專題10 特殊的平行四邊形中的最值模型之胡不歸模型（原卷版）

專題10特殊的平行四邊形中的最值模型之胡不歸模型胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握。本專題就最值模型中的胡不歸問題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。在解決胡不歸問題主要依據(jù)是：點(diǎn)到線的距離垂線段最短?！灸Ｐ捅尘啊繌那坝袀€(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”看到這里很多人都會(huì)有一個(gè)疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.補(bǔ)充知識(shí)：在直角三角形中銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即。若無法理解正弦，也可考慮特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三邊關(guān)系?！灸Ｐ徒庾x】一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最?。ㄗ⒁馀c阿氏圓模型的區(qū)分）1），記，即求BC+kAC的最小值.2）構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.3）過B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．【解題關(guān)鍵】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．（若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）?！咀钪翟怼?jī)牲c(diǎn)之間線段最短及垂線段最短。例1．（2021·眉山市·中考真題）如圖，在菱形中，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．例2．（2023·湖北武漢·九年級(jí)期末）如圖，?中，，，為邊上一點(diǎn)，則的最小值為______．例3．（2023上·廣東佛山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)在上，連接，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，的最小值為．

例4．（2022·廣東佛山·校考一模）在邊長(zhǎng)為1的正方形中，是邊的中點(diǎn)，是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為___________．例5．（2022·浙江寧波·九年級(jí)開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，若C為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，則2BC+AC的最小值為__________．例6．（2023·山東濟(jì)寧·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱圖形為．（1）求證：四邊形是菱形；（2）連接，若，．①求的值；②若點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再以的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，到達(dá)點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)所需要的時(shí)間最短時(shí)，求的長(zhǎng)和點(diǎn)走完全程所需的時(shí)間．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023上·四川樂山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，若D是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．123．（2023·廣東東莞·?？既＃┤鐖D，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠B＝120°．點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)A重合），則AP+PD的最小值為_____．3．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中AB＝3，BC，E為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE，則AE＋CE的最小值為___．4．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，?ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則2PB+PD的最小值等于______.5．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形中，，E為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，那么的最小值等于______．6．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考一模）如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)M是對(duì)角線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，且∠ABC=120°，則MA+MB+MD的最小值是________．7．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，按下列步驟作圖：①在和上分別截取、，使．②分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)M．③作射線交于點(diǎn)F．若點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值是．8．（2023上·江蘇淮安·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知等邊中，，，若點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值為．9．（2023上·廣東深圳·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，，.，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為．10．（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線y＝x﹣3分別交x軸、y軸于B、A兩點(diǎn)，點(diǎn)C（0，1）在y軸上，點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，則PC＋PB的最小值為___．11．（2023·四川眉山·統(tǒng)考一模）兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD．如圖所示若，P是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．12．（2023·湖北孝感·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形是正方形紙片，．對(duì)折正方形紙片，使與重合，折痕為；展平后再過點(diǎn)折疊正方形紙片，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，折痕為；再次展平，延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q．有如下結(jié)論：①；②；③；④；⑤為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．其中正確結(jié)論的序號(hào)是．

13．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）（1）【問題原型】如圖①，在，，，求點(diǎn)到的距離．（2）【問題延伸】如圖②，在，，．若點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在線段上，連結(jié)，過點(diǎn)作于，則的最小值為______．（3）【問題拓展】如圖（3），在矩形中，．點(diǎn)在邊