3.3從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式（六大題型）（原卷版）

3．3從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1、正確理解函數(shù)零點(diǎn)的概念．2、理解一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系．3、掌握圖象法解一元二次方程．4、能從實(shí)際問題中抽象出一元二次不等式并解決．1、數(shù)學(xué)抽象：函數(shù)零點(diǎn)概念的理解．2、直觀想象：掌握圖象法解一元二次方程．3、數(shù)學(xué)運(yùn)算：函數(shù)零點(diǎn)的計(jì)算、掌握圖象法解一元二次不等式．知識點(diǎn)01一元二次不等式的概念一般地，我們把只含有一個末知數(shù)，并且末知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式，即形如或（其中a，b，c均為常數(shù)，的不等式都是一元二次不等式．【即學(xué)即練1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）給出下列不等式()：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是一元二次不等式的有．(填序號)知識點(diǎn)02二次函數(shù)的零點(diǎn)一般地，對于二次函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做二次函數(shù)的零點(diǎn)．【即學(xué)即練2】（2023·河南鄭州·高一統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)的零點(diǎn)為和1，則關(guān)于x的不等式的解集為．知識點(diǎn)03二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系對于一元二次方程的兩根為且，設(shè)，它的解按照，，可分三種情況，相應(yīng)地，二次函數(shù)的圖像與軸的位置關(guān)系也分為三種情況．因此我們分三種情況來討論一元二次不等式或的解集．二次函數(shù)（）的圖象有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根無實(shí)根知識點(diǎn)詮釋：（1）一元二次方程的兩根是相應(yīng)的不等式的解集的端點(diǎn)的取值，是拋物線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）表中不等式的二次系數(shù)均為正，如果不等式的二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，應(yīng)先利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式，然后討論解決；（3）解集分三種情況，得到一元二次不等式與的解集．【即學(xué)即練3】若一元二次不等式的解集是，則的值是.知識點(diǎn)04利用不等式解決實(shí)際問題的一般步驟（1）選取合適的字母表示題中的未知數(shù)；（2）由題中給出的不等關(guān)系，列出關(guān)于未知數(shù)的不等式（組）；（3）求解所列出的不等式（組）；（4）結(jié)合題目的實(shí)際意義確定答案．【即學(xué)即練4】（2023·全國·高一專題練習(xí)）某地每年銷售木材約萬m3，每立方米的價格為元．為了減少木材消耗，決定按銷售收入的征收木材稅，這樣每年的木材銷售量減少萬m3，為了既減少了木材消耗又保證稅金收入每年不少于萬元，則的取值范圍是．知識點(diǎn)05一元二次不等式恒成立問題（1）轉(zhuǎn)化為一元二次不等式解集為的情況，即恒成立恒成立（2）分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題．【即學(xué)即練5】已知函數(shù)．(1)若，試求的最小值；(2)對于任意的，不等式成立，試求的取值范圍．知識點(diǎn)06簡單的分式不等式的解法系數(shù)化為正，大于取“兩端”，小于取“中間”【即學(xué)即練6】不等式的解集為.題型一：解不含參數(shù)的一元二次不等式【典例11】（2024·高一·江西南昌·開學(xué)考試）解下列方程和不等式：(1)(2)【典例12】解下列不等式：(1)；(2)；(3)；(4)【方法技巧與總結(jié)】解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟（1）通過對不等式的變形，使不等式右側(cè)為0，使二次項(xiàng)系數(shù)為正．（2）對不等式左側(cè)因式分解，若不易分解，則計(jì)算對應(yīng)方程的判別式．（3）求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實(shí)根．（4）根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應(yīng)的二次函數(shù)的草圖．（5）根據(jù)圖象寫出不等式的解集．【變式11】解下列一元二次不等式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【變式12】（2024·高一·北京石景山·期中）不等式的解集是．【變式13】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）不等式的解集是．【變式14】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）不等式的解集是．題型二：一元二次不等式與根與系數(shù)關(guān)系的交匯【典例21】（多選題）（2024·高一·江蘇南通·開學(xué)考試）已知關(guān)于的不等式的解集為，則（

）A．不等式的解集為B．的解集為C．的最小值為D．的最小值為【典例22】（多選題）（2024·高一·全國·課后作業(yè)）（多選）不等式的解集是，對于系數(shù)a,b,c，下列結(jié)論正確的是（

）A．a(chǎn)>0 B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】三個“二次”之間的關(guān)系（1）三個“二次”中，一元二次函數(shù)是主體，討論一元二次函數(shù)主要是將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程和一元二次不等式的形式來研究．（2）討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應(yīng)的一元二次函數(shù)相聯(lián)系，通過一元二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)來解決問題，關(guān)系如下：【變式21】（2024·高一·山西朔州·階段練習(xí)）已知不等式的解集為，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．【變式22】（2024·高一·云南曲靖·期中）已知函數(shù)，若的解集為，則（

）A． B．C． D．【變式23】（2024·高一·云南昭通·期末）已知不等式的解集為，則實(shí)數(shù)（

）A．－3 B．3 C．－2 D．2【變式24】（2024·高一·吉林延邊·階段練習(xí)）已知不等式的解集為,則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．B．C．D．的解集為【變式25】（2024·高一·河南濮陽·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A．或 B．或C． D．題型三：含有參數(shù)的一元二次不等式的解法【典例31】（2024·高一·江蘇淮安·開學(xué)考試）已知不等式的解是或．(1)用字母a表示出b，c；(2)求不等式的解【典例32】（2024·高一·江蘇·開學(xué)考試）（1）已知一元二次不等式的解集為-3,2，求實(shí)數(shù)、的值及不等式的解集．（2）已知，解不等式：．【方法技巧與總結(jié)】解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟（1）討論二次項(xiàng)系數(shù)：二次項(xiàng)若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式．（2）判斷方程根的個數(shù)：討論判別式Δ與0的關(guān)系．（3）寫出解集：確定無根時可直接寫出解集；確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式．【變式31】（2024·高一·江蘇徐州·階段練習(xí)）解關(guān)于的不等式：．【變式32】（2024·高一·全國·課堂例題）解關(guān)于x的不等式：（）；【變式33】（2024·高一·天津·期中）解關(guān)于變量的不等式：．【變式34】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）求不等式的解集．【變式35】（2024·高一·上海·隨堂練習(xí)）（1）已知關(guān)于x的二次方程無實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）已知，解不等式．【變式36】（2024·高一·上海·課后作業(yè)）解關(guān)于的不等式：．【變式37】（2024·高一·安徽·期中）已知，關(guān)于的不等式的解集為或．(1)求的值；(2)解關(guān)于的不等式．題型四：一次分式不等式的解法【典例41】（2024·高二·陜西寶雞·期中）不等式的解集是.【典例42】（2024·高一·重慶銅梁·開學(xué)考試）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集是.【方法技巧與總結(jié)】分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式的基本類型有哪些？（1）（2）（3）且（4）且【變式41】（2024·高一·廣東·開學(xué)考試）不等式：的解為．【變式42】（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）不等式的解集為．【變式43】（2024·高一·上海·隨堂練習(xí)）已知不等式的解集為，則，此時不等式的解集為．【變式44】（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）不等式的解集為．【變式45】（2024·高一·上海·單元測試）分式不等式的解集為．【變式46】（2024·高一·全國·課堂例題）不等式的解集是.題型五：實(shí)際問題中的一元二次不等式問題【典例51】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）某文具店購進(jìn)一批新型臺燈，若按每盞臺燈15元的價格銷售，每天能賣出30盞；若售價每提高1元，日銷售量將減少2盞，現(xiàn)決定提價銷售，為了使這批臺燈每天獲得400元以上（不含400元）的銷售收入.則這批臺燈的銷售單價x（單位：元）的取值范圍是.【典例52】（2024·高一·江蘇鹽城·開學(xué)考試）某種汽車在水泥路面上的剎車距離（單位：）和汽車剎車前的車速（單位：）之間有如下關(guān)系：，在一次交通事故中，測得這種車的剎車距離不小于，則這輛汽車剎車前的車速至少為．【方法技巧與總結(jié)】利用不等式解決實(shí)際問題需注意以下四點(diǎn)（1）閱讀理解材料：應(yīng)用題所用語言多為文字語言，而且不少應(yīng)用題文字?jǐn)⑹銎^長．閱讀理解材料要達(dá)到的目的是將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，這就要求解題者領(lǐng)悟問題的實(shí)際背景，確定問題中量與量之間的關(guān)系，初步形成用怎樣的模型能夠解決問題的思路，明確解題方向．（2）建立數(shù)學(xué)模型：根據(jù)（1）中的分析，把實(shí)際問題用“符號語言”“圖形語言”抽象成數(shù)學(xué)模型，并且，建立所得數(shù)學(xué)模型與已知數(shù)學(xué)模型的對應(yīng)關(guān)系，以便確立下一步的努力方向．（3）討論不等關(guān)系：根據(jù)（2）中建立起來的數(shù)學(xué)模型和題目要求，討論與結(jié)論有關(guān)的不等關(guān)系，得到有關(guān)理論參數(shù)的值．（4）作出問題結(jié)論：根據(jù)（3）中得到的理論參數(shù)的值，結(jié)合題目要求作出問題的結(jié)論．【變式51】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）如圖所示，有一塊矩形空地ABCD，要在這塊空地上開辟一個內(nèi)接四邊形綠地（圖中四邊形EFGH）．使其四個頂點(diǎn)分別落在矩形的四條邊上，已知米，米，且，為使綠地面積不小于空地面積的一半，AE的長的最小值為．【變式52】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）某熱帶風(fēng)暴中心B位于海港城市A南偏東的方向，與A市相距400km.該熱帶風(fēng)暴中心B以40km/h的速度向正北方向移動，影響范圍的半徑是350km．問：從此時起，經(jīng)h后A市將受熱帶風(fēng)暴影響，大約受影響h.【變式53】（2024·高一·上海奉賢·期中）某服裝公司生產(chǎn)的襯衫每件定價160元，在某城市年銷售10萬件．現(xiàn)該公司計(jì)劃在該市招收代理來銷售襯衫，以降低管理和營銷成本．已知代理商要收取的代理費(fèi)為總銷售金額的（每100元銷售額收取元），且為正整數(shù)．為確保單件襯衫的利潤保持不變，服裝公司將每件襯衫價格提高到元，但提價后每年的銷售量會減少萬件．若為了確保代理商每年收取的代理費(fèi)不少于65萬元，則正整數(shù)的取值組成的集合為．【變式54】（2024·高一·四川綿陽·階段練習(xí)）某種襯衫進(jìn)貨價為每件元，若以元一件出售，則每天能賣出件；若每件提價元，則每天賣出件數(shù)將減少一件，為使每天出售襯衫的凈收入不低于元，則每件襯衫的售價的取值范圍是．(假設(shè)每件襯衫的售價是m)【變式55】（2024·高一·河北石家莊·開學(xué)考試）某商店購進(jìn)一批成本為每件30元的商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量（件）與銷售單價（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．

(1)求該商品每天的銷售量與銷售單價之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若商店按單價不低于成本價，且不高于50元銷售，則銷售單價定為多少元時利潤最大？最大利潤是多少？(3)若商店要使銷售該商品每天獲得的利潤不低于800元，則每天的銷售量最少應(yīng)為多少件？【變式56】（2024·高一·江蘇徐州·階段練習(xí)）2022年新冠肺炎仍在世界好多國家肆虐，并且出現(xiàn)了傳染性更強(qiáng)的“德爾塔”變異毒株、“拉姆達(dá)”變異毒株，盡管我國疫情得到了很好的遏制，但由于整個國際環(huán)境的影響，時而也會出現(xiàn)一些散發(fā)病例，故而抗疫形勢依然嚴(yán)峻，日常防護(hù)依然不能有絲毫放松．在日常防護(hù)中，醫(yī)用防護(hù)用品必不可少，某公司一年購買某種醫(yī)用防護(hù)用品600噸，每次都購買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的存儲費(fèi)用為萬元.一年的總費(fèi)用y（萬元）包含運(yùn)費(fèi)與存儲費(fèi)用.(1)要使總費(fèi)用不超過公司年預(yù)算260萬元，求x的取值范圍.(2)要使總費(fèi)用最小，求x的值.題型六：不等式的恒成立問題【典例61】（2024·高一·福建福州·階段練習(xí)）已知不等式.(1)當(dāng)時不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)當(dāng)時不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【典例62】當(dāng)時，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【方法技巧與總結(jié)】不等式對一切實(shí)數(shù)恒成立，即不等式的解集為R，要解決這個問題還需要討論二次項(xiàng)的系數(shù)．【變式61】（2024·高一·上?！卧獪y試）已知關(guān)于x的不等式對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【變式62】（2024·高二·陜西渭南·階段練習(xí)）已知.(1)當(dāng)時，求滿足的值的集合；(2)求滿足的值的集合；(3)當(dāng)時，恒成立，求滿足條件的的取值范圍.【變式63】（2024·高一·陜西咸陽·階段練習(xí)）（1）若對于一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求的取值范圍；（2）當(dāng)時，不等式恒成立，求的取值范圍．【變式64】（2024·高三·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）“關(guān)于的不等式對恒成立”的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【變式65】（2024·高三·全國·單元測試）若對滿足的任意實(shí)數(shù)恒成立，則（

）A． B．C． D．1．（2024·高一·北京·開學(xué)考試）已知二次函數(shù)（為常數(shù)），當(dāng)時，函數(shù)值y的最小值為，則m的值是（）A． B．1 C．2或 D．2．（2024·高一·江蘇蘇州·階段練習(xí)）不等式的解集為或，則的解集為（

）A． B．C． D．3．（2024·高二·福建福州·期末）設(shè)為實(shí)數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集不可能是（

）A． B．C． D．4．（2024·高一·山西朔州·階段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次不等式，當(dāng)時，該不等式的解集為（

）A． B．C． D．5．（2024·高一·天津薊州·階段練習(xí)）對于任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a取值范圍為（）A． B． C． D．6．（2024·高一·上海·隨堂練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集中恰有個正整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．7．（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）若關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解只有，則的取值范圍為（

）．A． B．C． D．8．（2024·高一·江蘇·開學(xué)考試）已知，，若時，關(guān)于的不等式恒成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．9．（多選題）（2024·高一·江蘇徐州·階段練習(xí)）為配制一種藥液，進(jìn)行了兩次稀釋，先在體積為V的桶中盛滿純藥液，第一次將桶中藥液倒出5升后用水補(bǔ)滿，攪拌均勻，第二次倒出3升后用水補(bǔ)滿，若在第二次稀釋后桶中藥液含量不超過容積的75％，則V的可能取值為（

）．A．4 B．40 C．8 D