第5講最值問題(原卷版+解析)

第5講最值問題考情分析與解析幾何有關(guān)的范圍、最值問題,高考中屢屢皆是,面對此類題目，往往無從下手。考查最值問題，不僅對圓錐曲線的基本性質(zhì)的考查，而=更是涉及到對其他章節(jié)知識的考查。它能綜合應(yīng)用函數(shù)、三角、不等式等有關(guān)知識,緊緊抓住圓錐曲線的定義進行轉(zhuǎn)化,充分展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用．二、經(jīng)驗分享1.圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定取值范圍；②利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出取值范圍；③利用基本不等式求出取值范圍；④利用函數(shù)的值域的求法，確定取值范圍2.解決圓錐曲線中的取值范圍問題應(yīng)考慮的五個方面(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍．【知識拓展】1.若橢圓方程為，半焦距為，焦點，設(shè)過的直線的傾斜角為，交橢圓于A、B兩點，則有：①；②若橢圓方程為，半焦距為，焦點，設(shè)過的直線的傾斜角為，交橢圓于A、B兩點，則有：①；②同理可求得焦點在y軸上的過焦點弦長為（a為長半軸，b為短半軸，c為半焦距）結(jié)論：橢圓過焦點弦長公式：2.過橢圓左焦點的焦點弦為,則；過右焦點的弦.拋物線與直線相交于且該直線與軸交于點，則有.4.設(shè)為過拋物線焦點的弦，，直線的傾斜角為，則①.②.③.④.；⑤.；⑥.；三、題型分析（一）利用題設(shè)條件，結(jié)合幾何特征與性質(zhì)求范圍1.【2020北京石景山一?！咳鐖D，已知線段上有一動點（異于，），線段，且滿足是大于且不等于的常數(shù)），則點的運動軌跡為（）A.圓的一部分B.橢圓的一部分C.雙曲線的一部分D.拋物線的一部分【變式訓(xùn)練1】【2020陜西延安二模】已知，為雙曲線，的左、右焦點，過的直線與圓相切于點，且，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.【變式訓(xùn)練2】【2020福建龍巖畢業(yè)班質(zhì)檢】已知拋物線：的焦點為，準線為，是上一點，直線與拋物線交于，兩點，若，則（）A.B.C.D.【變式訓(xùn)練3】【2018-2020學(xué)年河北定州市高二上學(xué)期期中】過雙曲線的右支上一點,分別向圓：和圓：作切線,切點分別為,,則的最小值為（）A．10B．13C．16D．19（二）利用根的判別式或韋達定理或參數(shù)建立不等關(guān)系求范圍例2.【2020河南八市下學(xué)期第一次測評】已知拋物線:與圓:，直線與交于，兩點，與交于，兩點，且，位于軸的上方，則_________．【變式訓(xùn)練1】【2020福建龍巖三月質(zhì)檢】已知橢圓：的左、右焦點分別為和，離心率是，直線過點交橢圓于，兩點，當(dāng)直線過點時，的周長為.（1）求橢圓的標準方程；（2）當(dāng)直線繞點運動時，試求的取值范圍.【變式訓(xùn)練2】【2020山東濟南一?！咳鐖D，在平面直角坐標系中，點在拋物線：上，直線：與拋物線交于，兩點，且直線，的斜率之和為.（1）求和的值；（2）若，設(shè)直線與軸交于點，延長與拋物線交于點，拋物線在點處的切線為，記直線，與軸圍成的三角形面積為，求的最小值.【變式訓(xùn)練3】已知橢圓C：的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形,直線與以橢圓C的右焦點為圓心,以橢圓的長半軸長為半徑的圓相切.（1）求橢圓的方程.（2）設(shè)為橢圓上一點,若過點的直線與橢圓相交于不同的兩點和,且滿足(O為坐標原點),求實數(shù)的取值范圍.（三）利用基本不等式求范圍例3.【2020陜西榆林二?！恳阎獟佄锞€的焦點為，，是拋物線上的兩個動點，若，則的最大值為__________．【變式訓(xùn)練1】已知點A(0，－2)，橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(\r(3),2)，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為eq\f(2\r(3),3)，O為坐標原點．(1)求E的方程；(2)設(shè)過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點，當(dāng)△OPQ的面積最大時，求l的方程．（四）求解函數(shù)值域得范圍例4.已知拋物線：，為軸負半軸上的動點，、為拋物線的切線，、分別為切點，則的最小值為（）A.B.C.D.【變式訓(xùn)練1】已知橢圓：經(jīng)過點，橢圓的一個焦點為.（1）求橢圓的方程；（2）若直線過點且與橢圓交于，兩點，求的最大值.（五）利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式求范圍例5.已知，是橢圓的兩個頂點，直線與直線相交于點，與橢圓相交于，兩點，若，則斜率的值為（）A．B．C．或D．或【變式訓(xùn)練1】【2020四川雅安中學(xué)3月考】已知橢圓的離心率為，是橢圓上一點，、是橢圓的左右焦點，為的內(nèi)切圓圓心，若，則的值是（）A.B.C.D.四、遷移應(yīng)用1.在平面直角坐標系中，P是曲線上的一個動點，則點P到直線x+y=0的距離的最小值是.2．在矩形中，，，動點在以點為圓心且與相切的圓上．若，則的最大值為（）A．3B．C．D．23．一條光線從點射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（）A．或B．或C．或D．或4．將離心率為的雙曲線的實半軸長和虛半軸長同時增加個單位長度，得到離心率為的雙曲線，則（）A．對任意的，B．當(dāng)時，；當(dāng)時，C．對任意的，D．當(dāng)時，；當(dāng)時，5．設(shè)分別為和橢圓上的點，則兩點間的最大距離是（）A．B．C．D．6．【2018全國卷Ⅲ】已知斜率為的直線與橢圓：交于，兩點，線段的中點為．(1)證明：；(2)設(shè)為的右焦點，為上一點，且．證明：，，成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差．7．設(shè)橢圓()的左焦點為，上頂點為．已知橢圓的離心率為，點的坐標為，且．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線：與橢圓在第一象限的交點為，且與直線交于點．若(O為原點)，求k的值．

8．平面直角坐標系中，已知橢圓：的離心率為，左、右焦點分別是、．以QUOTE為圓心以3為半徑的圓與以為圓心以1為半徑的圓相交，且交點在橢圓QUOTE上．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)橢圓：，為橢圓上任意一點，過點的直線交橢圓于兩點，射線交橢圓于點．(i)求QUOTE的值；（ii）求△面積的最大值．第5講最值問題考情分析與解析幾何有關(guān)的范圍、最值問題,高考中屢屢皆是,面對此類題目，往往無從下手。考查最值問題，不僅對圓錐曲線的基本性質(zhì)的考查，而=更是涉及到對其他章節(jié)知識的考查。它能綜合應(yīng)用函數(shù)、三角、不等式等有關(guān)知識,緊緊抓住圓錐曲線的定義進行轉(zhuǎn)化,充分展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用．二、經(jīng)驗分享1.圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定取值范圍；②利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出取值范圍；③利用基本不等式求出取值范圍；④利用函數(shù)的值域的求法，確定取值范圍2.解決圓錐曲線中的取值范圍問題應(yīng)考慮的五個方面(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍．【知識拓展】1.若橢圓方程為，半焦距為，焦點，設(shè)過的直線的傾斜角為，交橢圓于A、B兩點，則有：①；②若橢圓方程為，半焦距為，焦點，設(shè)過的直線的傾斜角為，交橢圓于A、B兩點，則有：①；②同理可求得焦點在y軸上的過焦點弦長為（a為長半軸，b為短半軸，c為半焦距）結(jié)論：橢圓過焦點弦長公式：2.過橢圓左焦點的焦點弦為,則；過右焦點的弦.拋物線與直線相交于且該直線與軸交于點，則有.4.設(shè)為過拋物線焦點的弦，，直線的傾斜角為，則①.②.③.④.；⑤.；⑥.；

三、題型分析（一）利用題設(shè)條件，結(jié)合幾何特征與性質(zhì)求范圍1.【2018北京石景山一?！咳鐖D，已知線段上有一動點（異于，），線段，且滿足是大于且不等于的常數(shù)），則點的運動軌跡為（）A.圓的一部分B.橢圓的一部分C.雙曲線的一部分D.拋物線的一部分【答案】B【解析】以線段所在的直線為軸，以線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標系，設(shè)是運動軌跡上任一點，且，則，.所以，，所以，即，即且，所以點的運動軌跡為橢圓的一部分，故選B．【變式訓(xùn)練1】【2018陜西延安二?！恳阎?，為雙曲線，的左、右焦點，過的直線與圓相切于點，且，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】設(shè)，，由過的直線與圓相切，可得圓心到直線的距離，過向直線作垂線，垂足為，在直角三角形中，可得，，，，即有，由OM為三角形的中線，可得，即，即有，再根據(jù)得到雙曲線的離心率為.故選D．【變式訓(xùn)練2】【2018福建龍巖畢業(yè)班質(zhì)檢】已知拋物線：的焦點為，準線為，是上一點，直線與拋物線交于，兩點，若，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】如圖所示，當(dāng)點位于第二象限時，過點作于點，軸于點，由拋物線的定義可得，由平行線的性質(zhì)結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可得：，據(jù)此有：，所以，則，直線的方程為：，代入拋物線方程得.結(jié)合焦點弦公式可得：.結(jié)合對稱性可知，當(dāng)點位于第三象限時仍然有.故選C.【變式訓(xùn)練3】【2018-2020學(xué)年河北定州市高二上學(xué)期期中】過雙曲線的右支上一點,分別向圓：和圓：作切線,切點分別為,,則的最小值為（）A．10B．13C．16D．19【答案】B【解析】由題可知,,因此.故選B．（二）利用根的判別式或韋達定理或參數(shù)建立不等關(guān)系求范圍例2.【2018河南八市下學(xué)期第一次測評】已知拋物線:與圓:，直線與交于，兩點，與交于，兩點，且，位于軸的上方，則_________．【答案】【解析】圓的方程化為，直線過拋物線焦點，結(jié)合拋物線定義，可得，由，得，所以，即.【變式訓(xùn)練1】【2018福建龍巖三月質(zhì)檢】已知橢圓：的左、右焦點分別為和，離心率是，直線過點交橢圓于，兩點，當(dāng)直線過點時，的周長為.（1）求橢圓的標準方程；（2）當(dāng)直線繞點運動時，試求的取值范圍.【解析】（1）因為的周長為，所以，又，所以，所以，所以橢圓的標準方程為.（2）設(shè)，兩點坐標分別為，，當(dāng)直線與軸重合，點與上頂點重合時，，當(dāng)直線與軸重合，點與下頂點重合時，，當(dāng)直線斜率為時，，當(dāng)直線斜率存在且不為時，不妨設(shè)直線方程為，由，得，則有，①②設(shè)，則，代入①②得③④所以，即，解得，綜上，.【變式訓(xùn)練2】【2018山東濟南一?！咳鐖D，在平面直角坐標系中，點在拋物線：上，直線：與拋物線交于，兩點，且直線，的斜率之和為.（1）求和的值；（2）若，設(shè)直線與軸交于點，延長與拋物線交于點，拋物線在點處的切線為，記直線，與軸圍成的三角形面積為，求的最小值.【解析】（1）將點代入拋物線：，得，由，得，設(shè)，，則，，，由已知得.（2）在直線的方程中，令得，，直線的方程為：，即，由，得，解得：，或，所以，由，得，求導(dǎo)得，切線的斜率，切線的方程為：，即，由，得直線、交點縱坐標，在直線，中分別令，得到與軸的交點，，所以，求導(dǎo)得，，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增；所以當(dāng)時，最小值為.【變式訓(xùn)練3】已知橢圓C：的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形,直線與以橢圓C的右焦點為圓心,以橢圓的長半軸長為半徑的圓相切.（1）求橢圓的方程.（2）設(shè)為橢圓上一點,若過點的直線與橢圓相交于不同的兩點和,且滿足(O為坐標原點),求實數(shù)的取值范圍.【分析】（1）由題意可得圓的方程為,圓心到直線的距離；根據(jù)橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形,b=c,代入*式得,即可得到所求橢圓方程；（Ⅱ）由題意知直線的斜率存在,設(shè)直線方程為,設(shè),將直線方程代入橢圓方程得：,根據(jù)得到；設(shè),應(yīng)用韋達定理.討論當(dāng)k=0,的情況,確定的不等式.（Ⅱ）由題意知直線的斜率存在,設(shè)直線方程為,設(shè)將直線方程代入橢圓方程得：∴∴設(shè),則………………8分當(dāng)k=0時,直線l的方程為y=0,此時t=0,成立,故,t=0符合題意.當(dāng)時得∴將上式代入橢圓方程得：整理得：由知所以【點評】確定橢圓方程需要兩個獨立條件,從題中挖掘關(guān)于的等量關(guān)系；直線和橢圓的位置關(guān)系問題,往往要善于利用韋達定理設(shè)而不求,利用點在橢圓上和向量式得,進而求函數(shù)值域．（三）利用基本不等式求范圍例3.【2018陜西榆林二?！恳阎獟佄锞€的焦點為，，是拋物線上的兩個動點，若，則的最大值為__________．【答案】【解析】由已知，得，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最大值為.【變式訓(xùn)練1】已知點A(0，－2)，橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(\r(3),2)，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為eq\f(2\r(3),3)，O為坐標原點．(1)求E的方程；(2)設(shè)過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點，當(dāng)△OPQ的面積最大時，求l的方程．解：(1)設(shè)F(c，0)，由條件知，eq\f(2,c)＝eq\f(2\r(3),3)，得c＝eq\r(3).又eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)當(dāng)l⊥x軸時不合題意，故設(shè)l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．將y＝kx－2代入eq\f(x2,4)＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.當(dāng)Δ＝16(4k2－3)＞0，即k2＞eq\f(3,4)時，x1，2＝eq\f(8k±2\r(4k2－3),4k2＋1).從而|PQ|＝eq\r(k2＋1)|x1－x2|＝eq\f(4\r(k2＋1)·\r(4k2－3),4k2＋1).又點O到直線PQ的距離d＝eq\f(2,\r(k2＋1)).所以△OPQ的面積S△OPQ＝eq\f(1,2)d·|PQ|＝eq\f(4\r(4k2－3),4k2＋1).設(shè)eq\r(4k2－3)＝t，則t＞0，S△OPQ＝eq\f(4t,t2＋4)＝eq\f(4,t＋\f(4,t)).因為t＋eq\f(4,t)≥4，當(dāng)且僅當(dāng)t＝2，即k＝±eq\f(\r(7),2)時等號成立，且滿足Δ＞0.所以當(dāng)△OPQ的面積最大時，l的方程為y＝eq\f(\r(7),2)x－2或y＝－eq\f(\r(7),2)x－2.（四）求解函數(shù)值域得范圍例4.已知拋物線：，為軸負半軸上的動點，、為拋物線的切線，、分別為切點，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】設(shè)切線的方程為代入拋物線方程，消去整理，因為直線與拋物線相切，所以，故．所以方程為，解得．所以點、的坐標分別為、.在方程中，令，可得，所以點的坐標為．所以，所以當(dāng)時，取得最小值．故選C．【變式訓(xùn)練1】已知橢圓：經(jīng)過點，橢圓的一個焦點為.（1）求橢圓的方程；（2）若直線過點且與橢圓交于，兩點，求的最大值.【解析】（1）依題意，設(shè)橢圓的左，右焦點分別為，.則，所以，，，所以橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)：，，.由得.由得.由，得.設(shè)，則，所以.當(dāng)直線的斜率不存在時，，所以的最大值為.（五）利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式求范圍例5.已知，是橢圓的兩個頂點，直線與直線相交于點，與橢圓相交于，兩點，若，則斜率的值為（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】依題意可得橢圓方程為，直線，的方程分別為：，.設(shè)，，，其中，且，滿足方程，故，由，知，所以，由在上知，得，所以，化簡得，解得或.故選C.【變式訓(xùn)練1】【2018四川雅安中學(xué)3月考】已知橢圓的離心率為，是橢圓上一點，、是橢圓的左右焦點，為的內(nèi)切圓圓心，若，則的值是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】取線段的中點為，如圖所示：則，，即.因為，所以，所以，，三點共線，，，所以，因為∽，所以，所以，即.因為橢圓的離心率為，所以，因為，即，所以.故選D.【變式訓(xùn)練2】設(shè)橢圓的左、右焦點分別為、，其焦距為，點在橢圓的內(nèi)部，點是橢圓上的動點，且恒成立，則橢圓離心率的取值范圍是.【答案】【解析】因為點在橢圓的內(nèi)部，所以，，即，，解得.，又因為，且，要恒成立，即，，所以，所以橢圓離心率的取值范圍是.四、遷移應(yīng)用1.在平面直角坐標系中，P是曲線上的一個動點，則點P到直線x+y=0的距離的最小值是.【解析】【解法一】：由，得，

設(shè)斜率為的直線與曲線切于，

由，解得．所以曲線上，點到直線的距離最小，

最小值為．【解法二】：由題意可設(shè)點的坐標為，則點到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，所以點到直線的距離的最小值為4.2．在矩形中，，，動點在以點為圓心且與相切的圓上．若，則的最大值為（）A．3B．C．D．2【答案】A【解析】如圖建立直角坐標系，則，，，，由等面積法可得圓的半徑為，所以圓的方程為，所以，，，由，得，所以=，設(shè)，即，點在圓上，所以圓心到直線的距離小于半徑，所以，解得，所以的最大值為3，即的最大值為3，選A．3．一條光線從點射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（）A．或B．或C．或D．或【答案】D【解析】關(guān)于軸對稱點的坐標為，設(shè)反射光線所在直線為，即，則，，解得或．4．將離心率為的雙曲線的實半軸長和虛半軸長同時增加個單位長度，得到離心率為的雙曲線，則（）A．對任意的，B．當(dāng)時，；當(dāng)時，C．對任意的，D．當(dāng)時，；當(dāng)時，【答案】D【解析】由題意，，∵，由于，，，所以當(dāng)時，，，，，所以；當(dāng)時，，，而，，所以．所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．5．設(shè)分別為和橢圓上的點，則兩點間的最大距離是（）A．B．C．