專題04 特殊的平行四邊形中的最值模型-瓜豆模型（原理）（原卷版）

專題04特殊的平行四邊形中的最值模型-瓜豆模型（原理）動點(diǎn)軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學(xué)生受解析幾何知識的局限和思維能力的束縛，該壓軸點(diǎn)往往成為學(xué)生在中考中的一個坎，致使該壓軸點(diǎn)成為學(xué)生在中考中失分的集中點(diǎn)。掌握該壓軸題型的基本圖形，構(gòu)建問題解決的一般思路，是中考專題復(fù)習(xí)的一個重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原理（動點(diǎn)軌跡為直線型）進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。【模型解讀】瓜豆原理：若兩動點(diǎn)到某定點(diǎn)的距離比是定值，夾角是定角，則兩動點(diǎn)的運(yùn)動路徑相同。動點(diǎn)軌跡基本類型為直線型和圓弧型，本專題受教學(xué)進(jìn)程影響，故只對瓜豆原理中的直線型軌跡作講解。主動點(diǎn)叫瓜，從動點(diǎn)叫豆，瓜在直線上運(yùn)動，豆也在直線_上運(yùn)動；瓜在圓周上運(yùn)動，豆的軌跡也是圓。古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”。模型：運(yùn)動軌跡為直線型1）如圖，P是直線BC上一動點(diǎn)，連接AP，取AP中點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動時，Q點(diǎn)軌跡是？解析：當(dāng)P點(diǎn)軌跡是直線時，Q點(diǎn)軌跡也是一條直線．理由：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運(yùn)動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點(diǎn)到BC的距離是定值，故Q點(diǎn)軌跡是一條直線．2）如圖，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ為定值，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動時，求Q點(diǎn)軌跡？解析：當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形。理由：當(dāng)確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點(diǎn)的位置，連線即可，比如Q點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，連接即得Q點(diǎn)軌跡線段?！咀钪翟怼縿狱c(diǎn)軌跡為一條直線時，利用“垂線段最短”求最值。1）當(dāng)動點(diǎn)軌跡確定時可直接運(yùn)用垂線段最短求最值；2）當(dāng)動點(diǎn)軌跡不易確定是直線時，可通過以下三種方法進(jìn)行確定：=1\*GB3①觀察動點(diǎn)運(yùn)動到特殊位置時，如中點(diǎn)，端點(diǎn)等位置時是否存在動點(diǎn)與定直線的端點(diǎn)連接后的角度不變，若存在該動點(diǎn)的軌跡為直線；=2\*GB3②當(dāng)某動點(diǎn)到某條直線的距離不變時，該動點(diǎn)的軌跡為直線；=3\*GB3③當(dāng)一個點(diǎn)的坐標(biāo)以某個字母的代數(shù)式表示時，若可化為一次函數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為直線；④若動點(diǎn)軌跡用上述方法都合適，則可以將所求線段轉(zhuǎn)化為其他已知軌跡的線段求值。例1．（2022·湖北·鄂州市三模）如圖，在邊長為的正方形中，是邊的中點(diǎn)，是邊上的一個動點(diǎn)不與重合，以線段為邊在正方形內(nèi)作等邊，是邊的中點(diǎn)，連接，則在點(diǎn)運(yùn)動過程中，的最小值是（

）A． B． C． D．例2．（2022·江蘇·八年級期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC上一動點(diǎn)，P為DF中點(diǎn)，連接PB，則PB的最小值是________．例3．（2023·綿陽市·八年級期中）如圖，菱形中，，，點(diǎn)在邊上，且，動點(diǎn)在邊上，連接，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)至線段，連接，則線段長的最小值為__．例4．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形中，點(diǎn)是上一動點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．則______，若正方形的邊長為2，則點(diǎn)在射線上運(yùn)動時，的最小值是______．例5．（2022·廣東·二模）如圖，正方形ABCD的邊長為10，E為BA延長線上一動點(diǎn)，連接DE，以DE為邊作等邊，連接AF，則AF的最小值為__________．例6．（2022·江蘇蘇州·八年級期末）如圖，菱形ABCD的邊長為，∠ABC＝60°，對角線AC、BD交于點(diǎn)O．點(diǎn)E為直線AD上的一個動點(diǎn)，連接CE，將線段EC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)∠BCD的角度后得到對應(yīng)的線段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF長度的最小值為_________．變式1．（2023·江蘇·一模）如圖，正方形ABCD的邊長為7，E為BC上一點(diǎn)，且BE＝，F(xiàn)為AB邊上的一個動點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為_____．變式2．（2023·安徽·八年級期中）如圖，四邊形是平行四邊形，，，，點(diǎn)是直線上的點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的點(diǎn)，連接，，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)．連接，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．變式3．（2022·山東泰安·統(tǒng)考二模）如圖，矩形的邊，E為上一點(diǎn)，且，F(xiàn)為邊上的一個動點(diǎn)，連接，若以為邊向右側(cè)作等腰直角三角形，連接，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．變式4．（2023春·全國·八年級期末）如圖，已知點(diǎn)，，，，為直線上一動點(diǎn)，則的對角線的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．變式5．（2022·河南洛陽·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動（含B、C兩點(diǎn)）．連接AE，以點(diǎn)A為中心，將線段AE逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AF，連接DF，則線段DF長度的最小值為______．變式6．（2023·江蘇無錫·一模）如圖，長方形中，，，為上一點(diǎn)，且，為邊上的一個動點(diǎn)，連接，將繞著點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，連接和，則的最小值為______．課后專項訓(xùn)練1．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖，矩形中，，，M為線段上一動點(diǎn)，于點(diǎn)P，于點(diǎn)Q，則的最小值是（

）A． B．3 C． D．2．（2023秋·河南平頂山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形是菱形，點(diǎn)和分別是邊和上的動點(diǎn)，線段的最大值是，最小值是，則這個菱形的邊長是___________．

3．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一動點(diǎn)，連接，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，連接，則的最小值是_________．4．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，以邊長為2的正方形的中心O為端點(diǎn)，引兩條相互垂直的射線，分別與正方形的邊交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB長度的最小值為_________．5．（2023春·山東青島·八年級?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，，，是邊上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A、C、D作射線的垂線，垂足分別是E、F、G，若，則m的最小值是__________．

6．（2023·吉林·長春二模）如圖，在中，，，為邊上一動點(diǎn)，以，為鄰邊作平行四邊形，則對角線的最小值為．7．（2022·陜西師大附中三模）如圖，正方形中，，點(diǎn)E為邊上一動點(diǎn)，將點(diǎn)A繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)F，則的最小值為__________．8．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為邊上的動點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，且，連接，則線段長度的最小值為______．9．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動（含B，C兩點(diǎn)），連接，以點(diǎn)A為中心，將線段逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接，則線段的最小值為_____．10．（2022·廣東·珠海三模）如圖正方形的邊長為3，E是上一點(diǎn)且，F(xiàn)是線段上的動點(diǎn)．連接，將線段繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，則的最小值是_____．11．（2022·重慶·九年級專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點(diǎn)，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個動點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為______．12．（2022·河南開封·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形中，，對角線上的有一動點(diǎn)E，以為邊作正方形，點(diǎn)H是上一點(diǎn)，．連接，則的最小值是________．12．（2022·福建福州模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是直線上的一個動點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)，連接，則最小值為______．14．（2022·福建·福州三牧中學(xué)八年級期中）如圖，等邊三角形ABC中，AB=4，高線AH=2，D是線段AH上一動點(diǎn)，以BD為邊向下作等邊三角形BDE，當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)H的過程中，點(diǎn)E所經(jīng)過的路徑為線段CM，則線段CM的長為_______，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到點(diǎn)H，此時線段BE的長為__________．15．（2022·江蘇南通·中考真題）如圖，矩形中，，點(diǎn)E在折線上運(yùn)動，將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角等于，連接．(1)當(dāng)點(diǎn)E在上時，作，垂足為M，求證；(2)當(dāng)時，求的長；(3)連接，點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)D的過程中，試探究的最小值．補(bǔ)充：單線段最值并非都用瓜豆原理，有時也可轉(zhuǎn)化為三邊關(guān)系去處理，如16-18題。16．（2023·湖北武漢·九年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD中，CD＝BC＝4，AB＝1，E為BC中點(diǎn)，∠AED＝120°，則AD的最大值是_____．17．（2022·江蘇·連云港三模）如圖，正方形ABCD中，AB