新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線綜合講義第7講共線問題(原卷版+解析)

第7講共線問題一、解答題1．已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點O，焦點在y軸上，離心率，橢圓上的點到焦點的最短距離為,直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A、B，且.（1）求橢圓方程；（2）求的取值范圍．2．已知橢圓的左頂點為A，右焦點為F，過點A作斜率為的直線與C相交于A，B，且，O坐標(biāo)原點.（1）求橢圓的離心率e；（2）若，過點F作與直線平行的直線l，l與橢圓C相交于P，Q兩點.（ⅰ）求的值；（ⅱ）點M滿足，直線與橢圓的另一個交點為N，求的值.3．已知曲線.（1）若曲線C表示雙曲線，求的范圍；（2）若曲線C是焦點在軸上的橢圓，求的范圍；（3）設(shè)，曲線C與軸交點為A，B（A在B上方），與曲線C交于不同兩點M，N，與BM交于G，求證：A，G，N三點共線.4．已知圓O的方程為，圓O與y軸的交點為A，B(點A在點B的上方)，直線與圓O相交于M，N兩點（1）當(dāng)k=1時，求弦長；（2）若直線y=4與直線BM交于點D，求證：D、A、N三點共線.5．已知橢圓：的左頂點為，右焦點為，為原點，，是軸上的兩個動點，且，直線和分別與橢圓交于，兩點．（Ⅰ）求的面積的最小值；（Ⅱ）證明：，，三點共線.6．已知拋物線的焦點為F，直線l與拋物線C交于兩點.（1）若直線l的方程為，求的值；（2）若直線l的斜率為2，l與y軸的交點為P，且，求.7．已知拋物線的焦點為，斜率為的直線與的交點為，與軸的交點為.（1）若，求直線的方程；（2）若，求線段的長度.8．在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣1.0），B（1，0），設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別與邊AC，BC，AB相切于點P，Q，R，已知|CP|＝1，記動點C的軌跡為曲線E.（1）求曲線E的方程；（2）過G（2，0）的直線與y軸正半軸交于點S，與曲線E交于點H，HA⊥x軸，過S的另一直線與曲線E交于M、N兩點，若S△SMG＝6S△SHN，求直線MN的方程.9．已知橢圓=1（a＞b＞0）的右焦點為F（2，0），且過點（2，）．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l：y=kx（k＞0）與橢圓在第一象限的交點為M，過點F且斜率為-1的直線與l交于點N，若sin∠FON（O為坐標(biāo)原點），求k的值．10．如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的半焦距為c,且過點,原點O到經(jīng)過兩點(c,0),(0,b)的直線的距離為.(1)求橢圓E的方程;(2)A為橢圓E上異于頂點的一點,點P滿足,過點P的直線交橢圓E于B,C兩點,且,若直線OA,OB的斜率之積為,求證:.11．已知橢圓C：上的點到右焦點F的最大距離為，離心率為．求橢圓C的方程；如圖，過點的動直線l交橢圓C于M，N兩點，直線l的斜率為，A為橢圓上的一點，直線OA的斜率為，且，B是線段OA延長線上一點，且過原點O作以B為圓心，以為半徑的圓B的切線，切點為令，求取值范圍．12．已知拋物線與橢圓的一個交點為，點是的焦點，且.(1)求與的方程；(2)設(shè)為坐標(biāo)原點，在第一象限內(nèi)，橢圓上是否存在點，使過作的垂線交拋物線于，直線交軸于，且?若存在，求出點的坐標(biāo)和的面積；若不存在，說明理由.13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心在坐標(biāo)原點O，其右焦點為，且點

在橢圓C上．求橢圓C的方程；設(shè)橢圓的左、右頂點分別為A、B，M是橢圓上異于A，B的任意一點，直線MF交橢圓C于另一點N，直線MB交直線于Q點，求證：A，N，Q三點在同一條直線上．14．已知點是拋物線的焦點，若點在拋物線上，且求拋物線的方程；動直線與拋物線相交于兩點，問：在軸上是否存在定點其中，使得向量與向量共線其中為坐標(biāo)原點？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．15．已知圓，圓，，當(dāng)兩個圓有公共點時，所有可能的公共點組成的曲線記為.（1）求出曲線的方程；（2）已知向量，，，為曲線上不同三點，，求面積的最大值.16．已知方向向量為的直線過點和橢圓的右焦點，且橢圓的離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）若已知點，點M,N是橢圓C上不重合的兩點，且，求實數(shù)的取值范圍.17．已知橢圓的焦點為，，P是橢圓C上一點.若橢圓C的離心率為，且，的面積為.（1）求橢圓C的方程；（2）已知O是坐標(biāo)原點，向量，過點（2，0）的直線l與橢圓C交于M，N兩點.若點滿足，，求的最小值.18．已知橢圓經(jīng)過點，其離心率為，經(jīng)過點，斜率為的直線與橢圓相交于兩點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)橢圓與軸正半軸、軸正半軸分別相交于兩點，則是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請說明理由．第7講共線問題一、解答題1．已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點O，焦點在y軸上，離心率，橢圓上的點到焦點的最短距離為,直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A、B，且.（1）求橢圓方程；（2）求的取值范圍．【答案】（1）y21．（2）（﹣1，）∪（，1）．【詳解】（1）由條件知a﹣c＝1，，∴a＝1，b＝c，故C的方程為：y21．（2）設(shè)l：y＝kx+m與橢圓C交點為A（x1，y1），B（x2，y2）聯(lián)立得（k2+2）x2+2kmx+（m2﹣1）＝0△＝（2km）2﹣4（k2+2）（m2﹣1）＝4（k2﹣2m2+2）＞0（*）x1+x2，x1x2∵3，∴﹣x1＝3x2∴x1+x2＝﹣2x2，x1x2＝﹣3x22，消去x2，得3（x1+x2）2+4x1x2＝0，∴3（）2+40整理得4k2m2+2m2﹣k2﹣2＝0m2時，上式不成立；m2時，k2，因λ＝3，∴k≠0，∴k20，∴﹣1＜m或m＜1容易驗證k2＞2m2﹣2成立，所以（*）成立即所求m的取值范圍為（﹣1，）∪（，1）．2．已知橢圓的左頂點為A，右焦點為F，過點A作斜率為的直線與C相交于A，B，且，O坐標(biāo)原點.（1）求橢圓的離心率e；（2）若，過點F作與直線平行的直線l，l與橢圓C相交于P，Q兩點.（ⅰ）求的值；（ⅱ）點M滿足，直線與橢圓的另一個交點為N，求的值.【答案】（1）；（2）（?。?；（ⅱ）.【分析】（1）由幾何關(guān)系可得點坐標(biāo)，代入橢圓方程即得，又即得；（2）（ⅰ）將直線與橢圓聯(lián)立即得結(jié)果；（ⅱ）將其坐標(biāo)化，利用P，Q，N在橢圓上求得結(jié)果即可．【詳解】（1）已知，則，代入橢圓C的方程：，∴，∴，∴．（2）（ⅰ）由（1）可得，∴設(shè)直線l：∵，∴聯(lián)立直線l與橢圓C的方程：恒成立∴∴．（ⅱ）設(shè)∴∵P，Q，N在橢圓上，∴∴由（?。┛芍?，∴，∴∴．3．已知曲線.（1）若曲線C表示雙曲線，求的范圍；（2）若曲線C是焦點在軸上的橢圓，求的范圍；（3）設(shè)，曲線C與軸交點為A，B（A在B上方），與曲線C交于不同兩點M，N，與BM交于G，求證：A，G，N三點共線.【答案】（1）；（2）；（3）見解析【分析】（1）若曲線表示雙曲線，則：，解得的范圍；（2）若曲線是焦點在軸上的橢圓，則，解得的取值范圍；（3）聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合，解得，設(shè)，，，求出的方程，可得，從而可得，，欲證，，三點共線，只需證，共線，利用韋達(dá)定理，可以證明．【詳解】（1）若曲線表示雙曲線，則：，解得：.（2）若曲線是焦點在軸上的橢圓，則：，解得：（3）當(dāng)，曲線可化為：，當(dāng)時，，故點坐標(biāo)為：，，將直線代入橢圓方程得：，若與曲線交于不同兩點，，則，解得，由韋達(dá)定理得：

①，

②設(shè)，，，方程為：，則，∴，，欲證，，三點共線，只需證，共線，即，將①②代入可得等式成立，則，，三點共線得證．【點睛】本題考查橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三點共線，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理進(jìn)行求解，屬于中檔題.4．已知圓O的方程為，圓O與y軸的交點為A，B(點A在點B的上方)，直線與圓O相交于M，N兩點（1）當(dāng)k=1時，求弦長；（2）若直線y=4與直線BM交于點D，求證：D、A、N三點共線.【答案】（1）；（2）證明見解析；【分析】（1）先求出圓心到直線的距離，再由代入計算即可；（2）聯(lián)立，借用韋達(dá)定理表示出，證明，即可證明D、A、N三點共線.【詳解】（1）∵，∴直線l的方程為.圓心到直線的距離，∴；（2）由題可得，，設(shè)，，聯(lián)立得：，，，，令，得，∴，，，∵，，∴D、A、N三點共線.【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓的弦長的求解，韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運算求解能力.5．已知橢圓：的左頂點為，右焦點為，為原點，，是軸上的兩個動點，且，直線和分別與橢圓交于，兩點．（Ⅰ）求的面積的最小值；（Ⅱ）證明：，，三點共線.【答案】（1）1；（2）詳見解析。【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)，，然后根據(jù)求得的值，從而得到的表達(dá)式，從而利用基本不等式求出最小值，；（Ⅱ）首先設(shè)出直線的方程，然后聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理得到點坐標(biāo)間的關(guān)系，從而使問題得證．試題解析：（Ⅰ）設(shè)，，∵，可得，，∵，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．∴，∴，∴四邊形的面積的最小值為1．（Ⅱ）∵，，∴直線的方程為，由得，由，得，①同理可得，∵，∵②故由①②可知：，代入橢圓方程可得∵，故，分別在軸兩側(cè)，，∴，∴，，三點共線．點睛:解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法．6．已知拋物線的焦點為F，直線l與拋物線C交于兩點.（1）若直線l的方程為，求的值；（2）若直線l的斜率為2，l與y軸的交點為P，且，求.【答案】（1）18；（2）.【分析】（1）設(shè)出點的坐標(biāo)聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去，由韋達(dá)定理可得，由拋物線上的點到焦點的距離和到準(zhǔn)線的距離相等即可得結(jié)果.（2）可設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去，結(jié)合韋達(dá)定理以及可解出，，根據(jù)弦長公式即可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，.聯(lián)立整理得，則.因為均在拋物線C上，所以.（2）設(shè)，則直線l的方程為.聯(lián)立整理得，則，，且，即.因為，所以點N為線段的中點，所以.因為，所以，，此時，，故.【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，直線與拋物線相交時所得的弦長問題，注意拋物線性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.7．已知拋物線的焦點為，斜率為的直線與的交點為，與軸的交點為.（1）若，求直線的方程；（2）若，求線段的長度.【答案】（1）（2）【分析】（1）設(shè)直線方程為，，直線方程與拋物線方程聯(lián)立，由根與系數(shù)關(guān)系求出，進(jìn)而得出建立的方程，求解即可；（2）由，得，結(jié)合（1）中的關(guān)系，即可求出結(jié)論.【詳解】設(shè)直線方程為，聯(lián)立由得，.由拋物線的定義知所以，滿足，符合題意，所以直線方程為.由（1）得.由得，解得，滿足，符合題意，所以.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，要熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系在解題的中應(yīng)用，不要遺漏兩交點存在滿足的條件，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.8．在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣1.0），B（1，0），設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別與邊AC，BC，AB相切于點P，Q，R，已知|CP|＝1，記動點C的軌跡為曲線E.（1）求曲線E的方程；（2）過G（2，0）的直線與y軸正半軸交于點S，與曲線E交于點H，HA⊥x軸，過S的另一直線與曲線E交于M、N兩點，若S△SMG＝6S△SHN，求直線MN的方程.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）由橢圓定義可知，曲線E為除去與x軸的交點的橢圓，由定義即可求出方程；（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），依題意可得即有x1＝﹣3x2，分直線MN斜率存在及不存在兩種情況討論，當(dāng)斜率不存在時易知不符合條件，當(dāng)斜率存在時，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，由此建立等式，解出即可得到答案.【詳解】（1）由題意知，|CA|+|CB|＝|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|＝2|CP|+|AB|＝4＞|AB|，∴曲線E是以A，B為焦點，長軸長為4的橢圓（除去與x軸的交點），設(shè)曲線E：，則c＝1，2a＝4，即a＝2，b2＝a2﹣c2＝3，∴曲線E的方程為；（2）因為HA⊥x軸，所以，設(shè)S（0，y0），∴，解得y0＝1，則S（0，1），因為a＝2c，所以|SG|＝2|SH|，∴，∴，則，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則，則x1＝﹣3x2，①當(dāng)直線MN斜率不存在時，MN的方程為x＝0，此時，不符合條件，舍去；②當(dāng)直線MN的斜率存在時，設(shè)直線MN的方程為y＝kx+1，聯(lián)立，得（3+4k2）x2+8kx﹣8＝0，∴，將x1＝﹣3x2代入得，，∴，∴，解得，∴直線MN的方程為或.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查定義法求軌跡，以及直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是由S△SMG＝6S△SHN通過合適的面積公式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而找到的橫坐標(biāo)關(guān)系，再通過直線與橢圓聯(lián)立，由韋達(dá)定理建立等式解出．9．已知橢圓=1（a＞b＞0）的右焦點為F（2，0），且過點（2，）．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l：y=kx（k＞0）與橢圓在第一象限的交點為M，過點F且斜率為-1的直線與l交于點N，若sin∠FON（O為坐標(biāo)原點），求k的值．【答案】（1）；（2）或【分析】（1）根據(jù)題意列出有關(guān)a2、b2的方程組，求出這兩個數(shù)的值，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點M的坐標(biāo)為（x1，y1），點N的坐標(biāo)（x2，y2），利用已知條件sin∠FON，得出，然后將直線l的方程分別與橢圓方程和直線NF的方程聯(lián)立，求出點M、N的坐標(biāo)，結(jié)合條件可求出k的值．【詳解】（1）由題意可知，解得a2＝16，b2＝12（負(fù)值舍去），所以橢圓方程為；（2）設(shè)點M的坐標(biāo)為，點N的坐標(biāo)，由題可知，故，因為，而，所以，由，可得，所以，由，消去x，可得，易知直線NF的方程為，由，消去x，可得，所以，整理得52k2﹣96k+27＝0，解得或．【點睛】本題考查直線與橢圓的綜合問題，考查橢圓方程的求解，考查直線與橢圓綜合問題的求解，解決本題的關(guān)鍵在于求出一些關(guān)鍵的點和直線方程，考查計算能力，屬于中等題．10．如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的半焦距為c,且過點,原點O到經(jīng)過兩點(c,0),(0,b)的直線的距離為.(1)求橢圓E的方程;(2)A為橢圓E上異于頂點的一點,點P滿足,過點P的直線交橢圓E于B,C兩點,且,若直線OA,OB的斜率之積為,求證:.【答案】（1）.（2）見解析【詳解】試題分析：（1）利用點到直線距離公式得等量關(guān)系：,即a=2b.再利用點在橢圓上的條件得,解得a=2,b=1,（2）設(shè)化簡,得,代入橢圓方程得，再根據(jù)直線OA,OB的斜率之積為,得，即得.試題解析：(1)過點(c,0),(0,b)的直線方程為bx+cy-bc=0,則原點O到直線的距離為,得a=2b.又橢圓過點,則,聯(lián)立得a=2,b=1,所以橢圓方程為.(2)證明:設(shè)因為,又,得,故,代入橢圓方程得:,整理得.①因為A,B在橢圓E上,所以,②又直線OA,OB的斜率之積為即.③將②③兩式代入(1)得.點睛：定點、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的.定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn).11．已知橢圓C：上的點到右焦點F的最大距離為，離心率為．求橢圓C的方程；如圖，過點的動直線l交橢圓C于M，N兩點，直線l的斜率為，A為橢圓上的一點，直線OA的斜率為，且，B是線段OA延長線上一點，且過原點O作以B為圓心，以為半徑的圓B的切線，切點為令，求取值范圍．【答案】(1)；(2)．【分析】依題，結(jié)合離心率求得a與c的值，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；由已知可得直線l的方程，與橢圓C：聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用弦長公式求得弦，寫出OA所在直線方程，與橢C：聯(lián)立求得，得到，利用換元法求得的范圍，把轉(zhuǎn)化為含的代數(shù)式求解．【詳解】依題，，解得，，．橢圓C的方程為；由已知可得直線l的方程為：，與橢圓C：聯(lián)立，得，由題意，設(shè)，，則，．弦，OA所在直線方程為，與橢C：聯(lián)立，解得，．．令，則，則，得到，．令，由知，，換元得：，其中．．【點睛】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與圓、圓與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力，屬難題．12．已知拋物線與橢圓的一個交點為，點是的焦點，且.(1)求與的方程；(2)設(shè)為坐標(biāo)原點，在第一象限內(nèi)，橢圓上是否存在點，使過作的垂線交拋物線于，直線交軸于，且?若存在，求出點的坐標(biāo)和的面積；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）利用拋物線的定義求，點的坐標(biāo)代入求出，的值；

（2）設(shè)出，的方程與橢圓、拋物線分別聯(lián)立，求出的橫坐標(biāo)，利用，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）由拋物線定義：，所以的方程為，將代入得，即，將代入，得，故方程為.即（2）由題意：直線的斜率存在且不為0，設(shè)的方程為，由于，則的方程為，由得由，得，得（舍）或在第一象限內(nèi)，若滿足的點存在，則，此時，設(shè)直線與軸交于點，由于，所以，故，即為線段中點，因此，即，解得，故存在適合題意的，此時，此時方程為，即，點到的距離，，所以【點睛】本題考查拋物線、橢圓的方程，考查直線與拋物線、橢圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心在坐標(biāo)原點O，其右焦點為，且點

在橢圓C上．求橢圓C的方程；設(shè)橢圓的左、右頂點分別為A、B，M是橢圓上異于A，B的任意一點，直線MF交橢圓C于另一點N，直線MB交直線于Q點，求證：A，N，Q三點在同一條直線上．【答案】（1）（2）見解析【分析】（1）設(shè)橢圓的方程為，由題意可得，解方程組即可.（2）設(shè)，，直線MN的方程為，由方程組，消去整理得，根據(jù)韋達(dá)定理求出點的坐標(biāo)，根據(jù)向量即可求出，且向量和有公共點，即可證明．【詳解】（1）不妨設(shè)橢圓的方程為，.由題意可得，解得，，故橢圓的方程.（1）設(shè)，，直線的方程為，由方程組，消去x整理得，，直線的方程可表示為，將此方程與直線成立，可求得點的坐標(biāo)為，，，，，向量和有公共點，，，三點在同一條直線上．【點睛】本題考查了橢圓的方程，直線與橢圓的關(guān)系，向量問題等基礎(chǔ)知識，考查了運算求解能力，推理論證能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想，應(yīng)用意識，是中檔題．14．已知點是拋物線的焦點，若點在拋物線上，且求拋物線的方程；動直線與拋物線相交于兩點，問：在軸上是否存在定點其中，使得向量與向量共線其中為坐標(biāo)原點？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在，.【分析】求得拋物線的焦點和準(zhǔn)線方程，運用拋物線的定義可得的坐標(biāo)，代入拋物線方程，解得，進(jìn)而得到拋物線的方程；在軸上假設(shè)存在定點其中，使得與向量共線，可得軸平分，設(shè)，，聯(lián)立和，根據(jù)恒成立，運用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，化簡整理可得的方程，求得，可得結(jié)論．【詳解】拋物線C：的焦點為，準(zhǔn)線方程為，即有，即，則，解得，則拋物線的方程為；在x軸上假設(shè)存在定點其中，使得與向量共線，由，均為單位向量，且它們的和向量與共線，可得x軸平分，設(shè)，，聯(lián)立和，得，恒成立．，設(shè)直線DA、DB的斜率分別為，，則由得，，，聯(lián)立，得，故存在滿足題意，綜上，在x軸上存在一點，使得x軸平分，即與向量共線．【點睛】本題考查拋物線的方程、定義和性質(zhì)，以及直線和拋物線的位置關(guān)系、轉(zhuǎn)化與劃歸思想的應(yīng)用，屬于綜合題．存在性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在.①當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時要分類討論.②當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件.③當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法很難時，采取另外的途徑.15．已知圓，圓，，當(dāng)兩個圓有公共點時，所有可能的公共點組成的曲線記為.（1）求出曲線的方程；（2）已知向量，，，為曲線上不同三點，，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）看到具有對稱性所以要聯(lián)想到橢圓或雙曲線的定義，曲線上的點滿足,∴曲線是以為焦點的橢圓（2）∵，∴三點共線，且直線的斜率為，∴直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，借助弦長公式求得三角形的底邊長，利用橢圓得參數(shù)方程設(shè)出動點設(shè)，利用點到直線距離公式求得高的最大值，從而得三角形面積最大值試題解析：（1）曲線上的點滿足,∴曲線是以為焦點的橢圓∴∴曲線的方程是（2）∵，∴三點共線，且直線的斜率為，∴直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，∴.設(shè)，∴到直線的距離，∴，∴的最大值為.點睛：看到此類題首先聯(lián)想到圓錐曲線的三個方程定義，根據(jù)定義得幾何關(guān)系從而確定方程求解，在求三角形面積最值問題時首先明確其表達(dá)式一般是算弦長，算高，對于本題而言，要特別注重參數(shù)方程在此題得應(yīng)用，這樣求解高顯得很簡單16．已知方向向量為的直線過點和橢圓的右焦點，且橢圓的離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）若已知點，點M,N是橢圓C上不重合的兩點，且，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出直線方程可得橢圓的焦點坐標(biāo)，結(jié)合離心率，以及列方程求得的值，從而可得結(jié)果；（2）設(shè)出直線的方程，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用，結(jié)合韋達(dá)定理得，結(jié)合的范圍，得到關(guān)于的不等式，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】（1）∵直線

的方向向量為

∴直線

的斜率為

，又∵直線

過點

∴直線

的方程為

∵

，∴橢圓的焦點為直線

與

軸的交點

∴橢圓的焦點為

∴

，又∵

∴

，∴

∴橢圓方程為

（2）設(shè)直線MN的方程為

由

，

得

設(shè)

坐標(biāo)分別為

則

(1)

(2)

＞0∴

,

∵

，顯然

，且

∴

∴

代入(1)(2)，得

∵

,得

，即

解得

且

【點睛】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一般為待定系數(shù)法,根據(jù)條件確定關(guān)于的方程組，解出，從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與