第五集：嵌套函數(shù)（復(fù)合函數(shù)）-5

第五集:嵌套函數(shù)（復(fù)合函數(shù)）嵌套函數(shù)：就是指在某些情況下，可將某函數(shù)作為另一函數(shù)的參數(shù)使用來使用，這一函數(shù)就是嵌套函數(shù).一般地，對于定義在區(qū)間上的函數(shù)若存在,使得,則稱是函數(shù)的一階不動(dòng)點(diǎn),簡稱不動(dòng)點(diǎn)；（2）若存在,使,則稱是函數(shù)的二階不動(dòng)點(diǎn),簡稱穩(wěn)定點(diǎn).典型例題出題角度1嵌套函數(shù)中不動(dòng)點(diǎn)穩(wěn)定點(diǎn)問題例1，.（1）求證：；（2）若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若是上的單調(diào)遞增函數(shù)，是函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)，問是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)嗎？若是，請證明你的結(jié)論；若不是，請說明的理由.解：（1）若，則顯然成立；若，設(shè)，，故.有實(shí)根，.又，所以，即的左邊有因式，從而有.，要么沒有實(shí)根，要么實(shí)根是方程的根.若沒有實(shí)根，則；若有實(shí)根且實(shí)根是方程的根，則由方，得，代入，有.由此解得，再代入得，由此，故a的取值范圍是.（3）由題意：x0是函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn),則，①若，是R上的單調(diào)增函數(shù)，則，所以，矛盾.②若，是R上的單調(diào)增函數(shù)，則，所以，矛盾故，所以x0是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).出題角度2嵌套函數(shù)中的求值問題例2.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有五個(gè)不同實(shí)根，則的值是A．0或 B． C．0 D．不存在解：畫出函數(shù)的圖象，如圖所示：當(dāng)時(shí)，有三個(gè)根，把代入方程得，，解得：或，當(dāng)時(shí)，方程為，所以或1，所以有五個(gè)根，當(dāng)時(shí)，方程為，所以或，所以有7個(gè)根，舍去，綜上所求，時(shí)，方程有五個(gè)不同實(shí)根，故選：．例3．已知函數(shù)，方程（其中的實(shí)根個(gè)數(shù)為，所有這些實(shí)根的和為，則、的值分別為A．6，4 B．4，6 C．4，0 D．6，0解：，或．作出的函數(shù)圖象如圖所示：由圖象可知有兩解，有四解．．由圖象可知的兩解為，，的四個(gè)解中，較小的兩個(gè)關(guān)于直線對稱，較大的兩個(gè)關(guān)于直線對稱，．故選：．例4已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，，且，則的值為（）A．81 B．﹣81 C．﹣9 D．9分析：把f（x）的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為的零點(diǎn)，令，，可得方程有兩實(shí)根，，由判別式大于0解得a的范圍，再由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，進(jìn)一步得到，，結(jié)合，可得，，，則可知，，則.解：∴∴令，，則，∴令，解得∴時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；∴，，∴a﹣3∴.設(shè)關(guān)于t的一元二次方程有兩實(shí)根，，∴，可得或.∵，故∴舍去∴6，.又∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，由于，∴，（不妨設(shè)）.∵，可得，，.則可知，.∴.故選：A.小結(jié)：本題考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查一元二次方程根的分布，屬難題.出題角度3嵌套函數(shù)中的取值范圍問題例5已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．解：當(dāng)時(shí)，，則令，則令，則所以函數(shù)在遞增，在遞減，則，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象如圖，關(guān)于的方程有四個(gè)不等實(shí)根令，則①，所以②，由則函數(shù)一個(gè)根在，另外一個(gè)根在中所以綜上所述：故選：A小結(jié)：本題考查方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)，學(xué)會(huì)使用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想以及換元法，考驗(yàn)分析能力以及邏輯推理能力，采用數(shù)型結(jié)合的方法，形象直觀，化繁為簡，屬難題.例6知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰好有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．解：化簡可得，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值；當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，作出函數(shù)對應(yīng)的圖象如圖：函數(shù)在上有一個(gè)最大值為；設(shè)，當(dāng)時(shí)，方程有1個(gè)解，當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)解，當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)解，當(dāng)時(shí)，方程有1個(gè)解，當(dāng)時(shí)，方程有0個(gè)解，則方程等價(jià)為，等價(jià)為方程有兩個(gè)不同的根，或，當(dāng)時(shí)，方程有1個(gè)解，要使關(guān)于的方程恰好有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則，即，解得，則的取值范圍是故選：．例7．已知函數(shù)，若方程有8個(gè)相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍A． B． C． D．解：令，則方程方程．如圖是函數(shù)，的圖象，根據(jù)圖象可得：方程有8個(gè)相異實(shí)根方程．有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)解，且，．可得．故選：．例8．已知函數(shù)，關(guān)于的方程有四個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是A． B．， C．， D．，，解：函數(shù)的圖象如圖：方程有四個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，必須由兩個(gè)解，一個(gè)，一個(gè)，，或者，，另一個(gè)，，可得，當(dāng)時(shí)，，．滿足題意．當(dāng)時(shí)，，，不滿足題意．考察選項(xiàng)可知，正確；故選：．例9．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰好有6個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B．，00， C． D．，00，解：當(dāng)時(shí)，，則，令得：，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且，，當(dāng)時(shí)，，則，顯然（1），當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且（1），故函數(shù)的大致圖象如圖所示：，令，則關(guān)于的方程化為關(guān)于的方程，△，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，設(shè)為，，由韋達(dá)定理得：，，不妨設(shè)，，關(guān)于的方程恰好有6個(gè)不相等的實(shí)根，由函數(shù)的圖象可知：，，設(shè)，則，解得：，故選：．例10（2021·天津部分區(qū)期末考試）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），關(guān)于的方程恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為（）A． B． C． D．分析：令，由，可得，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，作出函數(shù)的圖象，由圖象可知，方程有兩根、，且滿足，，設(shè)，利用二次函數(shù)的零點(diǎn)分布可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍．解：令，由，可得，函數(shù)的定義域?yàn)?，．?dāng)時(shí)，，由可得，由可得．∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，且，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由于關(guān)于的方程恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則關(guān)于的二次方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)根、，且直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，直線與函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，∴，，設(shè)，由二次函數(shù)的零點(diǎn)分布可得，解得．因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選D．小結(jié)：本題考查利用二次函數(shù)的零點(diǎn)分布求參數(shù)，一般要分析以下幾個(gè)要素：（1）二次項(xiàng)系數(shù)的符號；（2）判別式；（3）對稱軸的位置；（4）區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的符號．結(jié)合圖象得出關(guān)于參數(shù)的不等式組求解．出題角度4嵌套函數(shù)中交點(diǎn)個(gè)數(shù)或根（零點(diǎn)）的個(gè)數(shù)例11已知函數(shù)，設(shè)關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的所有可能的值為A．3 B．1或3 C．4或6 D．3或4或6解：，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極大值為，的極小值為（1）．作出的函數(shù)圖象如圖所示：，，△，令則，則．不妨設(shè)，（1）若，則，此時(shí)無解，有三解；（2）若，則，此時(shí)有一解，有兩解；（3）若，則，此時(shí)有兩解，有一解；綜上，有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．故選：．例12已知函數(shù)，，且（1），則關(guān)于的方程實(shí)根個(gè)數(shù)的判斷正確的是A．當(dāng)時(shí)，方程沒有相異實(shí)根 B．當(dāng)或時(shí)，方程有1個(gè)相異實(shí)根 C．當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)相異實(shí)根 D．當(dāng)或或時(shí)，方程有4個(gè)相異實(shí)根解：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?），所以，所以，所以，圖象如圖所示：當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，在上是增加的，在上是減少的；當(dāng)時(shí)，在上是減少的，在上是增加的，故恒成立．故在上是增加的，在上是減少的，在上是增加的．令，則，解得：或，當(dāng)即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，無解，當(dāng)即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，無解，故方程沒有相異實(shí)根，故正確；當(dāng)時(shí)，由可知：，解得，當(dāng)時(shí)，，由上可知在時(shí)取得極大值為，結(jié)合圖象可知，此時(shí)與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，故正確；當(dāng)時(shí)，或，若，結(jié)合圖象可知與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，若，，此時(shí)與有一個(gè)交點(diǎn)，故方程有4個(gè)相異實(shí)根，故錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，由可知此時(shí)有三個(gè)不等實(shí)根，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，由圖可知有兩個(gè)不等實(shí)根，當(dāng)時(shí)，由圖可知有一個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，由圖可知有兩個(gè)不等實(shí)根，當(dāng)時(shí)，由圖可知有一個(gè)實(shí)根，故此時(shí)方程共有9個(gè)不等實(shí)根，故錯(cuò)誤．故選：．題角度5嵌套函數(shù)中的根或零點(diǎn)“組合”的取值范圍例13已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)是1，若有兩個(gè)零點(diǎn)，，則的最小值是．解：，，當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)時(shí)，，則．，令，則或，解得．故函數(shù)的零點(diǎn)是1；由上可知，，有兩個(gè)零點(diǎn)，，即有兩