10 B．8 C．6 D．4二．填空題（共8小題）11．（2022春?東莞市校級期中）⊙O的半徑為4cm，點(diǎn)P到圓心O的距離為5cm，點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是．12．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）已知圓O的半徑為5，點(diǎn)A在圓O外，如果線段OA的長為d，那么d的取值范圍是．13．如圖，在△ABC中，∠BAC＝45°，BC＝4，則△ABC面積的最大值為．14．（2019?青神縣模擬）如圖，若△ABC內(nèi)接于半徑為4的⊙O，且∠C＝60°，則邊AB的長為．15．（2020?泰州二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圓，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為．16．（2021?隨縣一模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若⊙O的半徑為4，則CD的長為．17．（2022春?鼓樓區(qū)校級期中）如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（2，0），B（0，2），點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC＝1，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM的最大值為．18．（2019秋?潢川縣期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AE⊥BE，則線段CE的最小值為．三．解答題（共4小題）19．（2021秋?贛榆區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，若以點(diǎn)D為圓心，r為半徑作⊙D，使點(diǎn)B在⊙D內(nèi)，點(diǎn)C在⊙D外，試求r的取值范圍．20．（2021秋?高淳區(qū)期中）如圖，BD、CE是△ABC的高．（1）求證：B、C、D、E四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上；（2）若∠BDE＝45°，∠DEC＝15°，BE＝5，則∠EBD＝°，DE＝．21．（2021秋?東港區(qū)校級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥BC于點(diǎn)D，連接AD，把AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到AE，連接CE．（1）求證：PD＝CE；（2）求證：點(diǎn)P、D、C、E在同一個(gè)圓上．22．（2021秋?日照期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．（1）在圖中畫出經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓弧所在圓的圓心M的位置；（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為；（3）若DM＝2，判斷點(diǎn)D與⊙M的位置關(guān)系．【講練課堂】2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】專題24.5點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【名師點(diǎn)睛】1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，則有：①點(diǎn)P在圓外?d＞r②點(diǎn)P在圓上?d=r①點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r（2）點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．（3）符號“?”讀作“等價(jià)于”，它表示從符號“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．2.確定圓的條件不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．注意：這里的“三個(gè)點(diǎn)”不是任意的三點(diǎn)，而是不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，而在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)不能畫一個(gè)圓．“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓，過一點(diǎn)可畫無數(shù)個(gè)圓，過兩點(diǎn)也能畫無數(shù)個(gè)圓，過不在同一條直線上的三點(diǎn)能畫且只能畫一個(gè)圓．3.三角形的外接圓與外心（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．（3）概念說明：①“接”是說明三角形的頂點(diǎn)在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形的外部．③找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個(gè)．【典例剖析】【例1】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝25，BC＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，若以點(diǎn)D為圓心，r為半徑作⊙D，使點(diǎn)B在⊙D內(nèi)，點(diǎn)C在⊙D外，試求r的取值范圍．【答案】5【解析】【分析】連接CD，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，顯然DF//AE，解直角三角形求出CD，BD即可判斷．【詳解】解：連接CD，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，∴DF//AE，∵AB=AC=25，BC=4∴BE=1∴AE=A∵點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，即DF是中位線∴DF=12AE=2∴CF=3，∴CD=D又∵DB=1∴r的取值范圍是5<r<【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型．【變式1】若⊙O的半徑為5cm，點(diǎn)A到圓心O的距離為4cm，那么點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系是：點(diǎn)A在⊙O______．（填“上”、“內(nèi)”、“外”）【答案】內(nèi)【解析】【分析】點(diǎn)與圓心的距離d，則d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．據(jù)此作答．【詳解】解：∵⊙O的半徑為5cm，點(diǎn)A到圓心O的距離OA為4cm，即點(diǎn)A到圓心的距離小于圓的半徑，∴點(diǎn)A在⊙O內(nèi)．故答案為：內(nèi)．【點(diǎn)睛】本題考查了對點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷．關(guān)鍵要記住若半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則有：當(dāng)d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．【例2】．（2020·福建南平·九年級期中）已知：△ABC．（1）求作：△ABC的外接圓⊙O（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）若已知△ABC的外接圓的圓心O到BC邊的距離OD=8，BC=12，求⊙O的半徑．【答案】（1）作圖見解析；（2）10．【解析】【分析】（1）分別做AB、BC的垂直平分線且交于O，然后以O(shè)為圓心、OA為半徑畫圓即可；（2）如圖：連接OB，然后根據(jù)垂徑定理求得BD，最后根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】解：（1）如圖所示∴⊙O即為所求作的外接圓；（2）如圖：連接OB∵已知△ABC的外接圓的圓心O到BC邊的距離OD=8∵線段BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，∴BD=CD=12

在Rt△BOD中，OB=82∴⊙O的半徑長10．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓的作法和垂徑定理的應(yīng)用，靈活應(yīng)用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵．【變式2】（2020·江蘇·建湖縣秀夫初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖：已知P是半徑為10cm的⊙O內(nèi)一點(diǎn)．解答下列問題：（1）用尺規(guī)作圖作出圓心O的位置．（要求：保留所有的作圖痕跡，不寫作法）（2）用三角板分別畫出過點(diǎn)P的最長弦AB和最短弦CD．（3）已知OP=6cm，過點(diǎn)P的弦中，長度為整數(shù)的弦共有條．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）8【解析】【分析】（1）利用過不在同一直線上的三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，進(jìn)而畫出即可；（2）利用最長弦AB即為直徑和最短弦CD，即為與AB垂直的弦，進(jìn)而得出答案；（3）求出CD的長，進(jìn)而得出長度為整數(shù)的弦，注意長度為17、18、19的分別有兩條．【詳解】解：（1）如圖所示：點(diǎn)O即為所求；（2）如圖所示：AB，CD即為所求；（3）如圖：連接DO，∵OP=6cm，DO=10cm，∴在Rt△OPD中，DP=102∴CD=16cm，∴過點(diǎn)P的弦中，長度為整數(shù)的弦共有：8條．故答案為：8．【點(diǎn)睛】此題主要考查了復(fù)雜作圖以及勾股定理和垂徑定理，注意長度為整數(shù)的弦不要漏解．【例3】（2021?福田區(qū)校級三模）如圖，⊙O為△ABC的外接圓，AB為⊙O直徑，AC＝BC，點(diǎn)D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，連接BD．（1）求證：△ACE≌△BCD．（2）若CD＝2，BD＝3，求⊙O的半徑．【分析】（1）∠ACE＝90°﹣∠ECB＝∠BCD，∠CAE＝∠CBD，AC＝BC，利用“ASA“即可證明；（2）先求出AE和AD，在Rt△ABD中用勾股定理可得AB，從而求出⊙O半徑．【解析】（1）證明：∵AB為⊙O直徑，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥CD，∴∠ECD＝90°，∴∠ACE＝90°﹣∠ECB＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（ASA）；（2）∵△ACE≌△BCD，∴CE＝CD，AE＝BD，∵CE⊥CD，∴△ECD是等腰直角三角形，∵CD＝2，BD＝3,∴DE＝2，AE＝3，∴AD＝5，∵AB為⊙O直徑，∴∠ADB＝90°，∴AB＝＝2，∴⊙O的半徑為．【變式3】（2021?西湖區(qū)一模）如圖，⊙O為△ABC的外接圓，AB為⊙O直徑，AC＝BC，點(diǎn)D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，連接BD．（1）求證：△ACE≌△BCD．（2）若CD＝2，BD＝3，求⊙O的半徑．（3）若點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，連接CF，F(xiàn)O，設(shè)CD＝a，BD＝b，求CF+FO．（用含有a，b的代數(shù)式表示）【分析】（1）∠ACE＝90°﹣∠ECB＝∠BCD，∠CAE＝∠CBD，AC＝BC，利用“ASA“即可證明；（2）先求出AE和AD，在Rt△ABD中用勾股定理可得AB，從而求出⊙O半徑；（3）過O作OH⊥AD于H，CF＝DE，利用OH是△ABD中位線求出OH和HF，再在Rt△OHF中用勾股定理求出OF，從而可得答案．【解析】（1）證明：∵AB為⊙O直徑，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥CD，∴∠ECD＝90°，∴∠ACE＝90°﹣∠ECB＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（ASA）；（2）∵△ACE≌△BCD，∴CE＝CD，AE＝BD，∵CE⊥CD，∴△ECD是等腰直角三角形，∵CD＝2，BD＝3，∴DE＝2，AE＝3，∴AD＝5，∵AB為⊙O直徑，∴∠ADB＝90°，∴AB＝＝2，∴⊙O的半徑為；（3）法一：過O作OH⊥AD于H，如圖：∵△ECD是等腰直角三角形，CD＝a，∴ED＝a，∵F為DE的中點(diǎn)，∴CF＝DF＝DE＝a，∵△ACE≌△BCD，∴AE＝BD＝b，∴AD＝ED+AE＝a+b，∵OH⊥AD，∠ADB＝90°，∴OH∥BD，∵AO＝OB，∴DH＝AD＝a+b，OH＝BD＝b，∴HF＝DH﹣DF＝（a+b）﹣a＝b，在Rt△OHF中，F(xiàn)O＝＝b，∴CF+FO＝a+b．法二：延長AD至點(diǎn)H，使DH＝AE，連接BH，如圖：由（1）得△ACE≌△BCD，∴BD＝AE＝DH，∵AB為直徑，∴∠ADB＝∠BDH＝90°，∴△BDH為等腰直角三角形，∵BD＝b，∴BH＝b，∵△ECD是等腰直角三角形，CD＝a，∴ED＝a，CF＝a＝DF＝EF，而DH＝AE，∴AE+EF＝DH+DF，即AF＝HF，∴F為AH中點(diǎn)，∵O為AB中點(diǎn)，∴FO＝BH＝b，∴CF+FO＝a+b．【滿分訓(xùn)練】一．選擇題（共10小題）1．（2022?北海二模）已知⊙O的半徑為3，OA＝5，則點(diǎn)A和⊙O的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)A在圓上 B．點(diǎn)A在圓外 C．點(diǎn)A在圓內(nèi) D．不確定【分析】由⊙O的半徑為3，OA＝5知點(diǎn)到圓心的距離大于半徑，從而得出答案．【解析】∵⊙O的半徑為3，OA＝5，∴點(diǎn)到圓心的距離大于半徑，∴點(diǎn)A在圓外，故選：B．2．（2022?宿豫區(qū)二模）⊙O是△ABC的外接圓，若BC長等于半徑，則∠A的度數(shù)為（）A．60° B．120° C．30°或150° D．60°或30°【分析】連接OB，OC，證明△OBC是等邊三角形可得∠BOC＝60°，再分兩種情況，利用圓周角定理可求解．【解析】如圖，連接OB，OC，∵OB＝OC＝BC，∴△OBC為等邊三角形，∴∠BOC＝60°，當(dāng)點(diǎn)A在優(yōu)弧上時(shí)，∠A＝∠BOC＝＝30°；當(dāng)點(diǎn)A在劣弧上時(shí)，∠A＝180°﹣30°＝150°，故選：C．3．（2022?浦江縣模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，若⊙A的半徑為5，A點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，0），P點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，3），則點(diǎn)P與⊙A的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)P在⊙A內(nèi) B．點(diǎn)P在⊙A外 C．點(diǎn)P在⊙A上 D．不能確定【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出AP的長，再與5相比較即可．【解析】∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，3），∴AP＝＝5＝半徑，∴點(diǎn)P與⊙A的位置關(guān)系是：點(diǎn)P在⊙A上．故選：C．4．（2022?寶山區(qū)模擬）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，如果點(diǎn)B（a，0）在以A（1，0）為圓心，2為半徑的圓內(nèi)，那么a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞﹣1 B．a(chǎn)＜3 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤3．【分析】由點(diǎn)B（a，0）在以A（1，0）為圓心，2為半徑的圓內(nèi)知|a﹣1|＜2，據(jù)此可得答案．【解析】∵點(diǎn)B（a，0）在以A（1，0）為圓心，2為半徑的圓內(nèi)，∴|a﹣1|＜2，則﹣2＜a﹣1＜2，解得﹣1＜a＜3，故選：C．5．（2021秋?龍鳳區(qū)期末）小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的一塊碎片應(yīng)該是（）A．第一塊 B．第二塊 C．第三塊 D．第四塊【分析】要確定圓的大小需知道其半徑．根據(jù)垂徑定理知第①塊可確定半徑的大小．【解析】第①塊出現(xiàn)一段完整的弧，可在這段弧上任做兩條弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點(diǎn)就是圓心，進(jìn)而可得到半徑的長．故選：A．6．（2021秋?蕭山區(qū)期中）下列說法：①等弧所對的圓心角相等；②經(jīng)過三點(diǎn)可以作一個(gè)圓；③平分弦的直徑垂直于這條弦；④圓的內(nèi)接平行四邊形是矩形．其中正確的有（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【分析】利用圓的有關(guān)定義及性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【解析】①等弧所對的圓心角相等，正確，符合題意；②經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)可以作一個(gè)圓，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；③平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；④圓的內(nèi)接平行四邊形是矩形，正確，符合題意，故選：D．7．（2022?阿城區(qū)模擬）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，∠CAD＝15°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．75° B．70° C．65° D．60°【分析】連接BD，根據(jù)同弧所對的圓周相等可得∠CBD＝15°，再利用直徑所對的圓周角是直角可得∠ABD＝90°，然后利用角的和差關(guān)系，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解析】連接BD，∵∠CAD＝15°，∴∠CAD＝∠CBD＝15°，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD＝90°，∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝75°，故選：A．8．（2022?固安縣模擬）如圖，AB是⊙O的一條弦，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），C、D分別是AB、BP的中點(diǎn)．若AB＝8，∠APB＝45°，則CD長的最大值為（）A． B．4 C． D．8【分析】由三角形中位線的性質(zhì)可得當(dāng)AP是圓的直徑時(shí)，CD最長，連接OB由圓周角定理可得△OAB是等腰直角三角形，由AB求得OA即可解答．【解析】如圖，連接OB，∵C、D分別是AB、BP的中點(diǎn)，∴CD是△BPA的中位線，∴CD＝AP，∴當(dāng)AP最大時(shí)，CD也最大，∴當(dāng)AP是圓的直徑時(shí)，CD最長，∵∠APB＝45°，∴∠AOB＝90°，Rt△OAB中，AB＝8，OA＝OB，∴△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝45°，∴OA＝ABcos∠OAB＝，∴AP＝，CD＝AP＝，故選：A．9．（2020?河北）有一題目：“已知：點(diǎn)O為△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答為：畫△ABC以及它的外接圓O，連接OB，OC．如圖，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇說：“嘉嘉考慮的不周全，∠A還應(yīng)有另一個(gè)不同的值．”下列判斷正確的是（）A．淇淇說的對，且∠A的另一個(gè)值是115° B．淇淇說的不對，∠A就得65° C．嘉嘉求的結(jié)果不對，∠A應(yīng)得50° D．兩人都不對，∠A應(yīng)有3個(gè)不同值【分析】直接利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)結(jié)合圓周角定理得出答案．【解析】如圖所示：∠A還應(yīng)有另一個(gè)不同的值∠A′與∠A互補(bǔ)．故∠A′＝180°﹣65°＝115°．故選：A．10．（2021?湖北）如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，OE⊥AB交⊙O于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)D，AE，CB的延長線交于點(diǎn)F．若OD＝3，AB＝8，則FC的長是（）A．10 B．8 C．6 D．4【分析】由題知，AC為直徑，得OD∥BC，且OD是△ABC的中位線，OE是三角形AFC的中位線，根據(jù)勾股定理求出圓的半徑即可．【解析】由題知，AC為直徑，∴∠ABC＝90°，∵OE⊥AB，∴OD∥BC，∵OA＝OC，∴OD為三角形ABC的中位線，∴AD＝AB＝×8＝4，又∵OD＝3，∴OA＝＝＝5，∴OE＝OA＝5，∵OE∥CF，點(diǎn)O是AC中點(diǎn)，∴OE是三角形ACF的中位線，∴CF＝2OE＝2×5＝10，故選：A．二．填空題（共8小題）11．（2022春?東莞市校級期中）⊙O的半徑為4cm，點(diǎn)P到圓心O的距離為5cm，點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是點(diǎn)P在圓外．【分析】判斷點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系可得答案．【解析】∵⊙O的半徑r＝4cm，點(diǎn)P到圓心O的距離d＝5cm，∴r＜d，∴點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是點(diǎn)P在圓外，故答案為：點(diǎn)P在圓外．12．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）已知圓O的半徑為5，點(diǎn)A在圓O外，如果線段OA的長為d，那么d的取值范圍是d＞5．【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓外，d＞r，可得結(jié)論．【解析】∵點(diǎn)A在圓外，∴d＞5，故答案為：d＞5．13．如圖，在△ABC中，∠BAC＝45°，BC＝4，則△ABC面積的最大值為4+4．【分析】如圖，作△ABC的外接圓，因?yàn)锽C為固定弦，∠A為BC所對圓周角，點(diǎn)A在弧BC（優(yōu)?。┥弦苿?dòng)都能保證∠A恒為45°，而△ABC的面積由于底BC固定則由其高決定，在圓上當(dāng)AD與BC垂直時(shí)，△ABC的高達(dá)到最大值，此時(shí)△ABC面積最大，延長AO與BC交于D，由上述可知AD⊥BC，根據(jù)題意，等腰三角三角形的性質(zhì)，分別求出OD＝BD＝2，AD＝AO+OD＝2+2，S△ABC＝×BC?AD即可求解．【解析】如圖，作△ABC的外接圓，因?yàn)锽C為固定弦，∠A為BC所對圓周角，點(diǎn)A在弧BC（優(yōu)弧）上移動(dòng)都能保證∠A恒為45°，而△ABC的面積由于底BC固定則由其高決定，在圓上當(dāng)AD與BC垂直時(shí)，△ABC的高達(dá)到最大值，此時(shí)△ABC面積最大，如圖，延長AO與BC交于D，由上述可知AD⊥BC，∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，∵BC＝4，∴BO＝OC＝AO＝2，∵OD⊥BC，OB＝OC，∴OC平分∠BOC，D是BC中點(diǎn)，∴∠BOD＝45°，BD＝DC＝BC＝2，∵∠ODB＝90°，∴∠OBD＝45°，∴OD＝BD＝2，∴AD＝AO+OD＝2+2，此時(shí)，S△ABC＝×BC?AD＝4+4．故答案為：4+4．14．（2019?青神縣模擬）如圖，若△ABC內(nèi)接于半徑為4的⊙O，且∠C＝60°，則邊AB的長為．【分析】連接AO并延長交⊙O于D，根據(jù)圓周角定理得到∠ABD＝90°，∠D＝∠∠C＝60°，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解析】連接AO并延長交⊙O于D，連接BD，則∠ABD＝90°，∵∠C＝60°，∴∠D＝∠∠C＝60°，∵⊙O的半徑為4，∴AD＝8，∴＝sin∠C，即＝，∴AB＝4，故答案為：4．15．（2020?泰州二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圓，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（6，6）．【分析】由題意得出M在AB、BC的垂直平分線上，則BN＝CN，求出ON＝OB+BN＝6，證△OMN是等腰直角三角形，得出MN＝ON＝6，即可得出答案．【解析】如圖所示：∵⊙M是△ABC的外接圓，∴點(diǎn)M在AB、BC的垂直平分線上，∴BN＝CN，∵點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是（0，4），（4，0），（8，0），∴OA＝OB＝4，OC＝8，∴BC＝4，∴BN＝2，∴ON＝OB+BN＝6，∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∵OM⊥AB，∴∠MON＝45°，∴△OMN是等腰直角三角形，∴MN＝ON＝6，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（6，6）；故答案為：（6，6）．16．（2021?隨縣一模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若⊙O的半徑為4，則CD的長為2．【分析】連接OA，OC，根據(jù)圓周角定理得圓心角為90°，根據(jù)勾股定理求出AC，再根據(jù)在直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半即可求出CD．【解析】如圖，連接OA，OC．∵∠COA＝2∠CBA＝2×45°＝90°，在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理得：AC＝＝4，∵CD⊥AB，∠CAB＝30°，∴CD＝AC＝2．故答案為：2．17．（2022春?鼓樓區(qū)校級期中）如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（2，0），B（0，2），點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC＝1，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM的最大值為+．【分析】根據(jù)同圓的半徑相等可知：點(diǎn)C在半徑為1的⊙B上，通過畫圖可知，C在BD與圓B的交點(diǎn)時(shí)，OM最小，在DB的延長線上時(shí)，OM最大，根據(jù)三角形的中位線定理可得結(jié)論．【解析】如圖，∵點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC＝1，∴C在⊙B上，且半徑為1，取OD＝OA＝2，連接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位線，∴OM＝CD，當(dāng)OM最大時(shí)，即CD最大，而D，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，當(dāng)C在DB的延長線上時(shí)，OM最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝2，∴CD＝2+1，∴OM＝CD＝+，即OM的最大值為+；故答案為．18．（2019秋?潢川縣期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AE⊥BE，則線段CE的最小值為2﹣2．【分析】由AE⊥BE知點(diǎn)E在以AB為直徑的半⊙O上，連接CO交⊙O于點(diǎn)E′，當(dāng)點(diǎn)E位于點(diǎn)E′位置時(shí)，線段CE取得最小值，利用勾股定理可得答案．【解析】如圖，∵AE⊥BE，∴點(diǎn)E在以AB為直徑的半⊙O上，連接CO交⊙O于點(diǎn)E′，∴當(dāng)點(diǎn)E位于點(diǎn)E′位置時(shí)，線段CE取得最小值，∵AB＝4，∴OA＝OB＝OE′＝2，∵BC＝6，∴OC＝＝＝2，則CE′＝OC﹣OE′＝2﹣2，故答案為：2﹣2．三．解答題（共4小題）19．（2021秋?贛榆區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，若以點(diǎn)D為圓心，r為半徑作⊙D，使點(diǎn)B在⊙D內(nèi)，點(diǎn)C在⊙D外，試求r的取值范圍．【分析】連接CD，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，顯然DF∥AE，解直角三角形求出CD，BD即可判斷．【解析】連接CD，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，顯然DF∥AE，∵AB＝AC＝2，BC＝4，∴BE＝BC＝2，∴AE＝＝4，∵點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，即DF是中位線∴DF＝AE＝2，BF＝BE＝1，∴CF＝3，∴CD＝＝，又DB＝AB＝，∴r的取值范圍是＜r＜．20．（2021秋?高淳區(qū)期中）如圖，BD、CE是△ABC的高．（1）求證：B、C、D、E四個(gè)點(diǎn)在同