專(zhuān)題20 銳角三角函數(shù)（分層精練）（解析版）

專(zhuān)題20銳角三角函數(shù)（分層精練）1．（2022?天津）tan45°的值等于（）A．2 B．1 C． D．【答案】B【解答】解：tan45°的值等于1，故選：B．2．（2022?陜西）如圖，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tanC＝2，則邊AB的長(zhǎng)為（）A．3 B．3 C．6 D．3【答案】 C【解答】解：∵BD＝2CD＝6，∴CD＝3，BD＝6，∵tanC＝＝2，∴AD＝6，∴AB＝AD＝6故選：C．3．（2022?貴港）如圖，在4×4網(wǎng)格正方形中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，頂點(diǎn)為格點(diǎn)，若△ABC的頂點(diǎn)均是格點(diǎn)，則cos∠BAC的值是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：延長(zhǎng)AC到D，連接BD，如圖：∵AD2＝20，BD2＝5，AB2＝25，∴AD2+BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴cos∠BAC＝＝＝，故選：C．4．（2022?廣西）如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，AB的長(zhǎng)為12米，AB與AC的夾角為α，則高BC是（）A．12sinα米 B．12cosα米 C．米 D．米【答案】A【解答】解：Rt△ABC中，sinα＝，∵AB＝12米，∴BC＝12sinα（米）．故選：A．5．（2022?黔東南州）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，連接PO并延長(zhǎng)與⊙O交于點(diǎn)C、D，若CD＝12，PA＝8，則sin∠ADB的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解連接AO，BO，∵PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，PA＝PB＝8，∵DC＝12，∴AO＝6，∴OP＝10，在Rt△PAO和Rt△PBO中，，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），∴∠AOP＝∠BOP，∴，∴∠ADC＝∠BDC，∵∠AOC＝2∠ADC，∴∠ADB＝∠AOC，∴sin∠ADB＝sin∠AOC＝＝．故選：A．6．（2022?樂(lè)山）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連結(jié)BD．若tan∠A＝，tan∠ABD＝，則CD的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C． D．2【答案】C【解答】解：過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB于E，∵tan∠A＝＝，tan∠ABD＝＝，∴AE＝2DE，BE＝3DE，∴2DE+3DE＝5DE＝AB，在Rt△ABC中，tan∠A＝，BC＝，∴，解得AC＝，∴AB＝，∴DE＝1，∴AE＝2，∴AD＝，∴CD＝AC﹣AD＝，故選：C．7．（2022?黑龍江）小明去爬山，在山腳看山頂角度為30°，小明在坡比為5：12的山坡上走1300米，此時(shí)小明看山頂?shù)慕嵌葹?0°，山高為（）米A．600﹣250 B．600﹣250 C．350+350 D．500【答案】B【解答】解：設(shè)EF＝5x米，∵斜坡BE的坡度為5：12，∴BF＝12x米，由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝（1300）2，解得：x＝100，則EF＝500米，BF＝1200米，由題意可知，四邊形DCFE為矩形，∴DC＝EF＝500米，DE＝CF，在Rt△ADE中，tan∠AED＝，則DE＝＝AD，在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，∴＝，解得：AD＝600﹣750，∴山高AC＝AD+DC＝600﹣750+500＝（600﹣250）米，故選：B．8．（2022?畢節(jié)市）如圖，某地修建的一座建筑物的截面圖的高BC＝5m，坡面AB的坡度為1：，則AB的長(zhǎng)度為（）A．10m B．10m C．5m D．5m【答案】A【解答】解：∵坡面AB的坡度為＝＝1：，∴AC＝5m，∴AB＝＝10m．故選：A．9．（2022?巴中）一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向，距離燈塔30海里的A處，它沿北偏東30°方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的北偏東67°方向上的B處，此時(shí)與燈塔P的距離約為海里．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）【答案】50【解答】解：如圖所示標(biāo)注字母，根據(jù)題意得，∠CAP＝∠EPA＝60°，∠CAB＝30°，PA＝30海里，∴∠PAB＝90°，∠APB＝180°﹣67°﹣60°＝53°，∴∠B＝180°﹣90°﹣53°＝37°，在Rt△PAB中，sin37°＝≈，解得PB≈50，∴此時(shí)與燈塔P的距離約為50海里．故答案為：50．10．（2022?連云港）如圖，在6×6正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點(diǎn)，則sinA＝．【答案】【解答】解：設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a，作CD⊥AB于點(diǎn)D，由圖可得：CD＝4a，AD＝3a，∴AC＝＝＝5a，∴sin∠CAB＝＝＝，故答案為：．11．（2022?廣州）某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組利用太陽(yáng)光線下物體的影子和標(biāo)桿測(cè)量旗桿的高度．如圖，在某一時(shí)刻，旗桿AB的影子為BC，與此同時(shí)在C處立一根標(biāo)桿CD，標(biāo)桿CD的影子為CE，CD＝1.6m，BC＝5CD．（1）求BC的長(zhǎng)；（2）從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求旗桿AB的高度．條件①：CE＝1.0m；條件②：從D處看旗桿頂部A的仰角α為54.46°．注：如果選擇條件①和條件②分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．參考數(shù)據(jù)：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．【解答】解：（1）∵BC＝5CD，CD＝1.6m，∴BC＝5×1.6＝8（m），∴BC的長(zhǎng)為8m；（2）若選擇條件①：由題意得：＝，∴＝，∴AB＝12.8，∴旗桿AB的高度為12.8m；若選擇條件②：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，則DC＝BF＝1.6m，DF＝BC＝8m，在Rt△ADF中，∠ADF＝54.46°，∴AF＝DF?tan54.46°≈8×1.4＝11.2（m），∴AB＝AF+BF＝11.2+1.6＝12.8（m），∴旗桿AB的高度約為12.8m．12．（2022?淮安）如圖，湖邊A、B兩點(diǎn)由兩段筆直的觀景棧道AC和CB相連．為了計(jì)算A、B兩點(diǎn)之間的距離，經(jīng)測(cè)量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A、B兩點(diǎn)之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，在Rt△ACD中，∵∠DAC＝37°，AC＝80米，∴sin∠DAC＝，cos∠DAC＝，∴CD＝AC?sin37°≈80×0.60＝48（米），AD＝AC?cos37°≈80×0.80＝64（米），在Rt△BCD中，∵∠CBD＝58°，CD＝48米，∴tan∠CBD＝，∴BD＝≈＝30（米），∴AB＝AD+BD＝64+30＝94（米）．答：A、B兩點(diǎn)之間的距離約為94米．13．（2022?菏澤）菏澤某超市計(jì)劃更換安全性更高的手扶電梯，如圖，把電梯坡面的坡角由原來(lái)的37°減至30°，已知原電梯坡面AB的長(zhǎng)為8米，更換后的電梯坡面為AD，點(diǎn)B延伸至點(diǎn)D，求BD的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）【解答】解：由題意得，在△ABC中，∵∠ABC＝37°，AB＝8米，∴AC＝AB?sin37°＝4.8（米），BC＝AB?cos37°＝6.4（米），在Rt△ACD中，CD＝≈8.304（米），則BD＝CD﹣BC＝8.304﹣6.4≈1.9（米）．答：改動(dòng)后電梯水平寬度增加部分BD的長(zhǎng)為1.9米．14．（2022?錦州）如圖，一艘貨輪在海面上航行，準(zhǔn)備要?？康酱a頭C，貨輪航行到A處時(shí)，測(cè)得碼頭C在北偏東60°方向上．為了躲避A，C之間的暗礁，這艘貨輪調(diào)整航向，沿著北偏東30°方向繼續(xù)航行，當(dāng)它航行到B處后，又沿著南偏東70°方向航行20海里到達(dá)碼頭C．求貨輪從A到B航行的距離（結(jié)果精確到0.1海里．參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．【解答】解：過(guò)B作BD⊥AC于D，由題意可知∠ABE＝30°，∠BAC＝30°，則∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°，在Rt△BCD中，∠C＝50°，BC＝20（海里），∴BD＝BCsin50°≈20×0.766＝15.32（海里），在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，BD＝15.32（海里），∴AB＝2BD＝30.64≈30.6（海里），答：貨輪從A到B航行的距離約為30.6海里．15．（2022?河池）如圖，把邊長(zhǎng)為1：2的矩形ABCD沿長(zhǎng)邊BC，AD的中點(diǎn)E，F(xiàn)對(duì)折，得到四邊形ABEF，點(diǎn)G，H分別在BE，EF上，且BG＝EH＝BE＝2，AG與BH交于點(diǎn)O，N為AF的中點(diǎn)，連接ON，作OM⊥ON交AB于點(diǎn)M，連接MN，則tan∠AMN＝．【答案】【解答】解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，∴AF＝AD，BE＝BC，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC，AD＝BC，∴AF＝BE＝AD，∴四邊形ABEF是矩形，由題意知，AD＝2AB，∴AF＝AB，∴矩形ABEF是正方形，∴AB＝BE，∠ABE＝∠BEF＝90°，∵BG＝EH，∴△ABG≌△BEH（SAS），∴∠BAG＝∠EBH，∴∠BAG+∠ABO＝∠EBH+∠ABO＝∠ABG＝90°，∴∠AOB＝90°，∵BG＝EH＝BE＝2，∴BE＝5，∴AF＝5，∵∠OAB＝∠BAG，∠AOB＝∠ABG，∴△AOB∽△ABG，∴，∴＝＝，∵OM⊥ON，∴∠MON＝90°＝∠AOB，∴∠BOM＝∠AON，∵∠BAG+∠FAG＝90°，∠ABO+∠EBH＝90°，∠BAG＝∠EBH，∴∠OBM＝∠OAN，∴△OBM∽△OAN，∴，∵點(diǎn)N是AF的中點(diǎn)，∴AN＝AF＝，∴＝，∴BM＝1，∴AM＝AB﹣BM＝4，在Rt△MAN中，tan∠AMN＝＝＝，故答案為：．16．（2020?德陽(yáng)）如圖，海中有一小島A，它周?chē)?0.5海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚(yú)群由西向東航行．在B點(diǎn)測(cè)得小島A在北偏東60°方向上，航行12海里到達(dá)D點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島A在北偏東30°方向上．如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，那么漁船還需航行海里就開(kāi)始有觸礁的危險(xiǎn)．【答案】4.5【解答】解：只要求出A到BD的最短距離是否在以A為圓心，以10.5海里的圓內(nèi)或圓上即可，如圖，過(guò)A作AC⊥BD于點(diǎn)C，則AC的長(zhǎng)是A到BD的最短距離，∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，∴∠BAD＝60°﹣30°＝30°，∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∴∠ABD＝∠BAD，∴BD＝AD＝12海里，∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，∴CD＝AD＝6海里，由勾股定理得：AC＝＝6（海里），如圖，設(shè)漁船還需航行x海里就開(kāi)始有觸礁的危險(xiǎn)，即到達(dá)點(diǎn)D′時(shí)有觸礁的危險(xiǎn)，在直角△AD′C中，由勾股定理得：（6﹣x）2+（6）2＝10.52．解得x＝4.5．漁船還需航行4.5海里就開(kāi)始有觸礁的危險(xiǎn)．故答案是：4.5．17．（2022?舟山）小華將一張紙對(duì)折后做成的紙飛機(jī)如圖1，紙飛機(jī)機(jī)尾的橫截面是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，其示意圖如圖2，已知AD＝BE＝10cm，CD＝CE＝5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°．（1）連結(jié)DE，求線段DE的長(zhǎng)．（2）求點(diǎn)A，B之間的距離．（結(jié)果精確到0.1cm．參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）【解答】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥DE于點(diǎn)F，∵CD＝CE＝5cm，∠DCE＝40°．∴∠DCF＝20°，∴DF＝CD?sin20°≈5×0.34≈1.7（cm），∴DE＝2DF≈3.4cm，∴線段DE的長(zhǎng)約為3.4cm；（2）∵橫截面是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，∴延長(zhǎng)CF交AD、BE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接AB，∴DE∥AB，∴∠A＝∠GDE，∵AD⊥CD，BE⊥CE，∴∠GDF+∠FDC＝90°，∵∠DCF+∠FDC＝90°，∴∠GDF＝∠DCF＝20°，∴∠A＝20°，∴DG＝≈≈1.8（cm），∴AG＝AD+DG＝10+1.8＝11.8（cm），∴AB＝2AG?cos20°≈2×11.8×0.94≈22.2（cm）．∴點(diǎn)A，B之間的距離22.2cm．18．（2021?荊門(mén)）某海域有一小島P，在以P為圓心，半徑r為10（3+）海里的圓形海域內(nèi)有暗礁．一海監(jiān)船自西向東航行，它在A處測(cè)得小島P位于北偏東60°的方向上，當(dāng)海監(jiān)船行駛20海里后到達(dá)B處，此時(shí)觀測(cè)小島P位于B處北偏東45°方向上．（1）求A，P之間的距離AP；（2）若海監(jiān)船由B處繼續(xù)向東航行是否有觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．如果有觸礁危險(xiǎn)，那么海監(jiān)船由B處開(kāi)始沿南偏東至多多少度的方向航行能安全通過(guò)這一海域？【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，由題意得，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝20海里，設(shè)PC＝