18.2.2菱形的性質(zhì)與判定(精講)-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期重要考點(diǎn)(人教版)（原卷版）

18.2.2菱形的性質(zhì)與判定菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.注意：菱形的定義的兩個(gè)要素：①是平行四邊形.②有一組鄰邊相等.即菱形是一個(gè)平行四邊形，然后增加一對(duì)鄰邊相等這個(gè)特殊條件.題型1：菱形的定義1.在?ABCD中，添加以下哪個(gè)條件能判斷其為菱形（）A．AB⊥BC B．BC⊥CD C．CD⊥AC D．AC⊥BD【變式11】在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD互相平分，要使四邊形ABCD為菱形，需添加的條件是（）A．∠A＝∠C B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC＝BD【變式12】下列條件中，不能判定一個(gè)四邊形是菱形的是（）A．一組鄰邊相等的平行四邊形 B．一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的四邊形 C．四條邊都相等的四邊形 D．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形菱形的性質(zhì)菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：1.菱形的四條邊都相等；2.菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.3.菱形也是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸（對(duì)角線所在的直線），對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是對(duì)稱中心.注意：（1）菱形是特殊的平行四邊形，是中心對(duì)稱圖形，過中心的任意直線可將菱形分成完全全等的兩部分.（2）菱形的面積有兩種計(jì)算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底×高；另一種是兩條對(duì)角線乘積的一半（即四個(gè)小直角三角形面積之和）.實(shí)際上，任何一個(gè)對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對(duì)角線乘積的一半.（3）菱形可以用來證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關(guān)計(jì)算問題.題型2：菱形的性質(zhì)求長度2.如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，連接AC，BD，若BD＝8，則AC的長為（）A． B．8 C． D．16【變式21】如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD的長分別為6和8，O為AC、BD的交點(diǎn)，H為AD上的中點(diǎn)，則OH的長度為（）A．3 B．4 C．2.5 D．5【變式22】如圖，菱形ABCD的周長是16，∠BAD＝60°，則AC的長為．【變式23】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的頂點(diǎn)O（0，0），A（4，0），∠AOC＝60°，則頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為．題型3：菱形的性質(zhì)求角度3.已知菱形ABCD中，∠D＝150°，連接AC，則∠BAC等于（）A．10° B．15° C．20° D．25°【變式31】如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，且AE＝AD，∠EAD＝2∠BAE，求∠BAE的度數(shù)．【變式32】如圖，在正五邊形ABCDE的內(nèi)部作菱形ABCF，則∠FAE的度數(shù)為（）A．30° B．32° C．36° D．40°題型4：菱形的性質(zhì)與等面積法4.如圖，四邊形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，則DH＝（）A． B． C．4 D．8【變式41】如圖，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于點(diǎn)H，則AH＝（）A．24 B．10 C． D．【變式42】已知：如圖所示，菱形ABCD中，DE⊥AB于點(diǎn)E，且E為AB的中點(diǎn)，已知BD＝4，求菱形ABCD的周長和面積．題型5：菱形的性質(zhì)簡單綜合5.如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，且E為邊AB的中點(diǎn)．（1）求∠A的度數(shù)；（2）如果AB＝4，求對(duì)角線AC的長．【變式51】如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是AB和BC上的點(diǎn)，且BE＝BF．（1）求證：△ADE≌△CDF；（2）若∠DEF＝65°，求∠EDB的度數(shù)．菱形的判定菱形的判定方法有三種：1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.2.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.3.四條邊相等的四邊形是菱形.注意：前兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上外加一個(gè)條件來判定菱形，后一種方法是在四邊形的基礎(chǔ)上加上四條邊相等.題型6：菱形的判定（條件選擇）6.下列條件中，不能判定四邊形ABCD為菱形的是（）A．AC⊥BD，AC與BD互相平分 B．AB＝BC＝CD＝DA C．AB＝BC，AD＝CD，AC⊥BD D．AB＝CD，AD＝BC，AC⊥BD【變式61】如圖所示，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，下列條件能判定?ABCD為菱形的是（）A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC，OB＝OD【變式62】已知O為?ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，下列條件能使□ABCD成為菱形的是（）A．AB＝BC B．AC＝BD C．OA＝OC，OB＝OD D．∠A＝∠B＝∠C＝90°題型7：菱形的判定（四邊相等）7.如圖，△ABC中，AB＝AC，AD、CD分別是△ABC兩個(gè)外角的平分線．（1）求證：AB＝AD；（2）若∠B＝60°，求證：四邊形ABCD是菱形．【變式71】如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝2∠BAD．O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且OA＝OB＝OD．（1）求證：∠BOD＝∠C；（2）若BC＝CD，求證：四邊形OBCD是菱形．【變式72】已知：如圖，P是線段AB上的一點(diǎn)，分別以線段AP，PB為一邊在AB的同側(cè)作等邊三角形APE和等邊三角形PBF，連接EF，點(diǎn)G，M，N，H分別是四邊形ABFE的邊AB，BF，F(xiàn)E，EA的中點(diǎn)，連接HG，GM，MN和NH．求證：四邊形GMNH為菱形．題型8：菱形的判定（平行四邊形+鄰邊相等）8.如圖，在△ABC中，AC＝BC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，連接DE，DF．求證：四邊形DFCE是菱形．【變式81】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中線，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長線于F，連接CF，求證：四邊形ADCF是菱形．【變式82】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，BE∥AC，CE∥BD，BE與CE交于點(diǎn)E．求證：四邊形BDCE是菱形．題型9：菱形的判定（平行四邊形+對(duì)角線互相垂直）9.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE＝ED＝DB，DG⊥AC于點(diǎn)G，EF⊥BC于點(diǎn)F，求證：四邊形DFGE是菱形．【變式91】如圖，在△ABC中，AD是邊BC上的中線，以AB，BD為鄰邊作?ABDE，連接EC，當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，說明四邊形ADCE是菱形的理由．【變式92】如圖，在三角形紙片ABC中，AD是△ABC的角平分線，把△ABC進(jìn)行折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕與AB相交于E，與AC相交于F，求證：四邊形AEDF是菱形．題型10：菱形的判定與性質(zhì)最值問題10.如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，點(diǎn)P在BD上，點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，且PC+PE＝1，則邊AB的最大值等于（）A．1 B． C． D．【變式101】菱形ABCD的兩條對(duì)角線的長分別為6和8，點(diǎn)M、N分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)A點(diǎn)，則PM+PN的最小值是．【變式102】如圖，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，延長CD至F，使得DF＝CD，連接EF分別交AD，AC于點(diǎn)M，N．（1）求證：AC⊥EF；（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，且P為AC上一點(diǎn)（P與點(diǎn)A不重合），連接PB和PE可得△PBE，求△PBE周長的最小值．題型11：菱形的判定與性質(zhì)多結(jié)論問題11.如圖，分別以直角△ABC的斜邊AB，直角邊AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，DE與AB交于點(diǎn)G，EF與AC交于點(diǎn)H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°．給出如下結(jié)論：①EF⊥AC；②四邊形ADFE為菱形；③AD＝4AG；④FH＝BD；其中正確結(jié)論的是（）①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【變式111】如圖，等邊△ABC沿射線BC向右平移到△DCE的位置，連接AD、BD，則下列結(jié)論：①AD＝BC；②BD、AC互相平分；③四邊形ACED是菱形；④BD＝BE．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【變式112】如圖，等邊△ABC沿射線BC向右平移到△DCE的位置，連接AD，BD，則下列結(jié)論：①AD＝BC＝CE；②BD，AC互相平分；③四邊形ACED是菱形；④四邊形ABED的面積為AB2．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)題型12：菱形的判定與性質(zhì)動(dòng)點(diǎn)問題12.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5cm，∠C＝30°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE、EF．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，DF⊥ED；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形AEFD是菱形？【變式121】如圖1，△ABC為等腰三角形，AB＝AC＝6，P點(diǎn)是底邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．PD∥AC，PE∥AB．（1）求四邊形ADPE的周長；（2）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ADPE是菱形