第五集：嵌套函數（復合函數）-5

第五集:嵌套函數（復合函數）嵌套函數：就是指在某些情況下，可將某函數作為另一函數的參數使用來使用，這一函數就是嵌套函數.一般地，對于定義在區(qū)間上的函數若存在,使得,則稱是函數的一階不動點,簡稱不動點；（2）若存在,使,則稱是函數的二階不動點,簡稱穩(wěn)定點.典型例題出題角度1嵌套函數中不動點穩(wěn)定點問題例1，.（1）求證：；（2）若，且，求實數的取值范圍；（3）若是上的單調遞增函數，是函數的穩(wěn)定點，問是函數的不動點嗎？若是，請證明你的結論；若不是，請說明的理由.解：（1）若，則顯然成立；若，設，，故.有實根，.又，所以，即的左邊有因式，從而有.，要么沒有實根，要么實根是方程的根.若沒有實根，則；若有實根且實根是方程的根，則由方，得，代入，有.由此解得，再代入得，由此，故a的取值范圍是.（3）由題意：x0是函數的穩(wěn)定點,則，①若，是R上的單調增函數，則，所以，矛盾.②若，是R上的單調增函數，則，所以，矛盾故，所以x0是函數的不動點.出題角度2嵌套函數中的求值問題例2.已知函數，若關于的方程有五個不同實根，則的值是A．0或 B． C．0 D．不存在解：畫出函數的圖象，如圖所示：當時，有三個根，把代入方程得，，解得：或，當時，方程為，所以或1，所以有五個根，當時，方程為，所以或，所以有7個根，舍去，綜上所求，時，方程有五個不同實根，故選：．例3．已知函數，方程（其中的實根個數為，所有這些實根的和為，則、的值分別為A．6，4 B．4，6 C．4，0 D．6，0解：，或．作出的函數圖象如圖所示：由圖象可知有兩解，有四解．．由圖象可知的兩解為，，的四個解中，較小的兩個關于直線對稱，較大的兩個關于直線對稱，．故選：．例4已知函數有三個不同的零點，，，且，則的值為（）A．81 B．﹣81 C．﹣9 D．9分析：把f（x）的零點轉化為的零點，令，，可得方程有兩實根，，由判別式大于0解得a的范圍，再由根與系數的關系可得，，進一步得到，，結合，可得，，，則可知，，則.解：∴∴令，，則，∴令，解得∴時，，單調遞減；時，，單調遞增；∴，，∴a﹣3∴.設關于t的一元二次方程有兩實根，，∴，可得或.∵，故∴舍去∴6，.又∵，當且僅當時等號成立，由于，∴，（不妨設）.∵，可得，，.則可知，.∴.故選：A.小結：本題考查函數零點與方程根的關系，考查數學轉化思想方法，考查一元二次方程根的分布，屬難題.出題角度3嵌套函數中的取值范圍問題例5已知函數，若關于的方程有四個不等實根，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．解：當時，，則令，則令，則所以函數在遞增，在遞減，則，且當時，函數圖象如圖，關于的方程有四個不等實根令，則①，所以②，由則函數一個根在，另外一個根在中所以綜上所述：故選：A小結：本題考查方程根的個數求參數，學會使用等價轉化的思想以及換元法，考驗分析能力以及邏輯推理能力，采用數型結合的方法，形象直觀，化繁為簡，屬難題.例6知函數，若關于的方程恰好有4個不相等的實數根，則實數的取值范圍為A． B． C． D．解：化簡可得，當時，，，當時，，當時，，故當時，函數有極大值；當時，，為減函數，作出函數對應的圖象如圖：函數在上有一個最大值為；設，當時，方程有1個解，當時，方程有2個解，當時，方程有3個解，當時，方程有1個解，當時，方程有0個解，則方程等價為，等價為方程有兩個不同的根，或，當時，方程有1個解，要使關于的方程恰好有4個不相等的實數根，則，即，解得，則的取值范圍是故選：．例7．已知函數，若方程有8個相異實根，則實數的取值范圍A． B． C． D．解：令，則方程方程．如圖是函數，的圖象，根據圖象可得：方程有8個相異實根方程．有兩個不等實數解，且，．可得．故選：．例8．已知函數，關于的方程有四個相異的實數根，則的取值范圍是A． B．， C．， D．，，解：函數的圖象如圖：方程有四個相異的實數根，必須由兩個解，一個，一個，，或者，，另一個，，可得，當時，，．滿足題意．當時，，，不滿足題意．考察選項可知，正確；故選：．例9．已知函數，若關于的方程恰好有6個不相等的實根，則實數的取值范圍是A．， B．，00， C． D．，00，解：當時，，則，令得：，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，且，，當時，，則，顯然（1），當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，且（1），故函數的大致圖象如圖所示：，令，則關于的方程化為關于的方程，△，方程有兩個不相等的實根，設為，，由韋達定理得：，，不妨設，，關于的方程恰好有6個不相等的實根，由函數的圖象可知：，，設，則，解得：，故選：．例10（2021·天津部分區(qū)期末考試）已知函數（為自然對數的底數），關于的方程恰有四個不同的實數根，則的取值范圍為（）A． B． C． D．分析：令，由，可得，利用導數分析函數的單調性與極值，作出函數的圖象，由圖象可知，方程有兩根、，且滿足，，設，利用二次函數的零點分布可得出關于實數的不等式組，由此可解得實數的取值范圍．解：令，由，可得，函數的定義域為，．當時，，由可得，由可得．∴函數在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，；當時，，此時函數單調遞增，且，作出函數的圖象如下圖所示：由于關于的方程恰有四個不同的實數根，則關于的二次方程恰有兩個不同的實根、，且直線與函數的圖象有三個交點，直線與函數的圖象有且只有一個交點，∴，，設，由二次函數的零點分布可得，解得．因此，實數的取值范圍是．故選D．小結：本題考查利用二次函數的零點分布求參數，一般要分析以下幾個要素：（1）二次項系數的符號；（2）判別式；（3）對稱軸的位置；（4）區(qū)間端點函數值的符號．結合圖象得出關于參數的不等式組求解．出題角度4嵌套函數中交點個數或根（零點）的個數例11已知函數，設關于的方程有個不同的實數解，則的所有可能的值為A．3 B．1或3 C．4或6 D．3或4或6解：，當或時，，當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，的極大值為，的極小值為（1）．作出的函數圖象如圖所示：，，△，令則，則．不妨設，（1）若，則，此時無解，有三解；（2）若，則，此時有一解，有兩解；（3）若，則，此時有兩解，有一解；綜上，有三個不同的實數解．故選：．例12已知函數，，且（1），則關于的方程實根個數的判斷正確的是A．當時，方程沒有相異實根 B．當或時，方程有1個相異實根 C．當時，方程有2個相異實根 D．當或或時，方程有4個相異實根解：當時，，因為（1），所以，所以，所以，圖象如圖所示：當時，，，則，當且僅當時等號成立，在上是增加的，在上是減少的；當時，在上是減少的，在上是增加的，故恒成立．故在上是增加的，在上是減少的，在上是增加的．令，則，解得：或，當即時，，當時，，無解，當即時，，當時，，無解，故方程沒有相異實根，故正確；當時，由可知：，解得，當時，，由上可知在時取得極大值為，結合圖象可知，此時與有且僅有一個交點，故正確；當時，或，若，結合圖象可知與有三個不同的交點，若，，此時與有一個交點，故方程有4個相異實根，故錯誤；當時，，由可知此時有三個不等實根，當時，或，當時，由圖可知有兩個不等實根，當時，由圖可知有一個實根，當時，或，當時，由圖可知有兩個不等實根，當時，由圖可知有一個實根，故此時方程共有9個不等實根，故錯誤．故選：．題角度5嵌套函數中的根或零點“組合”的取值范圍例13已知函數，則函數的零點是1，若有兩個零點，，則的最小值是．解：，，當時，，，則，當時，，則．，令，則或，解得．故函數的零點是1；由上可知，，有兩個零點，，即有兩