專題02立體幾何中存在性問題的向量解法(原卷版+解析)

專題02立體幾何中存在性問題的向量解法題型一與平行有關(guān)的存在性問題1．如圖，在正方體中，是棱的中點(diǎn)．（1）求二面角的余弦值；（2）在棱（包含端點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)，使平面，給出你的結(jié)論，并證明．2．如圖，四棱錐的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍，為側(cè)棱上的點(diǎn)．（1）若平面，求二面角的大小；（2）在（1）的條件下，側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面．若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，試說明理由．

3．已知在六面體中，平面，平面，且，底面為菱形，且．（1）求證：平面平面；（2）若直線與平面所成角為，試問：在線段上是否存在點(diǎn)，使二面角為？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．4．如圖：平面，四邊形為直角梯形，，，．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值，若不存在，請說明理由．

5．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面平面，，，，是線段的中點(diǎn)，連結(jié)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．6．中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻chú甍méng者，下有袤有廣，而上有袤無廣．芻，草也．甍，屋蓋也．”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條樓．芻字面意思為茅草屋頂．”現(xiàn)有一個(gè)芻如圖所示，四邊形為正方形，四邊形，為兩個(gè)全等的等腰梯形，，，，．（1）求二面角的大??；（2）求三棱錐的體積；（3）點(diǎn)在直線上，滿足，在直線上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．題型二與垂直有關(guān)的存在性問題7．如圖，在直角梯形中，，，且，是的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使平面平面．（1）求二面角的正弦值；（2）在直線上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，請求出點(diǎn)所在的位置；若不存在，請說明理由．8．如圖所示，在長方體中，，分別是，的中點(diǎn)，，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．9．如圖，在直三棱柱中、．，是中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）在棱存在一點(diǎn)，滿足，求平面與平面夾角的余弦值．10．如圖，在長方體中，，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若線段上存在點(diǎn)使得，求與平面所成角的正弦值．11．如圖所示，在四棱錐中，底面，底面是矩形，是線段的中點(diǎn)．已知，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）直線上是否存在點(diǎn)，使得與垂直？若存在，求的長；若不存在，請說明理由．12．如圖，四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面為等腰直角三角形，，，是的中點(diǎn)，二面角的大小為，設(shè)平面與平面的交線為．（1）在線段上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由；（2）若點(diǎn)在上，直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長．題型三與距離有關(guān)的存在性問題13．如圖所示，在直三棱柱中，底面是等腰三角形，，側(cè)棱，，是的中點(diǎn)，試問在線段上是否存在一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），使得點(diǎn)到平面的距離為？14．如圖，長方體中，，為棱中點(diǎn)，為棱中點(diǎn)．（1）求二面角平面角的大?。唬?）線段上是否存在點(diǎn)，使得到平面的距離為？若存在，求出值；若不存在，請說明理由．

15．如圖，三棱柱的所有棱長都是2，平面，是的中點(diǎn)．（1）求平面和平面夾角的余弦值；（2）在線段（含端點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)到平面的距離為？請說明理由．題型四與角度有關(guān)的存在性問題16．如圖，已知在四棱錐中，底面為等腰梯形，，，為棱上一點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且，，，．（1）證明：；（2）是否存在點(diǎn)，使二面角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)位置，若不存在，請說明理由．

17．如圖1，在直角梯形中，，，，．將沿折起，折起后點(diǎn)的位置為點(diǎn)，得到三棱錐如圖2所示，平面平面，直線與平面所成角的正切值為．（1）求線段的長度；（2）試判斷在線段上是否存在點(diǎn)，使二面角的平面角的余弦值為？若存在，請確定其位置；若不存在，請說明理由．18．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，，，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）是否存在點(diǎn)，使平面與平面所成的銳二面角為？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．

19．如圖，在棱長為2的正方體中，，分別是，的中點(diǎn)．（1）證明：，，三線共點(diǎn)；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面，所成角的正弦值為，若存在，請旨出點(diǎn)的位置，并求二面角的平面角的余弦值大小；若不存在，請說明理由．20．如圖，在多面體中，平面平面，底面為直角梯形，，，，與平行并且相等，．（1）證明：；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的平面角余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

21．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，．（1）證明：平面；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．22．如圖，在四棱錐中，，，，．（1）證明：平面；（2）設(shè)平面平面，平面，，在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明由．

23．如圖，在棱長為2的正方體中，、分別是和的中點(diǎn)．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求異面直線與之間的距離；（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的大小為？若存在，求出的長，若不存在，請說明理由．24．如圖，三棱柱所有的棱長為2，，是棱的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）在線段是否存在一點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

25．如圖，四棱錐的底面為菱形，，平面，且，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱上一動(dòng)點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）若，在線段上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的正弦值為？若存在，試確定的位置；若不存在，說明理由．26．如圖，在三棱柱中，四邊形為正方形，四邊形為菱形，且，平面平面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）棱（除兩端點(diǎn)外）上是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，請指出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．1/43專題02立體幾何中存在性問題的向量解法題型一與平行有關(guān)的存在性問題1．如圖，在正方體中，是棱的中點(diǎn)．（1）求二面角的余弦值；（2）在棱（包含端點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)，使平面，給出你的結(jié)論，并證明．【解答】（1）解：設(shè)正方體的邊長為單位長度，建立如圖直角坐標(biāo)系，則，，0，，，1，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，又因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，所以，所以二面角的余弦值為；（2）棱（包含端點(diǎn)）上不存在點(diǎn)，使平面．證明如下：設(shè)的坐標(biāo)為，1，，因?yàn)榈淖鴺?biāo)為，1，，所以，若在棱（包含端點(diǎn)）上存在點(diǎn)，使平面，則，所以，即，這與矛盾，所以棱（包含端點(diǎn)）上不存在點(diǎn)，使平面．2．如圖，四棱錐的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍，為側(cè)棱上的點(diǎn)．（1）若平面，求二面角的大??；（2）在（1）的條件下，側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面．若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，試說明理由．【解答】解：（1）連接，，設(shè)交點(diǎn)為，連接，為正方形，點(diǎn)為與的中點(diǎn)，由題意可知，，故，同理，，且，平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，平面，所以平面的一個(gè)法向量為，平面，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的平面角為銳角，則，則，二面角的大小為；（2），設(shè)，故，于是，平面的一個(gè)法向量為，且平面，，解得，即點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)且靠近點(diǎn)．3．已知在六面體中，平面，平面，且，底面為菱形，且．（1）求證：平面平面；（2）若直線與平面所成角為，試問：在線段上是否存在點(diǎn)，使二面角為？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．【解答】（1）證明：連接，四邊形為菱形，，又平面，平面，，又，平面，又平面，平面平面；（2）解：平面，為在平面上的射影，為直線與平面所成角，則，得，令，則，又四邊形為菱形，，為等邊三角形，得，取的中點(diǎn)，連接，可得，且，，以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，2，，，0，，，，，2，，，設(shè)，，，，，三點(diǎn)共線，，則，，，，，解得，，，，，，，，，由（1）知平面，平面的法向量，取，令平面的法向量為，則，令，則，二面角為，，，解得，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，存在點(diǎn)即為點(diǎn)時(shí)，二面角為．4．如圖：平面，四邊形為直角梯形，，，．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值，若不存在，請說明理由．【解答】（Ⅰ）證明：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢橹苯翘菪?，，，，所以四邊形為正方形，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，、平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面，于是平面平面．（Ⅱ）解：因?yàn)槠矫?，所以、，又因?yàn)?，所以、、兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，1，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，，令，，1，，平面的法向量為，0，，所以二面角的余弦值為．（Ⅲ）解：不存在，理由如下：假設(shè)在棱上存在點(diǎn)，使得平面，令，則，0，，，0，，由（Ⅱ）知平面的法向量為，1，，因?yàn)槠矫?，所以，解得，與，矛盾，所以在棱上不存在點(diǎn)，使得平面．5．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面平面，，，，是線段的中點(diǎn)，連結(jié)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【解答】解：（Ⅰ）證明：因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，又因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以．（Ⅱ）連結(jié)．因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以．由（Ⅰ）可知平面，所以，．設(shè)，則．如圖，以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系．則．所以，．因?yàn)槠矫?，所以是平面的一個(gè)法向量．設(shè)平面的法向量為，，，則，所以令，則，，得，所以．由題知，二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為．（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，平面．理由如下：因?yàn)辄c(diǎn)平面，所以在線段上存在點(diǎn)，使得平面，等價(jià)于．假設(shè)線段上存在點(diǎn)使得平面．設(shè)，則．所以．由，解得．所以當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，平面，且．6．中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻chú甍méng者，下有袤有廣，而上有袤無廣．芻，草也．甍，屋蓋也．”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條樓．芻字面意思為茅草屋頂．”現(xiàn)有一個(gè)芻如圖所示，四邊形為正方形，四邊形，為兩個(gè)全等的等腰梯形，，，，．（1）求二面角的大??；（2）求三棱錐的體積；（3）點(diǎn)在直線上，滿足，在直線上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）過點(diǎn)分別作，，分別交，于，，連接，則為二面角的平面角，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，，所以，，由已知得，所以．?）過點(diǎn)作，垂足為．因?yàn)?，平面，平面，所以平面．因?yàn)椋?，所以．因?yàn)?，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．因?yàn)?，，平面，所以平面，所以為三棱錐的高，．因?yàn)?，所以．?）方法一：假設(shè)存在點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，連接交于，則，所以．因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面，所以，所以．②?dāng)點(diǎn)在延長線上時(shí)，連接交于，則，所以．因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以，所以．綜上，在直線上存在點(diǎn)，使平面，的值為或．方法二：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，過點(diǎn)作交于，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以平面平面．因?yàn)槠矫?，所以平面．因?yàn)槠矫?，平面平面，所以．因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以．?dāng)點(diǎn)在線段延長線上時(shí)，過點(diǎn)作交于，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．因?yàn)?，所以平面平面．因?yàn)槠矫妫云矫妫驗(yàn)槠矫?，平面平面，所以．因?yàn)?，，所以，所以，所以．所以．綜上，在上存在點(diǎn)使得平面，此時(shí)或．題型二與垂直有關(guān)的存在性問題7．如圖，在直角梯形中，，，且，是的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使平面平面．（1）求二面角的正弦值；（2）在直線上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，請求出點(diǎn)所在的位置；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）在圖1中，設(shè)，，，，是的中點(diǎn)，則四邊形為正方形，，在圖2中，設(shè)中點(diǎn)為，，平面平面，平面，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，0，，，，，，，，則有，0，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，1，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，1，，，則二面角的正弦值為．（2）假設(shè)在直線上是存在點(diǎn)，使平面，且，則，，，0，，，，平面的法向量，1，，，，方程無解，假設(shè)不成立，在直線上不存在點(diǎn)，使平面．8．如圖所示，在長方體中，，分別是，的中點(diǎn)，，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【解答】（1）證明：以為原點(diǎn)，以，，所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，0，，，1，，，0，，，2，，，1，，，2，，，，又平面，平面，平面．（2）解：，2，，，2，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令可得，1，，又，0，是平面的一個(gè)法向量，，平面與平面的夾角的余弦值為．（3）解：假設(shè)線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，則，不妨設(shè)，則，，，又，0，，，，，，故存在實(shí)數(shù)使得，，方程組無解，故線段上不存在點(diǎn)，使得平面．9．如圖，在直三棱柱中、．，是中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）在棱存在一點(diǎn)，滿足，求平面與平面夾角的余弦值．【解答】（Ⅰ）證明：連接交于，四邊形是平行四邊形，是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，，又平面，平面，平面．（Ⅱ）解：以為原點(diǎn)，以，，為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，0，，，0，，，2，，，1，，，0，，，，，，，即，，故，0，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令可得，，，又，1，為平面的一個(gè)法向量，，，平面與平面夾角的余弦值為．10．如圖，在長方體中，，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若線段上存在點(diǎn)使得，求與平面所成角的正弦值．【解答】（1）證明：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，則，又，故，可得，則有，即，由為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，可得底面，又平面，所以，又，，，平面，所以平面；（2）解：在長方體中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)，則，，所以，設(shè)，則，又，則，因?yàn)?，，解得，所以，故，，設(shè)平面的法向量為，則有，即，令，，則，故，所以，故與平面所成角的正弦值．11．如圖所示，在四棱錐中，底面，底面是矩形，是線段的中點(diǎn)．已知，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）直線上是否存在點(diǎn)，使得與垂直？若存在，求的長；若不存在，請說明理由．【解答】（Ⅰ）證明：連接交于，連接．因?yàn)榈酌媸蔷匦?，所以是線段的中點(diǎn)．又因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以．又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．（Ⅱ）解：因?yàn)榈酌?，底面，底面，所以，．因?yàn)榈酌媸蔷匦?，所以，．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，2，，，0，，，2，．因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，故，1，．所以，．設(shè)平面的法向量為，則．令，則，．于是．因?yàn)榈酌?，所以為平面的法向量．因?yàn)椋裕深}知二面角是銳角，所以其余弦值為．（Ⅲ）解：因?yàn)闉橹本€上一點(diǎn)，所以，，，其中．所以．又因?yàn)?，．所以與垂直等價(jià)于．所以存在點(diǎn)，，，使得與垂直，此時(shí)，，的長為．12．如圖，四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面為等腰直角三角形，，，是的中點(diǎn)，二面角的大小為，設(shè)平面與平面的交線為．（1）在線段上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由；（2）若點(diǎn)在上，直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長．【解答】解：（1）因?yàn)榈酌鏋榫匦?，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以，從而．取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)椋?，因?yàn)椤⒎謩e為矩形對邊中點(diǎn)，所以，所以平面，因?yàn)?，所以平面，故?dāng)在點(diǎn)時(shí)，平面．（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由（1）知為二面角的平面角，其大小為，因?yàn)閭?cè)面為等腰直角三角形，，所以，所以，，，，2，，，0，，，2，，設(shè)，，，則，，，，2，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，，令，，0，，直線與平面所成角的正弦值為，解得，所以線段的長為．題型三與距離有關(guān)的存在性問題13．如圖所示，在直三棱柱中，底面是等腰三角形，，側(cè)棱，，是的中點(diǎn)，試問在線段上是否存在一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），使得點(diǎn)到平面的距離為？【解答】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，0，，假設(shè)在線段上存在一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），使得點(diǎn)到平面的距離為．可設(shè)，則，，，，0，，，，，，0，，設(shè)平面的法向量為，，，則由，得，即有①，得，即有②由①②可取，，，則，由于點(diǎn)到平面的距離可看作在上投影的絕對值，則為，解得，，成立．則在線段上存在一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且，使得點(diǎn)到平面的距離為．14．如圖，長方體中，，為棱中點(diǎn)，為棱中點(diǎn)．（1）求二面角平面角的大小；（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得到平面的距離為？若存在，求出值；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）取中點(diǎn)，連結(jié)、，在中，為中點(diǎn)，所以，又側(cè)面底面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，，，所以為正方形，所以，又，所以平面，則為二面角的平面角，在中，，所以，所以二面角平面角的大小為；（2）假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得它到平面的距離為，設(shè)，則，在中，，在中，，所以，由，即，解得，所以存在點(diǎn)滿足題意，此時(shí)．15．如圖，三棱柱的所有棱長都是2，平面，是的中點(diǎn)．（1）求平面和平面夾角的余弦值；（2）在線段（含端點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)到平面的距離為？請說明理由．【解答】解：（1）取的中點(diǎn)，連接，，則，，平面，平面，，，兩兩垂直，如圖，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，2，，，2，，，2，，，0，，，2，，，2，，，2，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，1，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，0，，設(shè)平面和平面的夾角為，由圖知為銳角，則，平面和平面夾角的余弦值為．（2）假設(shè)在線段（含端點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)到平面的距離為，設(shè)，，，，則，，，點(diǎn)到平面的距離為，，解得（舍或，在線段上存在點(diǎn)（端點(diǎn)處），使點(diǎn)到平面的距離為．題型四與角度有關(guān)的存在性問題16．如圖，已知在四棱錐中，底面為等腰梯形，，，為棱上一點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且，，，．（1）證明：；（2）是否存在點(diǎn)，使二面角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)位置，若不存在，請說明理由．【解答】（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，且，所以為等腰直角三角形，?分）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，所以，?分）又因?yàn)槠矫妫矫?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以．?分）（2）因?yàn)?，，，所以，即，因?yàn)椋矫?，平面，，所以平面，?分）如圖，以為原點(diǎn)，，，分別為，，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）知，故，0，，，，，，，，，（8分）假設(shè)在棱上存在一點(diǎn)滿足題意，設(shè)，，．所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，即，令，解得，故，（9分）易得平面的一個(gè)法向量為，0，，設(shè)二面角為，可知二面角為銳二面角，（11分）解得，所以存在滿足題意的點(diǎn)，位置在靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處．（12分）17．如圖1，在直角梯形中，，，，．將沿折起，折起后點(diǎn)的位置為點(diǎn)，得到三棱錐如圖2所示，平面平面，直線與平面所成角的正切值為．（1）求線段的長度；（2）試判斷在線段上是否存在點(diǎn)，使二面角的平面角的余弦值為？若存在，請確定其位置；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，又平面，，所以平面，則與平面所成的角為，又，所以，因?yàn)樵谥苯翘菪沃校?，，所以，故，令，則，解得，所以，即；（2）以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，設(shè)，0，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得，取平面的一個(gè)法向量為，則，因?yàn)槎娼堑钠矫娼堑挠嘞抑禐?，故，解得或（舍，?dāng)時(shí)，，故為的四等分點(diǎn)，且．18．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，，，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）是否存在點(diǎn)，使平面與平面所成的銳二面角為？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1），，，，又，平面，平面，，為正方形，，又，，平面，平面，平面，，為線段的中點(diǎn)，，又，，平面，平面，（2）存在定點(diǎn)，使平面與平面所成的銳二面角為以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方形的邊長為2，則，0，，，2，，，0，，，0，，，1，，，設(shè)，2，，則，設(shè)平向的一個(gè)法向量為，則，令，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，令，則，平面與平面所成的銳二面角為，，解得，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，平面與平面所成的銳二面角為．19．如圖，在棱長為2的正方體中，，分別是，的中點(diǎn)．（1）證明：，，三線共點(diǎn)；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面，所成角的正弦值為，若存在，請旨出點(diǎn)的位置，并求二面角的平面角的余弦值大?。蝗舨淮嬖?，請說明理由．【解答】（1）證明：且，，共面．設(shè)，則，而面，面；同理可得面，點(diǎn)在面與面的公共直線上，即，，三線共點(diǎn)．（2）解：根據(jù)題意可知，，，兩兩垂直，以為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：，0，，，0，，，2，，，1，，故，．假設(shè)滿足條件的點(diǎn)存在，設(shè)，2，，，則，設(shè)平面的法向量為，則由，得，不妨取，則，．所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面的平面角為，則，得設(shè)平面的法向量為，則平面的一個(gè)法向量為，二面角的平面角的余弦值．20．如圖，在多面體中，平面平面，底面為直角梯形，，，，與平行并且相等，．（1）證明：；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的平面角余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【解答】解：（1）證明：，，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，；（2）由（1）可知，平面，且，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，2，，，0，，，0，，，4，，，，設(shè)是平面的法向量，則，令，則，設(shè)，，，，設(shè)是平面的法向量，則，令，則，，二面角的平面角余弦值為，，，，故在線段上是否存在點(diǎn)，且．21．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，．（1）證明：平面；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．【解答】（1）證明：平面平面，平面平面，，平面，平面，，在直角梯形中，，，，，，即，又，、平面，平面．（2）解：以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，0，，，1，，，4，，，0，，，1，，，4，，設(shè)，，，則，0，，1，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令，則，，，1，，與平面所成角的正弦值為，，，化簡得，解得，故線段上存在點(diǎn)滿足題意，且．22．如圖，在四棱錐中，，，，．（1）證明：平面；（2）設(shè)平面平面，平面，，在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明由．【解答】（1）證明：在底面中，，，，所以，，所以，故，又，，，平面，故平面；（2）解：延長，相交于點(diǎn)，連結(jié)，則即為交線，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，過點(diǎn)在平面內(nèi)作的垂線，則平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，故，設(shè)，，，，則，故，所以，故，設(shè)平面的法向量為，則有，即，令，則，，故，因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐?，所以，化簡整理可得，解得或（舍，故在線段上存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，此時(shí)的值為．23．如圖，在棱長為2的正方體中，、分別是和的中點(diǎn)．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求異面直線與之間的距離；（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的大小為？若存在，求出的長，若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，0，，，0，，，2，，，2，，，2，，，，0，，，2，，則，所以，故異面直線與所成角的余弦值為（2）取的中