專題02整式加減及其運(yùn)算（6大考點(diǎn)）（原卷版）

第一部分?jǐn)?shù)與式專題02整式加減及其運(yùn)算（6大考點(diǎn)）核心考點(diǎn)核心考點(diǎn)一列代數(shù)式及代數(shù)式求值核心考點(diǎn)二整式的有關(guān)概念及運(yùn)算核心考點(diǎn)三乘法公式的應(yīng)用核心考點(diǎn)四整式的化簡(jiǎn)求值核心考點(diǎn)五因式分解核心考點(diǎn)六規(guī)律探索題新題速遞核心考點(diǎn)一列代數(shù)式及代數(shù)式求值例1（2022·貴州六盤(pán)水·中考真題）已知，則的值是（

）A．4 B．8 C．16 D．12例2（2022·廣西·中考真題）閱讀材料：整體代值是數(shù)學(xué)中常用的方法．例如“已知，求代數(shù)式的值．”可以這樣解：．根據(jù)閱讀材料，解決問(wèn)題：若是關(guān)于x的一元一次方程的解，則代數(shù)式的值是________．例3（2022·貴州六盤(pán)水·中考真題）如圖，學(xué)校勞動(dòng)實(shí)踐基地有兩塊邊長(zhǎng)分別為，的正方形秧田，，其中不能使用的面積為．(1)用含，的代數(shù)式表示中能使用的面積___________；(2)若，，求比多出的使用面積．代數(shù)式及求值(1)概念：用基本運(yùn)算符號(hào)(加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方等)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫代數(shù)式．單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式；(2)列代數(shù)式：找出數(shù)量關(guān)系，用表示已知量的字母表示出所求量的過(guò)程；(3)代數(shù)式求值：把已知字母的值代入代數(shù)式中，并按原來(lái)的運(yùn)算順序計(jì)算求值．【變式1】（2022·山東濟(jì)寧·三模）若是方程的兩個(gè)根，則的值為（）A．9 B．8 C．7 D．5【變式2】（2022·甘肅·平?jīng)鍪械谑袑W(xué)三模）十八世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家歐拉最先用記號(hào)的形式來(lái)表示關(guān)于的多項(xiàng)式，把等于某數(shù)時(shí)一的多項(xiàng)式的值用來(lái)表示．例如時(shí)，多項(xiàng)式的值可以記為，即我們定義．若，則的值為（

）A． B． C． D．【變式3】（2022·浙江麗水·一模）已知，實(shí)數(shù)m，n滿足，．（1）若，則_______；（2）若，則代數(shù)式的值是______________．【變式4】（2022·福建省福州屏東中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則代數(shù)式的值是______．【變式5】（2022·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）閱讀下列材料，完成后面的問(wèn)題．材料1：如果一個(gè)四位數(shù)為（表示千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d的四位數(shù)，其中a為1～9的自然數(shù)，b，c，d為0～9的自然數(shù)），我們可以將其表示為：；材料2：把一個(gè)自然數(shù)（個(gè)位不為0）的各位數(shù)字從個(gè)位到最高位倒序排列，得到一個(gè)新的數(shù)．我們稱該數(shù)為原數(shù)的兄弟數(shù)．如數(shù)“123”的兄弟數(shù)為“321”．(1)四位數(shù)______；（用含x，y的代數(shù)式表示）(2)設(shè)有一個(gè)兩位數(shù)，它的兄弟數(shù)比原數(shù)大63，請(qǐng)求出所有可能的數(shù)；(3)求證：四位數(shù)一定能被101整除．核心考點(diǎn)二整式的有關(guān)概念及運(yùn)算例1（2021·四川綿陽(yáng)·中考真題）整式的系數(shù)是（

）A．3 B．3 C． D．例2（2022·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）當(dāng)今大數(shù)據(jù)時(shí)代，“二維碼”具有存儲(chǔ)量大．保密性強(qiáng)、追蹤性高等特點(diǎn)，它已被廣泛應(yīng)用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區(qū)區(qū)“二維碼”已經(jīng)展現(xiàn)出無(wú)窮威力．看似“碼碼相同”，實(shí)則“碼碼不同”．通常，一個(gè)“二維碼”由1000個(gè)大大小小的黑白小方格組成，其中小方格專門(mén)用做糾錯(cuò)碼和其他用途的編碼，這相當(dāng)于1000個(gè)方格只有200個(gè)方格作為數(shù)據(jù)碼．根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，這200個(gè)方格可以生成個(gè)不同的數(shù)據(jù)二維碼，現(xiàn)有四名網(wǎng)友對(duì)的理解如下：YYDS（永遠(yuǎn)的神）：就是200個(gè)2相乘，它是一個(gè)非常非常大的數(shù)；DDDD（懂的都懂）：等于；JXND（覺(jué)醒年代）：的個(gè)位數(shù)字是6；QGYW（強(qiáng)國(guó)有我）：我知道，所以我估計(jì)比大．其中對(duì)的理解錯(cuò)誤的網(wǎng)友是___________（填寫(xiě)網(wǎng)名字母代號(hào)）．例3（2022·安徽·中考真題）觀察以下等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，……按照以上規(guī)律．解決下列問(wèn)題：(1)寫(xiě)出第5個(gè)等式：________；(2)寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．整式及有關(guān)概念(1)單項(xiàng)式：由數(shù)與字母或字母與字母相乘組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，所有字母指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的_次數(shù)，單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)．單獨(dú)的數(shù)、字母也是單項(xiàng)式；(2)多項(xiàng)式：由幾個(gè)單項(xiàng)式組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式，多項(xiàng)式里次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)叫多項(xiàng)式的次數(shù)，一個(gè)多項(xiàng)式中的每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)；(3)整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式；(4)同類(lèi)項(xiàng)：多項(xiàng)式中所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)，叫做同類(lèi)項(xiàng)；所有的常數(shù)項(xiàng)都是同類(lèi)項(xiàng)．整式的運(yùn)算1．同底數(shù)冪的乘法法則：（都是正整數(shù)）同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。2．冪的乘方法則：（都是正整數(shù)）冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。冪的乘方法則可以逆用：即3．積的乘方法則：（是正整數(shù)）。積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積。4．同底數(shù)冪的除法法則：（都是正整數(shù)，且同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。5．零指數(shù)：任何不等于零的數(shù)的零次方等于1。即（a≠0）6．負(fù)整數(shù)指數(shù)：任何不等于0的數(shù)的p次冪(p是正整數(shù)),等于這個(gè)數(shù)的p次冪的倒數(shù),即(a≠0,p是正整數(shù))。7．單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。8．單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，即(都是單項(xiàng)式)。9．多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所的的積相加。10．單項(xiàng)式的除法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。11．多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，在把所的的商相加。12．添括號(hào)法則：括號(hào)前面是+號(hào)，放進(jìn)括號(hào)里面的每一項(xiàng)都不變號(hào)。括號(hào)前面是—號(hào)，放進(jìn)括號(hào)里面的每一項(xiàng)都要變號(hào)。【變式1】（2022·河南南陽(yáng)·二模）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【變式2】（2022·重慶文德中學(xué)校二模）我們知道，三個(gè)正整數(shù)a、b、c滿足，那么，a、b、c成為一組勾股數(shù)；如果一個(gè)正整數(shù)m能表示成兩個(gè)非負(fù)整數(shù)x、y的平方和，即，那么稱m為廣義勾股數(shù)，則下面的結(jié)論：①7是廣義勾股數(shù)；②13是廣義勾股數(shù)；③兩個(gè)廣義勾股數(shù)的和是廣義勾股數(shù)；④兩個(gè)廣義勾股數(shù)的積是廣義勾股數(shù)：⑤若，，，其中x，y，z，m，n是正整數(shù)，則x，y，z是一組勾股數(shù)；其中正確的結(jié)論是（

）．A．①③④⑤ B．②④ C．②③⑤ D．②④⑤【變式3】（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）若單項(xiàng)式與的差是，則____．【變式4】（2022·山東·臨清市教育和體育局教科研中心一模）已知，則______．【變式5】（2022·河北·順平縣腰山鎮(zhèn)第一初級(jí)中學(xué)一模）現(xiàn)有甲乙兩個(gè)矩形，其邊長(zhǎng)如圖所示（a＞0），周長(zhǎng)分別為C甲和C乙，面積分別為S甲和S乙．(1)用含a的代數(shù)式表示C甲＝；C乙＝；S甲＝；S乙＝．(2)通過(guò)觀察，小明發(fā)現(xiàn)“甲、乙兩個(gè)矩形的周長(zhǎng)相等，與a值無(wú)關(guān)”；小亮發(fā)現(xiàn)“a值越大，甲、乙兩個(gè)矩形的面積之差越大”．你認(rèn)為兩位同學(xué)的結(jié)論都正確嗎？如果不正確，請(qǐng)對(duì)錯(cuò)誤同學(xué)的結(jié)論說(shuō)明理由．核心考點(diǎn)三乘法公式的應(yīng)用例1（2022·江蘇南通·中考真題）已知實(shí)數(shù)m，n滿足，則的最大值為（

）A．24 B． C． D．例2（2022·江蘇泰州·中考真題）已知用“＜”表示的大小關(guān)系為_(kāi)_______.例3（2022·湖北隨州·中考真題）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽著作，是數(shù)學(xué)發(fā)展史的一個(gè)里程碑．在該書(shū)的第2幕“幾何與代數(shù)”部分，記載了很多利用幾何圖形來(lái)論證的代數(shù)結(jié)論，利用幾何給人以強(qiáng)烈印象將抽象的邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中．(1)我們?cè)趯W(xué)習(xí)許多代數(shù)公式時(shí)，可以用幾何圖形來(lái)推理，觀察下列圖形，找出可以推出的代數(shù)公式，（下面各圖形均滿足推導(dǎo)各公式的條件，只需填寫(xiě)對(duì)應(yīng)公式的序號(hào)）公式①：公式②：公式③：公式④：圖1對(duì)應(yīng)公式______，圖2對(duì)應(yīng)公式______，圖3對(duì)應(yīng)公式______，圖4對(duì)應(yīng)公式______；(2)《幾何原本》中記載了一種利用幾何圖形證明平方差公式的方法，如圖5，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；（已知圖中各四邊形均為矩形）(3)如圖6，在等腰直角三角形ABC中，，D為BC的中點(diǎn)，E為邊AC上任意一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)G，作F點(diǎn)H過(guò)點(diǎn)B作BF//AC交EG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．記△BFG與△CEG的面積之和為，△ABD與△AEH的面積之和為．①若E為邊AC的中點(diǎn)，則的值為_(kāi)______；②若E不為邊AC的中點(diǎn)時(shí)，試問(wèn)①中的結(jié)論是否仍成立？若成立，寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．乘法公式1．平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。即2．完全平方和公式：兩個(gè)數(shù)的和的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的平方和，再加上這兩個(gè)的積的2倍。即：（a+b）2=a2+b2+2ab3.完全平方差公式：兩個(gè)數(shù)的差的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的平方和，再減上這兩個(gè)的積的2倍。即：（ab）2=a2+b22ab完全平方公式的口訣：首平方，尾平方，首尾2倍中間放，符號(hào)和前一個(gè)樣?！咀兪?】（2022·河北·石家莊市第四十一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若整式是完全平方式，下列不滿足要求的是（

）A． B． C． D．【變式2】（2022·山東山東·三模）如果一個(gè)正整數(shù)可以表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱該正整數(shù)為“和諧數(shù)”．如，，即8，16均為“和諧數(shù)”．在不超過(guò)2022的正整數(shù)中，所有“和諧數(shù)”之和等于（

）A．255054 B．255064 C．250554 D．255024【變式3】（2022·浙江麗水·一模）已知x，y滿足方程組，（1）代數(shù)式的值是_____．（2）代數(shù)式的值是______．【變式4】（2022·江蘇南通·二模）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的最大值為m，最小值為n，則______．【變式5】（2022·河北·石家莊市第四十四中學(xué)三模）已知：整式，，，整式．(1)當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出整式的值______（用科學(xué)記數(shù)法表示結(jié)果）；(2)求整式；(3)嘉淇發(fā)現(xiàn)：當(dāng)取正整數(shù)時(shí)，整式、、滿足一組勾股數(shù)，你認(rèn)為嘉淇的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．核心考點(diǎn)四整式的化簡(jiǎn)求值例1（2022·西藏·中考真題）下列計(jì)算正確的是（）A．2ab﹣ab＝ab B．2ab+ab＝2a2b2C．4a3b2﹣2a＝2a2b D．﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b2例2（2022·青海西寧·中考真題）=_________例3（2022·廣西·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值，其中．合并同類(lèi)項(xiàng)（1）定義：把多項(xiàng)式中同類(lèi)項(xiàng)合成一項(xiàng)，叫做合并同類(lèi)項(xiàng)．

（2）合并同類(lèi)項(xiàng)的法則：把同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變．

（3）合并同類(lèi)項(xiàng)時(shí)要注意以下三點(diǎn)：

①要掌握同類(lèi)項(xiàng)的概念，會(huì)辨別同類(lèi)項(xiàng)，并準(zhǔn)確地掌握判斷同類(lèi)項(xiàng)的兩條標(biāo)準(zhǔn)：帶有相同系數(shù)的代數(shù)項(xiàng)；字母和字母指數(shù)；

②明確合并同類(lèi)項(xiàng)的含義是把多項(xiàng)式中的同類(lèi)項(xiàng)合并成一項(xiàng)，經(jīng)過(guò)合并同類(lèi)項(xiàng)，式的項(xiàng)數(shù)會(huì)減少，達(dá)到化簡(jiǎn)多項(xiàng)式的目的；

③“合并”是指同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)的相加，并把得到的結(jié)果作為新的系數(shù)，要保持同類(lèi)項(xiàng)的字母和字母的指數(shù)不變．【變式1】（2022·河北唐山·三模）在化簡(jiǎn)題中，◆表示＋，－，×，÷四個(gè)運(yùn)算符號(hào)中的某一個(gè)．當(dāng)，時(shí)，的值為22，則◆所表示的符號(hào)為（

）A． B． C．＋ D．－【變式2】（2022·重慶巴蜀中學(xué)三模）已知：，（其中為a整數(shù)，且）；有下列結(jié)論，其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（

）①若M·N中不含項(xiàng)，則；②若為整式，則；③若a是的一個(gè)根，則．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【變式3】（2022·河北唐山·一模）若（x+1）（x+a）＝x2+bx3，則ab的值為_(kāi)______．【變式4】（2022·河北保定·二模）已知有甲、乙兩個(gè)長(zhǎng)方形，它們的邊長(zhǎng)如圖所示（m為正整數(shù)），甲、乙的面積分別為S1，S2．（1）S1與S2的大小關(guān)系為：S1___S2；（用“＞”、“＜”、“＝”填空）（2）若滿足條件|S1﹣S2|＜n≤2021的整數(shù)n有且只有4個(gè)，則m的值為_(kāi)__．【變式5】（2022·廣東·佛山市南海外國(guó)語(yǔ)學(xué)校三模）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．核心考點(diǎn)五因式分解例1（2022·青?！ぶ锌颊骖}）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．例2（2022·貴州黔東南·中考真題）分解因式：_______．例3（2022·青海西寧·中考真題）八年級(jí)課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：將因式分解．【觀察】經(jīng)過(guò)小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：解法一：原式解法二：原式【感悟】對(duì)項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式無(wú)法直接進(jìn)行因式分解時(shí)，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達(dá)到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用．（因式分解一定要分解到不能再分解為止）【類(lèi)比】(1)請(qǐng)用分組分解法將因式分解；【挑戰(zhàn)】(2)請(qǐng)用分組分解法將因式分解；【應(yīng)用】(3)“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，我們利用它驗(yàn)證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a和，斜邊長(zhǎng)是3，小正方形的面積是1．根據(jù)以上信息，先將因式分解，再求值．因式分解1.分解因式：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.2.分解因式的一般方法：（1）提公共因式法.（2）運(yùn)用公式法.①平方差公式：②完全平方公式：（3）十字相乘法。利用十字交叉線來(lái)分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法.①對(duì)于二次三項(xiàng)式，若存在，則②首項(xiàng)系數(shù)不為1的十字相乘法3.在二次三項(xiàng)式(≠0)中，如果二次項(xiàng)系數(shù)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即，常數(shù)項(xiàng)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即，把排列如下：

4.按斜線交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)，即，那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式與之積，即.（4）分組分解法5.對(duì)于一個(gè)多項(xiàng)式的整體，若不能直接運(yùn)用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解時(shí)，可考慮分步處理的方法，即把這個(gè)多項(xiàng)式分成幾組，先對(duì)各組分別分解因式，然后再對(duì)整體作因式分解——分組分解法.即先對(duì)題目進(jìn)行分組，然后再分解因式.6.分解因式的步驟：(1)先看各項(xiàng)有沒(méi)有公因式,若有,則先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分組分解法,即通過(guò)分組后提取各組公因式或運(yùn)用公式法來(lái)達(dá)到分解的目的;(4)因式分解的最后結(jié)果必須是幾個(gè)整式的乘積,否則不是因式分解;(5)因式分解的結(jié)果必須進(jìn)行到每個(gè)因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止.7.若有公因式，先提公因式；然后再考慮用公式法（平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b),完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2）或其它方法分解；直到每個(gè)因式都不能再分解為止.【變式1】（2022·湖北·武漢市新洲區(qū)陽(yáng)邏街第一初級(jí)中學(xué)三模）解決次數(shù)較高的代數(shù)式問(wèn)題時(shí)，通常可以用降次的思想方法．已知：，且，則的值是（）A．1 B．1 C．3 D．3【變式2】（2022·安徽·模擬預(yù)測(cè)）若，則的值為（

）A．3 B．3 C．1 D．1【變式3】（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）分解因式：________．【變式4】（2022·江蘇南京·二模）一個(gè)數(shù)能表示成某個(gè)整數(shù)的平方的形式，則稱這個(gè)數(shù)為完全平方數(shù)．若是完全平方數(shù)，則正整數(shù)x的值為_(kāi)_____．【變式5】（2022·重慶文德中學(xué)校二模）兩個(gè)不同的多位正整數(shù)，若它們各數(shù)位上的數(shù)字和相等，則成這兩個(gè)多位數(shù)互為“友好數(shù)”．例如：37和82，它們各數(shù)位上的數(shù)字之和分別是，，，和82互為“友好數(shù)”．又如：123和51，它們各數(shù)位上的數(shù)字之和分別是，，，和51互為“友好數(shù)”．(1)直接寫(xiě)出103的所有兩位數(shù)的“友好數(shù)”；(2)若兩個(gè)不同的三位數(shù)、，，，且、、為整數(shù)）互為友好數(shù)，且是11的倍數(shù)，記，求的所有值．核心考點(diǎn)六規(guī)律探索題例1（2022·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，用相同的圓點(diǎn)按照一定的規(guī)律拼出圖形．第一幅圖4個(gè)圓點(diǎn)，第二幅圖7個(gè)圓點(diǎn)，第三幅圖10個(gè)圓點(diǎn)，第四幅圖13個(gè)圓點(diǎn)……按照此規(guī)律，第一百幅圖中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．297 B．301 C．303 D．400例2（2022·四川遂寧·中考真題）“勾股樹(shù)”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過(guò)程所畫(huà)出來(lái)的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹(shù)而得名．假設(shè)如圖分別是第一代勾股樹(shù)、第二代勾股樹(shù)、第三代勾股樹(shù)，按照勾股樹(shù)的作圖原理作圖，則第六代勾股樹(shù)中正方形的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．例3（2022·浙江嘉興·中考真題）設(shè)是一個(gè)兩位數(shù)，其中a是十位上的數(shù)字（1≤a≤9）．例如，當(dāng)a＝4時(shí)，表示的兩位數(shù)是45．(1)嘗試：①當(dāng)a＝1時(shí)，152＝225＝1×2×100＋25；②當(dāng)a＝2時(shí)，252＝625＝2×3×100＋25；③當(dāng)a＝3時(shí)，352＝1225＝；……(2)歸納：與100a(a＋1)＋25有怎樣的大小關(guān)系？試說(shuō)明理由．(3)運(yùn)用：若與100a的差為2525，求a的值．找規(guī)律解題思維過(guò)程：從簡(jiǎn)單、局部或特殊情況入手，經(jīng)過(guò)提煉、歸納和猜想，探索規(guī)律，獲得結(jié)論.有時(shí)候還需要通過(guò)類(lèi)比聯(lián)想才能找到隱含條件.一般有下列幾個(gè)類(lèi)型：⑴一列數(shù)的規(guī)律：把握常見(jiàn)幾類(lèi)數(shù)的排列規(guī)律及每個(gè)數(shù)與排列序號(hào)之間的關(guān)系.⑵一列等式的規(guī)律：用含有字母的代數(shù)式總結(jié)規(guī)律，注意此代數(shù)式與序號(hào)之間的關(guān)系.⑶圖形（圖表）規(guī)律：觀察前幾個(gè)圖形，確定每個(gè)圖形中圖形的個(gè)數(shù)或圖形總數(shù)與序號(hào)之間的關(guān)系.⑷圖形變換的規(guī)律：找準(zhǔn)循環(huán)周期內(nèi)圖形變換的特點(diǎn)，然后用圖形變換總次數(shù)除以一個(gè)循環(huán)變換周期，進(jìn)而觀察商和余數(shù).⑸數(shù)形結(jié)合的規(guī)律：觀察前項(xiàng)（一般前3項(xiàng)）及利用題中的已知條件，歸納猜想一般性結(jié)論.常見(jiàn)的數(shù)列規(guī)律：⑴1，3，5，7，9，…，（為正整數(shù)）．⑵2，4，6，8，10，…，（為正整數(shù)）．⑶2，4，8，16，32，…，（為正整數(shù)）．⑷2，5，10，17，26，…，（為正整數(shù)）．⑸0,3,8,15，24，…，（為正整數(shù)）．⑹2，6，12，20，…，（為正整數(shù)）．⑺，，，，，，…，（為正整數(shù)）．⑻，，，，，，…，（為正整數(shù)）．⑼特殊數(shù)列：①斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，…，從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始每一個(gè)數(shù)等于與它相鄰的前兩個(gè)數(shù)的和.②三角形數(shù)：1,3,6,10,15,21，…，.【變式1】（2022·云南·昆明市第一中學(xué)西山學(xué)校一模）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：3，，，，，…，第8個(gè)單項(xiàng)式是（）A． B． C． D．【變式2】（2022·浙江·北大附屬臺(tái)州書(shū)生學(xué)校二模）如圖所示，動(dòng)點(diǎn)P從第一個(gè)數(shù)0的位置出發(fā)，每次跳動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，第一次跳動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)數(shù)1的位置，第二次跳動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)數(shù)2的位置，第三次跳動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)數(shù)3的位置，第四次跳動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)數(shù)4的位置，…，依此規(guī)律跳動(dòng)下去，點(diǎn)P從0跳動(dòng)6次到達(dá)的位置，點(diǎn)P從0跳動(dòng)21次到達(dá)的位置，…，點(diǎn)在一條直線上，則點(diǎn)P從0跳動(dòng)（

）次可到達(dá)的位置．A．887 B．903 C．90 D．1024【變式3】（2022·寧夏·銀川外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為1的正方形的兩邊在坐標(biāo)軸上，以它的對(duì)角線為邊做正方形，再以正方形的對(duì)角線為邊做正方形……以此類(lèi)推，則正方形的邊長(zhǎng)是_____________【變式4】（2022·遼寧鞍山·二模）如圖，正方形，中，，AB與直線l的夾角為，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，作正方形，延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)，作正方形，延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)，作正方形，…，依此規(guī)律，則________．【變式5】（2022·山東青島·一模）數(shù)學(xué)問(wèn)題：各邊長(zhǎng)都是整數(shù)，最大邊長(zhǎng)為21的三角形有多少個(gè)？為解決上面的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們先研究下面的數(shù)學(xué)模型：數(shù)學(xué)模型：在1到21這21個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于21，有多少種不同的取法？為了找到解決問(wèn)題的方法，我們把上面數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單化：（1）在1～4這4個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于4，有多少種不同的取法？根據(jù)題意，有下列取法：1＋4，2＋3，2＋4，3＋2，3＋4，4＋1，4＋2，4＋3；而1＋4與4＋1，2＋3與3＋2，…是同一種取法，所以上述每一種取法都重復(fù)過(guò)一次，因此共有種不同的取法．（2）在1～5這5個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于5，有多少種不同的取法？根據(jù)題意，有下列取法：1＋5，2＋4，2＋5，3＋4，3＋5，4＋2，4＋3，4＋5；5＋1，5＋2，5＋3，5＋4，而1＋5與5＋1，2＋4與4＋2，…是同一種取法，所以上述每一種取法都重復(fù)過(guò)一次，因此共有種不同的取法．（3）在1～6這6個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于6，有多少種不同的取法？根據(jù)題意，有下列取法：1＋6，2＋5，2＋6，3＋4，3＋5，3＋6，4＋3，4＋5，4＋6，5＋2，5＋3，5＋4，5＋6，6＋1，6＋2，6＋3，6＋4，6＋5；而1＋6與6＋1，2＋5與5＋2，…是同一種取法，所以上述每一種取法都重復(fù)過(guò)一次，因此共有種不同的取法．（4）在1～7這7個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于7，有多少種不同的取法？根據(jù)題意，有下列取法：1＋7，2＋6，2＋7，3＋5，3＋6，3＋7，4＋5，4＋6，4＋7，5+3，5+4，5+6，5+7，6+2，6+3，6+4，6+5，6+7，7+1，7+2，7+3，7＋4，7＋5，7＋6；而1＋7與7＋1，2＋6與6＋2，…是同一種取法，所以上述每一種取法都重復(fù)過(guò)一次，因此共有種不同的取法…問(wèn)題解決：依照上述研究問(wèn)題的方法，解決上述數(shù)學(xué)模型和提出的問(wèn)題：（1）在1～21這21個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于21，有種不同的取法；（只填結(jié)果）（2）在1～n（n為偶數(shù)）這n個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于n，有種不同的取法；（只填最簡(jiǎn)算式）（3）在1～n（n為奇數(shù)）這n個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于n，有種不同的取法；（只填最簡(jiǎn)算式）（4）各邊長(zhǎng)都是整數(shù)，最大邊長(zhǎng)為21的三角形有多少個(gè)？（寫(xiě)出最簡(jiǎn)算式和結(jié)果，不寫(xiě)分析過(guò)程）問(wèn)題拓展：（5）在1～100這100個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于100，有種不同的取法；（只填結(jié)果）（6）各邊長(zhǎng)都是整數(shù)，最大邊長(zhǎng)為11的三角形有多少個(gè)？（寫(xiě)出最簡(jiǎn)算式和結(jié)果）（7）各邊長(zhǎng)都是整數(shù)，最大邊長(zhǎng)為31的三角形有多少個(gè)？（寫(xiě)出最簡(jiǎn)算式和結(jié)果）【新題速遞】1．（2022·黑龍江哈爾濱·三模）在下列運(yùn)算中，正確的是（

）．A． B． C． D．2．（2022·廣西賀州·三模）觀察下列一行數(shù)：，…，則第16個(gè)數(shù)與第17個(gè)數(shù)的和為（

）A． B． C． D．3．（2022·浙江紹興·二模）數(shù)獨(dú)顧名思義每個(gè)數(shù)字只能出現(xiàn)一次，數(shù)獨(dú)源自18世紀(jì)末的瑞士．?dāng)?shù)獨(dú)盤(pán)面是個(gè)九宮，每一宮又分為九個(gè)小格，雖然玩法簡(jiǎn)單，但數(shù)字排列方式卻千變?nèi)f化，如圖，在★處應(yīng)填的數(shù)字是（）A．2 B．6 C．7 D．84．（2022·山東濱州·二模）若，則的值是（）A．2 B．0 C． D．5．（2022·河北邯鄲·二模）若，則n的值是（

）A．2023 B．2022 C．2021 D．20206．（2022·內(nèi)蒙古·科爾沁左翼中旗教研室模擬預(yù)測(cè)）若，則代數(shù)式的值為（

）A． B． C．2 D．－27．（2022·重慶市育才中學(xué)二模）已知多項(xiàng)式和（m，n為常數(shù)），以下結(jié)論中正確的是（

）①當(dāng)且時(shí)，無(wú)論y取何值，都有；②當(dāng)時(shí)，所得的結(jié)果中不含一次項(xiàng)；③當(dāng)時(shí)，一定有；④若且，則；⑤若，且x，y為整數(shù)，則．A．①②④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．③④⑤8．（2022·重慶市育才中學(xué)一模）下列四種說(shuō)法中正確的有（）①關(guān)于x、y的方程存在整數(shù)解．②若兩個(gè)不等實(shí)數(shù)a、b滿足，則a、b互為相反數(shù)．③若，則．④若，則．A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④9．（2022·福建省廈門(mén)第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若，則______．10．（2022·山東煙臺(tái)·一模）如圖，程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”，執(zhí)行該程序框圖，如果輸出m的值為5，那么輸入x的值為_(kāi)_____．11．（2022·北京·二模）歷史上數(shù)學(xué)家歐拉最先把關(guān)于x的多項(xiàng)式用記號(hào)來(lái)表示，把x等于某數(shù)a時(shí)的多項(xiàng)式的值用表示．例如多項(xiàng)式，當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的值為．已知多項(xiàng)式，若，則的值為_(kāi)_____．12．（2022·寧夏·銀川唐徠回民中學(xué)二模）用符號(hào)f（x）表示關(guān)于自然數(shù)x的代數(shù)式，我們規(guī)定：當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)x為奇數(shù)時(shí)，f（x）＝3x＋1．例如：f（1）＝3×1＋1，．設(shè)x1＝8，x2＝f（x1），x3＝f（x2），…，xn＝f（xn－1）．以此規(guī)律，得到一列數(shù)x1、x2、x3，…，x2022，則這2022個(gè)數(shù)之和等于___________．13．（2022·湖北十堰·三模）中國(guó)古代數(shù)學(xué)史曾經(jīng)有自己光輝燦爛的篇章，而“楊輝三角”的發(fā)現(xiàn)就是十分精彩的一頁(yè)，上圖是其中的一部分．“楊輝三角”蘊(yùn)含了許多優(yōu)美的規(guī)律，小明對(duì)此非常著迷．一次，他把寫(xiě)的楊輝三角數(shù)表用書(shū)本遮蓋住，只漏出其中某一行的一部分的5個(gè)數(shù)字；1，10，45，120，210，讓同桌小聰說(shuō)出第6個(gè)數(shù)字，小聰稍加思索，便說(shuō)出正確答案，正確答案是_________．14．（2022·廣西柳州·二模）添項(xiàng)、拆項(xiàng)是因式分解中常用的方法，比如分解多項(xiàng)式可以用如下方法分解因式：①；又比如多項(xiàng)式可以這樣分解：②；仿照以上方法，分解多項(xiàng)式的結(jié)果是______．15．（2022·重慶·模擬預(yù)測(cè)）某水果店售賣(mài)A，B，C，D四種水果套餐，其中A，B兩種水果的單價(jià)相同，D種水果的單價(jià)是C種水果單價(jià)的7倍，第一天，A，C兩種水果的銷(xiāo)量相同，B種水果的銷(xiāo)量是D種水果銷(xiāo)量的7倍，結(jié)果第一天A，B兩種水果的總銷(xiāo)售額比C、D兩種水果的總銷(xiāo)售額多126元，且四種水果第一天的單價(jià)與銷(xiāo)量均為正整數(shù)，到了第二天的時(shí)候，由于D種水果不易保存，攤主便將D種水果打八折售賣(mài)，其他三種水果單價(jià)不變，結(jié)果第二天除了B種水果銷(xiāo)量下降了20%，其他幾種水果的銷(xiāo)量跟第一天一樣，若A種水果與C種水果的單價(jià)之差超過(guò)6元但不超過(guò)13元，B種水果和D種水果第一天的單價(jià)之和不超過(guò)35元，則第二天四種水果總銷(xiāo)售額最多為_(kāi)___元．16．（2022·河北·育華中學(xué)三模）如圖的長(zhǎng)方體中，已知高為x，S1＝16﹣x2，S2＝4x﹣x2．(1)用x表示圖中S3；(2)求長(zhǎng)方體的表面積．17．（2022·河北·大名縣束館鎮(zhèn)束館中學(xué)三模）嘉嘉準(zhǔn)備完成題目：她發(fā)現(xiàn)“口”內(nèi)的系數(shù)與“”內(nèi)的運(yùn)算符號(hào)印刷不清楚，淇淇告訴嘉嘉“”是，中的某一個(gè)．(1)若“口”內(nèi)為2，“”內(nèi)為，請(qǐng)化簡(jiǎn)原式；(2)在（1）的情況下，是否存在實(shí)數(shù)x，使原式的值為﹣45？如果存在，求出x的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若不論x取何實(shí)數(shù)，原式的值都是一個(gè)固定的常數(shù)，請(qǐng)直接寫(xiě)出原題中“口”內(nèi)的數(shù)、“”內(nèi)的運(yùn)算符號(hào)以及原式的值．18．（2022·寧夏吳忠·一模）閱讀以下材料：對(duì)數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J．Nplcr，15501617年），納皮爾發(fā)明對(duì)數(shù)是在指數(shù)書(shū)寫(xiě)方式之前，直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Evlcr，17071783年）才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的聯(lián)系．對(duì)數(shù)的定義：一般地，若，那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作：．比如指數(shù)式可以轉(zhuǎn)化為，對(duì)數(shù)式可以轉(zhuǎn)化為．我們根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得到對(duì)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：；理由如下：設(shè)，，則，∴，由對(duì)數(shù)的定義得又∵∴解決以下問(wèn)題：(1)將指數(shù)轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式：______．(2)仿照上面的材料，試證明：．(3)拓展運(yùn)用：計(jì)算．19．（2022·重慶·二模）材料一：若一個(gè)兩位數(shù)恰好等于它的各位數(shù)字之和的4倍，則稱這個(gè)兩位數(shù)為“巧數(shù)”．材料二