專題05 平行線中的拐點(diǎn)模型之蛇形模型（5字模型）（原卷版）

專題05平行線中的拐點(diǎn)模型之蛇形模型（5字模型）平行線中的拐點(diǎn)模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問題，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點(diǎn)模型（蛇形模型（“5”字模型））進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。拐點(diǎn)（平行線）模型的核心是一組平行線與一個(gè)點(diǎn)，然后把點(diǎn)與兩條線分別連起來，就構(gòu)成了拐點(diǎn)模型，這個(gè)點(diǎn)叫做拐點(diǎn)，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見拐點(diǎn)作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。模型1：蛇形模型（“5”字模型）基本模型：如圖，AB∥CD，結(jié)論：∠1+∠3－∠2=180°.圖1圖2如圖1，已知：AB∥DE，結(jié)論：.如圖2，已知：AB∥DE，結(jié)論：.【模型證明】在圖1中，過C作AB的平行線CF，∴∠＝∠FCB.∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180°在圖2中，過C作AB的平行線CF，∴∠+∠FCB=180°，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180°例1．（2023下·安徽黃山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，，，則的度數(shù)是（）

A． B． C．7 D．例2．（2023下·黑龍江雞西·七年級(jí)期中）如圖，一條公路修到湖邊時(shí)，需拐彎繞湖而過，若第一次拐角，第二次拐角，第三次拐的角是，這時(shí)的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，求的度數(shù)（

）

A． B． C． D．例3．（2022下·貴州黔南·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，如果，那么角α，β，γ之間的關(guān)系式為（

）

A． B． C． D．例4．（2023下·四川廣安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1是十二星座中的天秤座的主要星系連線圖，將各個(gè)主要星系分別用字母表示，得到如圖2的幾何示意圖，已知．試說明．

例5．（2023下·浙江紹興·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，平分，的反向延長線交的平分線于點(diǎn)M，則與的數(shù)量關(guān)系是（

）

A．B．C．D．例6．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？计谥校┮阎本€AB∥CD，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PD．（1）如圖1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數(shù)；（2）如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關(guān)系為．（3）如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度數(shù)．例7．（2023下·陜西漢中·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知直線，P是平面內(nèi)一點(diǎn)，連接．(1)如圖①，若，求的度數(shù)；(2)如圖②，若，求的度數(shù)；(3)如圖③，試判斷和之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

例8．（2023下·廣東廣州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）甲同學(xué)在學(xué)完《相交線與平行線》后，想通過折鐵絲的方式進(jìn)一步探索相交線與平行線的知識(shí)，他的具體操作步驟如下：第一步：將一根鐵絲在，，處彎折得到如下圖①的形狀，其中，．第二步：將繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)一定角度，再將繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)一定角度并在上某點(diǎn)處彎折，得到如下圖②的形狀．第三步：再拿出另外一根鐵絲彎折成，跟前面彎折的鐵絲疊放成如下圖③的形狀．請(qǐng)根據(jù)上面的操作步驟，解答下列問題：(1)如圖①，若，求；(2)如圖②，若，請(qǐng)判斷，，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)在（2）的條件下，如圖③，若，，設(shè)，，求．（用含，的式子表示）課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023下·山東泰安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知直線，，，且比大，那么的大小是（

）

A． B． C． D．2．（2023下·浙江嘉興·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是一段賽車跑道的示意圖，其中，測得，．那么（

）

A． B． C． D．3．（2023下·浙江杭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．4．（2023·河南駐馬店·三模）如圖，已知，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．（2023下·江西景德鎮(zhèn)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，一艘輪船從地出發(fā)，沿北偏東方向航行至地，再從地出發(fā)沿南偏東，方向航行至地，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．6．（2023·河南·統(tǒng)考三模）如圖，已知，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．7．（2023下·上?！て吣昙?jí)期中）如圖，若，用含、、的式子表示x，應(yīng)為（）A． B． C． D．8．（2023下·廣東深圳·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，，，，則（

）

A． B． C． D．9．（2023下·廣東江門·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，，，則，，三者之間的關(guān)系是（

）

A．B．C．D．10．（2023上·貴州六盤水·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，，，則的度數(shù)為．11．（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，，，若，則的度數(shù)為．

12．（2023下·上海閔行·七年級(jí)統(tǒng)考期末）我們規(guī)定車輛在轉(zhuǎn)彎時(shí)的轉(zhuǎn)彎角是車輛原行駛路線與轉(zhuǎn)彎后路線所成的角的外角．如圖：一輛車在一段繞山公路行駛（沿箭頭方向）時(shí)，在點(diǎn)B、C和D處的轉(zhuǎn)彎角分別是、和，且，則、和之間的數(shù)量關(guān)系是．

13．（2023下·上海浦東新·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，直線，、、、之間的數(shù)量關(guān)系是．

14．（2023下·遼寧丹東·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，若，，，則．

15．（2023下·重慶綦江·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖某工程隊(duì)從A點(diǎn)出發(fā)，沿北偏西方向修一條公路，在路段出現(xiàn)塌陷區(qū)，就改變方向，在B點(diǎn)沿北偏東的方向繼續(xù)修建段，到達(dá)點(diǎn)又改變方向，使所修路段，則度．

16．（2023上·廣東廣州·八年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，若，則、、的關(guān)系是．

17．（2023下·北京石景山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）某籃球架及側(cè)面示意圖如圖所示，若，，于點(diǎn)B，則．

18．（2023下·遼寧沈陽·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，已知，，求，的度數(shù)．

19．（2023下·福建龍巖·七年級(jí)校考階段練習(xí)）完成下面的證明．(1)如圖，，．求證：．證明：∵，∴__________________（__________________），∵，∴（__________________），∴；(2)如圖，和相交于點(diǎn)O，，．

求證．證明：∵，又（__________________）∴__________________∴（__________________）．20．（2023下·青海西寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下面材料：小亮同學(xué)遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，，為，之間一點(diǎn)，連接，，得到．

求證：．(1)小亮寫出了該問題的證明，請(qǐng)你幫他把證明過程補(bǔ)充完整：證明：過點(diǎn)作___________（___________）______________________（___________）___________；(2)請(qǐng)你參考小亮的方法，解決下列問題：①如圖2，，為，之間一點(diǎn)，連接，，得到．

求證：；②如圖3，，則，，之間的數(shù)量關(guān)系是___________．21．（2023下·遼寧撫順·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，點(diǎn)在直線，之間，連接，．

(1)寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)若，，求的度數(shù)；22．（2023下·遼寧大連·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料：如圖1，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，上方的四邊形中，，延長，，探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明.小白的想法是：“作（如圖2），通過推理可以得到，從而得出結(jié)論”.請(qǐng)按照小白的想法完成解答：拓展延伸：保留原題條件不變，平分，反向延長，交的平分線于點(diǎn)（如圖3），設(shè)，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)（用含的式子表示）.23．（2023下·山東棗莊·七年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，直線，是與之間的一點(diǎn)，連