2024-2025學年新教材高中數(shù)學第七章統(tǒng)計案例7.2成對數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性課后素養(yǎng)落實含解析北師大版選擇性必修第一冊

PAGE課后素養(yǎng)落實(四十七)成對數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性1．下列數(shù)據(jù)x，y符合哪一種函數(shù)模型()x12345678910y22.6933.383.63.844.084.24.3A．y＝2＋eq\f(1,3)x B．y＝2exC．y＝2eeq\s\up12(eq\f(1,x)) D．y＝2＋lnxD[分別將x的值代入解析式推斷知滿意y＝2＋lnx．]2．兩個變量滿意如下表關(guān)系．X510152025Y103105110111114則兩個變量線性相關(guān)程度()A．較高B．較低C．不相關(guān)D．不確定A[eq\o(∑,\s\up7(5),\s\do6(i＝1))xi＝75，eq\o(∑,\s\up7(5),\s\do6(i＝1))yi＝543，eq\o(∑,\s\up7(5),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝1375，eq\o(∑,\s\up7(5),\s\do6(i＝1))xiyi＝8285，eq\o(∑,\s\up7(5),\s\do6(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝59051，eq\x\to(x)＝15，eq\x\to(y)＝108.6．r＝eq\f(\o(∑,\s\up7(5),\s\do6(i＝1))xiyi－5\o(x,\s\up7(－))\o(y,\s\up7(－)),\r(\o(∑,\s\up7(5),\s\do6(i＝1))x\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)\r(\o(∑,\s\up7(5),\s\do6(i＝1))y\o\al(2,i)－5\x\to(y)2))＝eq\f(8285－5×15×108.6,\r(1375－5×152)×\r(59051－5×108.62))≈0.9826．故兩個變量間的線性相關(guān)程度較高．]3．對相關(guān)系數(shù)r，下列說法正確的是()A．r越大，相關(guān)程度越大B．r越小，相關(guān)程度越大C．|r|越大，相關(guān)程度越小，|r|越小，相關(guān)程度越大D．|r|≤1且|r|越接近于1，相關(guān)程度越大，|r|越接近0，相關(guān)程度越小D[|r|越接近于1，偏差越小，相關(guān)程度越大，|r|越接近于0，偏差越大，相關(guān)程度越小，故選D．]4．對變量X，Y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散點圖①；對變量U，V有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散點圖②．由這兩個散點圖可以推斷()①②A．變量X與Y正相關(guān)，U與V正相關(guān)B．變量X與Y正相關(guān)，U與V負相關(guān)C．變量X與Y負相關(guān)，U與V正相關(guān)D．變量X與Y負相關(guān)，U與V負相關(guān)C[由題圖①可知，各點整體呈遞減趨勢，X與Y負相關(guān)，由題圖②可知，各點整體呈遞增趨勢，U與V正相關(guān)．]5．若回來直線方程中的回來系數(shù)b＝0，則相關(guān)系數(shù)為()A．r＝1 B．r＝－1C．r＝0 D．無法確定C[當b＝0時，有eq\o(∑,\s\up7(n),\s\do6(i＝1))(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝0，故相關(guān)關(guān)系r＝0．]二、填空題6．某單位為了了解用電量Y(度)與氣溫X(℃)之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某4天的用電量與當天氣溫，并制作了如下比照表：氣溫(℃)181310－1用電量(度)24343864由表中數(shù)據(jù)得線性回來直線方程eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(b,\s\up7(^))x＋eq\o(a,\s\up7(^))中的eq\o(b,\s\up7(^))＝－2，預料當氣溫為－4℃時，用電量為________度．68[回來直線方程過點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，依據(jù)題意得eq\x\to(x)＝eq\f(18＋13＋10＋－1,4)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f(24＋34＋38＋64,4)＝40，將(10，40)代入eq\o(y,\s\up7(^))＝－2x＋eq\o(a,\s\up7(^))，解得eq\o(a,\s\up7(^))＝60，則eq\o(y,\s\up7(^))＝－2x＋60，當x＝－4時，eq\o(y,\s\up7(^))＝(－2)×(－4)＋60＝68，即當氣溫為－4℃時，用電量約為68度．]7．面對競爭日益激烈的消費市場，眾多商家不斷擴大自己的銷售市場，以降低生產(chǎn)成本．某白酒釀造企業(yè)市場部對該企業(yè)9月份的產(chǎn)品銷量(單位：千箱)與單位成本(單位：元)的資料進行線性回來分析，結(jié)果如下：eq\x\to(x)＝eq\f(7,2)，eq\x\to(y)＝71，eq\o(∑,\s\up7(6),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝79，eq\o(∑,\s\up7(6),\s\do6(i＝1))xiyi＝1481．eq\o(b,\s\up7(^))＝eq\f(1481－6×\f(7,2)×71,79－6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))\s\up12(2))≈－1.8182，eq\o(a,\s\up7(^))＝71－(－1.8182)×eq\f(7,2)≈77.36，則銷量每增加1000箱，單位成本下降________元．1.8182[由已知可得，eq\o(y,\s\up7(^))＝－1.8182x＋77.36，銷量每增加1千箱，則單位成本下降1.8182元．]8．在探討教化與貧困兩個因素之間的關(guān)系時，收集了美國50個州的成年人受過9年或更少教化的百分比(X)和收入低于官方規(guī)定的貧困線的人數(shù)占本州人數(shù)的百分比(Y)的數(shù)據(jù)，建立的回來直線方程如下：Y＝0.8X＋4.6，斜率的估計值等于0.8，說明________；成年人受過9年或更少教化的百分比(X)和收入低于正式的貧困線的人數(shù)占本州人數(shù)的百分比(Y)之間的相關(guān)系數(shù)________(填“大于0”或“小于0”)．[答案]一個地區(qū)受過9年或更少教化的百分比每增加1%，收入低于官方規(guī)定的貧困線的人數(shù)占本州人數(shù)的百分比將增加0.8%左右大于0三、解答題9．測得10對父子身高(單位：英寸)如下：父親身高(X)60626465666768707274兒子身高(Y)63.665.26665.566.967.167.468.370.170(1)對變量Y與X進行相關(guān)性檢驗；(2)假如Y與X之間具有相關(guān)關(guān)系，求回來直線方程；(3)假如父親身高為73英寸，試估計兒子的身高．參考數(shù)據(jù)：eq\x\to(x)＝66.8，eq\x\to(y)＝67.01，eq\o(∑,\s\up7(10),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝44794，eq\o(∑,\s\up7(10),\s\do6(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝44941.93，eq\x\to(x)2＝4462.24，eq\x\to(y)2＝4490.34，eq\o(∑,\s\up7(10),\s\do6(i＝1))xiyi＝44842.4，[解](1)r＝eq\f(\o(∑,\s\up7(10),\s\do6(i＝1))xiyi－10\o(x,\s\up7(－))\o(y,\s\up7(－)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(∑,\s\up7(10),\s\do6(i＝1))x\o\al(2,i)－10\x\to(x)2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(∑,\s\up7(10),\s\do6(i＝1))y\o\al(2,i)－10\x\to(y)2))))≈0.9804，因為r≈0.9804特別接近于1，所以Y與X之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系．(2)設回來直線方程為Y＝bX＋a，eq\o(b,\s\up7(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up7(10),\s\do6(i＝1))xiyi－10\o(x,\s\up7(－))\o(y,\s\up7(－)),\o(∑,\s\up7(10),\s\do6(i＝1))x\o\al(2,i)－10\x\to(x)2)≈0.4646，eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up7(^))eq\x\to(x)≈35.97，所以回來直線方程為Y＝0.4646X＋35.97．(3)x＝73時，y＝69.9，所以父親身高為73英寸時，兒子的身高約為69.9英寸．10．下面的數(shù)據(jù)是年齡在40到60歲的男子中隨機抽出的6個樣本，分別測定了心臟的功能水平Y(jié)(滿分100)，以及每天花在看電視上的平均時間X(小時)．看電視的平均時間x4.44.62.75.80.24.6心臟功能水平y(tǒng)525369578965(1)求心臟功能水平Y(jié)與每天花在看電視上的平均時間X之間的相關(guān)系數(shù)r；(2)求心臟功能水平Y(jié)與每天花在看電視上的平均時間X的線性回來方程，并探討方程是否有意義；(系數(shù)保留兩位小數(shù))(3)估計平均每天看電視3小時的男子的心臟功能水平．[解]n＝6，eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)(4.4＋4.6＋2.7＋5.8＋0.2＋4.6)≈3.716，eq\x\to(y)＝eq\f(1,6)(52＋53＋69＋57＋89＋65)≈64.1667，eq\o(∑,\s\up7(6),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(2,i)－6eq\x\to(x)2＝(4.42＋4.62＋2.72＋5.82＋0.22＋4.62)－6×3.7162≈19.7980，eq\o(∑,\s\up7(6),\s\do6(i＝1))yeq\o\al(2,i)－6eq\x\to(y)2＝(522＋532＋692＋572＋892＋652)－6×64.16672≈964.8333，eq\o(∑,\s\up7(6),\s\do6(i＝1))xiyi－6eq\o(x,\s\up7(－))eq\o(y,\s\up7(－))＝(4.4×52＋4.6×53＋…＋4.6×65)－6×3.716×64.1667≈－124.3607．(1)心臟功能水平Y(jié)與每天花在看電視上的平均時間X之間的相關(guān)系數(shù)：r＝eq\f(－124.3607,\r(19.7980×964.8333))≈－0.8998．(2)eq\o(b,\s\up7(^))＝eq\f(－124.3607,19.7980)≈－6.28，eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up7(^))eq\x\to(x)＝87.50，心臟功能水平Y(jié)與每天花在看電視上的平均時間x的線性回來方程為Y＝－6.28X＋87.50．因為|r|＝0.898，所以有相當大的把握認為Y與X之間有線性關(guān)系，這個方程是有意義的．(3)將x＝3代入線性回來方程，可得y＝68.66，即平均每天看電視3小時，心臟功能水平約為68.66．11．兩個變量Y與X的回來模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的相關(guān)系數(shù)r如下，其中擬合效果最好的模型是()A．模型1的相關(guān)系數(shù)r為0.98B．模型2的相關(guān)系數(shù)r為0.80C．模型3的相關(guān)系數(shù)r為0.50D．模型4的相關(guān)系數(shù)r為0.25A[在兩個變量Y與X的回來模型中，它們的相關(guān)系數(shù)|r|越近于1，模擬效果越好，在四個選項中A的相關(guān)系數(shù)最接近1，所以擬合效果最好的是模型1．]12．已知兩個變量X和Y之間具有線性相關(guān)性，甲、乙兩個同學各自獨立地做了10次和15次試驗，并且利用線性回來的方法求得回來直線分別為l1和l2，已知兩個人在試驗中發(fā)覺對變量X的觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)都為s，對變量Y的觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是t，則下列說法正確的是()A．l1與l2肯定有公共點(s，t)B．l1與l2相交，但交點肯定不是(s，t)C．l1與l2必定平行D．l1與l2必定重合A[由于回來直線Y＝bX＋a恒過(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))點，又兩人對變量X的觀測數(shù)據(jù)的平均值為s，對變量Y的觀測數(shù)據(jù)的平均值為t，所以l1和l2恒過點(s，t)．]13．(多選題)下列說法中正確的是()A．線性相關(guān)系數(shù)r∈[－1，1]B．在線性回來分析中，偏差越小，線性相關(guān)系數(shù)的肯定值越大C．相關(guān)系數(shù)r越小，說明變量之間的線性相關(guān)程度越小D．在散點圖中，若n個點在一條直線上，|r|＝1ABD[由線性相關(guān)系數(shù)的定義知，只有C不正確．]14．(一題兩空)某市居民2015～2024年家庭年平均收入X(單位：萬元)與年平均支出Y(單位：萬元)的統(tǒng)計資料如下表所示：年份20152024202420242024收入X11.512.11313.315支出Y6.88.89.81012依據(jù)統(tǒng)計資料，居民家庭年平均收入的中位數(shù)是________，家庭年平均收入與年平均支出有________相關(guān)關(guān)系(填“正”或“負”)．13正[中位數(shù)是13．由相關(guān)性學問，依據(jù)統(tǒng)計資料可以看出，當年平均收入增多時，年平均支出也增多，因此兩者之間具有正相關(guān)關(guān)系．]15．在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)的散點圖中，若全部樣本點(xi，yi)(i＝1，2，…，6)都在曲線y＝bx2－eq\f(1,2)旁邊波動．經(jīng)計算eq\o(∑,\s\up7(6),\s\do6(i＝1))xi＝12，eq\o(∑,\s\up7(6),\s\do6(i＝1))yi＝14，eq\o(∑,\s\up7(6),\s\do6(i＝1))xeq