江蘇省南京市九中2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

江蘇省南京市九中2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知aR且a>b，則下列不等式一定成立的是（）A.> B.>abC.> D.a(a—b)>b(a—b)2．已知圓：與圓：，則兩圓的位置關(guān)系是A.相交 B.相離C.內(nèi)切 D.外切3．已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是，那么函數(shù)在區(qū)間上（）A.當(dāng)時(shí)，有最小值無最大值 B.當(dāng)時(shí)，無最小值有最大值C.當(dāng)時(shí)，有最小值無最大值 D.當(dāng)時(shí)，無最小值也無最大值4．已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值是（）A或2 B.2C. D.15．若圓上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則半徑r的取值范圍是A.(4,6) B.[4,6]C.(4,5) D.(4,5]6．已知點(diǎn)A（1，2），B（3，1），則線段AB的垂直平分線的方程是（）A. B.C. D.7．設(shè)，則（）A. B.C. D.8．已知全集，集合，則（）A. B.C. D.9．在上，滿足的的取值范圍是（）A. B.C. D.10．設(shè)函數(shù)則A.1 B.4C.5 D.9二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在一次函數(shù)的圖象上，其中，則的最小值為_____________.12．已知命題：，都有是真命題，則實(shí)數(shù)取值范圍是______13．已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為4cm，高與斜高的夾角為，則該正四棱錐的側(cè)面積等于________cm214．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，.若對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______15．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則___________.16．已知函數(shù)，方程有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（1）實(shí)數(shù)m的取值范圍為_____________；（2）的取值范圍為______________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．筒車是我國(guó)古代發(fā)哪的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用．明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中描繪了筒車的工作原理．如圖1是一個(gè)半徑為R（單位：米），有24個(gè)盛水筒的筒車，按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周需要120秒，為了研究某個(gè)盛水筒P離水面高度h（單位，米）與時(shí)間t（單位：秒）的變化關(guān)系，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系xOy．已知時(shí)P的初始位置為點(diǎn)（此時(shí)P裝滿水）.（1）P從出發(fā)到開始倒水入槽需要用時(shí)40秒，求此刻P距離水面的高度（結(jié)果精確到0.1）；（2）記與P相鄰的下一個(gè)盛水筒為Q，在簡(jiǎn)車旋轉(zhuǎn)一周的過程中，求P與Q距離水面高度差的最大值（結(jié)果精確到0.1）參考數(shù)據(jù)：，，，18．計(jì)算下列各式的值：（1）lg2（2）sin19．已經(jīng)函數(shù)(Ⅰ)函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣變化得出？（Ⅱ）求函數(shù)的最小值，并求使用取得最小值的的集合20．已知，，（1）求和；（2）求角的值21．已知函數(shù).（1）若，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)恒有兩個(gè)相異的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知且，，求證：方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】對(duì)于A，B，C舉反例判斷即可，對(duì)于D，利用不等式的性質(zhì)判斷【詳解】解：對(duì)于A，若，則，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，此時(shí)，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，此時(shí)，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，所以D正確，故選：D2、C【解析】分析：求出圓心的距離，與半徑的和差的絕對(duì)值比較得出結(jié)論詳解：圓，圓,，所以內(nèi)切．故選C點(diǎn)睛：兩圓的位置關(guān)系判斷如下：設(shè)圓心距為，半徑分別為，則：，內(nèi)含；，內(nèi)切；，相交；，外切；，外離3、D【解析】依題意不等式的解集為（1，+∞），即可得到且，即，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算在區(qū)間（-1，2）上的單調(diào)性及取值范圍，即可得到函數(shù)的最值情況【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)區(qū)間是，即不等式的解集為（1，+∞），所以且，即，所以,當(dāng)時(shí)，在上滿足，故此時(shí)為增函數(shù)，既無最大值也無最小值，由此A,B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，在上滿足，此時(shí)為減函數(shù)，既無最大值也無最小值，故C錯(cuò)誤，D正確，故選：D.4、C【解析】由函數(shù)是冪函數(shù)可得，解得或2，再討論單調(diào)性即可得出.【詳解】是冪函數(shù)，，解得或2，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，符合題意，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，不符合題意，.故選：C.5、A【解析】由圓，可得圓心的坐標(biāo)為圓心到直線的距離為：由得所以的取值范圍是故答案選點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是理解“圓上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1”，將其轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合題意計(jì)算求得結(jié)果6、B【解析】因?yàn)榫€段的垂直平分線上的點(diǎn)到點(diǎn)，的距離相等，所以即：，化簡(jiǎn)得：故選7、C【解析】先由補(bǔ)集的概念得到，再由并集的概念得到結(jié)果即可【詳解】根據(jù)題意得，則故選：C8、B【解析】首先確定全集，而后由補(bǔ)集定義可得結(jié)果【詳解】解：，又，.故選B【點(diǎn)睛】本題考查了集合的補(bǔ)集，熟練掌握補(bǔ)集的定義是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題型.9、B【解析】根據(jù)的函數(shù)圖象結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值，即可容易求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)的圖象可知：當(dāng)時(shí)，或，數(shù)形結(jié)合可知：當(dāng)，得故選：.【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)的圖象解不等式，屬簡(jiǎn)單題.10、C【解析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式求出與的值，相加即可得答案【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，則，又由，則，則；故選C【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，及函數(shù)求值問題，其中解答中熟記對(duì)數(shù)的運(yùn)算，以及合理利用分段函數(shù)的解析式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、4【解析】由題意可知定點(diǎn)A（1,1）,所以m+n=1,因?yàn)?所以,當(dāng)時(shí)，的最小值為4.12、【解析】由于，都有，所以，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】解：因?yàn)槊}：，都有是真命題，所以，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：13、32【解析】在正四棱錐的高和斜高所在的直角三角形中計(jì)算出斜高后，根據(jù)三角形的面積公式即可求出側(cè)面積.【詳解】因?yàn)檎睦忮F的底面邊長(zhǎng)為4cm，高與斜高的夾角為，所以斜高為cm，所以該正四棱錐的側(cè)面積等于cm2故答案為：32.【點(diǎn)睛】本題考查了正棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了求正四棱錐的側(cè)面積，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】根據(jù)題意求出函數(shù)和圖像，畫出圖像根據(jù)圖像解題即可.【詳解】因?yàn)闈M足，即；又由，可得，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，，所以，即；所以當(dāng)時(shí)，，所以，即；根據(jù)解析式畫出函數(shù)部分圖像如下所示；因?yàn)閷?duì)任意，恒成立，根據(jù)圖像當(dāng)時(shí)，函數(shù)與圖像交于點(diǎn)，即的橫坐標(biāo)即為的最大值才能符合題意，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是：.故答案為：.15、##【解析】函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出、與的值，再利用函數(shù)的周期性即可求出答案.【詳解】解：由圖象知，，∴，又由圖象可得：，可求得，∴，∴，∴故答案為：.16、①.②.【解析】利用數(shù)形結(jié)合可得實(shí)數(shù)m的取值范圍，然后利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，再利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性及二次函數(shù)的性質(zhì)即求.【詳解】作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，則可知實(shí)數(shù)m的取值范圍為，由題可知，，∵，∴，即，又，，∴，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，即.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛；本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即解.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）m（2）m【解析】（1）根據(jù)題意P從出發(fā)到開始倒水入槽用時(shí)40秒，可知線段OA按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了，由，可求圓的半徑，由題意可知以O(shè)A為終邊的角為，由此即可求出P距離水面的高度；（2）由題意可知P轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為rad/s，易知P開始轉(zhuǎn)動(dòng)t秒后距離水面的高度的解析式，設(shè)P，Q兩個(gè)盛水筒分別用點(diǎn)B，C表示，易知，點(diǎn)C相對(duì)于點(diǎn)B始終落后rad，求出Q距離水面的高度，可得則P，Q距離水面的高度差，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】解：由于筒車轉(zhuǎn)一周需要120秒，所以P從出發(fā)到開始倒水入槽的40秒，線段OA按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了，因?yàn)锳點(diǎn)坐標(biāo)為，得，以O(shè)A為終邊的角為，所以P距離水面的高度m【小問2詳解】解：由于筒車轉(zhuǎn)一周需要120秒，可知P轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為rad/s，又以O(shè)A為終邊的角為，則P開始轉(zhuǎn)動(dòng)t秒后距離水面的高度，如圖，P，Q兩個(gè)盛水筒分別用點(diǎn)B，C表示，則，點(diǎn)C相對(duì)于點(diǎn)B始終落后rad，此時(shí)Q距離水面的高度則P，Q距離水面的高度差，利用，可得當(dāng)或，即或時(shí)，最大值為所以，筒車旋轉(zhuǎn)一周的過程中，P與Q距離水面高度差的最大值約為m18、（1）1（2）-1【解析】（1）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)直接計(jì)算可得；（2）先進(jìn)行切化弦，再通分后利用和差角公式和誘導(dǎo)公式即可求得.【小問1詳解】原式＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5＝lg2＋lg5＝1【小問2詳解】原式＝sin40°(sin10°cos＝sin40°(sin10＝2＝-2＝-＝-＝－119、（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ）最小值，對(duì)應(yīng)的x的集合為.【解析】（Ⅰ）由二倍角公式降冪后，用誘導(dǎo)公式化正弦函數(shù)，再由圖象平移得結(jié)論；（Ⅱ）利用兩角和的余弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的余弦型函數(shù)，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)得最值【詳解】解：（Ⅰ），所以要得到的圖象只需要把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得的圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可.（Ⅱ）.當(dāng)2x+=2k＋時(shí)，h（x）取得最小值.取得最小值時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的集合為.20、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系，即可求出結(jié)果；（2）由得，進(jìn)而可求出的值，再由兩角差的正切公式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）已知，由，解得.（2）由得又，,【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換，熟記同角三角函數(shù)基本關(guān)系以及兩角差的正切公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.21、⑴見解析;⑵;⑶見解析.【解析】（1）利用判別式定二次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)：（2）零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，利用判別式處理即可；（3）方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根，即有零點(diǎn)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可以證