《直線的交點坐標與距離公式-兩點間的距離公式》教材分析

高中數(shù)學(xué)精選資源2/2《2.3直線的交點坐標與距離公式》教材分析一、本節(jié)知識結(jié)構(gòu)框圖二、重點、難點重點：兩條直線的交點坐標、點到直線的距離公式.難點：點到直線的距離公式的推導(dǎo).三、教科書編寫意圖及教學(xué)建議初中定性地研究了“相交線與平行線”，建立直線方程后，我們就可以用代數(shù)方法對直線的有關(guān)問題進行定量研究.也就是說，利用直線的方程，我們不僅能判斷兩條直線是否相交，而且在相交時能求出交點的位置，在平行時能求出兩條平行線間的距離.同樣，在平面直角坐標系中，我們可以得到兩點間的距離公式、點到直線的距離公式、兩條平行線間的距離公式等.通過平面直角坐標系，我們對平面內(nèi)點、直線之間相互關(guān)系的認識深化了.2.3.2兩點間的距離公式平面上兩點間的距離公式是解析幾何的基本公式.點到直線的距離公式的獲得，圓、橢圓、雙曲線、拋物線的方程的建立等都是以此為基礎(chǔ)的.1.平面上兩點間距離公式的推導(dǎo)本小節(jié)首先設(shè)置“探究”，提出問題：已知平面內(nèi)兩點的坐標，如何求出這兩點間的距離呢？兩點間的距離是連接這兩點間線段的長度.在必修第二冊“第六章平面向量及其應(yīng)用”中已經(jīng)過向量及其運算的坐標表示，給出的模長公式.這里給出兩點的坐標，聯(lián)系向量知識，把求轉(zhuǎn)化為已知問題.由，與“一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標”得，；再由平面向量數(shù)量積運算的坐標表示得，即.這樣已知兩點的坐標，就可以由上式求出這兩點間的距離.第73頁的“思考”，關(guān)鍵是讓學(xué)生思考在平面直角坐標系中如何構(gòu)造直角三角形.教學(xué)時要據(jù)平面直角坐標系的特點，先讓學(xué)生回答，然后歸納.我們一般選擇與坐標軸平行（或垂直）的直線構(gòu)造直角三角形，這樣與坐標軸平行（或垂直）的線段的長度容易用坐標表示.構(gòu)造直角三角形后，我們就可以用勾股定理推導(dǎo)兩點間的距離公式，并將這種方法與向量法進行比較.平面上兩點間的距離公式實質(zhì)是勾股定理的代數(shù)表示.用勾股定理推導(dǎo)兩點間距離公式需要分情況進行討論：（1）是坐標軸上的兩點如果是x軸上的兩點，那么點的坐標分別為.可以證明，無論點在原點的同側(cè)異側(cè)，或其中一點為原點，都有.類似地，如果是y軸上的兩點，那么.（2）直線與坐標軸平行如圖1，直線與x軸平行.分別過點作x軸的垂線，垂足分別為，則點的坐標分別為.由（1）得.所以類似地，如果直線與y軸平行，可以證明.（3）直線與x軸、y軸都不平行如圖2，過點作x軸的平行線，過點作y軸的平行線，兩條直線相交于點Q，則∠Q=90°，點Q的坐標是.，.由勾股定理，得容易發(fā)現(xiàn)，對于（1）（2）兩種情況，的計算公式與上式一致.所以對于任意兩點，都有這樣我們得到平面上兩點間的距離公式.可以看到，用勾股定理推導(dǎo)平面上兩點間的距離公式，不僅需要分情況討論，還需要添加輔助線構(gòu)造直角三角形，而向量法比用勾股定理推導(dǎo)方法簡潔.2.例3的教學(xué)在例3中，設(shè)點P的坐標為，由平面上兩點間的距離公式可以用含x的式子表示.再由得到含x的方程，解方程求出x.就可以由坐標確定所求的點，并由兩點間的距離公式求出的值.教學(xué)時要注意，運用距離公式求解時，往往需要解二次方程，二次方程有兩個根：兩根相等時，是一個點；兩根不相等時，是兩個點.3.例4的教學(xué)（1）例4的證明過程例4是用坐標法證明平面幾何命題成立.用綜合法證明這個命題，需要添加輔助線，反復(fù)運用勾股定理，有一定難度.這個結(jié)論有時被稱為“平行四邊形的勾股定理”或“廣義勾股定理”.用坐標法證明，首先要建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担米鴺吮硎居嘘P(guān)的量.平面直角坐標系建立得適當，可以使運算簡化.本例中，以?ABCD的頂點A為原點，邊AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系.這樣，點A的橫坐標與縱坐標都為0，點B的縱坐標為0點A，B，D的坐標確定后，我們需要由它們的坐標確定?如圖3，過點C作AB的垂線，與AB的延長線相交于點E，過點D作AB的垂線，垂足為F，則AF=b，DF=c.在?ABCD中，因為CD∥AB，所以CE=DF，即點C的縱坐標為c.又BC=AD，所以Rt△BCE≌Rt△ADF，所以BE=AF.因此AE=AB+BE=AB+AF，即點C的橫坐標為a+b.綜上所述，點求點C的坐標還可以采用如下的方法.在?ABCD中，點A的坐標是，設(shè)點B的坐標為，點D的坐標為.由?ABCD的對角線互相平分可知，BD的中點也是AC的中點.BD的中點的坐標是，設(shè)點C的的坐標是，則AC的中點的坐標是，所以，.所以，即點C的坐標為.接下來，由兩點間的距離公式得到的表達式.進而得到的表達式，從而證得本例中的平面幾何命題成立.（2）用坐標法解決平面幾何問題的基本步驟在必修第二冊“第六章平面向量及其應(yīng)用”中，我們曾按照向量法的“三步曲”證明過這個命題，即建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系；把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.用坐標法解決這個問題的基本步驟與向量法完全類似，即建立平面直角坐標系，用坐標表示有關(guān)的量；進行代數(shù)