專(zhuān)題03 勾股定理的實(shí)際應(yīng)用模型（原卷版）

專(zhuān)題03勾股定理的實(shí)際應(yīng)用模型勾股定理將圖形與數(shù)量關(guān)系有機(jī)結(jié)合起來(lái)，在解決實(shí)際問(wèn)題和幾何應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用。運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：（1）從實(shí)際問(wèn)題中抽象出幾何圖形（建模）；（2）確定要求的線(xiàn)段所在的直角三角形；（3）確定三邊，找準(zhǔn)直角邊和斜邊：①若已知兩邊,則根據(jù)勾股定理直接計(jì)算第3邊；②若已知一邊,則根據(jù)勾股定理列方程間接求解。（挖掘兩個(gè)未知邊之間的數(shù)量關(guān)系，設(shè)出一邊為未知數(shù)，把另一邊用含有未知數(shù)的式子表示出來(lái)）。模型1、梯子滑動(dòng)模型相關(guān)模型背景：梯子滑動(dòng)、繩子移動(dòng)等。解題關(guān)鍵：梯子的長(zhǎng)度為不變量、墻與地面垂直。梯子滑動(dòng)模型解題步驟：1）運(yùn)用勾股定理求出梯子滑動(dòng)之前在墻上或者地面上的距離；2）運(yùn)用勾股定理求出梯子滑動(dòng)之后在墻上或者地面上的距離；3）兩者相減即可求出梯子在墻上或者地面上滑動(dòng)的距離。例1．（2023春·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）一架云梯長(zhǎng)25米，如圖那樣斜靠在一面墻上，云梯底端B放在距離墻根C點(diǎn)7米處，另一頭A靠墻．(1)這架云梯的頂端A距地面有多高？(2)如果云梯的頂端下滑了4米，那么它的底部在水平方向滑動(dòng)了多少米？

例2．（2023春·四川廣元·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的高度相等的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端O到左墻角的距離為0.7米，頂端距離墻頂?shù)木嚯x為0.6米．如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，梯子底端到右墻角的距離為1.5米，頂端距離墻頂?shù)木嚯x為1米，則墻的高度為多少米？

例3．（2023秋·河南鄭州·八年級(jí)?？计谀﹫D中的兩個(gè)滑塊A，B由一個(gè)連桿連接，分別可以在垂直和水平的滑道上滑動(dòng)．開(kāi)始時(shí)，滑塊A距O點(diǎn)20厘米，滑塊B距O點(diǎn)15厘米．問(wèn)：當(dāng)滑塊A向下滑13厘米時(shí)，滑塊B滑動(dòng)了厘米．

例4．（2023·河南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一游船在水面上，河岸離水面的高度為5m工作人員站在岸邊用繩子拉船靠岸，開(kāi)始時(shí)繩子的長(zhǎng)BC為13m，工作人員以0.5m/s的速度拉繩子，10s后船移動(dòng)到D點(diǎn)的位置（B，D，A三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上），請(qǐng)你計(jì)算船向岸邊移動(dòng)的距離．（假設(shè)繩子是直的，結(jié)果保留根號(hào)）模型2、輪船航行模型相關(guān)模型背景：輪船航行等。解題關(guān)鍵：輪船航行的模型要注意兩船終點(diǎn)之間的距離通常為直角三角形的斜邊長(zhǎng)。航行模型解題步驟：1）根據(jù)航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；2）根據(jù)航行速度和時(shí)間表示出直角三角形兩直角邊長(zhǎng)；3）根據(jù)勾股定理列方程求解航行角度、速度或距離。例1．（2023春·廣東中山·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，供給船要給C島運(yùn)送物資，從海岸線(xiàn)AB的港口A出發(fā)向北偏東40°方向直線(xiàn)航行60nmile到達(dá)C島．測(cè)得海岸線(xiàn)上的港口B在C島南偏東50°方向．若A，B兩港口之間的距離為65nmile，則C島到港口B的距離是nmile．例2．（2023春·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，甲乙兩船從港口A同時(shí)出發(fā)，甲船以16海里/時(shí)的速度向北偏東40°航行，乙船向南偏東50°航行，小時(shí)后，甲船到達(dá)C島，乙船到達(dá)B島，若CB兩島相距17海里，問(wèn)乙船的航速是多少？例3．（2023·內(nèi)蒙古包頭·八年級(jí)期末）如圖，一艘輪船從A港向南偏西50°方向航行100km到達(dá)B島，再?gòu)腂島沿BM方向航行125km到達(dá)C島，A港到航線(xiàn)BM的最短距離是60km（即）．(1)若輪船速度為25km/h，求輪船從C島沿CA返回A港所需的時(shí)間；(2)請(qǐng)你判斷C島在A港的什么方向，并說(shuō)明理由．模型3、信號(hào)站（中轉(zhuǎn)站）選擇模型相關(guān)模型背景：信號(hào)塔、中轉(zhuǎn)站等。解題關(guān)鍵：信號(hào)塔和中轉(zhuǎn)站模型要注意兩個(gè)目的地到信號(hào)塔或中轉(zhuǎn)站的距離是相等的。信號(hào)塔、中轉(zhuǎn)站模型解題步驟：1）根據(jù)問(wèn)題設(shè)出未知量（一般求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)），并根據(jù)設(shè)出的未知量表示出兩個(gè)直角三角形的直角邊長(zhǎng)；2）在兩個(gè)直角三角形中分別用勾股定理表示出斜邊長(zhǎng)；3）根據(jù)斜邊長(zhǎng)相等建立方程求解。例1．（2023春·湖北·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，鐵路上A，B兩點(diǎn)相距25km，C，D為兩村莊，DA⊥AB于點(diǎn)A，CB⊥AB于點(diǎn)B，已知DA=16km，CB=11km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A站多少km處？例2．（2023·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，，點(diǎn)C在OA邊上，OA=36cm，OB=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著AO方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，以相同的速度沿BC方向勻速運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)恰好在C點(diǎn)相遇，求BC的長(zhǎng)度？例3．（2023春·廣東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖鐵路上A，B兩點(diǎn)相距40千米，C，D為兩村莊，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分別為A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．現(xiàn)在要在鐵路旁修建一個(gè)煤棧E，使得C，D兩村到煤棧的距離相等，那么煤棧E應(yīng)距A點(diǎn)（）A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．無(wú)法確定模型4、臺(tái)風(fēng)（噪音）、爆破模型相關(guān)模型背景：有爆破、臺(tái)風(fēng)（噪音）等。解題關(guān)鍵：通常會(huì)用到垂線(xiàn)段最短的原理。臺(tái)風(fēng)、爆破模型解題步驟：1）根據(jù)勾股定理計(jì)算爆破點(diǎn)或臺(tái)風(fēng)中心到目的地的最短距離；2）將計(jì)算出的最短距離跟爆破或臺(tái)風(fēng)的影響范圍的半徑作比較；3）若最短距離大于影響半徑則不受影響，若最短距離小于半徑則受影響。例1．（2023春·安徽池州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在甲村至乙村的公路旁有一塊山地正在開(kāi)發(fā)，現(xiàn)有一處需要爆破，已知點(diǎn)與公路上的?？空镜木嚯x為300米，與公路上另一?？空镜木嚯x為400米，且，如圖，為了安全起見(jiàn)，爆破點(diǎn)周?chē)?50米范圍內(nèi)不得進(jìn)入，問(wèn)在進(jìn)行爆破時(shí)，公路段是否有危險(xiǎn)？是否需要暫時(shí)封鎖？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算進(jìn)行說(shuō)明．

例2．（2023春·湖南岳陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，四邊形為某街心公園的平面圖，經(jīng)測(cè)量米，米，且．（1）求的度數(shù)；（2）若為公園的車(chē)輛進(jìn)出口道路（道路的寬度忽略不計(jì)），工作人員想要在點(diǎn)處安裝一個(gè)監(jiān)控裝置來(lái)監(jiān)控道路的車(chē)輛通行情況，已知攝像頭能監(jiān)控的最大范圍為周?chē)?00米（包含100米），求被監(jiān)控到的道路長(zhǎng)度為多少？

例3．（2023秋·河南周口·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，公路和公路在點(diǎn)P處交匯，且，點(diǎn)Q處有一座火箭發(fā)射塔，，假設(shè)龍卷風(fēng)來(lái)臨時(shí)，周?chē)?50km內(nèi)都會(huì)受到大風(fēng)影響．(1)若龍卷風(fēng)恰好沿公路由B向A處行進(jìn)，火箭發(fā)射塔是否會(huì)受到影響？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)已知龍卷風(fēng)的速度為300km/h，若受影響，那么火箭發(fā)射塔受影響的時(shí)間為多少分鐘？

例4．（2023·廣東梅州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，A城氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在A城正西方向240km的O處，以每小時(shí)40km的速度向南偏東60°的OB方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心130km的范圍內(nèi)是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域．（1）A城是否受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？為什么？（2）若A城受到臺(tái)風(fēng)的影響，求出受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間有多長(zhǎng)？模型5、超速模型相關(guān)模型背景：有汽車(chē)超速、信號(hào)干擾、測(cè)河寬等。解題關(guān)鍵：要將速度統(tǒng)一單位后再進(jìn)行比較。超速模型解題步驟：1）根據(jù)勾股定理計(jì)算行駛的距離；2）根據(jù)行駛距離和時(shí)間求出實(shí)際行駛速度；3）比較實(shí)際行駛速度和規(guī)定速度。例1．（2023·河北·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在某段限速公路BC上(公路視為直線(xiàn))，交通管理部門(mén)規(guī)定汽車(chē)的最高行駛速度不能超過(guò)60km/h（即），并在離該公路100m處設(shè)置了一個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)A．在如圖的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A位于y軸上，測(cè)速路段BC在x軸上，點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏西60°方向上，點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東45°方向上．另外一條公路在y軸上，AO為其中的一段．(1)求點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)一輛汽車(chē)從點(diǎn)B勻速行駛到點(diǎn)C所用的時(shí)間是15s，通過(guò)計(jì)算，判斷該汽車(chē)在這段限速路上是否超速．(參考數(shù)據(jù)：≈1.7)例2．（2023秋·重慶·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）小王與小林進(jìn)行遙控賽車(chē)游戲，終點(diǎn)為點(diǎn)A，小王的賽車(chē)從點(diǎn)C出發(fā)，以4米/秒的速度由西向東行駛，同時(shí)小林的賽車(chē)從點(diǎn)B出發(fā)，以3米/秒的速度由南向北行駛（如圖）．已知賽車(chē)之間的距離小于或等于25米時(shí)，遙控信號(hào)會(huì)產(chǎn)生相互干擾，AC＝40米，AB＝30米．出發(fā)3秒鐘時(shí)，遙控信號(hào)是否會(huì)產(chǎn)生相互干擾？例3．（2023秋·湖南邵陽(yáng)·八年級(jí)武岡市第二中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)A偏離欲到達(dá)地點(diǎn)B相距50米，結(jié)果他在水中實(shí)際游的路程比河的寬度多10米，求該河的寬度BC為多少米？模型6、風(fēng)吹蓮動(dòng)模型相關(guān)模型背景：蓮花、蘆葦、吸管、筷子、秋千等。解題關(guān)鍵：“蓮花”高度為不變量。風(fēng)吹蓮動(dòng)模型解題步驟：1）根據(jù)問(wèn)題設(shè)出“水深”或者“蓮花”的高度；2）根據(jù)題目條件表示出題目中涉及的直角三角形的另外兩條邊長(zhǎng)；3）根據(jù)勾股定理列方程求解。例1．（2023·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┪覈?guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有方池一丈，葭（ji?。┥渲醒?，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問(wèn)水深幾何？”（注：丈、尺是長(zhǎng)度單位，1丈尺）意思為：如圖，有一個(gè)邊長(zhǎng)為1丈的正方形水池，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好碰到池邊的水面．則水池里水的深度是（）A．5尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺例2．（2023春·湖南株洲·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止在的位置時(shí)，踏板離地的垂直高度為，將秋千往前推送，到達(dá)的位置，此時(shí)，秋千的踏板離地的垂直高度為，秋千的繩索始終保持拉直的狀態(tài)．(1)根據(jù)題意，_________，_________，_________；(2)根據(jù)（1）中求得的數(shù)據(jù)，求秋千的長(zhǎng)度．(3)如果想要踏板離地的垂直高度為時(shí)，需要將秋千往前推送_________．

例3．（2023·廣東潮州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，一根長(zhǎng)為18cm的牙刷置于底面直徑為5cm、高為12cm的圓柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的長(zhǎng)度hcm，則h的取值范圍為．

模型7、折竹抵地模型相關(guān)模型背景：竹子、旗桿（風(fēng)箏）拉繩等。解題關(guān)鍵：“竹子”高度為不變量。折竹抵地模型解題步驟：1）根據(jù)問(wèn)題設(shè)出“竹子”折斷之前或者折斷之后距離地面的高度；2）根據(jù)題目條件表示出題目中涉及的直角三角形的另外兩條邊長(zhǎng)；3）根據(jù)勾股定理列方程求解。例1．（2023春·山西大同·八年級(jí)?？计谥校毒耪滤阈g(shù)》中記載“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．問(wèn)：折者高幾何？”譯文：一根竹子，原高一丈，蟲(chóng)傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好著地，著地處離原竹子根部4尺遠(yuǎn)．問(wèn)：竹子折斷處離地面還有幾尺？（1丈=10尺）設(shè)竹子折斷處離地面還有x尺，則可列方程為．

例2．（2023春·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，在一次暴風(fēng)雨后，一棵大樹(shù)從離地面處被折斷，經(jīng)測(cè)量樹(shù)的頂端與地面的接觸點(diǎn)A離樹(shù)根部C的距離，若在該樹(shù)正上方離地面處有高壓電線(xiàn)，請(qǐng)判斷該樹(shù)在折斷前是否接觸到電線(xiàn)？并說(shuō)明你的理由．

例3．（2023春·吉林松原·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）八（3）班松松同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了計(jì)算如圖所示的風(fēng)箏高度，測(cè)得如下數(shù)據(jù)：①測(cè)得的長(zhǎng)度為（）；②根據(jù)手中剩余線(xiàn)的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線(xiàn)的長(zhǎng)為；③松松身高為．則風(fēng)箏離地面高度為米．

例3．（2022春·湖北荊州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿5m處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子末端距離地面1m，則旗桿的高度為m．（滑輪上方的部分忽略不計(jì)）模型8、不規(guī)則圖形面積模型相關(guān)模型背景：有草坪面積、土地面積、網(wǎng)格等。解題關(guān)鍵：一般所求圖形面積為不規(guī)則的四邊形，要注意轉(zhuǎn)換為兩個(gè)直角三角形的面積進(jìn)行求解。面積模型解題步驟：1）連接兩點(diǎn)作輔助線(xiàn)，將四邊形分為兩個(gè)直角三角形；2）根據(jù)已知條件運(yùn)用勾股定理求出所連線(xiàn)段長(zhǎng)度；3）運(yùn)用勾股定理逆定理判定另一個(gè)三角形為直角三角形；4）分別求出兩個(gè)直角三角形的面積相加或相減即為所求四邊形面積。例1．（2022·山東濱州·八年級(jí)期末）如圖，∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，AD＝13，則四邊形ABCD的面積為_(kāi)____．例2．（2022·遼寧鞍山·八年級(jí)期中）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．求出四邊形ABCD的周長(zhǎng)和面積．例3．（2023·遼寧·沈陽(yáng)八年級(jí)階段練習(xí)）在中，、、三邊的長(zhǎng)分別為、、，求這個(gè)三角形的面積．小輝同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1），再在網(wǎng)格中畫(huà)出格點(diǎn)（即三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖①所示．這樣不需求的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．（1）請(qǐng)你將的面積直接填寫(xiě)在橫線(xiàn)上．__________________（2）我們把上述求面積的方法叫做構(gòu)圖法．若三邊的長(zhǎng)分別為、、（），請(qǐng)利用圖②的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為）畫(huà)出相應(yīng)的，并求出它的面積．（3）若△ABC三邊的長(zhǎng)分別為、、(m＞0，n＞0，且m≠n)，請(qǐng)利用圖③的長(zhǎng)方形網(wǎng)格試運(yùn)用構(gòu)圖法求出這三角形的面積．課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練41．（2023·西安市八年級(jí)月考）如圖，八年級(jí)一班的同學(xué)準(zhǔn)備測(cè)量校園人工湖的深度，他們把一根竹竿豎直插到水底，此時(shí)竹竿離岸邊點(diǎn)C處的距離米．竹竿高出水面的部分長(zhǎng)0.2米，如果把竹竿的頂端A拉向岸邊點(diǎn)C處，竿頂和岸邊的水面剛好相齊，則人工湖的深度為（）A．1.5米 B．1.7米 C．1.8米 D．0.6米2．（2020·廣西中考真題）《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，書(shū)中記載：今有開(kāi)門(mén)去閫(讀，門(mén)檻的意思)一尺，不合二寸，問(wèn)門(mén)廣幾何？題目大意是：如圖1、2(圖2為圖1的平面示意圖)，推開(kāi)雙門(mén)，雙門(mén)間隙的距離為寸，點(diǎn)和點(diǎn)距離門(mén)檻都為尺(尺寸)，則的長(zhǎng)是（）A．寸 B．寸 C．寸 D．寸3．（2023春·河南開(kāi)封·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子末端距離地面2m，則旗桿的高度為（滑輪上方的部分忽略不計(jì)）（

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A． B． C． D．4．（2023春·云南昆明·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，一根垂直于地面的旗桿在離地面的B處撕裂折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部的A處，則旗桿折斷部分的高度是（）

A． B． C． D．5．（2023春·河南周口·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，湖的兩岸有兩點(diǎn)，在與成直角的方向上的點(diǎn)處測(cè)得米，米，則兩點(diǎn)間的距離為（

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A．40米 B．30米 C．50米 D．米6．（2023春·遼寧撫順·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在高為，坡面長(zhǎng)為的樓梯表面鋪地毯，地毯的長(zhǎng)度至少需要（

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A． B． C． D．7．（2023·河南信陽(yáng)·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了關(guān)于筆記本電腦的張角大小的實(shí)踐探究活動(dòng)．如圖，當(dāng)張角為時(shí)，頂部邊緣B處離桌面的高度為7cm，此時(shí)底部邊緣A處與C處間的距離為24cm，小組成員調(diào)整張角的大小繼續(xù)探究，最后發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角為時(shí)（點(diǎn)D是點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），頂部邊緣D處到桌面的距離為15cm，則底部邊緣A處與E之間的距離為（

）

A．20cm B．18cm C．12cm D．10cm8．（2022秋·陜西西安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，露在水面的魚(yú)線(xiàn)長(zhǎng)為3m，釣魚(yú)者把魚(yú)竿提起到的位置，此時(shí)露在水面上的魚(yú)線(xiàn)長(zhǎng)為4m，若的長(zhǎng)為1m，則釣魚(yú)竿的長(zhǎng)為m．9．（2023·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明與小亮約好去圖書(shū)館（D），一小明行走的路線(xiàn)是A→C→D，小亮行走的路線(xiàn)是B→C→D，已知，，，，已知小明騎自行車(chē)速度為akm/分鐘，小亮走路，速度為0.1km分鐘。小亮出發(fā)20分鐘后小明再出發(fā)，若小明在路上遇到小亮，則帶上小亮一起去圖書(shū)館，為了使小亮能坐上小明的順風(fēng)車(chē)，則a的取值范圍是。10．（2023秋·湖北八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，其中記載了一道“折竹”問(wèn)題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問(wèn)折者高幾何？”題意：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問(wèn)折斷處離地面多高？設(shè)折斷處離地面x尺，則根據(jù)題意列方程為：．11．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)A處偏離欲到達(dá)地點(diǎn)B處40m，結(jié)果他在水中實(shí)際游的路程比河的寬度多10m．該河的寬度BC為米．12．（2023秋·河南鄭州·八年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫(xiě)了一首計(jì)算秋千繩索長(zhǎng)度的詞《西江月》：“平地秋千未起，隨板一尺離地，送行二步恰竿齊，五尺板高離地…”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千靜止的時(shí)候，踏板離地高一尺，將它往前推進(jìn)兩步（兩步=10尺），此時(shí)踏板升高離地五尺，求秋千繩索的長(zhǎng)度．

13．（2023春·河北邢臺(tái)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)小組要測(cè)量旗桿的高度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到地面并多出一段（如圖1所示），聰明的小迪發(fā)現(xiàn)：先測(cè)出繩子多出的部分（該處繩子是直的）的長(zhǎng)度，再將繩子拉直（如圖2所示），測(cè)出繩子末端D到旗桿底部B的距離的長(zhǎng)度，利用所學(xué)知識(shí)就能求出旗桿的長(zhǎng)．已知米，米．(1)求旗桿的長(zhǎng)；(2)小迪在D處，用手拉住繩子的末端，伸直手臂（拉繩處E與腳底F的連線(xiàn)與地面垂直），后退至將繩子剛好拉直為止（如圖3所示），測(cè)得小迪手臂伸直后的高度為2米，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)G，，，求小迪后退了幾米？

14．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，某渡船從點(diǎn)B處沿著與河岸垂直的路線(xiàn)橫渡，由于受水流的影響，實(shí)際沿著航行，上岸地點(diǎn)C與欲到達(dá)地點(diǎn)A相距70米，結(jié)果發(fā)現(xiàn)比河寬多10米．(1)求該河的寬度；（兩岸可近似看作平行）(2)設(shè)實(shí)際航行時(shí)，速度為每秒5米，從C回到A時(shí)，速度為每秒4米，求航行總時(shí)間．15．（2023春·河南駐馬店·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在波平如鏡的湖面上，有一朵盛開(kāi)的美麗的紅蓮，它高出水面30cm．突然一陣大風(fēng)吹過(guò)，紅蓮被吹至一邊，花朵下部剛好齊及水面，如果知道紅蓮移動(dòng)的水平距離為60cm，求水深是多少cm？16．（2023秋·廣東·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）某條道路限速，如圖，一輛小汽車(chē)在這條道路上沿直線(xiàn)行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車(chē)速檢測(cè)儀A處的正前方的C處，過(guò)了，小汽車(chē)到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得小汽車(chē)與車(chē)速檢測(cè)儀間的距離為．(1)求的長(zhǎng)；(2)這輛小汽車(chē)超速了嗎？

17．（2023·江蘇蘇州·八年級(jí)?？计谥校┬∮搴托〈ㄊ且粚?duì)好朋友，如圖，小渝家住A，小川家住B．兩家相距10公里，小渝家A在一條筆直的公路AC邊上，小川家到這條公路的距離BC為6公里，兩人相約在公路D處見(jiàn)面，且兩家到見(jiàn)面地點(diǎn)D的距離相等，求小渝家A到見(jiàn)面地點(diǎn)D的距離．18．（2022秋·四川達(dá)州·八年級(jí)校考期中）如圖，某電信公司計(jì)劃在，兩鄉(xiāng)鎮(zhèn)間的處修建一座信號(hào)塔，且使，兩個(gè)村莊到的距離相等．已知于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，求信號(hào)塔應(yīng)該建在離鄉(xiāng)鎮(zhèn)多少千米的地方？19．（2022秋·四川遂寧·八年級(jí)校聯(lián)考期末）在一次消防演習(xí)中，消防員架起一架20米長(zhǎng)的云梯，如圖斜靠在一面墻上，梯子底端離墻12米．(1)求這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？(2)如果消防員接到命令，要求梯子的頂端下降4米（云梯長(zhǎng)度不變），那么云梯的底部在水平方向應(yīng)滑動(dòng)多少米？20．（2023秋·廣東·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，書(shū)中記載：今有開(kāi)門(mén)去閫（門(mén)檻）一尺，不合四寸，問(wèn)門(mén)廣幾何？其大意：如圖，推開(kāi)雙門(mén)（大小相同），雙門(mén)間隙寸，點(diǎn)C、點(diǎn)D與門(mén)檻的距離尺（1尺=10寸），O是的中點(diǎn)，連接．(1)求的長(zhǎng)，(2)求門(mén)檻的長(zhǎng)．21．（2023·湖北八年級(jí)期末）如圖，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)其中由于某種原因，由到的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上），并新修一條路測(cè)得千米，千米，千米．（1）問(wèn)是否為從村莊到河邊的最近路．請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明；（2）求新路比原路少多少千米．22．（2023秋·河北石家莊·八年級(jí)?？计谀┤鐖D所示，在離水面高度為的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開(kāi)始時(shí)繩子的長(zhǎng)為，此人以的速度收繩，后船移動(dòng)到點(diǎn)的位置，求船向岸邊移動(dòng)的距離（假設(shè)繩子是直的，結(jié)果保留根號(hào)）23．（2023春·湖南常德·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，甲乙兩船從港口A同時(shí)出發(fā)，甲船以16海里/時(shí)的速度向南偏東航行，乙船向北偏東航