2.4.2-圓的一般方程-課件

第二章2.4.2圓的一般方程1.掌握?qǐng)A的一般方程及其特點(diǎn)；2.會(huì)將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能熟練地指出圓心的位置和半徑的大??；3.能根據(jù)某些具體條件，運(yùn)用待定系數(shù)法確定圓的方程.問題導(dǎo)學(xué)題型探究達(dá)標(biāo)檢測(cè)學(xué)習(xí)目標(biāo)問題導(dǎo)學(xué)

新知探究點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)知識(shí)點(diǎn)圓的一般方程思考1方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分別表示什么圖形？答案對(duì)方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)為圓心，半徑為2的圓，方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1不表示任何圖形.思考2對(duì)于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圓？當(dāng)D2＋E2－4F>0時(shí)，方程條件圖形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F<0不表示任何圖形D2＋E2－4F＝0表示一個(gè)點(diǎn)

D2＋E2－4F>0表示以

為圓心，以

為半徑的圓題型探究

重點(diǎn)難點(diǎn)個(gè)個(gè)擊破類型一圓的一般方程的概念例1若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圓，求實(shí)數(shù)m的取值范圍，并寫出圓心坐標(biāo)和半徑.解由表示圓的條件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，反思與感悟形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圓時(shí)可有如下兩種方法：(1)由圓的一般方程的定義，令D2＋E2－4F>0成立，則表示圓，否則不表示圓，(2)將方程配方后，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征求解，應(yīng)用這兩種方法時(shí)，要注意所給方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0這種標(biāo)準(zhǔn)形式，若不是，則要化為這種形式再求解.跟蹤訓(xùn)練1

(1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圓，則圓心坐標(biāo)和半徑分別為________________；解方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)(2)點(diǎn)M、N在圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且點(diǎn)M、N關(guān)于直線x－y＋1＝0對(duì)稱，則該圓的面積為_____.由圓的性質(zhì)知直線x－y＋1＝0經(jīng)過圓心，∴該圓的面積為9π.9π類型二

求圓的一般方程例2已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1).(1)求△ABC的外接圓的方程；解設(shè)△ABC外接圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由題意得即△ABC的外接圓方程為x2＋y2－8x－2y＋12＝0.(2)若點(diǎn)M(a,2)在△ABC的外接圓上，求a的值.解

由(1)知，△ABC的外接圓方程為x2＋y2－8x－2y＋12＝0，∵點(diǎn)M(a,2)在△ABC的外接圓上，∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或6.反思與感悟應(yīng)用待定系數(shù)法求圓的方程時(shí)，(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)或半徑列方程的問題，一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r.(2)如果已知條件與圓心和半徑都無(wú)直接關(guān)系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D、E、F.跟蹤訓(xùn)練2

求經(jīng)過點(diǎn)A(－2，－4)且與直線x＋3y－26＝0相切于點(diǎn)B(8,6)的圓的方程.解設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由題意得類型三與圓有關(guān)的軌跡方程例3已知點(diǎn)P在圓C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上運(yùn)動(dòng)，求線段OP的中點(diǎn)M的軌跡方程.解設(shè)點(diǎn)M(x，y)，點(diǎn)P(x0，y0)，∵點(diǎn)P(x0，y0)在圓C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，∴(2x)2＋(2y)2－8×(2x)－6×(2y)＋21＝0.反思與感悟用代入法求軌跡方程的一般步驟跟蹤訓(xùn)練3已知圓O的方程為x2＋y2＝9，求經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)的圓的弦的中點(diǎn)P的軌跡.解設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，當(dāng)AP斜率不存在時(shí)，中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0).當(dāng)AP的斜率存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)A的弦為MN，且M(x1，y1)，N(x2，y2).∵M(jìn)，N在圓O上，又∵點(diǎn)P為中點(diǎn)，又∵M(jìn)，N，A，P四點(diǎn)共線，∴中點(diǎn)P的軌跡方程是x2＋y2－x－2y＝0，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)(1,0)適合上式.綜上所述，123達(dá)標(biāo)檢測(cè)

451.圓x2＋y2－2x＋4y＝0的圓心坐標(biāo)為(

)A.(1,2) B.(1，－2)

C.(－1,2) D.(－1，－2)

解析將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－1)2＋(y＋2)2＝5，可知其圓心坐標(biāo)是(1，－2).B123452.將圓x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直線是(

)A.x＋y－1＝0 B.x＋y＋3＝0C.x－y＋1＝0 D.x－y＋3＝0解析因?yàn)閳A心是(1,2)，所以將圓心坐標(biāo)代入各選項(xiàng)驗(yàn)證知選C.C123453.方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一個(gè)圓，則m的取值范圍是(

)解析由D2＋E2－4F＞0，得(－1)2＋12－4m＞0，B123454.已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圓心在直線x＋y－1＝0上，且圓心在第二象限，半徑為

，求圓的一般方程.12345因?yàn)閳A心在直線x＋y－1＝0上，所以圓的一般方程為x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.123455.如圖，已知線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)是(4,3)，端點(diǎn)A在圓(x＋1)2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的端點(diǎn)B的軌跡.12345解設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(x0，y0)，由于點(diǎn)C的坐標(biāo)是(4,3)且點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，于是有x0＝8－x

，y0＝6－y.①因?yàn)辄c(diǎn)A在圓(x＋1)2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程(x＋1)2＋y2＝4，把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.所以，點(diǎn)B的軌跡是以(9,6)為圓心，半徑長(zhǎng)為2的圓.規(guī)律與方法1.判斷二元二次方程表示圓要“兩看”：一看方程是否具備圓的一般方程的特征；二看它能否表示圓.此時(shí)判D2＋E2－4F是否大于0；或直接配方變形，判斷等號(hào)右邊是否為大于零的常數(shù).2.待定系數(shù)法求圓的方程如果已知