專題05 勾股定理的實際應用模型（解析版）

專題05勾股定理的實際應用模型勾股定理將圖形與數(shù)量關系有機結合起來，在解決實際問題和幾何應用中有著廣泛的應用。運用勾股定理解決實際問題的一般步驟：（1）從實際問題中抽象出幾何圖形（建模）；（2）確定要求的線段所在的直角三角形；（3）確定三邊，找準直角邊和斜邊：①若已知兩邊,則根據(jù)勾股定理直接計算第3邊；②若已知一邊,則根據(jù)勾股定理列方程間接求解。（挖掘兩個未知邊之間的數(shù)量關系，設出一邊為未知數(shù)，把另一邊用含有未知數(shù)的式子表示出來）。模型1、梯子滑動模型相關模型背景：梯子滑動、繩子移動等。解題關鍵：梯子的長度為不變量、墻與地面垂直。梯子滑動模型解題步驟：1）運用勾股定理求出梯子滑動之前在墻上或者地面上的距離；2）運用勾股定理求出梯子滑動之后在墻上或者地面上的距離；3）兩者相減即可求出梯子在墻上或者地面上滑動的距離。例1．（2023秋·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D，一架長2.5m的梯子AB斜靠在墻AC上，∠C＝90°，此時，梯子的底端B離墻底C的距離BC為0.7m。（1）求此時梯子的頂端A距地面的高度AC；（2）如果梯子的頂端A下滑了0.9m，那么梯子的底端B在水平方向上向右滑動了多遠？【答案】（1）2.4米；（2）1.3m【分析】（1）直接利用勾股定理求出AC的長，進而得出答案；（2）直接利用勾股定理得出B′C，進而得出答案．【詳解】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝2.5，BC＝0.7，∴AC＝=（米），答：此時梯頂A距地面的高度AC是2.4米；（2）∵梯子的頂端A下滑了0.9米至點A′，∴A′C＝AC?A′A＝2.4?0.9＝1.5（m），在Rt△A′CB′中，由勾股定理得：A′C2＋B′C2＝A′B′2，∴1.52＋B′C2＝2.52，∴B′C＝2（m），∴BB′＝CB′?BC＝2?0.7＝1.3（m），答：梯子的底端B在水平方向滑動了1.3m．【點睛】此題主要考查了勾股定理的實際應用，熟練掌握勾股定理是解題關鍵．例2．（2023秋·四川成都·八年級校考階段練習）如圖，小巷左右兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，梯子頂端到地面的距離為2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，梯子頂端到地面的距離為1.5米，則小巷的寬為（

）A．2.5米 B．2.6米 C．2.7米 D．2.8米【答案】C【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理計算出AB長，再在Rt△A′BD中利用勾股定理計算出BD長，然后可得CD的長．【詳解】解：在Rt△ABC中，AB==2.5（米），∴A′B=2.5米，在Rt△A′BD中，BD==2（米），∴BC+BD=2+0.7=2.7（米），故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，關鍵是掌握利用勾股定理求有關線段的長度的方法．例3．（2023秋·河南鄭州·八年級?？计谀﹫D中的兩個滑塊A，B由一個連桿連接，分別可以在垂直和水平的滑道上滑動．開始時，滑塊A距O點20厘米，滑塊B距O點15厘米．問：當滑塊A向下滑13厘米時，滑塊B滑動了厘米．

【答案】9【分析】根據(jù)勾股定理求出的長，再求出下滑后的，利用勾股定理求出下滑后的，繼而求出滑塊B滑動的距離．【詳解】解：依題意得：，設滑動后點A、B的對應位置是，由勾股定理得，(厘米)，當滑塊A向下滑13厘米時，(厘米)，∴(厘米)，∴滑塊B滑動的距離為：(厘米)，故答案為：9．例4．（2023秋·四川成都·八年級?？计谀┤鐖D，明明在距離水面高度為5m的岸邊C處，用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為13m．若明明收繩6m后，船到達D處，則船向岸A移動了多少米？【答案】船向岸A移動了米【分析】先求出，在根據(jù)勾股定理求出、的長度，即可得出答案．【詳解】解：明明收繩6米后，船到達D處，，由題可知，，在中，，，，，，∴船向岸A移動了米．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵．模型2、輪船航行模型相關模型背景：輪船航行等。解題關鍵：輪船航行的模型要注意兩船終點之間的距離通常為直角三角形的斜邊長。航行模型解題步驟：1）根據(jù)航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；2）根據(jù)航行速度和時間表示出直角三角形兩直角邊長；3）根據(jù)勾股定理列方程求解航行角度、速度或距離。例1．（2023春·廣東中山·八年級校聯(lián)考期中）如圖，供給船要給C島運送物資，從海岸線AB的港口A出發(fā)向北偏東40°方向直線航行60nmile到達C島．測得海岸線上的港口B在C島南偏東50°方向．若A，B兩港口之間的距離為65nmile，則C島到港口B的距離是nmile．【答案】25【分析】先根據(jù)題意可知是直角三角形，再根據(jù)勾股定理求出答案即可．【詳解】根據(jù)題意可知，∴．在中，，，∴（nmile）．故答案為：25．【點睛】本題主要考查了應用勾股定理解決實際問題，勾股定理是求距離的常用方法．例2．（2023春·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期中）如圖，甲乙兩船從港口A同時出發(fā)，甲船以16海里/時的速度向北偏東40°航行，乙船向南偏東50°航行，小時后，甲船到達C島，乙船到達B島，若CB兩島相距17海里，問乙船的航速是多少？【答案】30（海里/時）【分析】根據(jù)題意，利用勾股定理求得AB的長，再利用速度=路程÷時間即可求得答案．【詳解】解：依題意可知：∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，（海里），BC＝17海里，∴AB＝＝＝15（海里），∴乙船的航速為（海里/時）．【點睛】本題考查了利用勾股定理解決直角三角形的實際問題，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．例2．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期中）如圖，甲、乙兩只捕撈船同時從港口出發(fā)捕魚，甲船以每小時千米的速度沿西偏北30°方向前進，乙船以每小時千米的速度沿東北方向前進，甲船航行小時到達處，于是甲船立即加速后保持勻速沿北偏東的方向追趕乙船，結果兩船在處相遇．

(1)求的度數(shù)；(2)求乙船航行多少小時被甲船追上．【答案】(1)；(2)4小時．【分析】（1）根據(jù)題意可得：，，，，從而可得，進而可得，然后利用平角定義求出，從而利用三角形內(nèi)角和定理進行計算，即可解答；(2)過點作，垂足為，根據(jù)題意可得：千米，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出，的長，再在中，利用含度角的直角三角形的性質求出的長，進行計算即可解答．【詳解】（1）解：如圖：

由題意得：，，，，，，，的度數(shù)為；（2）過點作，垂足為，由題意得：，在中，，千米，千米，在中，，千米，小時，乙船航行4小時被甲船追上．【點睛】本題考查了勾股定理解直角三角形的應用-方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．模型3、信號站（中轉站）選擇模型相關模型背景：信號塔、中轉站等。解題關鍵：信號塔和中轉站模型要注意兩個目的地到信號塔或中轉站的距離是相等的。信號塔、中轉站模型解題步驟：1）根據(jù)問題設出未知量（一般求誰設誰），并根據(jù)設出的未知量表示出兩個直角三角形的直角邊長；2）在兩個直角三角形中分別用勾股定理表示出斜邊長；3）根據(jù)斜邊長相等建立方程求解。例1．（2023春·山西朔州·八年級統(tǒng)考期末）根據(jù)山西省教育廳“2023年度基礎教育領域重點工作推進會”要求，扎實推進建設100所公辦幼兒園任務落實，某地計劃要在如圖所示的直線上，新建一所幼兒園，該區(qū)域有兩個小區(qū)所在的位置在點和點處，于A，于B．已知，，求該幼兒園應該建在距點A為多少處，可以使兩個小區(qū)到幼兒園的距離相等．

【答案】1km【分析】設，則．再根據(jù)勾股定理列出關于x的等式，解出x的值，即得解．【詳解】解：由題意，設，則．∵在中，，∴．∵在中，，∴．∵，∴，即，解得：．答：該幼兒園E應該建在距點A為1km處，可以使兩個小區(qū)到幼兒園的距離相等．【點睛】本題考查勾股定理的實際應用．根據(jù)勾股定理正確列出方程是解題關鍵．例2．（2023·廣東汕尾·八年級校考期中）如圖，在一棵樹（）的高處（）有兩只猴子，其中一只爬下樹走向離樹（）的池塘，而另一只則爬到樹頂（）后直撲池塘，如果兩只猴子經(jīng)過的路程相等，那么這棵樹有多高？【答案】15米【分析】設BD=x米，則AD=（）米，CD=（）米，利用勾股定理得出方程求解即可．【詳解】解：設BD=x米，則AD=（）米，CD=（）米，∵，∴，解得．即樹的高度是10+5=15（米）．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，把實際問題轉化為數(shù)學模型，構造直角三角形，然后利用勾股定理解決．例3．（2023春·廣東八年級課時練習）如圖鐵路上A，B兩點相距40千米，C，D為兩村莊，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分別為A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．現(xiàn)在要在鐵路旁修建一個煤棧E，使得C，D兩村到煤棧的距離相等，那么煤棧E應距A點（）A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．無法確定【答案】B【分析】設AE＝xkm，則BE＝（40﹣x）km，利用勾股定理得到，則，解方程即可．【詳解】解：設AE＝xkm，則BE＝（40﹣x）km，∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D兩村到煤棧的距離相等，∴，∴，∴，解得：x＝16，則煤棧E應距A點16km．故選：B．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，正確理解題意得到是解題的關鍵．模型4、臺風（噪音）、爆破模型相關模型背景：有爆破、臺風（噪音）等。解題關鍵：通常會用到垂線段最短的原理。臺風、爆破模型解題步驟：1）根據(jù)勾股定理計算爆破點或臺風中心到目的地的最短距離；2）將計算出的最短距離跟爆破或臺風的影響范圍的半徑作比較；3）若最短距離大于影響半徑則不受影響，若最短距離小于半徑則受影響。例1．（2022秋·河南南陽·八年級?？计谀┠车禺a(chǎn)開發(fā)商在筆直的公路旁有一塊山地正在施工，現(xiàn)有工地一處需要小型爆破，經(jīng)測量，已知點與公路上的停靠站的距離為30米，與公路上的另一?？空镜木嚯x為40米．且．為了安全起見，已知進入爆破點周圍半徑25米范圍內(nèi)有危險．問在進行爆破時，公路段是否因有危險而需要暫時封鎖？答：．【答案】需要封鎖【分析】過C作CD⊥AB于D．狗跟勾股定理可得AB=50米，再由，可得CD=24米，即可求解．【詳解】解：公路AB需要暫時封鎖．理由如下：如圖，過C作CD⊥AB于D．根據(jù)題意得：BC=40米，AC=30米，∠ACB=90°，∴米，∵，∴米，∵24米＜25米，∴有危險，公路段需要暫時封鎖．故答案為：需要封鎖【點睛】本題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是構造直角三角形，以便利用勾股定理．例2．（2023·重慶·八年級專題練習）為了積極響應國家新農(nóng)村建設的號召，遂寧市某鎮(zhèn)政府采用了移動宣講的形式進行廣播宣傳．如圖，筆直的公路的一側點處有一村莊，村莊到公路的距離為，假使宣講車周圍以內(nèi)能聽到廣播宣傳，宣講車在公路上沿方向行駛．(1)村莊能否聽到廣播宣傳請說明理由．(2)已知宣講車的速度是，如果村莊能聽到廣播宣傳，那么總共能聽多長時間【答案】(1)村莊能聽到廣播宣傳，理由見解析(2)【分析】（1）根據(jù)村莊到公路的距離為米米，即可得出村莊能聽到廣播宣傳．（2）根據(jù)勾股定理得到米，求得米，即可得出結果．【詳解】（1）解：村莊能聽到廣播宣傳，理由如下：村莊到公路的距離為米米，村莊能聽到廣播宣傳．（2）如圖：假設當宣傳車行駛到點開始能聽到廣播，行駛到點剛好不能聽到廣播，則米，米，由勾股定理得：米，米，能聽到廣播的時間為：分鐘，村莊總共能聽到的宣傳．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，結合生活實際，便于更好地理解題意是解題的關鍵．例3．（2023秋·重慶·八年級專題練習）如圖，鐵路和公路在點處交匯，，公路上處距離點240米，如果火車行駛時，火車頭周圍150米以內(nèi)會受到噪音的影響，那么火車在鐵路上沿方向以72千米/小時的速度行駛時，處受到噪音影響的時間為秒．【答案】9【分析】過點作，求出最短距離的長度，然后在上取點，，使得米，根據(jù)勾股定理得出，的長度，即可求出的長度，然后計算出時間即可．【詳解】解：過點作，，米，米，在上取點，，使得米，當火車到點時對處產(chǎn)生噪音影響，米，米，由勾股定理得：米，米，即米，千米/小時米/秒，影響時間應是：秒．故答案為：9．【點睛】本題考查了勾股定理，解題的關鍵在于準確找出受影響的路段，從而利用勾股定理求出其長度．例4．（2023春·湖南八年級期中）如圖，某城市接到臺風警報，在該市正南方向的處有一臺風中心，沿方向以的速度移動，已知城市到的距離．（1）臺風中心經(jīng)過多長時間從移動到點？（2）已知在距臺風中心的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到不同程度的影響，若在點的工作人員早上6:00接到臺風警報，臺風開始影響到臺風結束影響要做預防工作，則他們要在什么時間段內(nèi)做預防工作？【答案】（1）臺風中心經(jīng)過16小時時間從B移動到D點（2）他們要在20時到24時時間段內(nèi)做預防工作【分析】（1）首先根據(jù)勾股定理計算BD的長，再根據(jù)時間＝路程÷速度進行計算；（2）根據(jù)在30千米范圍內(nèi)都要受到影響，先求出從點B到受影響的距離與結束影響的距離，再根據(jù)時間＝路程÷速度計算，然后求出時間段即可．【詳解】解：（1）在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理，得BD==240km，所以，臺風中心經(jīng)過240÷15=16小時從B移動到D點，答：臺風中心經(jīng)過16小時時間從B移動到D點；（2）如圖，∵距臺風中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到不同程度的影響，∴BE=BD-DE=240-30=210km，BC=BD+CD=240+30=270km，∵臺風速度為15km/h，∴210÷15=14時，270÷15=18，∵早上6：00接到臺風警報，∴6+14=20時，6+18=24時，∴他們要在20時到24時時間段內(nèi)做預防工作．【點睛】本題考查了勾股定理的運用，此題的難點在于第二問，需要正確理解題意，根據(jù)各自的速度計算時間，然后進行正確分析．模型5、超速模型相關模型背景：有汽車超速、信號干擾、測河寬等。解題關鍵：要將速度統(tǒng)一單位后再進行比較。超速模型解題步驟：1）根據(jù)勾股定理計算行駛的距離；2）根據(jù)行駛距離和時間求出實際行駛速度；3）比較實際行駛速度和規(guī)定速度。例1．（2023春·山東濟南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，A中學位于南北向公路l的一側，門前有兩條長度均為100米的小路通往公路l，與公路l交于B，C兩點，且B，C相距120米．

(1)現(xiàn)在想修一條從公路l到A中學的新路（點D在l上），使得學生從公路l走到學校路程最短，應該如何修路（請在圖中畫出）？新路長度是多少？(2)為了行車安全，在公路l上的點B和點E處設置了一組區(qū)間測速裝置，其中點E在點B的北側，且距A中學170米．一輛車經(jīng)過區(qū)間用時5秒，若公路l限速為（約），請判斷該車是否超速，并說明理由．【答案】(1)見解析，80米(2)超速，見解析【分析】（1）根據(jù)垂線段最短可畫出圖形，根據(jù)三線合一可求出，然后利用勾股定理可求出新路長度；（2）先根據(jù)勾股定理求出的長，再求出的長，然后計算出速度判斷即可．【詳解】（1）過點A作，交l于點D．

，

在中，，由勾股定理得，

新路長度是80米．（2）該車超速

在中，，由勾股定理得，

該車經(jīng)過區(qū)間用時∴該車的速度為

該車超速．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，勾股定理揭示了直角三角形三邊長之間的數(shù)量關系：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．當題目中出現(xiàn)直角三角形，且該直角三角形的一邊為待求量時，常使用勾股定理進行求解．例2．（2023春·山西大同·八年級?？茧A段練習）小王與小林進行遙控賽車游戲，終點為點，小王的賽車從點出發(fā)，以米/秒的速度由西向東行駛，同時小林的賽車從點出發(fā)，以米/秒的速度由南向北行駛（如圖）．已知賽車之間的距離小于或等于米時，遙控信號會產(chǎn)生相互干擾，米，米，（1）出發(fā)秒鐘時，遙控信號是否會產(chǎn)生相互干擾？（2）當兩賽車距點的距離之和為米時，遙控信號是否會產(chǎn)生相互干擾？【答案】（1）出發(fā)三秒鐘時，遙控信號不會產(chǎn)生相互干擾；（2）當兩賽車的距離之和為米時，遙控信號將會產(chǎn)生干擾．【分析】（1）根據(jù)題意求得米，米，得到米，米，根據(jù)勾股定理即可得到結論；（2）設出發(fā)秒鐘時，遙控信號將會產(chǎn)生相互干擾，根據(jù)題意列方程即可得到結論．【詳解】解：(1)出發(fā)秒鐘時，米，米米，米米，米（米）出發(fā)三秒鐘時，遙控信號不會產(chǎn)生相互干擾(2)設出發(fā)秒鐘時，兩賽車距A點的距離之和為35米，由題意得，，解得此時AC1=20，AB1=15，此時即兩賽車間的距離是25米，所以遙控信號將會受到干擾答：當兩賽車的距離之和為米時，遙控信號將會產(chǎn)生干擾．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．例3．（2023秋·湖南邵陽·八年級武岡市第二中學?？奸_學考試）如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點A偏離欲到達地點B相距50米，結果他在水中實際游的路程比河的寬度多10米，求該河的寬度BC為多少米？【答案】該河的寬度BC為120米【分析】根據(jù)題意可知△ABC為直角三角形，根據(jù)勾股定理就可求出直角邊BC的距離．【詳解】根據(jù)題意可知AB＝50米，AC＝BC+10米，設BC＝x，由勾股定理得AC2＝AB2+BC2，即（x+10）2＝502+x2，解得x＝120．答：該河的寬度BC為120米．【點睛】此題考查勾股定理的實際應用，根據(jù)題意構建直角三角形及三邊的數(shù)量關系是解題的關鍵.模型6、風吹蓮動模型相關模型背景：蓮花、蘆葦、吸管、筷子、秋千等。解題關鍵：“蓮花”高度為不變量。風吹蓮動模型解題步驟：1）根據(jù)問題設出“水深”或者“蓮花”的高度；2）根據(jù)題目條件表示出題目中涉及的直角三角形的另外兩條邊長；3）根據(jù)勾股定理列方程求解。例1．（2023秋·廣東·八年級專題練習）如圖，有一個水池，水面是一邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達池邊的水面，這根蘆葦?shù)拈L度為（）尺．

A．10 B．12 C．13 D．14【答案】C【分析】找到題中的直角三角形，設水深為尺，根據(jù)勾股定理解答．【詳解】解：設水深為尺，則蘆葦長為尺，根據(jù)勾股定理得：，解得：，蘆葦?shù)拈L度（尺），答：蘆葦長13尺．故選：C．【點睛】本題考查正確運用勾股定理．從實際問題抽象出勾股定理是解題的關鍵．例2．（2023春·重慶渝北·八年級重慶市松樹橋中學校?？茧A段練習）《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學名著，作者是我國明代數(shù)學家程大位．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾？”譯文：“有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推送10尺（水平距離）時，秋千的踏板就和人一樣高，這個人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直，試問繩索有多長？”設繩索的長為x尺，下列方程正確的是（

）．

A．B．C．D．【答案】B【分析】設繩索有尺長，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結果．【詳解】解：設繩索有尺長，

則，即，∴，故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理的應用、理解題意能力，關鍵是能構造出直角三角形，用勾股定理來解．例3．（2023春·河南商丘·八年級校聯(lián)考期末）將一根長的筷子，置于底面直徑為，高的圓柱形水杯中，如圖所示，設筷子露在杯子外面的長度為，則不可以是（

）

A．7 B．15 C．16 D．17【答案】D【分析】當筷子的底端在點時，筷子露在杯子外面的長度最短；當筷子的底端在點時，筷子露在杯子外面的長度最長．然后分別利用已知條件根據(jù)勾股定理即可求出的取值范圍．【詳解】解：如圖1所示，當筷子的底端在點時，筷子露在杯子外面的長度最長，

，如圖2所示，當筷子的底端在點時，筷子露在杯子外面的長度最短，在中，，，，此時，的取值范圍是．故選：D．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，明確題意，準確構造直角三角形是解題的關鍵．模型7、折竹抵地模型相關模型背景：竹子、旗桿（風箏）拉繩等。解題關鍵：“竹子”高度為不變量。折竹抵地模型解題步驟：1）根據(jù)問題設出“竹子”折斷之前或者折斷之后距離地面的高度；2）根據(jù)題目條件表示出題目中涉及的直角三角形的另外兩條邊長；3）根據(jù)勾股定理列方程求解。例1．（2023春·山東德州·八年級統(tǒng)考期末）《九章算術》中的“折竹抵地”問題：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，問折高者幾何？意思是一根竹子，原高兩丈（一丈＝10尺），一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部9尺遠，問折斷處離地面的高度是多少？設折斷后垂直地面的竹子高度為x尺，則可列方程為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出圖形，設折斷處離地面的高度為x尺，再利用勾股定理列出方程即可．【詳解】解：如圖，設折斷處離地面的高度為x尺，則尺，尺，在中，，即．故選：C．【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖，領會數(shù)形結合的思想的應用．例2．（2023春·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，在一次暴風雨后，一棵大樹從離地面處被折斷，經(jīng)測量樹的頂端與地面的接觸點A離樹根部C的距離，若在該樹正上方離地面處有高壓電線，請判斷該樹在折斷前是否接觸到電線？并說明你的理由．

【答案】不會【分析】先利用勾股定理求出，比較折斷前大樹高度與高壓電線高度判斷即可解題．【詳解】解：不會，理由為：根據(jù)勾股定理可得：，∴折斷前大樹高度為：，∴該樹在折斷前不會接觸到電線．【點睛】本題考查勾股定理的應用，利用勾股定理計算是解題的關鍵．例3．（2023春·湖北黃石·八年級統(tǒng)考階段練習）八（3）班松松同學學習了“勾股定理”之后，為了計算如圖所示的風箏高度，測得如下數(shù)據(jù)：①測得的長度為；②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線的長為；③松松身高為．若松松同學想使風箏沿方向下降，則他應該往回收線（

）米．A．7 B．8 C． D．【答案】A【分析】設風箏下降到點M處，連接，利用勾股定理分別求得、，即可求解．【詳解】解：如圖，設風箏下降到點M處，連接，則，∵，∴，在中，，，∴，∴，∴在中，，∴，故選：A．【點睛】本題考查勾股定理的應用，理解題意，利用勾股定理求得、是解答的關鍵．模型8、不規(guī)則圖形面積模型相關模型背景：有草坪面積、土地面積、網(wǎng)格等。解題關鍵：一般所求圖形面積為不規(guī)則的四邊形，要注意轉換為兩個直角三角形的面積進行求解。面積模型解題步驟：1）連接兩點作輔助線，將四邊形分為兩個直角三角形；2）根據(jù)已知條件運用勾股定理求出所連線段長度；3）運用勾股定理逆定理判定另一個三角形為直角三角形；4）分別求出兩個直角三角形的面積相加或相減即為所求四邊形面積。例1．（2022·四川廣元·八年級期末）如圖，四邊形是我縣某校在校園一角開辟的一塊四邊形的“試驗田”，經(jīng)過測量得知．求四邊形的面積．【答案】四邊形ABCD的面積234m2．【分析】連接AC，利用勾股定理求出AC，再利用勾股定理的逆定理證明△ADC為直角三角形，最后利用三角形面積公式即可求解．【詳解】解：連接AC，如圖，在△ABC中，AB＝24m，BC＝7m，，∴AC＝＝25（m）．在△ADC中，CD＝15m，AD＝20m．AC＝25m，∵CD2+AD2＝152+202＝252＝AC2，∴△ADC為直角三角形，∠D＝90°．∴S△ADC＝×AD×DC＝×20×15＝150（m2），又∵S△ABC＝×AB×BC＝×24×7＝84（m2），∴S四邊形ABCD＝S△ADC+S△ABC＝150+84＝234（m2），答：四邊形ABCD的面積234m2．【點睛】本題考查勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面積公式等，解題的關鍵是利用勾股定理的逆定理證明△ADC為直角三角形．例2．（2022·天津河西·八年級期末）如圖，將平面直角坐標系放在所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，的頂點都在格點上，．(1)寫出另兩個頂點的坐標；(2)求此三角形的周長；(3)的面積為______．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）根據(jù)圖形直接寫出答案；（2）由勾股定理求得三角形的三邊長度，進而得到其周長；（3）利用分割法求面積．【詳解】(1)由圖可得：；；(2)，，∴的周長為；(3)由題意知，．故答案是：9.5．【點睛】本題主要考查了勾股定理和坐標與圖形性質，求非直角三角形的面積時，利用“分割法”求其面積．例3．（2022·江西宜春·八年級期中）在學習了勾股定理后，數(shù)學興使小組在江老師的引導下，利用正方形網(wǎng)格和勾股定理運用構圖法進行了一系列探究活動：(1)在中，、、三邊的長分別為、、，求的面積．如圖1，在正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1）中，畫出格點（即三個頂點都在小正方形的頂點處），不需要求的高，借用網(wǎng)格就能計算出它的面積，這種方法叫做構圖法．則的面積為___________．(2)在平面直角坐標系中，①若點A為，點B為，則線段的長為___________；②若點A為，點B為，則線段的長可表示為__________∶(3)在圖2中運用構圖法畫出圖形，比較大?。篲______（填“>”或“<”）；(4)若三邊的長分別為、、（，．且），請在如圖3的長方形網(wǎng)格中（設每個小長方形的長為m，寬為n），運用構圖法畫出，并求出它的面積（結果用m，n表示）．【答案】(1)(2)①5；②(3)<(4)【分析】（1）利用構圖法求出的面積，即可求解；（2）①利用勾股定理，即可求解；②類比①的方法，即可求解；（3）構造出三邊長分別為的三角形，即可求解；（4）先畫出三邊長分別為、、的，再利用構圖法求解，即可求解．(1)解：的面積為；故答案為：(2)解：①；故答案為：5；②線段的長可表示為；故答案為：(3)解：如圖，根據(jù)題意得：，，，∴，∵，∴；故答案為：<(4)解：解：如圖，，，，【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了三角形的面積，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用數(shù)形結合思想解決問題，學會用轉化的思想解決問題，屬于中考常見題，課后專項訓練1．（2023·重慶·八年級?？计谥校┤鐖D是一個圓柱形飲料罐，底面半徑是，高是，上底面中心有一個小圓孔，則一條長的直吸管露在罐外部分的長度（罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計）范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別考慮直吸管在罐體內(nèi)兩種極端情況即可：直吸管下端恰好位于罐底的圓周上；直吸管下端恰好位于罐底的中心；分別計算出直吸管插在罐內(nèi)部分長度，即可求得直吸管露在罐外部分的長度范圍．【詳解】解：如圖，當直吸管下端恰好位于罐底的圓周上時，∵，，∴由勾股定理得：，∴；當直吸管下端恰好位于罐底的中心時，則罐體內(nèi)直吸管長為罐體的高，即為，∴，綜上所述，直吸管露在罐外部分的長度范圍為．故選：A【點睛】本題考查了勾股定理的實際應用，根據(jù)情況應用勾股定理，進行分類討論是解本題的關鍵．2．（2023·河南信陽·八年級校聯(lián)考階段練習）某數(shù)學興趣小組開展了關于筆記本電腦的張角大小的實踐探究活動．如圖，當張角為時，頂部邊緣B處離桌面的高度為7cm，此時底部邊緣A處與C處間的距離為24cm，小組成員調整張角的大小繼續(xù)探究，最后發(fā)現(xiàn)當張角為時（點D是點B的對應點），頂部邊緣D處到桌面的距離為15cm，則底部邊緣A處與E之間的距離為（

）

A．20cm B．18cm C．12cm D．10cm【答案】A【分析】勾股定理解得出，勾股定理解即可求解．【詳解】解：依題意，，在中，，∵，，在中，，故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，掌握勾股定理是解題的關鍵．4．（2023春·山西陽泉·八年級校聯(lián)考期中）如圖，有一只喜鵲在一棵高的小樹上覓食，它的巢筑在與該樹水平距離（）為的一棵高的大樹上，喜鵲的巢位于樹頂下方的處，當它聽到巢中幼鳥的叫聲，立即飛過去，如果它飛行的速度為，那么它要飛回巢中所需的時間至少是(

)

A． B． C． D．【答案】C【分析】過作于，如圖所示，由勾股定理求出最短路徑長即可得到答案．【詳解】解：過作于，如圖所示：

由題意可知，，根據(jù)兩點之間線段最短，則它要飛回巢中所飛的最短路徑為，由勾股定理可得，它要飛回巢中所需的時間至少是（），故選：C．【點睛】本題考查勾股定理解實際問題，讀懂題意，作出圖形，數(shù)形結合求出最短路徑長度是解決問題的關鍵．5．（2023·廣西賀州·八年級統(tǒng)考期中）如圖在一個高為3米，長為5米的樓梯表面鋪地毯，則地毯至少需要（

）．

A．3米 B．4米 C．5米 D．7米【答案】D【分析】當?shù)靥轰仢M樓梯時的長度是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，根據(jù)勾股定理求得水平寬度，即可求得地毯的長度．【詳解】解：由勾股定理得：樓梯的水平寬度（米），地毯鋪滿樓梯的長度應該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，地毯的長度至少是（米）．故選：D．【點睛】此題考查了生活中的平移現(xiàn)象以及勾股定理，屬于基礎題，利用勾股定理求出水平邊的長度是解答本題的關鍵．6．（2022·廣東中山·八年級校考期中）如圖，有一個長方體池子，底面是邊長為丈（1丈＝10尺）的正方形，中間有蘆葦，把高出水面2尺的蘆葦拉向池邊（蘆葦沒有折斷），剛好貼在池邊上，則蘆葦長尺．

【答案】10【分析】設蘆葦長尺，則尺，尺，中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【詳解】解：如圖，設蘆葦長尺，則尺，尺，在中，由勾股定理得：，解得：，即蘆葦長10尺，故答案為：10．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，理解題意，由勾股定理得出方程是解題的關鍵．7．（2023·四川巴中·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為17米，幾分鐘后船到達點D的位置，此時繩子CD的長為10米，問船向岸邊移動了米．【答案】9．【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理計算出AB長，再根據(jù)題意可得CD長，然后再次利用勾股定理計算出AD長，再利用BD=AB-AD可得BD長．【詳解】在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝＝15（米），∵CD＝10（米），∴AD＝＝6（米），∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），答：船向岸邊移動了9米，故答案為：9．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，關鍵是掌握從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．領會數(shù)形結合的思想的應用．8．（2022秋·陜西西安·八年級?？茧A段練習）如圖，露在水面的魚線長為3m，釣魚者把魚竿提起到的位置，此時露在水面上的魚線長為4m，若的長為1m，則釣魚竿的長為m．【答案】5【分析】根據(jù)題意設，利用釣魚竿長度不變得出方程求解，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】解：設，∵，∴，即，解得：，∴，∴，故答案為：5．【點睛】題目主要考查勾股定理的應用，理解題意列出方程是解題關鍵．9．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）在筆直的鐵路上、兩點相距，、為兩村莊，，，于，于，現(xiàn)要在上建一個中轉站，使得、兩村到站的距離相等．則應建在距？【答案】15【分析】利用，再結合勾股定理求出即可．【詳解】解：設，則，，，故，解得；．故答案為：15．

【點睛】此題主要考查了勾股定理的應用，利用得出是解題關鍵．10．（2023·黑龍江哈爾濱·八年級?？茧A段練習）如圖所示，一架長為米的梯子斜立在一豎直的墻上，這時梯子的底端距離墻角處米，如果梯子頂端沿墻下滑米，梯子的底端沿水平方向滑動米．

【答案】【分析】兩次運用勾股定理可求得．【詳解】解：在中，米，米，米，米．在中，米，米，米，所以米．即梯子底端滑動了米．故答案為：．【點睛】此題考查了學生對勾股定理的理解及運用能力，解答此題時要注意梯子在滑動前后的長度不變．11．（2023春·山西大同·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，兩艘輪船和分別從港口出發(fā)，輪船以4海里/時的速度向東北方向航行，輪船以3海里/時的速度從港口出發(fā)向東南方向航行，行駛5個小時后，兩船的距離為海里．

【答案】25【分析】根據(jù)方位角可知兩船所走的方向正好構成了直角．然后根據(jù)路程=速度×時間，得兩條船分別走了20海里，15海里．再根據(jù)勾股定理，即可求得兩條船之間的距離．【詳解】解：連接如圖，∵兩船行駛的方向是東北方向和東南方向，∴，

在中，（海里），（海里），根據(jù)勾股定理得（海里）．故答案為：25．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理進是解決問題的關鍵．12．（2023秋·山東威?！て吣昙壗y(tǒng)考期末）蕩秋千是中國古代北方少數(shù)民族創(chuàng)造的一種運動．小亮想利用所學的勾股定理的知識測算公園里一架秋千的繩索AB的長度．如圖．他發(fā)現(xiàn)秋千靜止時，秋千踏板離地面的垂直高度，將踏板往前推送，使秋千繩索到達D的位置，測得推送的水平距離為6m，即．此時秋千踏板離地面的垂直高度．那么，繩索的長度為m．【答案】10【分析】先根據(jù)題意得出，，在設，得到，最后根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：由題意可知：，，，，設，則，在中，，∴，解得，∴，故答案為：10．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，讀懂題意并熟練運用勾股定理是解題的關鍵．13．（2023春·山東濟南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，小霞將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個結，然后將繩子拉到離旗桿底端12米處，發(fā)現(xiàn)此時繩子底端距離打結處約6米，則滑輪到地面的高度為米．

【答案】9【分析】設旗桿的高度為x米，由勾股定理得出方程，解方程即可．【詳解】解：設旗桿的高度為x米，根據(jù)勾股定理，得，解得：；故答案為：9．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，從題意中勾畫出勾股定理這一數(shù)學模型是解決問題的關鍵．14．（2023春·四川南充·八年級?？计谥校┤鐖D由于臺風的影響，一棵樹在離地面處折斷，樹頂落在離樹干底部處，則這棵在折斷前（不包括樹根）長度是．

【答案】/16米【分析】根據(jù)大樹折斷部分、下部、地面恰好構成直角三角形，根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】解：如圖，由題意得，

在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：（米）．所以大樹的高度是（米）．故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，關鍵是熟練掌握勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．15．（2023·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明與小亮約好去圖書館（D），一小明行走的路線是A→C→D，小亮行走的路線是B→C→D，已知，，，，已知小明騎自行車速度為akm/分鐘，小亮走路，速度為0.1km分鐘。小亮出發(fā)20分鐘后小明再出發(fā)，若小明在路上遇到小亮，則帶上小亮一起去圖書館，為了使小亮能坐上小明的順風車，則a的取值范圍是?！敬鸢浮俊痉治觥肯雀鶕?jù)勾股定理得出AC的長，再根據(jù)時間、路程、速度之間的關系分別求出小明、小亮同時到達C和D時a的值，即可得出而答案【詳解】解：在Rt中，，，，∴小亮到C所用時間(分);小亮到D所用時間(分)∴小明、小亮同時到達C時，小明、小亮同時到達D時，∴a的取值范圍是：【點睛】本題考查了勾股定理的應用，以及路程問題，熟練掌握相關的知識是解題的關鍵16．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期末）如圖，小巷左右兩側是豎直的墻壁，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為2米，頂端距離地面1.5米．若梯子底端位置保持不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2.4米，則小巷的寬度為米．

【答案】2.7【分析】在中，根據(jù)勾股定理求出的長，再在中，求出的長，最后由進行計算即可得到答案．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意得：，

，在中，米，米，米，在中，米，米，米，米，小巷的寬度為2.7米，故答案為：2.7．【點睛】本題考查了勾股定理的實際應用，解題的關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型．17．（2022·浙江麗水·七年級期末）如圖，方格中每個小正方形的邊長都為1．(1)求圖①中正方形的面積．(2)在圖②中畫一個邊長為的正方形，使它的頂點在格點上．【答案】(1)10(2)圖見解析【分析】（1）利用勾股定理求出的值，再根據(jù)正方形的面積公式即可得；（2）根據(jù)，結合網(wǎng)格特點畫圖即可得．(1)解：，圖①中正方形的面積．(2)解：如圖②，正方形即為所求．【點睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題，熟練掌握勾股定理是解題關鍵．18．（2023秋·廣東·八年級專題練習）《九章算術》是古代東方數(shù)學代表作，書中記載：今有開門去閫（門檻）一尺，不合四寸，問門廣幾何？其大意：如圖，推開雙門（大小相同），雙門間隙寸，點C、點D與門檻的距離尺（1尺=10寸），O是的中點，連接．(1)求的長，(2)求門檻的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意得到，然后根據(jù)勾股定理求解即可；（2）由題意可得，設，則，利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：∵O是的中點∴∵∴；（2）設，則．∵，尺寸∴解得：∴．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，弄清題意，構建直角三角形是解題關鍵．19．（2023春·遼寧葫蘆島·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一艘輪船航行到B處時，測得小島A在船的北偏東60°的方向上，輪船從B處繼續(xù)向正東方向航行100海里到達C處時，測得小島A在船的北偏東30°的方向上．在小島A處周圍80海里范圍內(nèi)均有暗礁，小船繼續(xù)向正東方向航行是否有觸礁危險？請說明理由．

【答案】無觸礁危險．理由見解析【分析】過點A作垂直于的延長線于點D，由題意得到，在根據(jù)勾股定理求出的長，即可得到答案．【詳解】解：無觸礁危險．過點A作垂直于的延長線于點D

結合題意可知，，，，，在中，，，，，繼續(xù)前行無觸礁危險【點睛】本題主要考查用勾股定理解直角三角形，掌握勾股定理是解題的關鍵．20．（2023春·吉林四平·八年級統(tǒng)考期末）如圖，某海濱浴場岸邊A處救生員發(fā)現(xiàn)海中的處有人求救，救生員沒有直接從處游向處，而是沿岸邊自A處跑到離處最近的點，然后從點游向處，經(jīng)測量，，若救生員在岸邊行進的速度是，在海中行進的速度是，請分析救生員的選擇合理嗎？

【答案】救生員的選擇合理，理由見解析．【分析】分別求得兩個路線所用的時間，然后比較后即可得到答案．【詳解】解：救生員的選擇合理，理由如下：由題意得，，，，救生員在岸邊行進的速度是，在海中行進的速度是救生員由點直接游向處需要的時間為：，救生員由點跑到再游向處需要的時間為：，，救生員的選擇合理．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是從實際問題中整理出直角三角形并正確的利用勾股定理求斜邊的長．21．（2023春·山東聊城·八年級統(tǒng)考期末）燕塔廣場視野開闊，阻擋物少，成為不少市民放風箏的最佳場所，某校八年級的王明和孫亮兩位同學在學習了“勾股定理”之后，為了測得風箏的垂直高度，他們進行了如下操作：①測得的長度為8米；（注：）；②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線的長為17米；③牽線放風箏的王明身高米；(1)求風箏的垂直高度．(2)若王明同學想讓風箏沿方向下降9米，則他應該往回收線多少米？【答案】(1)米；(2)7米．【分析】（1）利用勾股定理求出的長，再加上的長度，即可求出的高度；（2）根據(jù)勾股定理即可得到結論．【詳解】（1）解：在中，由勾股定理得，，所以，（負值舍去），所以，（米），答：風箏的高度為米；（2）解：連接，由題意得，米，

，（米），（米），他應該往回收線7米．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，熟悉勾股定理，解題的關鍵是能從實際問題中抽象出直角三角形．22．（2023秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，一根垂直于地面的旗桿高，因刮大風旗桿從點處折斷，頂部著地且離旗桿底部的距離．(1)求旗桿折斷處點距離地面的高度；(2)工人在修復的過程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點的下方的點處，有一明顯裂痕，若下次大風將修復好的旗桿從點處吹斷，旗桿的頂點落在水平地面上的處，形成一個直角，請求出的長．【答案】(1)米(2)米【分析】（1）由題意可知米，根據(jù)勾股定理可得：，又因為米，所以可求得的長，（3）先求出D點距地米，米，再根據(jù)勾股定理可以求得米．【詳解】（1）解：由題意可知：米，∵，∴，又∵米，∴，∴米；（2）解：∵D點距地面米，∴米，∴米．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖23．（2023秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，在一條繃緊的繩索一端系著一艘小船，河岸上一男孩拽著繩子另一端向右走，繩端從點移動到點，同時小船從點移動到點，且繩長始終保持不變，回答下列問題：(1)根據(jù)題意，可知________（填“”“”“”）；(2)若米，米，米，求男孩需向右移動的距離（結果保留根號）．【答案】(1)(2)男孩需向右移動的距離為米【分析】（1）由繩長始終保持不變即可求解；（2）由勾股定理求出、的長，然后根據(jù)即可求解．【詳解】（1）解：的長度是男孩未拽之前的繩子長，的長度是男孩拽之后的繩子長，繩長始終保持不變，，（2）解：連接，則點、、三點共線，在中，（米，（米，在中，（米，，（米，男孩需向右移動的距離為米．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，根據(jù)勾股定理求出、的長是解題的關鍵．24．（2023·陜西西安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，公路AB和公路CD在點P處交匯，點E處有一所學校，EP＝160米，點E到公路AB的距高EF＝80米，假若拖拉機行駛時，周圍100米內(nèi)會受到噪音影響，那么拖拉機在公路AB上沿方向行駛時，學校是否受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機的速度是18千米/小時，那么學校受到影響的時間為多少？【答案】0.4分鐘【分析】設拖拉機在公路AB上行駛時，從點M到點N學校受到影響，解直角三角形即可得到結論．【詳解】：∵EF=80＜100，∴學校是否受到影響，設拖拉機在公路AB上行駛時，從點M到點N學校受到影響，在Rt△MEF中，∵EM=100，EF=80，∴MF==60，∴MN=2MP=120，∵拖拉機的速度是18千米/小時，∴=0.4（分鐘），答：學校受到影響的時間為0.4分鐘．【點睛】此題考查勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．領會數(shù)形結合的思想的應用．25．（2023春·湖北襄陽·八年級?？茧A段練習）如圖，鐵路上A，B兩點相距，C，D為兩村莊，于點A，于點B，已知，，現(xiàn)在要在鐵路上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應建在離A站多少處？

【答案】【分析】先根據(jù)垂直的定義可得，再根據(jù)勾股定理可得，，從而可得，設，則，據(jù)此建立方程，解方程即可得．【詳解】解：∵使得兩村到站的距離相等，∴，∵，，∴，∴，，∴，設，則，∵，，∴，解得：，∴，答：站應建在離站處．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，利用勾股定理正確建立方程是解題關鍵．25．（2023·山西太原·八年級統(tǒng)考期中）根據(jù)道路交通管理條例的規(guī)定，在某段筆直的公路l上行駛的車輛，限速60千米/時．已知測速點M到測速區(qū)間的端點A，B的距離分別為50米、34米，M距公路l的距離（即MN的長）為30米．現(xiàn)測得一輛汽車從A到B所用的時間為5秒，通過計算判斷此車是否超速．【答案】此車沒有超速【詳解】試題分析：在Rt△AMN中根據(jù)勾股定理求出AN，在Rt△BMN中根據(jù)勾股定理求出BN，由AN+NB求出AB的長，根據(jù)路程除以時間得到速度，即可做出判斷．解：∵在Rt△AMN中，AM=50，MN=30，∴AN==40米，∵在Rt△MNB中，BM=34，MN=30，∴BN==16米，∴AB=AN+NB=40+16=56（米），∴汽車從A到B的平均速度為56÷5=11.2（米/秒），∵11.2米/秒=40.32千米/時＜60千米/時，∴此車沒有超速．考點：勾股定理的應用．26．（2023春·山東德州·八年級?？茧A段練習）如圖，甲乙兩船同時從A港出發(fā)，甲船沿北偏東35°的方向，航速是12海里/時，2小時后，兩船同時到達了目的地．若C、B兩島的距離為30海里，問乙船的航速是多少？【答案】乙船的航速是9海里/時【分析】先用勾股定理求出的長，進而即可求解．【詳解】根據(jù)題意得：，，∴．∴∴．∴乙船的航速是：（海里/時）．【點睛】本題主要考查勾股定理的實際應用，掌握勾股定理，列出算式是關鍵．27．（2023秋·四川·八年級?？茧A段練習）如圖，一架長為5米的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻ON上，梯子底端距離墻ON有3米．(1)求梯子頂端與地面的距離OA的長．(2)若梯子頂點A下滑1米到C點，求梯子的底端向右滑到D的距離．【答案】(1)4米(2)1米【分析】（1）根據(jù)勾股定理直接求出OA的長度即可；（2）先求出OC的長度，然后根據(jù)勾股定理求出OD的長度，用OD-OB即可得出答案．【詳解】（1）解：∵∠AOB=90°，米，米，∴AO＝＝4（米），答：梯子頂端與地面的距離OA的長為4米．（2）解：∵（米），米，∴OD＝＝4（米），∴BD＝OD﹣OB＝4﹣3＝1（米）．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理的內(nèi)容，如果一個直角三角形的兩條直角邊為a、b，斜邊為c，那么．28．（2023春·山東濱州·八年級?？茧A段練習）如圖，公路MN和公路PQ在點P處交會，公路PQ上點A處有學校，點A到公路MN的距離為80m，現(xiàn)有一卡車在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行駛，卡車行駛時周圍100m以內(nèi)都會受到噪音的影響，請你算出該學校受影響的時間多長？【答案】該校受影響卡車產(chǎn)生的噪聲的影響時間為24秒．【分析】根據(jù)題意，先在圖上畫出學校剛好受影響和結束受影響時卡車所在的點C和D，得到AC=AD=100cm，然后用勾股定理求出CB，受影響的過程就是卡車從C到D的路程，再除以卡車速度可以得到受影響的時間．【詳解】設卡車開到C處剛好開始受到影響，行駛到D處時結束了噪聲的影響，則有CA＝DA＝100m，在中，CB＝＝60m，∴C