數(shù)學(xué)成長(zhǎng)訓(xùn)練第二講二圓錐曲線的參數(shù)方程

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精主動(dòng)成長(zhǎng)夯基達(dá)標(biāo)1.參數(shù)方程表示的曲線不在()A.x軸上方B。x軸下方C。y軸右方D.y軸左方答案：D2。直線=1與橢圓=1相交于A、B兩點(diǎn),該橢圓上點(diǎn)P使得△PAB的面積等于3，這樣的點(diǎn)P共有（)A.1個(gè)B。2個(gè)C。3個(gè)D。4個(gè)解析：設(shè)P1（4cosα，3sinα)，α∈（0,），則SP1AOB=S△OAP1+S△OBP1=12×4sinα+12×3×4cosα=6（sinα+cosα)=6sin（α+）。當(dāng)α=時(shí),SP1AOB的最大值為6。故S△P1AB≤6—S△OAB=6—6＜3.故AB的上方不存在滿足題意的點(diǎn)P。又S△OAB=6＞3，所以AB的下方存在2個(gè)點(diǎn)滿足要求.答案:B3。橢圓（θ為參數(shù))的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(）A。（-7,0)B.（0，—7）C。(-5,0）D。（-4,0)解析:橢圓中，a=4，b=3,∴c=7.答案:A4。參數(shù)方程（1+sinθ)（0〈θ〈2π）表示（)A。雙曲線的一支,這支過(guò)點(diǎn)（1,)B。拋物線的一部分，這部分過(guò)點(diǎn)（1，)C。雙曲線的一支，這支過(guò)點(diǎn)（—1，）D.拋物線的一部分，這部分過(guò)點(diǎn)（—1,)解析:消去參數(shù)θ,得x2=2y?！選=|cos+sin|=|2sin（θ+)|，∵0〈θ<2π,∴0≤x≤。∴參數(shù)方程表示拋物線的一部分，這部分過(guò)(1,)。答案:B5。已知曲線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，點(diǎn)A、B在曲線上對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1和t2，又t1+t2=0,則|AB|等于()A。2p(t1—t2)B.2p（t12+t22)C。2p｜t1-t2｜D。2p（t1—t2)2解析：由x1=2pt12,x2=2pt2∴x1—x2=2p（t12—t22)=2p(t1+t2）（t1—t2)=0.則有｜AB|=|y2—y1｜,又∵y1=2pt1,y2=2pt∴|y2—y1|=2p｜t2—t1|。答案:C6。點(diǎn)P（x，y)在橢圓+(y—1）2=1上,則x+y的最大值是（)A.3+5B.5+5C.5D。6解析：由于點(diǎn)P（x,y）在橢圓+（y—1）2=1上，有（φ為參數(shù)）.∴x+y=3+2cosφ+sinφ。由三角函數(shù)性質(zhì)知x+y的最大值為3+.答案:A7.參數(shù)方程（θ為參數(shù)）表示的曲線為（）解析：由x=sinθ+cosθ兩邊平方，得x2=1+2sinθcosθ=1+2y.∴y=x2—。且x=sinθ+cosθ=sin(θ+）∈［-,］.答案：C8.在橢圓+y2=1上求一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到直線x—y+4=0的距離最小.解：∵點(diǎn)P在橢圓+y2=1上，可設(shè)P(2cosφ，sinφ），則有d=d=當(dāng)θ—φ=時(shí)，d最小=∴P（)。9.設(shè)P（x，y）是橢圓2x2+3y2=12上的一動(dòng)點(diǎn)，求x+2y的取值范圍.解:由2x2+3y2=12，∴=1.∴（θ為參數(shù)）.∴x+2y=cosθ+4sinθ=sin（θ+φ),θ為實(shí)數(shù)，φ為輔助角.∴x+2y∈［—,］.10.設(shè)直線l：x+2y+1=0交橢圓C:4（x-1）2+9（y+2）2=36于A、B兩點(diǎn),在橢圓上求一點(diǎn)P,使△ABP的面積最大。解析：因?yàn)锳、B為兩定點(diǎn),AB為定長(zhǎng)，所以可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在橢圓上求一點(diǎn)到直線的距離最大的問(wèn)題。解:設(shè)橢圓C上的點(diǎn)P（1+3cosθ，—2+2sinθ)，由于定直線l和定橢圓C截得的弦長(zhǎng)為定長(zhǎng)，又設(shè)P到直線l的距離為d,則d==|5sin(θ+α）-2｜,其中tanα=.故當(dāng)sin（θ+α）=—1，即θ=2kπ+-α,k∈Z時(shí)，d有最大值，這時(shí)△ABP的面積最大.∵sinθ=sin(2kπ+—α）=—cosα=-,cosθ=-sinα=-,∴P（）為所求。11.已知拋物線y2=2px(p〉0）上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線x+y—1=0對(duì)稱，求p的取值范圍。解析:利用拋物線的參數(shù)方程，設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（2px12，2px1)，(2px22，2px2)，又二者關(guān)于直線x+y—1=0對(duì)稱，則可列出等價(jià)方程，建立p的不等式。解:設(shè)拋物線上兩點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(2px12，2px1),（2px22,2px2）且關(guān)于直線x+y—1=0對(duì)稱，則有由第二個(gè)方程可得x1+x2=1代入第一個(gè)方程得x12+x22=＞0,故0＜p＜1。又由，得，即0＜p＜為所求。12.已知雙曲線=1（a〉0,b>0)的動(dòng)弦BC平行于虛軸,M、N是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，(1）求直線MB、CN的交點(diǎn)P的軌跡方程；(2）若P(x1，y1），B（x2，y2），求證:a是x1、x2的比例中項(xiàng).解析：由題意可知點(diǎn)M的位置是由B、C的位置所決定的,而B、C又是動(dòng)點(diǎn),如果將B、C的坐標(biāo)設(shè)為一般的形式，顯然很難計(jì)算,計(jì)算起來(lái)很復(fù)雜,故在此可考慮將B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)為參數(shù)形式，對(duì)于此題的計(jì)算很有幫助。（1）解：由題意可設(shè)點(diǎn)B（asecθ，btanθ），則點(diǎn)C(asecθ—btanθ）,又M（-a，0),N（a，0）,∴直線MB的方程為y=（x+a)，直線CN的方程為（x-a)。將以上兩式相乘得點(diǎn)P的軌跡方程為x2a2+y2b2(2）證明:因?yàn)镻既在MB上,又在CN上,由兩直線方程消去y1得x1=，而x2=asecθ，所以有x1x2=a2，即a是x1、x2的比例中項(xiàng)。13。(1)求橢圓=1的內(nèi)接矩形的最大面積；(2）已知矩形ABCD中，點(diǎn)C坐標(biāo)為（4,4），A點(diǎn)在曲線x2+y2=9（x〉0,y>0)上移動(dòng)，且AB、AD兩邊始終分別平行于x、y坐標(biāo)軸,求矩形面積ABCD最小時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)。解：(1）設(shè)內(nèi)接矩形在第一象限內(nèi)的頂點(diǎn)為P(acosθ，bsinθ），則有S內(nèi)接矩形=4S矩形AOBP=4·acosθ·bsinθ=2absin2θ?！擀取蔥0，］,∴2θ∈［0,π］.∴S內(nèi)接矩形的最大值為2ab。（2)如圖所示,設(shè)A(x，y），又設(shè)矩形ABCD的面積為S，則有S=（4—x）（4-y)=16—4(x+y)+xy.∵A(x,y）在曲線x2+y2=9上，∴x2+y2=(x+y)2—2xy=9?！鄕y=∴S=16-4(x+y）+=［（x+y）—4］2+。又∵x=3cosθ，y=3sinθ(0〈θ<)，∴x+y=3(cosθ+sinθ）=32sin（θ+).∵〈θ+〈，∴3〈x+y≤3.∴當(dāng)x+y=4時(shí)，S有最小值.解方程組∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(）或(）.14。點(diǎn)P在圓x2+(y—2）2=上移動(dòng)，點(diǎn)Q在橢圓x2+4y2=4上移動(dòng)，求PQ的最大值與最小值，及相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo).解：設(shè)Q(2cosα,sinα）,O′(0，2)，則O′Q2=（2cosα）2+(sinα-2)2=4cos2α+sin2α—4sinα+4=-3(sinα+）2+8+。故當(dāng)sinα=—時(shí)，O′Q2取最大值為，O′Q=。當(dāng)sinα=1時(shí)，O′Q2取最小值為1，O′Q=1。又圓的半徑為，故圓上的點(diǎn)P與Q的最大距離為PQ=+，P與Q的最小距離為PQ=1-=.PQ取最大值時(shí)，sinα=—,cosα=±,Q的坐標(biāo)為（）或(-）；PQ取最小值時(shí)，sinα=1，cosα=0，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，1)。15.已知直線l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上，若點(diǎn)A（-1，0)、B（0,8）關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)都在C上,求直線l和拋物線C的方程.解析:本題的運(yùn)算量較大，如果直接用普通方程來(lái)求解,其計(jì)算量會(huì)更大,同學(xué)們不妨一試.解:設(shè)A、B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)分別為A1、B1，由對(duì)稱性知∠A1OB1=∠AOB=90°，由拋物線的參數(shù)方程可設(shè)A1(2pt12,2pt1）(t1＜0)，B1(2pt22，又OA1=OA=1,OB1=OB=8,則有兩式相除得=64.又∵kOA1=，kOB1=，OA1⊥OB1,∴kOA1·kOB1=-1，即t1·t2=—1.則可將t2=-代入上式，得t16=，t1=—.故有2p=.∴A1（，-2)?！鄈AA1=,kl=.故所求直線l的方程為y=2x,拋物線C的方程為y2=x。走近高考1.(經(jīng)典回放）在直角坐標(biāo)系xOy中，參數(shù)方程(t為參數(shù)）表示的曲線是()A。雙曲線B。拋物線C.直線D。圓解析：由x=2t+1,得t=，并代入y=2t2-1，得(x—1）2=2（y+1），表示拋物線。答案：B2.（經(jīng)典回放)下列參數(shù)方程（t為參數(shù))中與方程y2=x表示同一曲線的是(）A。B.C。D.解析:由A得y=x2;由C得y2=｜x|與y2=x不同，排除A、C;由B得y2=x（0≤x≤1)與y2=x的定義域不同,故排除B。答案:D3。(經(jīng)典回放)點(diǎn)P(1,0)到曲線（參數(shù)t∈R）上的點(diǎn)的最短距離為（）A.0B。1C。2D.2解析：距離d==t2+1≥1.答案:B4。(經(jīng)典回放)直線y=2x—與曲線(φ為參數(shù))的交點(diǎn)坐標(biāo)是_________.解析：曲線方程消去參數(shù)φ，得y=1-2x2.與y=2x-聯(lián)立，得4x2+4x—3=0.∴x1=，x2=-.∵—1≤x≤1,∴x=?！鄖=.答案：（，)5.(經(jīng)典回放)曲線（θ為參數(shù))上一點(diǎn)到直線y=x—5的距離d的最小值為(）A.B.C。D.0解析：d=—9≤4cos(θ+)-5≤—1，∴d的最小值為.答案：C6。設(shè)a、b∈R,a2+2b2=6,則a+b的最小值是(）A.—2B。-C?！?D。-解析：∵a2+2b2=6,∴=1.設(shè)(θ為參數(shù)）,∴a+b=cosθ+sinθ=3sin(θ+φ),其中cosφ=,sinφ=,即a+b的最小值是—3。答案：C7.雙曲線mx2+y2=1的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則m等于(）A.-B.—4C。4D。解析:該雙曲線方程為y2—=1,∴a2=1，b2=-。又∵b=2a，∴-=4?！鄊=—。答案:A8.設(shè)P是橢