專題10 特殊的平行四邊形中的最值模型之胡不歸模型（原卷版）

專題10特殊的平行四邊形中的最值模型之胡不歸模型胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學思想，近年在中考數(shù)學和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學生不易把握。本專題就最值模型中的胡不歸問題進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。在解決胡不歸問題主要依據(jù)是：點到線的距離垂線段最短。【模型背景】從前有個少年外出求學，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”看到這里很多人都會有一個疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.補充知識：在直角三角形中銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即。若無法理解正弦，也可考慮特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三邊關(guān)系。【模型解讀】一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點，點C在直線MN上，確定點C的位置使的值最?。ㄗ⒁馀c阿氏圓模型的區(qū)分）1），記，即求BC+kAC的最小值.2）構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.3）過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。窘忸}關(guān)鍵】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．（若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）?！咀钪翟怼績牲c之間線段最短及垂線段最短。例1．（2021·眉山市·中考真題）如圖，在菱形中，，對角線、相交于點，點在線段上，且，點為線段上的一個動點，則的最小值是______．例2．（2023·湖北武漢·九年級期末）如圖，?中，，，為邊上一點，則的最小值為______．例3．（2023上·廣東佛山·八年級?？茧A段練習）如圖，在長方形中，，，點在上，連接，在點的運動過程中，的最小值為．

例4．（2022·廣東佛山·校考一模）在邊長為1的正方形中，是邊的中點，是對角線上的動點，則的最小值為___________．例5．（2022·浙江寧波·九年級開學考試）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點，若C為x軸上的一動點，則2BC+AC的最小值為__________．例6．（2023·山東濟寧·?？寄M預(yù)測）如圖，矩形的對角線，相交于點，關(guān)于的對稱圖形為．（1）求證：四邊形是菱形；（2）連接，若，．①求的值；②若點為線段上一動點（不與點重合），連接，一動點從點出發(fā)，以的速度沿線段勻速運動到點，再以的速度沿線段勻速運動到點，到達點后停止運動．當點沿上述路線運動到點所需要的時間最短時，求的長和點走完全程所需的時間．課后專項訓練1．（2023上·四川樂山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，若D是邊上的動點，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．123．（2023·廣東東莞·校考三模）如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠B＝120°．點P是對角線AC上一點（不與端點A重合），則AP+PD的最小值為_____．3．（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，矩形ABCD中AB＝3，BC，E為線段AB上一動點，連接CE，則AE＋CE的最小值為___．4．（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，?ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P為邊CD上的一動點，則2PB+PD的最小值等于______.5．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形中，，E為邊上的一動點，那么的最小值等于______．6．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考一模）如圖，已知菱形ABCD的邊長為8，點M是對角線AC上的一動點，且∠ABC=120°，則MA+MB+MD的最小值是________．7．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，按下列步驟作圖：①在和上分別截取、，使．②分別以點D和點E為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點M．③作射線交于點F．若點P是線段上的一個動點，連接，則的最小值是．8．（2023上·江蘇淮安·八年級校聯(lián)考期中）已知等邊中，，，若點P在線段上運動時，的最小值為．9．（2023上·廣東深圳·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，.，分別是邊，上的動點，且，則的最小值為．10．（2023·山東·九年級專題練習）如圖，直線y＝x﹣3分別交x軸、y軸于B、A兩點，點C（0，1）在y軸上，點P在x軸上運動，則PC＋PB的最小值為___．11．（2023·四川眉山·統(tǒng)考一模）兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD．如圖所示若，P是對角線BD上的一個動點，則的最小值是______．12．（2023·湖北孝感·?？寄M預(yù)測）如圖，四邊形是正方形紙片，．對折正方形紙片，使與重合，折痕為；展平后再過點折疊正方形紙片，使點落在上的點處，折痕為；再次展平，延長交于點Q．有如下結(jié)論：①；②；③；④；⑤為線段上一動點，則的最小值是．其中正確結(jié)論的序號是．

13．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）（1）【問題原型】如圖①，在，，，求點到的距離．（2）【問題延伸】如圖②，在，，．若點在邊上，點在線段上，連結(jié)，過點作于，則的最小值為______．（3）【問題拓展】如圖（3），在矩形中，．點在邊