第02講函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(原卷版+解析)

第02講函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一、單選題1．（2021·河南高二期末（理））中國(guó)古代十進(jìn)制的算籌記數(shù)法在世界數(shù)學(xué)史上是一個(gè)偉大的創(chuàng)造.據(jù)史料推測(cè)，算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期或戰(zhàn)國(guó)初年.算籌記數(shù)的方法是：個(gè)位?百位?萬(wàn)位?…上的數(shù)按縱式的數(shù)碼擺出；十位?千位?十萬(wàn)位?…上的數(shù)按橫式的數(shù)碼擺出，如可用算籌表示為.這個(gè)數(shù)字的縱式與橫式的表示數(shù)碼如圖所示，則的運(yùn)算結(jié)果用算籌表示為（）A． B．C． D．2．（2021·山東日照·高三開(kāi)學(xué)考試）國(guó)棋起源于中國(guó)，春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期已有記載，隋唐時(shí)經(jīng)朝鮮傳入日本，后流傳到歐美各國(guó).圍棋蘊(yùn)含著中華文化的豐富內(nèi)涵，它是中國(guó)文化與文明的體現(xiàn).圍棋使用方形格狀棋盤及黑白二色圓形棋子進(jìn)行對(duì)弈，棋盤上有縱橫各19條線段形成361個(gè)交叉點(diǎn)，棋子走在交叉點(diǎn)上，雙方交替行棋，落子后不能移動(dòng)，以圍地多者為勝.圍棋狀態(tài)空間的復(fù)雜度上限為，據(jù)資料顯示字宙中可觀測(cè)物質(zhì)原子總數(shù)約為，則下列數(shù)中最接近數(shù)值的是（）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．3．（2021·全國(guó)（理））圓的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)與圓的半徑的比例稱為白銀比例，它在東方文化中的重要程度不亞于西方文化中的“黃金比例”．山西應(yīng)縣釋迦塔（即著名的應(yīng)縣木塔），是中國(guó)現(xiàn)存較為古老的木構(gòu)塔式建筑．該木塔總高度與頂層檐柱柱頭以下部分的高度之比與白銀比例高度吻合．已知木塔頂層檐柱柱頭以下部分的高度為米，則應(yīng)縣木塔的總高度大約是（）（參考數(shù)據(jù)：）A．米 B．米C．米 D．米4．（2020·湖南省邵東市第三中學(xué)高一月考）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)．他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)．例如，，已知函數(shù)，現(xiàn)有以下四個(gè)對(duì)函數(shù)的命題：①是偶函數(shù)②是周期函數(shù)③的值域?yàn)椋?，1］④當(dāng)時(shí)，其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．35．（2020·江蘇省震澤中學(xué)高二月考）有一個(gè)非常有趣的數(shù)列叫做調(diào)和數(shù)列，此數(shù)列的前項(xiàng)和已經(jīng)被研究了幾百年，但是迄今為止仍然沒(méi)有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：當(dāng)很大時(shí)，其中稱為歐拉—馬歇羅尼常數(shù)，至今為止都還不確定是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)．由于上式在很大時(shí)才成立，故當(dāng)較小時(shí)計(jì)算出的結(jié)果與實(shí)際值之間是存在一定的誤差的，已知，用上式估算出的與實(shí)際的的誤差絕對(duì)值近似為（）A．0.03 B．0.12 C．0.17 D．0.216．（2021·山西祁縣中學(xué)高三月考（理））2020年12月17日凌晨，嫦娥五號(hào)返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四子王旗預(yù)定區(qū)域安全著陸．嫦娥五號(hào)返回艙之所以能達(dá)到如此高的再入精度，主要是因?yàn)樗捎脧椞椒祷貜椀?，?shí)現(xiàn)了減速和再入階段彈道調(diào)整，這與“打水漂”原理類似(如圖所示)．現(xiàn)將石片扔向水面，假設(shè)石片第一次接觸水面的速率為100m/s，這是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的90%，若要使石片的速率低于60m/s，則至少需要“打水漂”的次數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：取ln0.6≈－0.511，ln0.9≈－0.105)（）A．4 B．5 C．6 D．77．（2021·黑龍江齊齊哈爾市教育局高二期末（文））對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.設(shè)函數(shù)，則（）A．0 B．1 C．2 D．48．（2021·江蘇省震澤中學(xué)高二月考）在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾（L.E.J.Brouwer），簡(jiǎn)單的講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)存在一個(gè)點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”，下列為“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”的是（）A． B．C． D．二、多選題9．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）（多選）材料：函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具，初等函數(shù)是由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的有理運(yùn)算及有限次的復(fù)合所產(chǎn)生的，且能用一個(gè)解析式表示的函數(shù)，如函數(shù)（），我們可以作變形：，所以可看作是由函數(shù)和復(fù)合而成的，即（）為初等函數(shù)．根據(jù)以上材料，對(duì)于初等函數(shù)（）的說(shuō)法正確的是（）A．無(wú)極小值 B．有極小值1 C．無(wú)極大值 D．有極大值10．（2021·全國(guó)高三）德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克雷（Dirichlet）是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，對(duì)數(shù)論、數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn)，我們稱函數(shù)，為狄里克雷函數(shù)．記，則下列的敘述中正確的是（）A．的值域?yàn)锽．是周期函數(shù)C．是奇函數(shù)D．是單調(diào)函數(shù)11．（2021·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)）意大利著名畫家列奧納多·達(dá)芬奇（1452.4—1519.5）的畫作《抱銀貂的女人》中，女士脖頸上懸掛的黑色珍珠項(xiàng)鏈與主人相互映襯呈現(xiàn)出不一樣的美與光澤，有人曾提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，項(xiàng)鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問(wèn)題”，后人給出了懸鏈線的函數(shù)解析式，其中為懸鏈線系數(shù)，稱為雙曲余弦函數(shù)，其表達(dá)式為（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，下同），相應(yīng)地，雙曲正弦函數(shù)的表達(dá)式為．若直線與雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)分別相交于，曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．C．隨的增大而減小 D．的面積隨的增大而減小12．（2021·重慶市楊家坪中學(xué)高三）英國(guó)數(shù)學(xué)家牛頓在17世紀(jì)給出了一種求方程近似根的方法——牛頓迭代平法，做法如下：如圖，設(shè)r是的根，選取作為r的初始近似值，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，則l與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，稱是r的一次近似值；過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，則該切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x2，稱x2是r的二次近似值；重復(fù)以上過(guò)程，得r的近似值序列，其中，稱是r的n+1次近似值，這種求方程近似解的方法稱為牛頓迭代法.若使用該方法求方程的近似解，則（）A．若取初始近似值為1，則該方程解的二次近似值為B．若取初始近似值為2，則該方程解的二次近似值為C．D．三、填空題13．（2021·福建）被譽(yù)為“數(shù)學(xué)之神”之稱的阿基米德最早利用逼近的思想證明了如下結(jié)論：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積，等于拋物線的弦與經(jīng)過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形面積的三分之于二，這個(gè)結(jié)論就是著名的阿基米德定理，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線：與拋物線：交于，兩點(diǎn)，則弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積為_(kāi)__________.14．（2021·山西祁縣中學(xué)高三月考（理））聲音是物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù)．純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)y＝Asinωt，我們聽(tīng)到的聲音是由純音合成的，稱之為復(fù)合音．若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)f(x)＝sinx＋sin2x，則下列結(jié)論正確的是________．(填序號(hào))①2π是f(x)的一個(gè)周期；②f(x)在[0，2π]上有3個(gè)零點(diǎn)；③f(x)的最大值為；④f(x)在上是增函數(shù)．15．（2021·江蘇淮安·）在18世紀(jì)，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家拉格日在他的《解析函數(shù)論》中，第一次提到拉格朗日中值定理，其定理陳述如下，如果函數(shù)f（x）區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)（存在導(dǎo)函數(shù)），在區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)x0∈（a，b），使得f（b）﹣f（a）＝（b﹣a），則x＝x0稱為函數(shù)y＝f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的中值點(diǎn)，則關(guān)于x的f（x）＝ex+mx在區(qū)間[﹣1，1]上的中值點(diǎn)x0的值為_(kāi)_________________.16．（2021·河北保定·高三月考（理））如圖所示，太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽(yáng)魚，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對(duì)統(tǒng)一的和諧美，定義：能夠?qū)AO的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩個(gè)部分的函數(shù)稱為圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”，則下列有關(guān)說(shuō)法中：①函數(shù)是圓O：的一個(gè)太極函數(shù)；②函數(shù)是圓O：的一個(gè)太極函數(shù)；③函數(shù)是圓O：的一個(gè)太極函數(shù)；④函數(shù)是圓O：的一個(gè)太極函數(shù)．所有正確的是_________．四、解答題17．（2021·全國(guó)）《九章算術(shù)》是古代中國(guó)乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，書中記載了一種名為“芻甍”的五面體．“芻薨”字面意思為茅草屋頂，圖1是一棟農(nóng)村別墅，為全新的混凝土結(jié)構(gòu)，它由上部屋頂和下部主體兩部分組成．如圖2，屋頂五面體為芻薨”，其中前后兩坡屋面和是全等的等腰梯形，左右兩坡屋面和是全等的三角形，點(diǎn)在平面和上射影分別為，，已知m，m，梯形的面積是面積的2.2倍．設(shè)．（1）求屋頂面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．（2）已知上部屋頂造價(jià)與屋頂面積成正比，比例系數(shù)為，下部主體造價(jià)與其高度成正比，比例系數(shù)為．現(xiàn)欲造一棟總高度為m的別墅，試問(wèn)：當(dāng)為何值時(shí)，總造價(jià)最低？18．（2021·湖南衡陽(yáng)市八中高一期末）若函數(shù)在時(shí)，函數(shù)值的取值區(qū)間恰為，就稱區(qū)間為的一個(gè)“倒域區(qū)間”．定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．（1）求的解析式；（2）求函數(shù)在內(nèi)的“倒域區(qū)間”；（3）若函數(shù)在定義域內(nèi)所有“倒域區(qū)間”上的圖象作為函數(shù)的圖象，是否存在實(shí)數(shù)，使集合恰含有2個(gè)元素？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”．現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇．衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率．（1）若曲線與在處的曲率分別為，比較大??；（2）求正弦曲線曲率的最大值．20．（2021·蚌埠田家炳中學(xué)高二月考（文））定義在D上的函數(shù)，若滿足：對(duì)任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)的上界．（1）設(shè)，判斷在上是否是有界函數(shù)，若是，說(shuō)明理由，并寫出所有上界的值的集合；若不是，也請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若函數(shù)在上是以4為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．21．（2021·上海市控江中學(xué)高一期末）若函數(shù)的定義域?yàn)椋?，若存在非零?shí)數(shù)使得任意都有，且，則稱為上的-增長(zhǎng)函數(shù).(1)已知函數(shù)，函數(shù)，判斷和是否為區(qū)間上的增長(zhǎng)函數(shù)，并說(shuō)明理由；(2)已知函數(shù)，且是區(qū)間上的-增長(zhǎng)函數(shù)，求正整數(shù)的最小值；(3)如果是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，且為上的增長(zhǎng)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（2021·寶山·上海交大附中高二期末）在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)、的“曼哈頓距離”定義為，記為，如點(diǎn)、的“曼哈頓距離”為9，記為.（1）點(diǎn)，是滿足的動(dòng)點(diǎn)的集合，求點(diǎn)集所占區(qū)域的面積；（2）動(dòng)點(diǎn)在直線上，動(dòng)點(diǎn)在函數(shù)圖像上，求的最小值；（3）動(dòng)點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，點(diǎn)，的最大值記為，請(qǐng)選擇下列二問(wèn)中的一問(wèn)，做出解答：①求證：不存在實(shí)數(shù)、，使；②求的最小值.第02講函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一、單選題1．（2021·河南高二期末（理））中國(guó)古代十進(jìn)制的算籌記數(shù)法在世界數(shù)學(xué)史上是一個(gè)偉大的創(chuàng)造.據(jù)史料推測(cè)，算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期或戰(zhàn)國(guó)初年.算籌記數(shù)的方法是：個(gè)位?百位?萬(wàn)位?…上的數(shù)按縱式的數(shù)碼擺出；十位?千位?十萬(wàn)位?…上的數(shù)按橫式的數(shù)碼擺出，如可用算籌表示為.這個(gè)數(shù)字的縱式與橫式的表示數(shù)碼如圖所示，則的運(yùn)算結(jié)果用算籌表示為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先利用指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)，再利用算籌表示法判斷.【詳解】因?yàn)?，用算籌記數(shù)表示為，故選：.2．（2021·山東日照·高三開(kāi)學(xué)考試）國(guó)棋起源于中國(guó)，春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期已有記載，隋唐時(shí)經(jīng)朝鮮傳入日本，后流傳到歐美各國(guó).圍棋蘊(yùn)含著中華文化的豐富內(nèi)涵，它是中國(guó)文化與文明的體現(xiàn).圍棋使用方形格狀棋盤及黑白二色圓形棋子進(jìn)行對(duì)弈，棋盤上有縱橫各19條線段形成361個(gè)交叉點(diǎn)，棋子走在交叉點(diǎn)上，雙方交替行棋，落子后不能移動(dòng)，以圍地多者為勝.圍棋狀態(tài)空間的復(fù)雜度上限為，據(jù)資料顯示字宙中可觀測(cè)物質(zhì)原子總數(shù)約為，則下列數(shù)中最接近數(shù)值的是（）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算后可得．【詳解】，，因此最接近于．故選：D．3．（2021·全國(guó)（理））圓的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)與圓的半徑的比例稱為白銀比例，它在東方文化中的重要程度不亞于西方文化中的“黃金比例”．山西應(yīng)縣釋迦塔（即著名的應(yīng)縣木塔），是中國(guó)現(xiàn)存較為古老的木構(gòu)塔式建筑．該木塔總高度與頂層檐柱柱頭以下部分的高度之比與白銀比例高度吻合．已知木塔頂層檐柱柱頭以下部分的高度為米，則應(yīng)縣木塔的總高度大約是（）（參考數(shù)據(jù)：）A．米 B．米C．米 D．米【答案】C【分析】由題意，木塔總高度與頂層檐柱柱頭以下部分的高度之比為，又，可估計(jì)【詳解】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，圓的半徑為，則，易知白銀比例為．因?yàn)椋?，所以，故排除A，B，D．故選：C4．（2020·湖南省邵東市第三中學(xué)高一月考）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)．他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)．例如，，已知函數(shù)，現(xiàn)有以下四個(gè)對(duì)函數(shù)的命題：①是偶函數(shù)②是周期函數(shù)③的值域?yàn)椋?，1］④當(dāng)時(shí)，其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】將表示為分段函數(shù)的形式，畫出函數(shù)圖像，由此判斷出正確選項(xiàng).【詳解】由于，所以，由此畫出函數(shù)圖像如下圖所示，由圖可知，是非奇非偶函數(shù)，是周期為的周期函數(shù)，且值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，.故選項(xiàng)②④正確故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查新定義函數(shù)概念的理解和運(yùn)用，屬于中檔題.5．（2020·江蘇省震澤中學(xué)高二月考）有一個(gè)非常有趣的數(shù)列叫做調(diào)和數(shù)列，此數(shù)列的前項(xiàng)和已經(jīng)被研究了幾百年，但是迄今為止仍然沒(méi)有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：當(dāng)很大時(shí)，其中稱為歐拉—馬歇羅尼常數(shù)，至今為止都還不確定是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)．由于上式在很大時(shí)才成立，故當(dāng)較小時(shí)計(jì)算出的結(jié)果與實(shí)際值之間是存在一定的誤差的，已知，用上式估算出的與實(shí)際的的誤差絕對(duì)值近似為（）A．0.03 B．0.12 C．0.17 D．0.21【答案】B【分析】根據(jù)題中所給的近似公式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】而，與實(shí)際的的誤差絕對(duì)值近似為：，故選：B6．（2021·山西祁縣中學(xué)高三月考（理））2020年12月17日凌晨，嫦娥五號(hào)返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四子王旗預(yù)定區(qū)域安全著陸．嫦娥五號(hào)返回艙之所以能達(dá)到如此高的再入精度，主要是因?yàn)樗捎脧椞椒祷貜椀?，?shí)現(xiàn)了減速和再入階段彈道調(diào)整，這與“打水漂”原理類似(如圖所示)．現(xiàn)將石片扔向水面，假設(shè)石片第一次接觸水面的速率為100m/s，這是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的90%，若要使石片的速率低于60m/s，則至少需要“打水漂”的次數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：取ln0.6≈－0.511，ln0.9≈－0.105)（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】設(shè)石片第n次“打水漂”時(shí)的速率為vn，再根據(jù)題意列出不等式求解即可【詳解】設(shè)石片第n次“打水漂”時(shí)的速率為vn，則vn＝100×0.90n－1.由100×0.90n－1<60，得0.90n－1<0.6，則(n－1)ln0.90<ln0.6，即n－1>≈≈4.87，則n>5.87，故至少需要“打水漂”的次數(shù)為6.故選：C7．（2021·黑龍江齊齊哈爾市教育局高二期末（文））對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.設(shè)函數(shù)，則（）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】D【分析】由題意對(duì)已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù)可得圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即，即可得到結(jié)論．【詳解】解：因?yàn)?，所以，，由，得，解得，而，故函?shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故，所以，所以故選：D8．（2021·江蘇省震澤中學(xué)高二月考）在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾（L.E.J.Brouwer），簡(jiǎn)單的講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)存在一個(gè)點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”，下列為“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意逐個(gè)解方程判斷即可【詳解】解：對(duì)于A，由，得，即，方程無(wú)解，所以A不符合題意，對(duì)于B，由，得，即，方程無(wú)解，所以B不符合題意，對(duì)于C，由，得當(dāng)時(shí)，，即，解得或，所以此函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”，所以C正確，對(duì)于D，由，得，即，方程無(wú)解，所以D不符合題意，，故選：C二、多選題9．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）（多選）材料：函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具，初等函數(shù)是由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的有理運(yùn)算及有限次的復(fù)合所產(chǎn)生的，且能用一個(gè)解析式表示的函數(shù)，如函數(shù)（），我們可以作變形：，所以可看作是由函數(shù)和復(fù)合而成的，即（）為初等函數(shù)．根據(jù)以上材料，對(duì)于初等函數(shù)（）的說(shuō)法正確的是（）A．無(wú)極小值 B．有極小值1 C．無(wú)極大值 D．有極大值【答案】AD【分析】根據(jù)給定信息，對(duì)函數(shù)變形并求導(dǎo)，進(jìn)而判斷其極值情況即可得解.【詳解】依題意，，，求導(dǎo)得：，由，得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以有極大值，無(wú)極小值.故選：AD10．（2021·全國(guó)高三）德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克雷（Dirichlet）是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，對(duì)數(shù)論、數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn)，我們稱函數(shù)，為狄里克雷函數(shù)．記，則下列的敘述中正確的是（）A．的值域?yàn)锽．是周期函數(shù)C．是奇函數(shù)D．是單調(diào)函數(shù)【答案】BC【分析】函數(shù)的值域?yàn)?，可判斷A；根據(jù)函數(shù)的周期性和定義和函數(shù)的定義可判斷B；由函數(shù)的奇偶性的定義可判斷C；取特殊函數(shù)值可判斷D．【詳解】函數(shù)的值域?yàn)椋蔄錯(cuò)誤；對(duì)于任意的有理數(shù)，當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，也是有理數(shù)，則，當(dāng)為無(wú)理數(shù)時(shí)，也是無(wú)理數(shù)，則，即函數(shù)是周期函數(shù)，故B正確；的定義域?yàn)?，?dāng)為有理數(shù)時(shí)，是有理數(shù)，則，當(dāng)為無(wú)理數(shù)時(shí)，是無(wú)理數(shù)，則，即為偶函數(shù)，故，故C正確；，，，顯然不是單調(diào)函數(shù)，故D錯(cuò)誤，故選：BC．11．（2021·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)）意大利著名畫家列奧納多·達(dá)芬奇（1452.4—1519.5）的畫作《抱銀貂的女人》中，女士脖頸上懸掛的黑色珍珠項(xiàng)鏈與主人相互映襯呈現(xiàn)出不一樣的美與光澤，有人曾提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，項(xiàng)鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問(wèn)題”，后人給出了懸鏈線的函數(shù)解析式，其中為懸鏈線系數(shù)，稱為雙曲余弦函數(shù)，其表達(dá)式為（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，下同），相應(yīng)地，雙曲正弦函數(shù)的表達(dá)式為．若直線與雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)分別相交于，曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．C．隨的增大而減小 D．的面積隨的增大而減小【答案】BD【分析】利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算并比較結(jié)果可判斷A，B；寫出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，求出曲線在A，B處切線方程，再求出及面積即可判斷C，D作答.【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，A不正確；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，D，點(diǎn)，對(duì)雙曲余弦函數(shù)求導(dǎo)得，對(duì)雙曲正弦函數(shù)求導(dǎo)得，切線PA：，切線PB：，聯(lián)立兩條切線方程，解得點(diǎn)，，因函數(shù)在上隨x的增大先減小再增大，于是得隨m的增大先減小再增大，C不正確；面積隨m的增大而減小，D正確.故選：BD12．（2021·重慶市楊家坪中學(xué)高三）英國(guó)數(shù)學(xué)家牛頓在17世紀(jì)給出了一種求方程近似根的方法——牛頓迭代平法，做法如下：如圖，設(shè)r是的根，選取作為r的初始近似值，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，則l與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，稱是r的一次近似值；過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，則該切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x2，稱x2是r的二次近似值；重復(fù)以上過(guò)程，得r的近似值序列，其中，稱是r的n+1次近似值，這種求方程近似解的方法稱為牛頓迭代法.若使用該方法求方程的近似解，則（）A．若取初始近似值為1，則該方程解的二次近似值為B．若取初始近似值為2，則該方程解的二次近似值為C．D．【答案】ABC【分析】構(gòu)造函數(shù)，并求得導(dǎo)數(shù)，然后按照題干的定義依次代值計(jì)算結(jié)合排除法可得結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，取初始近似值，則，，則A正確；取初始近似值，則，，則B正確；根據(jù)題意，可知，，，，上述四式相加，得，則D不正確，C正確，故選：ABC.三、填空題13．（2021·福建）被譽(yù)為“數(shù)學(xué)之神”之稱的阿基米德最早利用逼近的思想證明了如下結(jié)論：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積，等于拋物線的弦與經(jīng)過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形面積的三分之于二，這個(gè)結(jié)論就是著名的阿基米德定理，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線：與拋物線：交于，兩點(diǎn)，則弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積為_(kāi)__________.【答案】【分析】利用積分的幾何意義，進(jìn)行求積分即可得解.【詳解】聯(lián)立，得，.所以弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積為.故答案為：.14．（2021·山西祁縣中學(xué)高三月考（理））聲音是物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù)．純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)y＝Asinωt，我們聽(tīng)到的聲音是由純音合成的，稱之為復(fù)合音．若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)f(x)＝sinx＋sin2x，則下列結(jié)論正確的是________．(填序號(hào))①2π是f(x)的一個(gè)周期；②f(x)在[0，2π]上有3個(gè)零點(diǎn)；③f(x)的最大值為；④f(x)在上是增函數(shù)．【答案】①②③【分析】對(duì)①，根據(jù)正弦函數(shù)的周期判斷即可；對(duì)②，根據(jù)正弦的二倍角公式化簡(jiǎn)，再求解零點(diǎn)即可；對(duì)③④，求導(dǎo)分析f(x)的單調(diào)性，再求最值即可【詳解】y＝sinx的最小正周期是2π，y＝sin2x的最小正周期是＝π，所以f(x)＝sinx＋sin2x的最小正周期是2π，故①正確；當(dāng)f(x)＝sinx＋sin2x＝0，x∈[0，2π]時(shí)，sinx＋sinxcosx＝0，即sinx(1＋cosx)＝0，即sinx＝0或1＋cosx＝0，解得x＝0或x＝π或x＝2π，所以f(x)在[0，2π]上有3個(gè)零點(diǎn)，故②正確；f(x)＝sinx＋sin2x＝sinx＋sinxcosx，f′(x)＝cosx＋cos2x－sin2x＝2cos2x＋cosx－1，令f′(x)＝0，解得cosx＝或cosx＝－1，當(dāng)x∈或x∈時(shí)，<cosx<1，此時(shí)f′(x)>0，則f(x)在，上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈時(shí)，－1≤cosx<，此時(shí)f′(x)≤0但不恒為0，則f(x)在上單調(diào)遞減，則當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，為f＝sin＋sin＝＋＝，故③正確，④錯(cuò)誤．故答案為：①②③15．（2021·江蘇淮安·）在18世紀(jì)，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家拉格日在他的《解析函數(shù)論》中，第一次提到拉格朗日中值定理，其定理陳述如下，如果函數(shù)f（x）區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)（存在導(dǎo)函數(shù)），在區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)x0∈（a，b），使得f（b）﹣f（a）＝（b﹣a），則x＝x0稱為函數(shù)y＝f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的中值點(diǎn)，則關(guān)于x的f（x）＝ex+mx在區(qū)間[﹣1，1]上的中值點(diǎn)x0的值為_(kāi)_________________.【答案】【分析】由拉格朗日中值定理可得,求導(dǎo)函數(shù)，代入計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】解：當(dāng)x∈[﹣1，1]時(shí)，由拉格朗日中值定理可得＝，∵f'（x）＝ex+m，∴+m，即，∴.故答案為：.16．（2021·河北保定·高三月考（理））如圖所示，太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽(yáng)魚，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對(duì)統(tǒng)一的和諧美，定義：能夠?qū)AO的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩個(gè)部分的函數(shù)稱為圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”，則下列有關(guān)說(shuō)法中：①函數(shù)是圓O：的一個(gè)太極函數(shù)；②函數(shù)是圓O：的一個(gè)太極函數(shù)；③函數(shù)是圓O：的一個(gè)太極函數(shù)；④函數(shù)是圓O：的一個(gè)太極函數(shù)．所有正確的是_________．【答案】①②③④【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，作出每個(gè)函數(shù)的圖像，探討每個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性，進(jìn)而得到答案.【詳解】①兩曲線的對(duì)稱中心均為點(diǎn)，且兩曲線交于兩點(diǎn)，所以能把圓一分為二，如圖，故正確；②函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，經(jīng)過(guò)圓的圓心，且兩曲線交于兩點(diǎn)，如圖：所以函數(shù)是圓的一個(gè)太極函數(shù)，故正確；③函數(shù)為奇函數(shù)，如圖：所以函數(shù)是圓的一個(gè)太極函數(shù)，故正確；④函數(shù)為奇函數(shù)，且單調(diào)遞增，如圖，所以函數(shù)是圓的一個(gè)太極函數(shù)，故正確．故答案為：①②③④.四、解答題17．（2021·全國(guó)）《九章算術(shù)》是古代中國(guó)乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，書中記載了一種名為“芻甍”的五面體．“芻薨”字面意思為茅草屋頂，圖1是一棟農(nóng)村別墅，為全新的混凝土結(jié)構(gòu)，它由上部屋頂和下部主體兩部分組成．如圖2，屋頂五面體為芻薨”，其中前后兩坡屋面和是全等的等腰梯形，左右兩坡屋面和是全等的三角形，點(diǎn)在平面和上射影分別為，，已知m，m，梯形的面積是面積的2.2倍．設(shè)．（1）求屋頂面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．（2）已知上部屋頂造價(jià)與屋頂面積成正比，比例系數(shù)為，下部主體造價(jià)與其高度成正比，比例系數(shù)為．現(xiàn)欲造一棟總高度為m的別墅，試問(wèn)：當(dāng)為何值時(shí)，總造價(jià)最低？【答案】（1）；（2）當(dāng)為時(shí)，該別墅總造價(jià)最低．【分析】（1）先求得,進(jìn)而求得屋頂面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.（2）首先求得別墅總造價(jià)，利用導(dǎo)數(shù)求得當(dāng)時(shí)，總造價(jià)最低.【詳解】（1）由題意，知平面，因?yàn)槠矫妫裕谥校?，，所以．所以的面積為．所以屋頂面積．所以關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為．（2）在，，所以下部主體高度為．所以別墅總造價(jià)為．設(shè)，，則，令，得，又，所以．與隨的變化情況如下表：0所以當(dāng)時(shí)，在上有最小值．所以當(dāng)為時(shí)，該別墅總造價(jià)最低．18．（2021·湖南衡陽(yáng)市八中高一期末）若函數(shù)在時(shí)，函數(shù)值的取值區(qū)間恰為，就稱區(qū)間為的一個(gè)“倒域區(qū)間”．定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．（1）求的解析式；（2）求函數(shù)在內(nèi)的“倒域區(qū)間”；（3）若函數(shù)在定義域內(nèi)所有“倒域區(qū)間”上的圖象作為函數(shù)的圖象，是否存在實(shí)數(shù)，使集合恰含有2個(gè)元素？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在；．【分析】（1）運(yùn)用奇函數(shù)的性質(zhì)即可求得函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)題意列出方程組，從而求解；（3）分析題意得出，從而只需考慮或兩種情況；再根據(jù)（2）的結(jié)論求出，從而根據(jù)方程思想求的值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，．所以．（2）設(shè)，因?yàn)樵谏线f減，所以，整理得，解得．所以在內(nèi)的“倒域區(qū)間”為．（3）因?yàn)樵跁r(shí)，函數(shù)值的取值區(qū)間恰為，其中，，所以，即，同號(hào)，所以只需考慮或，當(dāng)時(shí)，根據(jù)的圖象知，最大值為1，，，所以，由（2）知在內(nèi)的“倒域區(qū)間”為；當(dāng)，最小值為，，，所以，同理知在內(nèi)的“倒域區(qū)間”為．所以．依題意：拋物線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，一個(gè)交點(diǎn)在第一象限，一個(gè)交點(diǎn)在第三象限．因此，應(yīng)當(dāng)使方程在內(nèi)恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，并且使方程在內(nèi)恰有一個(gè)實(shí)數(shù)．由方程在內(nèi)恰有一根知；由方程在內(nèi)恰有一根知，綜上知：．19．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”．現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇．衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率．（1）若曲線與在處的曲率分別為，比較大?。唬?）求正弦曲線曲率的最大值．【答案】（1）；（2）1．【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)及導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)曲率定義直接計(jì)算，然后比較．（2）求，再求，然后曲率，用換元法，函數(shù)的單調(diào)性求得最大值．【詳解】（1），，所以，，，，所以；（2），，所以，，令，則，設(shè)，則，顯然當(dāng)時(shí)，，遞減，所以．最大值為1，所以的最大值為1．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查新定義“曲率”，解題關(guān)鍵是理解曲率的定義，實(shí)質(zhì)就是對(duì)導(dǎo)函數(shù)再求導(dǎo)得，然后根據(jù)所給公式求出的曲率．20．（2021·蚌埠田家炳中學(xué)高二月考（文））定義在D上的函數(shù)，若滿足：對(duì)任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)的上界．（1）設(shè)，判斷在上是否是有界函數(shù)，若是，說(shuō)明理由，并寫出所有上界的值的集合；若不是，也請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若函數(shù)在上是以4為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）是有界函數(shù)，理由見(jiàn)解析，；（2）.【分析】（1）分離常數(shù)后,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,在區(qū)間內(nèi)求得最大值與最小值,即可根據(jù)有界函數(shù)的定義求得的取值范圍.（2）根據(jù)有界函數(shù)定義,可得的值域，代入解析式可分離得的不等式組，利用換元法轉(zhuǎn)化為二次不等式形式,結(jié)合恒成立條件,即可求得的取值范圍.【詳解】，則在上是增函數(shù)；故；即，故，故是有界函數(shù)；故的所有上界的值的集合是；由題意知，對(duì)恒成立．即：，令，，所以，對(duì)恒成立，，設(shè)，，由由于在上遞增，在上遞減，在上的最大值為，在上的最小值為，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)新定義有界函數(shù)，函數(shù)的上界，函數(shù)在上是以4為上界的有界函數(shù)轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立是解題關(guān)鍵，然后分離參數(shù)，求函數(shù)的最大值與最小值是難點(diǎn)，屬于中檔題.21．（2021·上海市控江中學(xué)高一期末）若函數(shù)的定義域?yàn)?，集合，若存在非零?shí)數(shù)使得任意都有，且，則稱為上的-增長(zhǎng)函數(shù).(1)已知函數(shù)，函數(shù)，判斷和是否為區(qū)間上的增長(zhǎng)函數(shù)，并說(shuō)明理由；(2)已知函數(shù)，且是區(qū)間上的-增長(zhǎng)函數(shù)，求正整數(shù)