專題04 相似三角形重要模型之一線三等角模型（原卷版）

專題04相似三角形重要模型之一線三等角模型相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識點結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的常考題型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了．本專題就一線三等角模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.一線三等角模型（相似模型）【模型解讀與圖示】“一線三等角”型的圖形，因為一條直線上有三個相等的角，一般就會有兩個三角形的“一對角相等”，再利用平角為180°，三角形的內(nèi)角和為180°，就可以得到兩個三角形的另外一對角也相等，從而得到兩個三角形相似．1）一線三等角模型（同側(cè)型）（銳角型）（直角型）（鈍角型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ACE∽△BED.2）一線三等角模型（異側(cè)型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ADE∽△BEC.3）一線三等角模型（變異型）圖1圖2圖3①特殊中點型：條件：如圖1，若C為AB的中點，結(jié)論：△ACE∽△BED∽△ECD.②一線三直角變異型1：條件：如圖2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一線三直角變異型2：條件：如圖3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·重慶渝北·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在等邊三角形中，點，分別是邊，上的點．將沿翻折，點正好落在線段上的點處，使得．若，則的長度為（

）A． B． C． D．例2．（2023·黑龍江綏化·校聯(lián)考三模）如圖，已知正方形，為的中點，是邊上的一個動點，連接將沿折疊得，延長交于點，現(xiàn)在有如下五個結(jié)論：①一定是直角三角形；②；③當與重合時，有；④平分正方形的面積；⑤，則正確的有（

）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個例3．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）[問題背景]（1）如圖1，是等腰直角三角形，，直線過點，，，垂足分別為，．求證：；[嘗試應(yīng)用]（2）如圖2，，，，，三點共線，，，，．求的長；[拓展創(chuàng)新]（3）如圖3，在中，，點，分別在，上，，，若，直接寫出的值為．例4．（2022?廣東中考模擬）（1）模型探究：如圖1，、、分別為三邊、、上的點，且，與相似嗎？請說明理由.（2）模型應(yīng)用：為等邊三角形，其邊長為，為邊上一點，為射線上一點，將沿翻折，使點落在射線上的點處，且.①如圖2，當點在線段上時，求的值；②如圖3，當點落在線段的延長線上時，求與的周長之比.例5．（2022·山西晉中·一模）閱讀材料：我們知道：一條直線經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點，過另外兩個頂點分別向該直線作垂線，即可得三垂直模型”如圖①，在中，，，分別過、向經(jīng)過點直線作垂線，垂足分別為、，我們很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論：．（1）探究問題：如果，其他條件不變，如圖②，可得到結(jié)論；．請你說明理由．（2）學(xué)以致用：如圖③，在平面直角坐標系中，直線與直線交于點，且兩直線夾角為，且，請你求出直線的解析式．（3）拓展應(yīng)用：如圖④，在矩形中，，，點為邊上—個動點，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點落在點處，當點在矩形外部時，連接，．若為直角三角形時，請你探究并直接寫出的長．

例6．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）在中，，，點在所在的直線上運動，作（、、按逆時針方向）．（1）如圖，若點在線段上運動，交于．①求證：；②當是等腰三角形時，求的長；（2）如圖，若點在的延長線上運動，的反向延長線與的延長線相交于點，是否存在點，使是等腰三角形？若存在，求出線段的長度；若不存在，請簡要說明理由；（3）若點在的反向延長線上運動，是否存在點，使是等腰三角形？若存在，寫出所有點的位置；若不存在，請簡要說明理由．例7．（2023秋·上海靜安·九年級上海市市北初級中學(xué)?？计谀┤鐖D，矩形中，，點是邊上的一個動點，聯(lián)結(jié)，過點作，垂足為點.

(1)設(shè)，的余切值為，求關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)若存在點，使得、與四邊形的面積比是，試求矩形的面積；(3)對（2）中求出的矩形，聯(lián)結(jié)，當?shù)拈L為多少時，是等腰三角形？課后專項訓(xùn)練1．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級校考階段練習(xí)）如圖，點E、F分別在矩形的邊上，且，若，則的長為（

）

A．12 B．13 C．14 D．152．（2023·河北滄州·?？级＃┤鐖D，在中，，，點D是線段上的一點，連接，過點B作，分別交、于點E、F，與過點A且垂直于的直線相交于點G，連接，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．B．若點D是AB的中點，則C．當B、C、F、D四點在同一個圓上時，D．若，則3．（2023秋·山東聊城·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在正方形中，是的中點，是上一點，，則下列結(jié)論中正確的結(jié)論有（

）①；②；③；④圖中有3對相似三角形．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2023春·安徽六安·八年級統(tǒng)考期中）在一次數(shù)學(xué)活動課上，小穎發(fā)現(xiàn)：將三角板的直角頂點放在長方形紙片的邊上移動，恰好存在兩直角邊分別經(jīng)過點，情形（如圖）．如果，，則的長應(yīng)為（

）

A．1或9 B．2或8 C．3或7 D．4或65．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，，點E，F(xiàn)分別在邊，上，與相交于點G，若，則的長為．6．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）如圖．是等邊三角形，點D，E分別為邊，上的點，，若，，則的長為．

7．（2023·江蘇鹽城·校聯(lián)考二模）如圖，在矩形中，，點E、F分別是邊上的動點，且，當為時，最大．8．（2023春·廣東深圳·八年級?？计谥校┤鐖D，在等邊中，，，E，F(xiàn)分別為邊，上的點，將沿所在直線翻折，點A落在邊上的G點，得到三角形，則的面積為．

9．（2023·山西·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，，，，則CD的長為______．10．（2023·安徽·九年級階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，點E、F分別在線段AD、DC上（點E與點A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為________11．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，，點是線段上的一點，且．已知．(1)證明：．(2)求線段的長．

12．（2023秋·安徽阜陽·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，點、分別是、邊上的點，且．(1)求證：；(2)若，，當時，求的長．

13．（2023秋·上海·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，梯形中，，點是邊上一點，點在邊上，射線交的延長線于點，且．(1)求證：；(2)若，求的長．

14．（2023秋·吉林長春·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，是矩形的邊上的一點，于點，，，．(1)求證：∽．(2)計算點到直線的距離為______．

15．（2023春·上海普陀·八年級統(tǒng)考期末）在梯形中，，，，，點E是射線上一點（不與點A、B重合），聯(lián)結(jié)，過點E作交射線于點F，聯(lián)結(jié)．設(shè)．(1)求的長；(2)如圖，當點E在線段上時，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；(3)如果是以為腰的等腰三角形，求的長．

16．（2023秋·四川達州·九年級校考階段練習(xí)）問題提出：如圖（1），是菱形邊上一點，是等腰三角形，，交于點，探究與的數(shù)量關(guān)系．

問題探究：(1)先將問題特殊化，如圖（2），當時，直接寫出的大?。?2)再探究一般情形，如圖（1），求與的數(shù)量關(guān)系．問題拓展：(3)將圖（1）特殊化，如圖（3），當時，若，求的值．17．（2023·四川成都·?？既＃┰诰匦沃?，，．點為邊上一動點，連接，在右側(cè)作，，．

(1)如圖1，若點恰好落在邊上，求的長；(2)如圖2，延長交邊于點，當時，求的值；(3)連接，當為等腰三角形時，求的長．18．（2022·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）【試題再現(xiàn)】如圖1，中，，，直線過點，過點、分別作于點，于點，則（不用證明）．(1)【類比探究】如圖2，在中