第04講有理數(shù)的加減（8種題型）

第04講有理數(shù)的加減（8種題型）【知識梳理】一、有理數(shù)加法法則：①同號相加，取相同符號，并把絕對值相加．②絕對值不等的異號加減，取絕對值較大的加數(shù)符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0．③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．（在進行有理數(shù)加法運算時，首先判斷兩個加數(shù)的符號：是同號還是異號，是否有0．從而確定用那一條法則．在應用過程中，要牢記“先符號，后絕對值”．）二、相關運算律交換律：a+b＝b+a；結(jié)合律（a+b）+c＝a+（b+c）．三．有理數(shù)的減法（1）有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)．即：a﹣b＝a+（﹣b）（2）方法指引：①在進行減法運算時，首先弄清減數(shù)的符號；②將有理數(shù)轉(zhuǎn)化為加法時，要同時改變兩個符號：一是運算符號（減號變加號）；二是減數(shù)的性質(zhì)符號（減數(shù)變相反數(shù)）；【注意】：在有理數(shù)減法運算時，被減數(shù)與減數(shù)的位置不能隨意交換；因為減法沒有交換律．減法法則不能與加法法則類比，0加任何數(shù)都不變，0減任何數(shù)應依法則進行計算．四．有理數(shù)的加減混合運算（1）有理數(shù)加減混合運算的方法：有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法．（2）方法指引：①在一個式子里，有加法也有減法，根據(jù)有理數(shù)減法法則，把減法都轉(zhuǎn)化成加法，并寫成省略括號的和的形式．②轉(zhuǎn)化成省略括號的代數(shù)和的形式，就可以應用加法的運算律，使計算簡化．五、有理數(shù)加減法混合運算技巧（1）把算式中的減法轉(zhuǎn)化為加法；（2）去括號時注意符號，能省掉的“”號要省掉；（3）多觀察，巧妙利用運算律簡便計算．【考點剖析】題型一：有理數(shù)的加法法則例1.計算：(1)(－0.9)＋(－0.87)；(2)(＋4eq\f(5,6))＋(－3eq\f(1,2))；(3)(－5.25)＋5eq\f(1,4)；(4)(－89)＋0.解析：利用有理數(shù)加法法則，首先判斷這兩個數(shù)是同號兩數(shù)、異號兩數(shù)還是同0相加，然后根據(jù)相應法則來確定和的符號和絕對值．解：(1)(－0.9)＋(－0.87)＝－1.77；(2)(＋4eq\f(5,6))＋(－3eq\f(1,2))＝1eq\f(1,3)；(3)(－5.25)＋5eq\f(1,4)＝0；(4)(－89)＋0＝－89.方法總結(jié)：兩數(shù)相加時，應先判斷兩數(shù)的類型，然后根據(jù)所對應的法則來確定和的符號與絕對值．【變式】計算：(1)(+20)+(+12)；(2)；(3)(+2)+(11)；(4)(3.4)+(+4.3)；(5)(2.9)+(+2.9)；(6)(5)+0．【答案與解析】（1）（2）屬于同一類型，用的是加法法則的第一條;（3）（4）屬于同一類，用的是加法法則的第二條；（5）用的是第二條：互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；（6）用的是法則的第三條．(1)(+20)+(+12)＝+(20+12)＝+32＝32；(2)(3)(+2)+(11)＝(112)＝9(4)(3.4)+(+4.3)＝+(4.33.4)＝0.9(5)(2.9)+(+2.9)＝0；(6)(5)+0＝5．【總結(jié)升華】絕對值不等的異號兩數(shù)相加，是有理數(shù)加法的難點，在應用法則時，一定要先確定符號，再計算絕對值．【變式2】計算：(1)(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加法運算法則進行計算即可；（2）根據(jù)有理數(shù)的加法運算法則及求一個數(shù)的絕對值進行計算即可．【詳解】（1）解：；（2）．【點睛】本題考查了有理數(shù)的加法運算及求一個數(shù)的絕對值；解題的關鍵是熟練掌握相關運算法則．題型二：與有理數(shù)性質(zhì)有關的計算問題例2.已知|a|＝5，b的相反數(shù)為4，則a＋b＝________．解析：因為|a|＝5，所以a＝－5或5，因為b的相反數(shù)為4，所以b＝－4，則a＋b＝－9或1.解：－9或1方法總結(jié)：本題涉及絕對值和相反數(shù)的定義，在解決絕對值問題時要注意考慮全面，避免造成漏解．【變式】若，且，那么的值是（）A．5或1 B．1或 C．5或 D．或【答案】D【分析】根據(jù)絕對值的意義和,求出a、b的值，再代入a+b求值即可．【詳解】解：∵|a|=3,|b|=2,∴a=±3，b=±2，∵，∴a=3，b=2或a=3，b=2，∴a+b=3+2=1或a+b=3+（2）=5．故選：D．【點睛】此題主要考查了絕對值的意義，解題時先根據(jù)絕對值的意義，求出a、b的值，然后根據(jù)a、b的關系分類討論求解即可．題型三：有理數(shù)加法在實際生活中的應用例3.股民默克上星期五以收盤價67元買進某公司股票1000股，下表為本周內(nèi)每日該股票的漲跌情況：星期一二三四五每股漲跌/元44.5－1－2.5－6(1)星期三收盤時，每股多少元？(2)本周內(nèi)每股最高價多少元？最低價多少元？解析：(1)用買進的價格加上周一、周二、周三的漲跌價格，然后根據(jù)有理數(shù)加法運算法則進行計算即可求解；(2)分別求出這五天的價格，然后即可得解．解：(1)67＋(＋4)＋(＋4.5)＋(－1)＝74.5(元)，故星期三收盤時，每股74.5元；(2)周一：67＋4＝71元，周二：71＋4.5＝75.5元，周三：75.5＋(－1)＝74.5元，周四：74.5＋(－2.5)＝72元，周五：72＋(－6)＝66元，∴本周內(nèi)每股最高價為75.5元，最低價66元．方法總結(jié)：股票每天的漲跌都是在前一天的基礎上進行的，不要理解為每天都是在67元的基礎上漲跌．另外熟記運算法則并根據(jù)題意準確列出算式也是解題的關鍵．【變式1】溫州市實驗中學于10月30日開展了“行走的力量”之七都環(huán)島毅行活動，其中九年級同學的行程要經(jīng)過四個打卡點．在活動中，安全負責人王老師騎著電動車在2，3，4號打卡點之間來回巡查（2，3，4號打卡點可近似看作在一條直線上），并接送途中身體不適的同學到4號打卡點．若記隊伍行進方向為“+”，王老師在2號打卡點出發(fā)，當天的6次行駛記錄如下：（單位：）第1次第2次第3次第4次第5次第6次（1）王老師最終停留的位置離2號打卡點的距離是多少？（2）若電動車一次充電可以騎行，王老師的電動車充滿電后騎到2號打卡點，做以上6次往返后，還需要騎行到學校車輛集中點，請問王老師的電動車能否順利騎到學校車輛集中點？【答案】（1）1km；（2）不能【分析】（1）將每次的行駛記錄相加即可得解；（2）計算出一共行駛的路程，再與30km相比較，即可判斷．【詳解】解：（1）=1km，∴王老師最終停留位置距2號點1km．（2）km，∵，∴王老師不能順利騎到車輛集中點．【點睛】本題考查了正負數(shù)的意義，有理數(shù)的加法運算以及有理數(shù)大小比較的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出算式．【變式2】國內(nèi)汽油價格每月會有兩次調(diào)整，如果以今年6月底的油價為基準，漲價記為正方向，7月至10月的油價調(diào)整情況記錄如下（單位：元/噸）：時間7月上旬7月下旬8月上旬8月下旬9月上旬9月下旬10月上旬10月下旬油價調(diào)整（元/噸）0000（1）7月至10月之間，今年_______（填時間）的調(diào)價令油價與基準價格相差最大．（2）到10月底，油價能否回到基準價格？請說明理由．【答案】（1）8月下旬；（2）不能，理由見解析【分析】（1）計算出每個時間段與基準價格的差，即可得解；（2）將表格中的數(shù)據(jù)相加，根據(jù)結(jié)果判斷即可．【詳解】解：（1）7月上旬與基準價格相差：+100，7月下旬與基準價格相差：+100，8月上旬與基準價格相差：+100，8月下旬與基準價格相差：+100+85=185，9月上旬與基準價格相差：185，9月下旬與基準價格相差：185315=130，10月上旬與基準價格相差：130，10月下旬與基準價格相差：130+70=60，∴8月下旬的調(diào)價令油價與基準價格相差最大；（2）由題意可得：100+0+0+85+0315+0+70=60，∴到10月底，油價不能回到基準價格．【點睛】本題考查的是正數(shù)與負數(shù)的定義，有理數(shù)的加法的實際應用，解答此題的關鍵是熟知用正負數(shù)表示兩種具有相反意義的量．具有相反意義的量都是互相依存的兩個量，它包含兩個要素，一是它們的意義相反，二是它們都是數(shù)量．題型四：加法運算律及其應用例4.計算：(1)31＋(－28)＋28＋69；(2)16＋(－25)＋24＋(－35)；(3)(＋6eq\f(3,5))＋(－5eq\f(2,3))＋(4eq\f(2,5))＋(1＋1eq\f(2,3))．解析：(1)把互為相反數(shù)的兩數(shù)相加；(2)可把符號相同的數(shù)相加；(3)可把相加得到整數(shù)的數(shù)相加．解：(1)31＋(－28)＋28＋69＝31＋[(－28)＋28]＋69＝31＋0＋69＝100；(2)16＋(－25)＋24＋(－35)＝16＋24＋(－25)＋(－35)＝(16＋24)＋[(－25)＋(－35)]＝40＋(－60)＝－20；(3)(＋6eq\f(3,5))＋(－5eq\f(2,3))＋(4eq\f(2,5))＋(1＋1eq\f(2,3))＝(6eq\f(3,5)＋4eq\f(2,5))＋(－5eq\f(2,3))＋(2eq\f(2,3))＝11＋(－3)＝8.方法總結(jié)：合理地運用有理數(shù)的加法運算律可使計算簡化．在進行多個有理數(shù)相加時，在下列情況下一般可以用加法交換律和加法結(jié)合律簡化運算：①有些加數(shù)相加后可以得到整數(shù)時，可以先行相加；②有互為相反數(shù)的兩數(shù)可以互相消去，和為0，可以先行相加；③有許多正數(shù)和負數(shù)相加時，可以先把符號相同的數(shù)相加，即正數(shù)和正數(shù)相加，負數(shù)和負數(shù)相加，再把一個正數(shù)和一個負數(shù)相加．【變式1】計算(1)；(2)．【答案】(1)12(2)3【分析】（1）利用加法交換律與加法結(jié)合律，把互為相反數(shù)的兩數(shù)相加，另兩數(shù)相加；（2）利用加法交換律與加法結(jié)合律，把小數(shù)部分相同的兩數(shù)相加，互為相反數(shù)的兩數(shù)相加．【詳解】（1）解：（2）【點睛】本題主要考查加法運算，加法交換律，加法結(jié)合律，根據(jù)加數(shù)的特點，選擇互為相反數(shù)的兩數(shù)相加，小數(shù)部分相等的兩數(shù)相加等可以簡便運算．【變式2】計算(1)；(2)．【答案】(1)10(2)10【分析】（1）先去括號，再添括號，將正數(shù)和負數(shù)分開計算，再作減法即可；（2）將小數(shù)部分相同的或能湊整的放在一起計算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的加減混合運算．計算含小數(shù)的式子時，可先觀察，可將小數(shù)部分相同或能湊整的放在一起計算，這樣能簡化計算過程，避免出錯．括號前是“＋”，去括號后，括號里的各項都不改變符號；括號前是“?”，去括號后，括號里的各項都改變符號．添括號時，若括號前是“＋”，添括號后，括號里的各項都不改變符號；若括號前是“?”，添括號后，括號里的各項都改變符號．【變式3】某公路養(yǎng)護小組乘車沿南北方向巡視維修，某天早晨他們從A地出發(fā)，晚上最后到達B地，約定向北為正方向，當天的行駛記錄如下．(單位：km)＋18，－9，＋7，－14，＋13，－6，－8.(1)B地在A地何方，相距多少千米？(2)若汽車行駛1km耗油aL，求該天耗油多少L?解析：(1)首先把題目的已知數(shù)據(jù)相加，然后根據(jù)結(jié)果的正負即可確定B地在A何方，相距多少千米；(2)首先把所給的數(shù)據(jù)的絕對值相加，然后乘以a即可求解．解：(1)(＋18)＋(－9)＋(＋7)＋(－14)＋(＋13)＋(－6)＋(－8)＝[(＋18)＋(＋7)＋(＋13)]＋[(－9)＋(－14)＋(－6)＋(－8)]＝38＋(－37)＝1(km)故B地在A地正北，相距1千米；(2)該天共耗油：(18＋9＋7＋14＋13＋6＋8)a＝75a(L)．答：該天耗油75aL.方法總結(jié)：解題關鍵是理解“正”和“負”的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量．在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示，其次是要正確理解題目意圖，選擇正確的方式解答．題型五：有理數(shù)減法法則的直接運用例5、計算：(1)(－32)－(+5)；(2)(+2)－(－25)．【思路點撥】此題是有理數(shù)的減法運算，先按照減法法則將減法轉(zhuǎn)化為加法，再按照有理數(shù)的加法進行計算．【答案與解析】法一：法二：（1）原式=－32－5=－32+（－5）=－37；（2）原式=2+25=27【總結(jié)升華】算式中的“+”或“－”既可以看作運算符號按法則進行計算，也可以看作是性質(zhì)符號按多重符號化簡進行計算.【變式1】計算：(1)7.2－(－4.8)；(2)－3eq\f(1,2)－5eq\f(1,4).解析：先根據(jù)有理數(shù)的減法法則，將減法轉(zhuǎn)化為加法，再根據(jù)有理數(shù)的加法法則計算即可．解：(1)7.2－(－4.8)＝7.2＋4.8＝12；(2)－3eq\f(1,2)－5eq\f(1,4)＝－3eq\f(1,2)＋(－5eq\f(1,4))＝－(3eq\f(1,2)＋5eq\f(1,4))＝－8eq\f(3,4).方法總結(jié)：進行有理數(shù)減法運算時，將減法轉(zhuǎn)化為加法，再根據(jù)有理數(shù)加法法則進行計算．要特別注意減數(shù)的符號．【變式2】(1)2－(－3)；(2)0－(－3.72)－(+2.72)－(－4)；(3)．【思路點撥】此題是有理數(shù)的減法運算，先按照減法法則將減法轉(zhuǎn)化為加法，再按照有理數(shù)的加法進行計算．【答案與解析】本題可直接利用有理數(shù)的減法法則進行計算．(1)2－(－3)＝2+3＝5(2)原式＝0+3.72+(－2.72)+4＝(0+4)+(3.72－2.72)＝4+1＝5（3）原式=【總結(jié)升華】算式中的“+”或“－”既可以看作運算符號按法則進行計算，也可以看作是性質(zhì)符號按多重符號化簡進行計算.題型六：有理數(shù)減法的實際應用例6.上海某天的最高氣溫為6℃，最低氣溫為－1℃，則這一天的最高氣溫與最低氣溫的差為()A．5℃B．6℃C．7℃D．8℃解析：由題意得6－(－1)＝6＋1＝7(℃)，故選C.方法總結(jié)：要根據(jù)題意列出算式，再運用有理數(shù)的減法法則解答．【變式1】如果家用電冰箱冷藏室的溫度是4℃，冷凍室的溫度比冷藏室的溫度低22℃，那么冷凍室的溫度是（）A．18℃ B．﹣26℃ C．﹣22℃ D．﹣18℃【分析】根據(jù)題意列出算式，再根據(jù)有理數(shù)的減法法則計算即可，有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)．【解答】解：根據(jù)題意得：4﹣22＝﹣18（℃），則這臺電冰箱冷凍室的溫度為﹣18℃．故選：D．【點評】此題考查了有理數(shù)的減法，弄清題意并掌握有理數(shù)的減法法則是解本題的關鍵．題型七：有理數(shù)的加減混合運算例7.計算：(1)－9.2－(－7.4)＋9eq\f(1,5)＋(－6eq\f(2,5))＋(－4)＋|－3|；(2)－14eq\f(2,3)＋11eq\f(2,15)－(－12eq\f(2,3))－14＋(－11eq\f(2,15))；(3)eq\f(2,3)－eq\f(1,8)－(－eq\f(1,3))＋(－eq\f(3,8))．解析：本題根據(jù)有理數(shù)加減互為逆運算的關系把減法統(tǒng)一成加法，省略加號后，運用加法運算律，簡化運算，求出結(jié)果．其中互為相反數(shù)的兩數(shù)先結(jié)合；能湊成整數(shù)的各數(shù)先結(jié)合．另外，同號各數(shù)先結(jié)合；同分母或易通分的各數(shù)先結(jié)合．解：(1)－9.2－(－7.4)＋9eq\f(1,5)＋(－6eq\f(2,5))＋(－4)＋|－3|＝－9.2＋7.4＋9.2＋(－6.4)＋(－4)＋|－3|＝－9.2＋7.4＋9.2－6.4－4＋3＝(－9.2＋9.2)＋(7.4－6.4)－4＋3＝0＋1－4＋3＝0；(2)－14eq\f(2,3)＋11eq\f(2,15)－(－12eq\f(2,3))－14＋(－11eq\f(2,15))＝－14eq\f(2,3)＋11eq\f(2,15)＋12eq\f(2,3)－14－11eq\f(2,15)＝(－14eq\f(2,3)＋12eq\f(2,3))＋(11eq\f(2,15)－11eq\f(2,15))－14＝－2＋0－14＝－16；(3)eq\f(2,3)－eq\f(1,8)－(－eq\f(1,3))＋(－eq\f(3,8))＝eq\f(2,3)－eq\f(1,8)＋eq\f(1,3)－eq\f(3,8)＝(eq\f(2,3)＋eq\f(1,3))＋(－eq\f(1,8)－eq\f(3,8))＝1＋(－eq\f(1,2))＝eq\f(1,2).方法總結(jié)：(1)為使運算簡便，可適當運用加法的結(jié)合律與交換律．在交換加數(shù)的位置時，要連同前面的符號一起交換．(2)注意同分母分數(shù)相加，互為相反數(shù)相加，湊成整數(shù)的數(shù)相加，這樣計算簡便．(3)當一個算式中既有小數(shù)又有分數(shù)時，一般要統(tǒng)一，具體是統(tǒng)一成分數(shù)還是小數(shù)，要看哪一種計算簡便．【變式1】計算，能用簡便方法的用簡便方法計算.（1）26－18+5－16；（2）（+7）+（－21）+（－7）+（+21）(3)(4)（5）（6）【答案與解析】（1）26－18+5－16=(+26)+(－18)+5+(－16)→統(tǒng)一成加法=(26+5)+[(－18)+(－16)]→符號相同的數(shù)先加=31+(－34)=－3（2）（+7）+（－21）+（－7）+（+21）=[(+7)+(－7)]+[(－21)+(+21)]→互為相反數(shù)的兩數(shù)先加=0（3）→同分母的數(shù)先加（4）→統(tǒng)一成加法→整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)分別加（5）→統(tǒng)一同一形式（小數(shù)或分數(shù)），把可湊整的放一起（6）→整數(shù)，分數(shù)分別加【總結(jié)升華】在進行加減混合的運算時，(1)先將各式中的減法運算轉(zhuǎn)化為加法運算；（2）觀察各加數(shù)之間的關系，再運用“技巧”適當交換加數(shù)的位置，注意交換時各加數(shù)的帶著符號一起交換．【變式2】計算：（1）－3.72－1.23+4.18－2.93－1.25+3.72；（2）11－12+13－15+16－18+17；（3）（4）（5）；（6）【答案與解析】（1）觀察各個加數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)－3.72與3.72互為相反數(shù)，把它們分為一組；4.18、－2.93與－1.25的和為0，把它們分為一組可使計算簡便．解：－3.72－1.23+4.18－2.93－1.25+3.72＝(－3.72+3.72)+(4.18－2.93－1.25)－1.23＝0+0－1.23＝－1.23（2）把正數(shù)和負數(shù)分別分為一組．解：11－12+13－15+16－18+17＝(11+13+16+17)+(－12－15－18)＝57+(－45)＝12（3）仔細觀察各個加數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)兩個小數(shù)的和是－1，兩個整數(shù)的和是29，三個分數(shù)通分后也不難算．故把整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)分別分為一組．解：（4）3.46和1.54的和為整數(shù),把它們分為一組；－3.87與3.37的和為－0.5，把它們分為一組；與易于通分，把它們分為一組；與同分母，把它們分為一組．解：（5）先把整數(shù)分離后再分組．解：注：帶分數(shù)中的整數(shù)與分數(shù)分離時，如果這個數(shù)是負數(shù)，那么分離得到的整數(shù)與分數(shù)都是負數(shù)，例如．（6）如果按小數(shù)、整數(shù)分組，效果似乎不是很好．可先將小數(shù)和分數(shù)統(tǒng)一后再考慮分組．解：【總結(jié)升華】計算多個有理數(shù)相加時，必須先審題，分析特點，尋找規(guī)律，然后再去計算．注意在交換加數(shù)的位置時，要連同符號一起交換.題型八：利用有理數(shù)加減運算解決實際問題例8.下表是某水位站記錄的潮汛期某河流一周內(nèi)的水位變化情況(“＋”號表示水位比前一天上升，“－”號表示水位比前一天下降，上周末的水位恰好達到警戒水位．單位：米).星期一二三四五六日水位變化0.20.81－0.350.130.28－0.36－0.01(1)本周哪一天河流水位最高，哪一天河流水位最低，它們位于警戒水位之上還是之下，與警戒水位的距離分別是多少？(2)與上周末相比，本周末河流的水位是上升還是下降了？解析：(1)先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示．理解表中的正負號表示的含義，根據(jù)條件計算出每天的水位即可求解；(2)只要觀察星期日的水位是正負即可．解：(1)以警戒水位為基準，前兩天的水位是上升的，星期一的水位是＋0.20米；星期二的水位是＋0.20＋0.81＝1.01米；星期三的水位是＋1.01－0.35＝＋0.66米；星期四的水位是：＋0.66＋0.13＝0.79米；星期五的水位是：0.79＋0.28＝1.07米；星期六的水位是：1.07－0.36＝0.71米；星期日的水位是：0.71－0.01＝0.7米；則水位最低的一天是第一天，高于警戒水位；水位最高的是第5天；(2)＋0.20＋0.81－0.35＋0.13＋0.28－0.36－0.01＝＋0.7米；則本周末河流的水位是上升了0.7米．方法總結(jié)：解此題的關鍵是分析題意列出算式，采用的數(shù)學思想是轉(zhuǎn)化思想，即把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題．【變式1】小蟲從點O出發(fā)在一條直線上來回爬行，向右爬行的路程記為正，向左爬行的路程記為負，爬行的各段路程依次為：+5，－3，+10，－8，－6，+12，－10.（單位：cm）小蟲最后是否回到出發(fā)地O？為什么？小蟲離開O點最遠時是多少？在爬行過程中，如果每爬行1cm獎勵1粒芝麻，則小蟲一共可以得到多少粒芝麻？【思路點撥】題目中給出的各數(shù)由兩部分組成：一是性質(zhì)符號，表示的爬行的方向，二是絕對值部分，表示爬行的路程大小.所以若直接將它們相加得到的和也包括兩層含義：方向和路程大??；若只把它們的絕對值相加，則最后結(jié)果只表示路程的大小.【答案與解析】解：（1）(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)+(－10)=(5+10+12)+(－3－8－6－10)=27－27=00表示最后小蟲又回到了出發(fā)點O答：小蟲最后回到了出發(fā)地O.（2）(+5)+(－3)＝+2；(+5)+(－3)+(+10)＝+12；(+5)+(－3)+(+10)+(－8)＝+4；(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)＝－2；(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)＝+10；(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)+(－10)＝0.因為絕對值最大的是+12，所以小蟲離開O點最遠時是向右12cm;(3)（cm）,所以小蟲爬行的總路程是54cm，由（粒）答：小蟲一共可以得到54粒芝麻.【總結(jié)升華】利用有理數(shù)的加減混合運算可以解決很多現(xiàn)實生活中的實際問題，這就需要我們認真觀察、大膽分析和設想．【變式2】某檢修小組乘汽車沿公路檢修線路，約定前進為正，后退為負，某天自A地出發(fā)到收工時所走路線（單位：千米）為：+10，－3，+4，+2，－8，+13，－2，+12，+8，+5.（1）問收工時距A地多遠？（2）若每千米路程耗油0.2升，問從A地出發(fā)到收工時共耗油多少升？【答案與解析】（1）求收工時距A地多遠，應求出已知10個有理數(shù)的和，若和為正數(shù)，則在A地前面，若和為負數(shù)，則在A地后面；距A地的路程均為和的絕對值.解：(1)(+10)+(－3)+(+4)+(+2)+(－8)+(+13)+(－2)+(+12)+(+8)+(+5)=[+2+(－2)]+[(－8)+(+8)]+(+10+4+13+12+5)+(－3)=0+0+44+(－3)=41（千米）；（2）要求耗油量，需求出汽車共行走的路程，即求各數(shù)的絕對值之和，然后乘以0.2升即可.(|+10|+|－3|+|+4|+|+2|+|－8|+|+13|+|－21|+|+12|+|+8|+|+5|)×0.2=67×0.2=13.4（升）.答：收工時在A地前面41千米，從A地出發(fā)到收工時共耗油13.4升.【總結(jié)升華】利用有理數(shù)的加減混合運算可以解決很多現(xiàn)實生活中的實際問題，這就需要我們認真觀察、大膽分析和設想．【過關檢測】一、單選題1．（2023秋·安徽六安·七年級?？计谀┫铝懈魇街校\算結(jié)果為正數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)的減法法則化簡各式，再根據(jù)大于0的數(shù)是負數(shù)進行選擇．【詳解】解：A．，故不符合題意；B．，故不符合題意；C．，故符合題意；D．故不符合題意；故選：C．【點睛】此題考查了有理數(shù)的加減運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．2．（2022秋·安徽淮南·七年級?？计谥校┠成痰耆ツ晁膫€季度的商品銷售盈虧情況如下表所示（盈余為正）：季度一二三四盈虧額／萬元128.5280下列說法中，正確的是（

）A．這四個季度共盈余644萬元 B．這四個季度共虧本173萬元C．這四個季度共盈余173萬元 D．這四個季度共虧本644萬元【答案】C【分析】根據(jù)題意直接求和計算即可．【詳解】解：萬元，∴這四個季度共盈余173萬元，故選：C．【點睛】題目主要考查有理數(shù)的加減混合運算的應用，理解題意是解題關鍵．3．（2022秋·安徽合肥·七年級校考期中）合肥某天的最高氣溫是，最低氣溫是，則這一天的最高氣溫與最低氣溫的差為（

）A．9℃ B．14℃ C．15℃ D．16℃【答案】C【分析】根據(jù)題意列式，可直接進行求解．【詳解】解：由題意得：；故選C．【點睛】本題主要考查有理數(shù)的減法的應用，熟練掌握有理數(shù)的減法運算是解題的關鍵．4．（2022秋·安徽阜陽·七年級統(tǒng)考階段練習）計算的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)有理數(shù)的減法法則計算即可．【詳解】解：故選：D．【點睛】本題考查了有理數(shù)的減法；熟練掌握有理數(shù)的減法法則是解題的關鍵．5．（2022秋·安徽合肥·七年級校聯(lián)考期中）與的和為（）A． B． C．8 D．2【答案】B【分析】直接根據(jù)有理數(shù)的加法計算即可．【詳解】解：，故選B．【點睛】本題考查了有理數(shù)的加法運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．6．（2022秋·安徽·七年級?？茧A段練習）一只跳蚤在一直線上從O點開始，第1次向右跳1個單位，緊接著第2次向左跳兩個單位，第3次向右跳3個單位，第4次向左跳4個單位以此規(guī)律跳下去，當它跳第99次落下時，落點處離O點的距離是（

）個單位．A．50 B．49 C．99 D．－50【答案】A【分析】設向右為正，向左為負．根據(jù)正負數(shù)的意義列出式子計算即可．【詳解】解：設向右為正，向左為負．則．∴落點處離點的距離是個單位．故答案為：A．【點睛】本題主要考查正負數(shù)在實際生活中的應用以及有理數(shù)的加減運算，將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題是解題的關鍵．7．（2022秋·安徽蚌埠·七年級?？茧A段練習）我市2022年1月20日至23日每天的最高氣溫與最低氣溫如下表∶日期1月20日1月21日1月22日1月23日最高氣溫最低氣溫其中溫差最大的一天是(

)A．1月20日 B．1月21日 C．1月22日 D．1月23日【答案】B【分析】溫差等于最高氣溫減最低氣溫，依次計算1月10日，21日，22日，23日的溫差，進行比較，即可．【詳解】1月20日的溫差：℃；1月21日的溫差：℃；1月22日的溫差：℃；1月23日的溫差：℃．∵∴1月21日的溫差最大故選：B．【點睛】本題考查有理數(shù)的減法，解題的關鍵是熟練掌握有理數(shù)減法中負號的運算．8．（2022秋·安徽阜陽·七年級校考階段練習）冷藏室原來的溫度是℃，放入某種蔬菜后需將原來的溫度上調(diào)4℃，上調(diào)后的溫度為（

）A．℃ B．1℃ C．7℃ D．℃【答案】B【分析】根據(jù)上調(diào)得到等式列式計算即可．【詳解】解：由題意可得，，故選B．【點睛】本題考查了有理數(shù)加法，解題的關鍵是根據(jù)題意得到式子．9．（2022秋·安徽合肥·七年級統(tǒng)考階段練習）在《九章算術注》中用不同顏色的算籌（注：小棍形狀的記數(shù)工具）分別表示正數(shù)和負數(shù)（白色表示正數(shù)，黑色表示負數(shù)），圖1所表示的是的計算過程，則圖2所表示的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖1可知，一橫表示10，一豎表示1，白色為正，黑色為負，由此即可得出答案．【詳解】解：由圖1可知，一橫表示10，一豎表示1，白色為正，黑色為負，則圖2表示的過程是在計算，故選：A．【點睛】本題考查了有理數(shù)的加減法，掌握理解每個算籌所表示的數(shù)是解題關鍵．10．（2020秋·安徽銅陵·七年級校考期中）若，，，則，，，按照從小到大的順序用“＜”連接起來，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意可知，再根據(jù)有理數(shù)的大小比較法則比較即可．【詳解】解：，，，，如圖，，．故選：A．【點睛】本題考查了有理數(shù)的大小比較，有理數(shù)的加法和數(shù)軸等知識點，能熟記有理數(shù)的大小比較法則的內(nèi)容是解此題的關鍵，注意：在數(shù)軸上表示的數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．二、填空題11．（2022秋·安徽合肥·七年級統(tǒng)考階段練習）某地周六白天最高氣溫為，夜晚最低氣溫為，則該地當天的溫差是_________℃．【答案】6【分析】用當天的最高氣溫減去最低氣溫即為當天的溫差，由此可解．【詳解】解：，因此該地當天的溫差是．故答案為：6．【點睛】本題考查有理數(shù)減法的實際應用，掌握有理數(shù)減法的運算法則是解題的關鍵．12．（2019秋·安徽馬鞍山·七年級統(tǒng)考期末）寫成省略加號的和的形式是__________．【答案】811+2019．【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義和有理數(shù)的加法運算省略加號的方法解答．【詳解】寫成省略加號的和的形式為811+2019．故答案為：811+2019．【點睛】本題考查了有理數(shù)的減法，有理數(shù)的加法省略加號的方法，是基礎題，需熟記．13．（2022秋·安徽銅陵·七年級統(tǒng)考期末）A、B兩點在數(shù)軸上，點A對應的數(shù)為2，若線段的長為3，則點B對應的數(shù)為_____．【答案】5或/或5．【分析】分為點B在點A右邊和左邊兩種情況討論即可．【詳解】解：當點B在點A右邊時，點B對應的數(shù)為；當點B在點A左邊時，點B對應的數(shù)為，故答案是：5或．【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點之間的距離和有理數(shù)的加減法，注意分情況討論．14．（2023秋·安徽池州·七年級統(tǒng)考期末）已知a是最大的負整數(shù)的相反數(shù)，，且．式子的值為__________．【答案】5或1/1或5【分析】根據(jù)有理數(shù)的概念求出，根據(jù)絕對值的性質(zhì)求出的值，再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列方程求解即可得到，將的值代入代數(shù)式進行計算即可得解．【詳解】解：是最大的負整數(shù)的相反數(shù)，,,或,或,,解得,或,或,的值為5或1故答案為：5或1【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)：幾個非負數(shù)的和為0時，這幾個非負數(shù)都為0，還考查了絕對值的性質(zhì)和有理數(shù)的概念．15．（2022秋·安徽合肥·七年級?？茧A段練習）_____．【答案】【分析】先去括號，再根據(jù)加法交換律和加法結(jié)合律進行簡算即可；【詳解】解：，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查有理數(shù)的加減混合運算，熟練掌握加法交換律和加法結(jié)合律的靈活運用是解題的關鍵．16．（2022秋·安徽阜陽·七年級?？茧A段練習）設表示不大于的最大整數(shù)，如，（1）___________；（2）__________；【答案】【分析】（1）利用的意義進行計算即可；（2）利用的意義先進行化簡，再進行減法運算即可．【詳解】解：（1）由：表示不大于的最大整數(shù)，可得：；故答案為：6；（2）解：，∴；故答案為：．【點睛】本題考查新定義下的運算．理解的意義是解題的關鍵．17．（2022秋·安徽合肥·七年級合肥市第四十二中學?？计谥校┰跀?shù)軸上點A所表示的數(shù)是，點B在點A左側(cè)與點A的距離是4個單位，那B點所表示的有理數(shù)是___________．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離，即數(shù)軸上兩點所表示的數(shù)的差的絕對值，即較大的數(shù)減去較小的數(shù)．【詳解】解：∵數(shù)軸上點A所表示的數(shù)是，點B在點A左側(cè)與點A的距離是4，∴點B所表示的有理數(shù)為，故答案為：．【點睛】本題考查了數(shù)軸上點表示數(shù)，掌握數(shù)軸上兩點之間的距離公式是關鍵．18．（2021秋·安徽阜陽·七年級校聯(lián)考階段練習）古代埃及人在進行分數(shù)運算時，只使用分子是1的分數(shù)，因此這種分數(shù)也叫做埃及分數(shù)，我們注意到，某些真分數(shù)恰好可以寫成兩個埃及分數(shù)的和，例如：，則寫成兩個埃及分數(shù)的和的形式為為=___________．【答案】【分析】根據(jù)題目給出的埃及分數(shù)的定義，即可解答．【詳解】解：∵只使用分子是1的分數(shù)，因此這種分數(shù)也叫做埃及分數(shù)，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了有理數(shù)的加法，讀懂題目，明確埃及分數(shù)的定義是解決本題的關鍵．三、解答題19．（2022秋·安徽合肥·七年級階段練習）計算：【答案】32【詳解】【點睛】本題考查了有理數(shù)的加減混合運算，把減法統(tǒng)一成加法，然后按照加法法則計算．熟練掌握減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)是解答本題的關鍵．20．（2021秋·安徽滁州·七年級校考階段練習）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先把有理數(shù)的減法轉(zhuǎn)化為加法，然后再利用加法交換律和加法結(jié)合律進行計算即可解答；（2）先算括號里，再算括號外，即可解答．【詳解】（1）解：．（2）．【點睛】本題考查有理數(shù)加減混合運算．解題的關鍵是熟記有理數(shù)加減法則，混合運算順序，運算定律，準確熟練地進行計算．21．（2022秋·安徽馬鞍山·七年級校考期中）計算：．【答案】【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)，可知，去掉絕對值，然后進行加減即可．【詳解】解：原式【點睛】本題考查了絕對值的性質(zhì)，熟練掌握絕對值的化簡是解題的關鍵．22．（2022秋·安徽阜陽·七年級統(tǒng)考階段練習）閱讀下面文字：對于()＋()＋17＋()，可以按如下方法計算：原式＝[(5)+()]＋[(－9)＋()]＋()＋[(3)+()]＝[(－5)＋(－9)＋17＋(－3)]＋[()＋()＋＋()]＝0＋()＝－1.上面這種方法叫拆項法．仿照上面的方法，請你計算：(－2018)＋(－2017)＋(－1)＋4036.【答案】2.【分析】讀懂例題，根據(jù)例題拆項計算即可.【詳解】解：原式＝[(2018)+()]＋[(－2017)＋()]＋[(－1)＋(－)]＋4036＝[(－2018)＋(－2017)＋(－1)＋4036]＋[(－)＋(－)＋(－)]＝0＋[(－)＋(－)＋(－)]＝－2.【點睛】本題主要考查實數(shù)的計算，必須熟練掌握，并且掌握此方法.23．（2022秋·安徽·七年級周測）用“＞”或“＜”填空：(1)如果a＞0，b＞0，那么a＋b______0；(2)如果a＜0，b＜0，那么a＋b______0；(3)如果a＞0，b＜0，|a|＞|b|，那么a＋b______0；(4)如果a＞0，b＜0，|a|＜|b|，那么a＋b______0．【答案】(1)＞(2)＜(3)＞(4)＜【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法法則判斷和的符號即可．【詳解】（1）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，兩數(shù)都為正數(shù)，所以兩數(shù)的和為正．（2）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，兩數(shù)都為負數(shù)，所以兩數(shù)的和為負．（3）異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，由于|a|＞|b|，所以兩數(shù)的和取a的符號，即兩數(shù)和的符號為正（4）異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，由于|a|＜|b|，所以兩數(shù)的和取b的符號，即兩數(shù)和的符號為負．【點睛】本題考查有理數(shù)加法的符號法則，解決本題的關鍵是熟悉加法法則，并正確判斷絕對值的大?。?4．（2022秋·安徽蚌埠·七年級校考階段練習）合肥市某中式快餐店在今年上半年的銷售中，盈虧情況如下表∶（單位∶千元）月份1月2月3月4月5月6月合計盈虧16.822.660.8表中的5月份的盈虧數(shù)被該店王經(jīng)理不小心用墨水污染了，看不清楚，請你算出5月份的盈虧數(shù)，并說明5月份是盈還是虧？盈虧多少元？(注∶盈