18.2.2菱形的性質(zhì)與判定(精講)-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期重要考點(人教版)（原卷版）

18.2.2菱形的性質(zhì)與判定菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.注意：菱形的定義的兩個要素：①是平行四邊形.②有一組鄰邊相等.即菱形是一個平行四邊形，然后增加一對鄰邊相等這個特殊條件.題型1：菱形的定義1.在?ABCD中，添加以下哪個條件能判斷其為菱形（）A．AB⊥BC B．BC⊥CD C．CD⊥AC D．AC⊥BD【變式11】在四邊形ABCD中，對角線AC，BD互相平分，要使四邊形ABCD為菱形，需添加的條件是（）A．∠A＝∠C B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC＝BD【變式12】下列條件中，不能判定一個四邊形是菱形的是（）A．一組鄰邊相等的平行四邊形 B．一條對角線平分一組對角的四邊形 C．四條邊都相等的四邊形 D．對角線互相垂直平分的四邊形菱形的性質(zhì)菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：1.菱形的四條邊都相等；2.菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.3.菱形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸（對角線所在的直線），對稱軸的交點就是對稱中心.注意：（1）菱形是特殊的平行四邊形，是中心對稱圖形，過中心的任意直線可將菱形分成完全全等的兩部分.（2）菱形的面積有兩種計算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底×高；另一種是兩條對角線乘積的一半（即四個小直角三角形面積之和）.實際上，任何一個對角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對角線乘積的一半.（3）菱形可以用來證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關(guān)計算問題.題型2：菱形的性質(zhì)求長度2.如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，連接AC，BD，若BD＝8，則AC的長為（）A． B．8 C． D．16【變式21】如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD的長分別為6和8，O為AC、BD的交點，H為AD上的中點，則OH的長度為（）A．3 B．4 C．2.5 D．5【變式22】如圖，菱形ABCD的周長是16，∠BAD＝60°，則AC的長為．【變式23】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的頂點O（0，0），A（4，0），∠AOC＝60°，則頂點B的坐標(biāo)為．題型3：菱形的性質(zhì)求角度3.已知菱形ABCD中，∠D＝150°，連接AC，則∠BAC等于（）A．10° B．15° C．20° D．25°【變式31】如圖，在菱形ABCD中，點E在BC上，且AE＝AD，∠EAD＝2∠BAE，求∠BAE的度數(shù)．【變式32】如圖，在正五邊形ABCDE的內(nèi)部作菱形ABCF，則∠FAE的度數(shù)為（）A．30° B．32° C．36° D．40°題型4：菱形的性質(zhì)與等面積法4.如圖，四邊形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，則DH＝（）A． B． C．4 D．8【變式41】如圖，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于點H，則AH＝（）A．24 B．10 C． D．【變式42】已知：如圖所示，菱形ABCD中，DE⊥AB于點E，且E為AB的中點，已知BD＝4，求菱形ABCD的周長和面積．題型5：菱形的性質(zhì)簡單綜合5.如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足為點E，且E為邊AB的中點．（1）求∠A的度數(shù)；（2）如果AB＝4，求對角線AC的長．【變式51】如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是AB和BC上的點，且BE＝BF．（1）求證：△ADE≌△CDF；（2）若∠DEF＝65°，求∠EDB的度數(shù)．菱形的判定菱形的判定方法有三種：1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.2.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.3.四條邊相等的四邊形是菱形.注意：前兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上外加一個條件來判定菱形，后一種方法是在四邊形的基礎(chǔ)上加上四條邊相等.題型6：菱形的判定（條件選擇）6.下列條件中，不能判定四邊形ABCD為菱形的是（）A．AC⊥BD，AC與BD互相平分 B．AB＝BC＝CD＝DA C．AB＝BC，AD＝CD，AC⊥BD D．AB＝CD，AD＝BC，AC⊥BD【變式61】如圖所示，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，下列條件能判定?ABCD為菱形的是（）A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC，OB＝OD【變式62】已知O為?ABCD對角線的交點，下列條件能使□ABCD成為菱形的是（）A．AB＝BC B．AC＝BD C．OA＝OC，OB＝OD D．∠A＝∠B＝∠C＝90°題型7：菱形的判定（四邊相等）7.如圖，△ABC中，AB＝AC，AD、CD分別是△ABC兩個外角的平分線．（1）求證：AB＝AD；（2）若∠B＝60°，求證：四邊形ABCD是菱形．【變式71】如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝2∠BAD．O是四邊形ABCD內(nèi)一點，且OA＝OB＝OD．（1）求證：∠BOD＝∠C；（2）若BC＝CD，求證：四邊形OBCD是菱形．【變式72】已知：如圖，P是線段AB上的一點，分別以線段AP，PB為一邊在AB的同側(cè)作等邊三角形APE和等邊三角形PBF，連接EF，點G，M，N，H分別是四邊形ABFE的邊AB，BF，F(xiàn)E，EA的中點，連接HG，GM，MN和NH．求證：四邊形GMNH為菱形．題型8：菱形的判定（平行四邊形+鄰邊相等）8.如圖，在△ABC中，AC＝BC，點D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點，連接DE，DF．求證：四邊形DFCE是菱形．【變式81】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中線，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于F，連接CF，求證：四邊形ADCF是菱形．【變式82】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點D是AC的中點，BE∥AC，CE∥BD，BE與CE交于點E．求證：四邊形BDCE是菱形．題型9：菱形的判定（平行四邊形+對角線互相垂直）9.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE＝ED＝DB，DG⊥AC于點G，EF⊥BC于點F，求證：四邊形DFGE是菱形．【變式91】如圖，在△ABC中，AD是邊BC上的中線，以AB，BD為鄰邊作?ABDE，連接EC，當(dāng)∠BAC＝90°時，說明四邊形ADCE是菱形的理由．【變式92】如圖，在三角形紙片ABC中，AD是△ABC的角平分線，把△ABC進(jìn)行折疊，使點A與點D重合，折痕與AB相交于E，與AC相交于F，求證：四邊形AEDF是菱形．題型10：菱形的判定與性質(zhì)最值問題10.如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，點P在BD上，點E為CD中點，且PC+PE＝1，則邊AB的最大值等于（）A．1 B． C． D．【變式101】菱形ABCD的兩條對角線的長分別為6和8，點M、N分別是邊AB、BC的中點，點P是對角線AC上的一個動A點，則PM+PN的最小值是．【變式102】如圖，四邊形ABCD是菱形，點E為AB的中點，延長CD至F，使得DF＝CD，連接EF分別交AD，AC于點M，N．（1）求證：AC⊥EF；（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，且P為AC上一點（P與點A不重合），連接PB和PE可得△PBE，求△PBE周長的最小值．題型11：菱形的判定與性質(zhì)多結(jié)論問題11.如圖，分別以直角△ABC的斜邊AB，直角邊AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，F(xiàn)為AB的中點，DE與AB交于點G，EF與AC交于點H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°．給出如下結(jié)論：①EF⊥AC；②四邊形ADFE為菱形；③AD＝4AG；④FH＝BD；其中正確結(jié)論的是（）①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【變式111】如圖，等邊△ABC沿射線BC向右平移到△DCE的位置，連接AD、BD，則下列結(jié)論：①AD＝BC；②BD、AC互相平分；③四邊形ACED是菱形；④BD＝BE．其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【變式112】如圖，等邊△ABC沿射線BC向右平移到△DCE的位置，連接AD，BD，則下列結(jié)論：①AD＝BC＝CE；②BD，AC互相平分；③四邊形ACED是菱形；④四邊形ABED的面積為AB2．其中正確的個數(shù)是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個題型12：菱形的判定與性質(zhì)動點問題12.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5cm，∠C＝30°，點D從點C出發(fā)沿CA方向以每秒2cm/s的速度向點A勻速運(yùn)動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以每秒1cm/s的速度向點B勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時，另一個點也隨之停止運(yùn)動．設(shè)點D、E運(yùn)動的時間是t秒（t＞0）．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE、EF．（1）當(dāng)t為何值時，DF⊥ED；（2）當(dāng)t為何值時，四邊形AEFD是菱形？【變式121】如圖1，△ABC為等腰三角形，AB＝AC＝6，P點是底邊BC上的一個動點．PD∥AC，PE∥AB．（1）求四邊形ADPE的周長；（2）點P運(yùn)動到什么位置時，四邊形ADPE是菱形