人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典專題24.3弧、弦、圓心角特訓(xùn)(原卷版+解析)

【講練課堂】2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】專題24.3弧、弦、圓心角【名師點(diǎn)睛】圓心角、弧、弦的關(guān)系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．說明：同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問題時(shí)，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．【典例剖析】【例1】如圖,在⊙O中,AC=BC,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E.求證：AD＝【變式1】如圖，⊙O中，弦AB與CD相交于點(diǎn)E,AB=CD,連接AD、BC.求證：⑴AD=⑵AE=CE.【例2】．如圖，⊙O的弦AB、DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．（1）如圖1，若AD為120°，BC為50°，求∠E的度數(shù)；（2）如圖2，若AB＝CD，求證：AE＝DE．【滿分訓(xùn)練】一．選擇題（共10小題）1．（2020秋?梁溪區(qū)校級(jí)期中）下列語句，錯(cuò)誤的是（）A．直徑是弦 B．相等的圓心角所對(duì)的弧相等 C．弦的垂直平分線一定經(jīng)過圓心 D．平分弧的半徑垂直于弧所對(duì)的弦2．（2021秋?越秀區(qū)校級(jí)期中）下列結(jié)論中，正確的是（）A．長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧 B．相等的圓心角所對(duì)的弧相等 C．平分弦的直徑垂直于弦 D．圓是中心對(duì)稱圖形3．（2022?廣西模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，∠D＝32°，則∠AOC等于（）A．158° B．58° C．64° D．116°4．（2021秋?鹿城區(qū)校級(jí)期中）如圖所示的齒輪有16個(gè)齒，每?jī)升X之間間隔相等，相鄰兩齒間的圓心角α的度數(shù)為（）A．20° B．22.5° C．25° D．30°5．（2019秋?吳興區(qū)期中）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AC＝2，BD＝2，則⊙O的半徑為（）A． B． C． D．6．（2019秋?建水縣期末）如圖，⊙O的半徑等于4，如果弦AB所對(duì)的圓心角等于120°，那么圓心O到弦AB的距離等于（）A．1 B． C．2 D．7．（2020秋?郁南縣期末）如圖，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)C、D為的三等分點(diǎn)，若∠COD＝50°，則∠BOE的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．50° D．60°8．（2020秋?昆明期末）如圖，半徑為5的⊙O中，有兩條互相垂直的弦AB、CD，垂足為點(diǎn)E，且AB＝CD＝8，則OE的長(zhǎng)為（）A．3 B． C．2 D．39．（2019?安徽一模）已知⊙O的直徑CD為2，弧AC的度數(shù)為80°，點(diǎn)B是弧AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直徑CD上移動(dòng)，則BP+AP的最小值為（）A．1 B．2 C．2 D．10．（2019秋?莘縣期中）如圖，在同圓中，弧AB等于弧CD的2倍，試判斷AB與2CD的大小關(guān)系是（）A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．不能確定二．填空題（共8小題）11．（2020秋?思明區(qū)校級(jí)期中）在半徑為6的⊙O中，長(zhǎng)為6的弦所對(duì)的圓心角是°．12．（2018秋?大石橋市期中）在半徑為9cm的圓中，60°的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為cm．13．（2021秋?越秀區(qū)校級(jí)期中）如圖，MN為圓O的弦，∠OMN＝35°，那么∠MON為．14．（2021秋?凱里市校級(jí)期中）如圖，在⊙O中，＝，則下列結(jié)論中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④＝，正確的是（填序號(hào)）．15．（2021秋?思明區(qū)校級(jí)期中）如圖，AB是⊙O的直徑，AC、CD、DE、EF、FB都是⊙O的弦，且AC＝CD＝DF＝EF＝FB，則∠AOC＝．16．如圖，在半徑為4的⊙O中，和度數(shù)分別為36°和108°，弦CD與弦AB長(zhǎng)度的差為．17．（2019?淄川區(qū)二模）如圖，已知點(diǎn)C是⊙O的直徑AB上的一點(diǎn)，過點(diǎn)C作弦DE，使CD＝CO．若的度數(shù)為40°，則的度數(shù)是．18．（2019?桂林模擬）如圖，⊙O的半徑為2，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A處沿圓周以每秒45°圓心角的速度逆時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng)，即第1秒點(diǎn)P位于如圖所示位置，第2秒點(diǎn)P位于點(diǎn)C的位置，…，則第2019秒點(diǎn)P所在位置的坐標(biāo)為．三．解答題（共6小題）19．（2021秋?磐石市期中）如圖，⊙O中，弦AB與CD相交于點(diǎn)E，AB＝CD，連接AD，BC．求證：．20．（2020秋?漣水縣期末）如圖，AB、CD是⊙O的直徑，弦CE∥AB，所對(duì)的圓心角為30°．求∠AOC的度數(shù)．21．（2021?秦淮區(qū)二模）如圖，⊙O的弦AB、CD相交于點(diǎn)P，且AB＝CD．求證PB＝PD．22．（2022?金華模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作圓，交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，連接DE．（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度數(shù)；（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的長(zhǎng)．23．（2020秋?紅谷灘區(qū)校級(jí)期末）如圖，在⊙O中，＝，CD⊥OA于點(diǎn)D，CE⊥OB于點(diǎn)E．（1）求證：CD＝CE；（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四邊形DOEC的面積．24．（2019秋?宿豫區(qū)期中）如圖，⊙O的弦AB、DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．（1）如圖1，若為120°，為50°，求∠E的度數(shù)；（2）如圖2，若AB＝CD，求證：AE＝DE．【講練課堂】2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】專題24.3弧、弦、圓心角【名師點(diǎn)睛】圓心角、弧、弦的關(guān)系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．說明：同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問題時(shí)，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．【典例剖析】【例1】如圖,在⊙O中,AC=BC,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E.求證：AD＝【答案】見解析.【解析】【分析】連接OC，先根據(jù)AC=CB得出∠AOC=∠BOC，再由已知條件根據(jù)AAS定理得出【詳解】連接OC，∵AC=∴∠AOC=∠BOC.∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，∴∠CDO=∠CEO=90°在△COD與△COE中，∵∠DOC=∠EOC∠CDO=∠CEO=90°∴△COD≌△COE(AAS)，∴OD=OE，∵AO=BO，∴AD=BE.【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，圓心角、弧、弦、弦心距的關(guān)系，解題關(guān)鍵在于證明三角形COD與三角形COE全等.【變式1】如圖，⊙O中，弦AB與CD相交于點(diǎn)E,AB=CD,連接AD、BC.求證：⑴AD=⑵AE=CE.【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】【分析】（1）由AB=CD知AB=CD，即（2）由AD=BC知AD=BC，結(jié)合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE可證【詳解】證明（1）∵AB=CD，∴AB=CD，即∴AD=（2）∵AD=∴AD=BC，又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AE=CE．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓心角、弧、弦三者的關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．【例2】．如圖，⊙O的弦AB、DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．（1）如圖1，若AD為120°，BC為50°，求∠E的度數(shù)；（2）如圖2，若AB＝CD，求證：AE＝DE．【答案】（1）35°；（2）見解析【解析】【分析】（1）連接AC．根據(jù)弧AD為120°，弧BC為50°，可得到∠ACD＝60°，∠BAC＝25°，根據(jù)∠ACD＝∠BAC+∠E，得出∠E＝∠ACD﹣∠BAC＝60°﹣25°＝35°；（2）連接AD．由AB＝CD，得到弧AB＝弧CD，推出弧AC＝弧BD，所以∠ADC＝∠DAB，因此AE＝DE．【詳解】（1）解：連接AC．∵弧AD為120°，弧BC為50°，∴∠ACD＝60°，∠BAC＝25°，∵∠ACD＝∠BAC+∠E∴∠E＝∠ACD﹣∠BAC＝60°﹣25°＝35°；（2）證明：連接AD．∵AB＝CD，∴弧AB＝弧CD，∴弧AC＝弧BD，∴∠ADC＝∠DAB，∴AE＝DE．【滿分訓(xùn)練】一．選擇題（共10小題）1．（2020秋?梁溪區(qū)校級(jí)期中）下列語句，錯(cuò)誤的是（）A．直徑是弦 B．相等的圓心角所對(duì)的弧相等 C．弦的垂直平分線一定經(jīng)過圓心 D．平分弧的半徑垂直于弧所對(duì)的弦【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系，垂徑定理，圓的有關(guān)概念判斷即可．【解析】直徑是弦，A正確，不符合題意；在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，B錯(cuò)誤，符合題意；弦的垂直平分線一定經(jīng)過圓心，C正確，不符合題意；平分弧的半徑垂直于弧所對(duì)的弦，D正確，不符合題意；故選：B．2．（2021秋?越秀區(qū)校級(jí)期中）下列結(jié)論中，正確的是（）A．長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧 B．相等的圓心角所對(duì)的弧相等 C．平分弦的直徑垂直于弦 D．圓是中心對(duì)稱圖形【分析】利用等弧的定義、確定圓的條件、圓周角定理及垂徑定理的知識(shí)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【解析】A、長(zhǎng)度相等的弧不一定是等弧，故錯(cuò)誤；B、同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故錯(cuò)誤；C、此弦不能是直徑，命題錯(cuò)誤；D、圓是中心對(duì)稱圖形，正確，故選：D．3．（2022?廣西模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，∠D＝32°，則∠AOC等于（）A．158° B．58° C．64° D．116°【分析】先根據(jù)圓周角定理求出∠BOC的度數(shù)，再由補(bǔ)角的定義即可得出結(jié)論．【解析】∵∠D＝32°，∴∠BOC＝2∠D＝64°，∴∠AOC＝180°﹣64°＝116°．故選：D．4．（2021秋?鹿城區(qū)校級(jí)期中）如圖所示的齒輪有16個(gè)齒，每?jī)升X之間間隔相等，相鄰兩齒間的圓心角α的度數(shù)為（）A．20° B．22.5° C．25° D．30°【分析】根據(jù)正多邊形的中心角＝，計(jì)算即可．【解析】由題意這是正十六邊形，中心角α＝＝22.5°，故選：B．5．（2019秋?吳興區(qū)期中）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AC＝2，BD＝2，則⊙O的半徑為（）A． B． C． D．【分析】作半徑OE⊥AB，連接DE，作BF⊥DE于F，如圖，利用等角的余角相等得到∠DOE＝∠AOE，則DE＝AC＝2，利用三角形內(nèi)角和可計(jì)算出∠BDE＝135°，所以∠BDF＝45°，從而可計(jì)算出DF＝BF＝2，利用勾股定理計(jì)算出BE＝2，然后根據(jù)△BOE為等腰直角三角形可得到OB的長(zhǎng)．【解析】作半徑OE⊥AB，連接DE，作BF⊥DE于F，如圖，∵∠DOC＝90°，∠AOE＝90°，∴∠DOE＝∠AOC，∴DE＝AC＝2，∵∠BDE＝180°﹣×90°＝135°，∴∠BDF＝45°，∴DF＝BF＝BD＝×2＝2，在Rt△BEF中，BE＝＝2，∵△BOE為等腰直角三角形，∴OB＝×2＝．故選：D．6．（2019秋?建水縣期末）如圖，⊙O的半徑等于4，如果弦AB所對(duì)的圓心角等于120°，那么圓心O到弦AB的距離等于（）A．1 B． C．2 D．【分析】由圓心角∠AOB＝120°，可得△AOB是等腰三角形，又由OC⊥AB，再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)，可求得OC的長(zhǎng)．【解析】如圖，∵圓心角∠AOB＝120°，OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵OC⊥AB，∴∠ACO＝90°，∠A＝30°，∴OC＝OA＝2．故選：C．7．（2020秋?郁南縣期末）如圖，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)C、D為的三等分點(diǎn)，若∠COD＝50°，則∠BOE的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．50° D．60°【分析】求出∠AOE，可得結(jié)論．【解析】∵點(diǎn)C、D為的三等分點(diǎn)，∴＝＝，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝50°，∴∠AOE＝150°，∴∠EOB＝180°﹣∠AOE＝30°，故選：B．8．（2020秋?昆明期末）如圖，半徑為5的⊙O中，有兩條互相垂直的弦AB、CD，垂足為點(diǎn)E，且AB＝CD＝8，則OE的長(zhǎng)為（）A．3 B． C．2 D．3【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連接OA，OC，根據(jù)垂徑定理得出BM＝AM＝4，DN＝CN＝4，根據(jù)勾股定理求出OM和ON，證明四邊形OMEN是正方形，即可解決問題．【解析】如圖，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連接OA，OC．∴AM＝BM＝4，CN＝DN＝4，∵OA＝OC＝5，∴OM＝＝＝3，ON＝＝＝3，∴OM＝ON，∵AB⊥CD，∴∠OME＝∠ONE＝∠MEN＝90°，∴四邊形OMEN是矩形，∵OM＝ON，∴四邊形OMEN是正方形，∴OE＝OM＝3，故選：D．9．（2019?安徽一模）已知⊙O的直徑CD為2，弧AC的度數(shù)為80°，點(diǎn)B是弧AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直徑CD上移動(dòng)，則BP+AP的最小值為（）A．1 B．2 C．2 D．【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)得到PB＝PB′，＝，得到∠B′EA＝60°．當(dāng)點(diǎn)B′、P、A在一條直線上時(shí)，PB+PA有最小值，最小值為AB′，根據(jù)正弦的定義計(jì)算即可．【解析】過點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′交CD于點(diǎn)P，延長(zhǎng)AO交圓O于點(diǎn)E，連接B′E．∵點(diǎn)B與點(diǎn)B′關(guān)于CD對(duì)稱，∴PB＝PB′，＝，∴當(dāng)點(diǎn)B′、P、A在一條直線上時(shí)，PB+PA有最小值，最小值為AB′．∵點(diǎn)B是的中點(diǎn)，∴＝120°．∴∠B′EA＝60°．∴AB′＝AE?sin60°＝2×＝．故選：D．10．（2019秋?莘縣期中）如圖，在同圓中，弧AB等于弧CD的2倍，試判斷AB與2CD的大小關(guān)系是（）A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．不能確定【分析】取的中點(diǎn)E，連接AE、BE，如圖，易得＝＝，利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得到CD＝AE＝BE，然后根據(jù)三角形三邊的關(guān)系可得到AB與2CD之間的關(guān)系．【解析】取的中點(diǎn)E，連接AE、BE，如圖，∵弧AB等于弧CD的2倍，而＝，∴＝＝，∴CD＝AE＝BE，∵AE+BE＞AB，∴2CD＞AB．故選：B．二．填空題（共8小題）11．（2020秋?思明區(qū)校級(jí)期中）在半徑為6的⊙O中，長(zhǎng)為6的弦所對(duì)的圓心角是60°．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠AOB＝60°，得到答案．【解析】∵OA＝OB＝AB＝6，∴△AOB為等邊三角形，∴∠AOB＝60°，故答案為：60．12．（2018秋?大石橋市期中）在半徑為9cm的圓中，60°的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為9cm．【分析】圓心角為60°，且半徑相等可得等邊三角形，此題易解．【解析】由題意知，設(shè)圓心為O，60°的圓心角的兩邊與圓的交點(diǎn)分別為A，B，則△AOB是等邊三角形，∴AO＝AB＝OB＝9cm．13．（2021秋?越秀區(qū)校級(jí)期中）如圖，MN為圓O的弦，∠OMN＝35°，那么∠MON為110°．【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)及等腰三角形的內(nèi)角和為180°可得答案．【解析】∵M(jìn)N為圓O的弦，∴OM＝ON，∴∠OMN＝∠ONM＝35°，∴∠MON＝180°﹣2∠OMN＝180°﹣2×35°＝110°．故答案為：110°．14．（2021秋?凱里市校級(jí)期中）如圖，在⊙O中，＝，則下列結(jié)論中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④＝，正確的是①②③④（填序號(hào)）．【分析】利用同圓或等圓中弧，弦以及所對(duì)的圓心角之間的關(guān)系逐項(xiàng)分析即可．【解析】在⊙O中，＝，∴AB＝CD，故①正確；∵BC為公共弧，∴＝故④正確；∴AC＝BD，故②正確；∴∠AOC＝∠BOD，故③正確．故答案為：①②③④．15．（2021秋?思明區(qū)校級(jí)期中）如圖，AB是⊙O的直徑，AC、CD、DE、EF、FB都是⊙O的弦，且AC＝CD＝DF＝EF＝FB，則∠AOC＝36°．【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得出∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠BOF，再求出答案即可．【解析】∵AC＝CD＝DF＝EF＝FB，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠BOF，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AOB＝180°，∴∠AOC＝∠AOB＝36°，故答案為：36°．16．如圖，在半徑為4的⊙O中，和度數(shù)分別為36°和108°，弦CD與弦AB長(zhǎng)度的差為4．【分析】連接OA、OB、OC、OD，在CD上取一點(diǎn)E，使得CE＝OC，連接OE，構(gòu)造三個(gè)等腰三角形△OAB，△OCD與△OCE；證明△COE≌△OAB，則有OE＝AB；利用等腰三角形性質(zhì)證明DE＝OE，因此CD﹣AB＝CD﹣DE＝CE＝4．【解析】如圖，連接OA、OB，則△OAB為等腰三角形，頂角為36°，底角為72°；連接OC、OD，則△OCD為等腰三角形，頂角為108°，底角為36°．在CD上取一點(diǎn)E，使得CE＝OC，連接OE，則△OCE為等腰三角形，頂角為36°，底角為72°．在△COE與△OAB中，∵，∴△COE≌△OAB（SAS），∴OE＝AB．∵∠EOD＝∠OEC﹣∠ODC＝72°﹣36°＝36°，∴∠EOD＝∠ODE，∴DE＝OE，∴CD﹣AB＝CD﹣OE＝CD﹣DE＝CE＝4．故答案為：4．17．（2019?淄川區(qū)二模）如圖，已知點(diǎn)C是⊙O的直徑AB上的一點(diǎn)，過點(diǎn)C作弦DE，使CD＝CO．若的度數(shù)為40°，則的度數(shù)是120°．【分析】連接OD、OE，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理求出∠AOD＝40°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【解析】連接OD、OE，∵的度數(shù)為40°，∴∠AOD＝40°，∵CD＝CO，∴∠ODC＝∠AOD＝40°，∵OD＝OE，∴∠ODC＝∠E＝40°，∴∠DOE＝100°，∴∠AOE＝60°，∴∠BOE＝120°，∴的度數(shù)是120°．故答案為120°．18．（2019?桂林模擬）如圖，⊙O的半徑為2，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A處沿圓周以每秒45°圓心角的速度逆時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng)，即第1秒點(diǎn)P位于如圖所示位置，第2秒點(diǎn)P位于點(diǎn)C的位置，…，則第2019秒點(diǎn)P所在位置的坐標(biāo)為（﹣，）．【分析】作PH⊥OA于H，分別求出前4秒點(diǎn)的坐標(biāo)，總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答．【解析】作PH⊥OA于H，由題意得，∠POH＝45°，∴OH＝OP?cos∠POH＝，PH＝OP?sin∠POH＝，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），則第1秒點(diǎn)P所在位置的坐標(biāo)（，），第2秒點(diǎn)P所在位置的坐標(biāo)（0，2），第3秒點(diǎn)P所在位置的坐標(biāo)（﹣，），第4秒點(diǎn)P所在位置的坐標(biāo)（2，0），……2019÷8＝252…3，則第2019秒點(diǎn)P所在位置的坐標(biāo)為（﹣，），故答案為：（﹣，）．三．解答題（共6小題）19．（2021秋?磐石市期中）如圖，⊙O中，弦AB與CD相交于點(diǎn)E，AB＝CD，連接AD，BC．求證：．【分析】根據(jù)弦相等推出弦所對(duì)的弧相等，證明即可．【解答】證明：∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，∴＝．20．（2020秋?漣水縣期末）如圖，AB、CD是⊙O的直徑，弦CE∥AB，所對(duì)的圓心角為30°．求∠AOC的度數(shù)．【分析】連接OE，由的度數(shù)為40°，得到∠COE＝40°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可求出∠OCE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，而弦CE∥AB，即可得到∠AOC＝∠OCE＝75°．【解析】連接OE，如圖，∵為30°，∴∠COE＝30°，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∴∠OCE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∵弦CE∥AB，∴∠AOC＝∠OCE＝75°．21．（2021?秦淮區(qū)二模）如圖，⊙O的弦AB、CD相交于點(diǎn)P，且AB＝CD．求證PB＝PD．【分析】連接BD，利用圓心角、弧、弦的關(guān)系、等腰三角形的判定定理解答即可．【解答】證明：連接BD．∵AB＝CD，∴＝∴﹣＝﹣，即＝，∴∠B＝∠D，∴PB＝PD．22．（2022?金華模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作圓，交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，連接DE．（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度數(shù)；（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的長(zhǎng)．【分析】（1）連接AD，求出∠DAE，再利用等腰三角形的性質(zhì)解決問