高考真題與模擬訓(xùn)練專題練習專題05導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(原卷版+解析)

專題5導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第一部分真題分類一、單選題1．（2021·全國高考真題）若過點可以作曲線的兩條切線，則（）A． B．C． D．2．（2021·全國高考真題（理））設(shè)，若為函數(shù)的極大值點，則（）A． B． C． D．3．（2020·全國高考真題（理））若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+4．（2020·全國高考真題（理））函數(shù)的圖像在點處的切線方程為（）A． B．C． D．5．已知曲線在點處的切線方程為，則（）A． B． C． D．6．已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題7．（2021·全國高考真題（理））曲線在點處的切線方程為__________．8．（2021·全國高考真題）函數(shù)的最小值為______.9．（2020·江蘇高考真題）在平面直角坐標系xOy中，已知，A，B是圓C：上的兩個動點，滿足，則△PAB面積的最大值是__________．10．（2020·全國高考真題（文））設(shè)函數(shù)．若，則a=_________．11．（2020·全國高考真題（文））曲線的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為______________.12．在平面直角坐標系中，P是曲線上的一個動點，則點P到直線x+y=0的距離的最小值是_____.三、解答題13．（2021·北京高考真題）已知函數(shù)．（1）若，求在處切線方程；（2）若函數(shù)在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及最大值和最小值．14．（2021·全國高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.15．（2021·全國高考真題（文））設(shè)函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若的圖像與軸沒有公共點，求a的取值范圍.16．（2021·浙江高考真題）設(shè)a，b為實數(shù)，且，函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，求a的取值范圍；（3）當時，證明：對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，滿足.(注：是自然對數(shù)的底數(shù))17．（2021·全國高考真題（理））已知且，函數(shù)．（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．18．（2021·全國高考真題（理））設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．19．（2021·全國高考真題（理））已知拋物線的焦點為，且與圓上點的距離的最小值為．（1）求；（2）若點在上，是的兩條切線，是切點，求面積的最大值．20．（2020·全國高考真題（理））設(shè)函數(shù)，曲線在點(，f())處的切線與y軸垂直．（1）求b．（2）若有一個絕對值不大于1的零點，證明：所有零點的絕對值都不大于1．21．（2020·全國高考真題（文））已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有三個零點，求的取值范圍．22．（2020·全國高考真題（理））已知函數(shù).（1）當a=1時，討論f（x）的單調(diào)性；（2）當x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.23．（2020·全國高考真題（理））已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.（1）討論f(x)在區(qū)間(0，π)的單調(diào)性；（2）證明：；（3）設(shè)n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.第二部分模擬訓(xùn)練一、單選題1．已知函數(shù)，，若方程有2不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．已知是定義在上的函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則下列結(jié)論中正確的是（）A．恒成立 B．恒成立C． D．當時，；當時，3．已知定義在上的函數(shù)滿足恒成立（其中為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），對于任意實數(shù)，，下列不等式一定正確的是（）A． B．C． D．4．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當時，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C．D．二、解答題5．已知函數(shù)，.（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求實數(shù)的值；（2）設(shè)，若對任意兩個不等的正數(shù)，，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）若上存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.專題5導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第一部分真題分類一、單選題1．（2021·全國高考真題）若過點可以作曲線的兩條切線，則（）A． B．C． D．【答案】D【解析】在曲線上任取一點，對函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在點處的切線方程為，即，由題意可知，點在直線上，可得，令，則.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個交點，則，當時，，當時，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，當時，直線與曲線的圖象有兩個交點.故選：D.解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.故選：D.2．（2021·全國高考真題（理））設(shè)，若為函數(shù)的極大值點，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】若，則為單調(diào)函數(shù)，無極值點，不符合題意，故.依題意，為函數(shù)的極大值點，當時，由，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.當時，由時，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.綜上所述，成立.故選：D3．（2020·全國高考真題（理））若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D【解析】設(shè)直線在曲線上的切點為，則，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則直線的斜率，設(shè)直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線的方程為，即.故選：D.4．（2020·全國高考真題（理））函數(shù)的圖像在點處的切線方程為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】，，，，因此，所求切線的方程為，即.故選：B.5．已知曲線在點處的切線方程為，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解析：，將代入得，故選D．6．已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，即，（1）當時，，當時，，故當時，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當函數(shù)單增，當函數(shù)單減，故，所以．當時，在上恒成立；綜上可知，的取值范圍是，故選C．二、填空題7．（2021·全國高考真題（理））曲線在點處的切線方程為__________．【答案】【解析】由題，當時，，故點在曲線上．求導(dǎo)得：，所以．故切線方程為．故答案為：．8．（2021·全國高考真題）函數(shù)的最小值為______.【答案】1【解析】由題設(shè)知：定義域為，∴當時，，此時單調(diào)遞減；當時，，有，此時單調(diào)遞減；當時，，有，此時單調(diào)遞增；又在各分段的界點處連續(xù)，∴綜上有：時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增；∴故答案為：1.9．（2020·江蘇高考真題）在平面直角坐標系xOy中，已知，A，B是圓C：上的兩個動點，滿足，則△PAB面積的最大值是__________．【答案】【解析】設(shè)圓心到直線距離為，則所以令（負值舍去）當時，；當時，，因此當時，取最大值，即取最大值為，故答案為：10．（2020·全國高考真題（文））設(shè)函數(shù)．若，則a=_________．【答案】1【解析】由函數(shù)的解析式可得：，則：，據(jù)此可得：，整理可得：，解得：.故答案為：.11．（2020·全國高考真題（文））曲線的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為______________.【答案】【解析】設(shè)切線的切點坐標為，，所以切點坐標為，所求的切線方程為，即.故答案為：.12．在平面直角坐標系中，P是曲線上的一個動點，則點P到直線x+y=0的距離的最小值是_____.【答案】4.【解析】當直線平移到與曲線相切位置時，切點Q即為點P到直線的距離最小.由，得，，即切點，則切點Q到直線的距離為，故答案為．三、解答題13．（2021·北京高考真題）已知函數(shù)．（1）若，求在處切線方程；（2）若函數(shù)在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及最大值和最小值．【答案】（1）；（2）函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為，最小值為.【解析】（1）當時，，則，，，此時，曲線在點處的切線方程為，即；（2）因為，則，由題意可得，解得，故，，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.當時，；當時，.所以，，.14．（2021·全國高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【解析】（1）函數(shù)的定義域為，又，當時，，當時，，故的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2）因為，故，即，故，設(shè)，由（1）可知不妨設(shè).因為時，，時，，故.先證：，若，必成立.若，要證：，即證，而，故即證，即證：，其中.設(shè)，則，因為，故，故，所以，故在為增函數(shù)，所以，故，即成立，所以成立，綜上，成立.設(shè)，則，結(jié)合，可得：，即：，故，要證：，即證，即證，即證：，即證：，令，則，先證明一個不等式：.設(shè)，則，當時，；當時，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故，故成立由上述不等式可得當時，，故恒成立，故在上為減函數(shù)，故，故成立，即成立.綜上所述，.15．（2021·全國高考真題（文））設(shè)函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若的圖像與軸沒有公共點，求a的取值范圍.【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）.【解析】（1）函數(shù)的定義域為，又，因為，故，當時，；當時，；所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）因為且的圖與軸沒有公共點，所以的圖象在軸的上方，由（1）中函數(shù)的單調(diào)性可得，故即.16．（2021·浙江高考真題）設(shè)a，b為實數(shù)，且，函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，求a的取值范圍；（3）當時，證明：對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，滿足.(注：是自然對數(shù)的底數(shù))【答案】(1)時，在上單調(diào)遞增；時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；(2)；(3)證明見解析.【解析】(1)，①若，則，所以在上單調(diào)遞增；②若，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增.綜上可得，時，在上單調(diào)遞增；時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.(2)有2個不同零點有2個不同解有2個不同的解，令，則，記，記，又，所以時，時，，則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，.即實數(shù)的取值范圍是.(3)有2個不同零點，則，故函數(shù)的零點一定為正數(shù).由(2)可知有2個不同零點，記較大者為，較小者為，，注意到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，又由知，，要證，只需，且關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以只需證，只需證，只需證，，只需證在時為正，由于，故函數(shù)單調(diào)遞增，又，故在時為正，從而題中的不等式得證.17．（2021·全國高考真題（理））已知且，函數(shù)．（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．【答案】（1）上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）.【解析】（1）當時，,令得,當時，,當時，,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）,設(shè)函數(shù),則,令，得,在內(nèi),單調(diào)遞增；在上,單調(diào)遞減；,又，當趨近于時，趨近于0，所以曲線與直線有且僅有兩個交點，即曲線與直線有兩個交點的充分必要條件是,這即是,所以的取值范圍是.18．（2021·全國高考真題（理））設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．【答案】1；證明見詳解【解析】（1）由，，又是函數(shù)的極值點，所以，解得；（2）由（1）得，，且，當時，要證，，，即證，化簡得；同理，當時，要證，，，即證，化簡得；令，再令，則，，令，，當時，，單減，假設(shè)能取到，則，故；當時，，單增，假設(shè)能取到，則，故；綜上所述，在恒成立19．（2021·全國高考真題（理））已知拋物線的焦點為，且與圓上點的距離的最小值為．（1）求；（2）若點在上，是的兩條切線，是切點，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）拋物線的焦點為，，所以，與圓上點的距離的最小值為，解得；（2）拋物線的方程為，即，對該函數(shù)求導(dǎo)得，設(shè)點、、，直線的方程為，即，即，同理可知，直線的方程為，由于點為這兩條直線的公共點，則，所以，點、的坐標滿足方程，所以，直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達定理可得，，所以，，點到直線的距離為，所以，，，由已知可得，所以，當時，的面積取最大值.20．（2020·全國高考真題（理））設(shè)函數(shù)，曲線在點(，f())處的切線與y軸垂直．（1）求b．（2）若有一個絕對值不大于1的零點，證明：所有零點的絕對值都不大于1．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）因為，由題意，，即則；（2）由（1）可得，，令，得或；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且，若所有零點中存在一個絕對值大于1的零點，則或，即或.當時，，又，由零點存在性定理知在上存在唯一一個零點，即在上存在唯一一個零點，在上不存在零點，此時不存在絕對值不大于1的零點，與題設(shè)矛盾；當時，，又，由零點存在性定理知在上存在唯一一個零點，即在上存在唯一一個零點，在上不存在零點，此時不存在絕對值不大于1的零點，與題設(shè)矛盾；綜上，所有零點的絕對值都不大于1.21．（2020·全國高考真題（文））已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有三個零點，求的取值范圍．【答案】（1）詳見解析；(2).【解析】（1）由題，，當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當時，令，得，令，得，令，得或，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，有三個零點，則，且即，解得，當時，，且，所以在上有唯一一個零點，同理，，所以在上有唯一一個零點，又在上有唯一一個零點，所以有三個零點，綜上可知的取值范圍為.22．（2020·全國高考真題（理））已知函數(shù).（1）當a=1時，討論f（x）的單調(diào)性；（2）當x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.【答案】（1）當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增.（2）【解析】(1)當時，，，由于，故單調(diào)遞增，注意到，故：當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增.(2)由得，，其中，①.當x=0時，不等式為：，顯然成立，符合題意；②.當時，分離參數(shù)a得，，記，，令，則，，故單調(diào)遞增，，故函數(shù)單調(diào)遞增，，由可得：恒成立，故當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；因此，,綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是.23．（2020·全國高考真題（理））已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.（1）討論f(x)在區(qū)間(0，π)的單調(diào)性；（2）證明：；（3）設(shè)n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.【答案】（1）當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增.（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】(1)由函數(shù)的解析式可得：，則：，在上的根為：，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增.(2)注意到，故函數(shù)是周期為的函數(shù)，結(jié)合(1)的結(jié)論，計算可得：，，，據(jù)此可得：，，即.(3)結(jié)合(2)的結(jié)論有：.第二部分模擬訓(xùn)練一、單選題1．已知函數(shù)，，若方程有2不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由得，去分母整理得有2不同的實數(shù)解，所以或，所以或，設(shè)所以，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以，所以沒有實數(shù)解.所以方程有兩個不同的實數(shù)解.當時，；當時，要方程有兩個不同的實數(shù)解，必須.故選：B2．已知是定義在上的函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則下列結(jié)論中正確的是（）A．恒成立 B．恒成立C． D．當時，；當時，【答案】A【解析】設(shè)g(x)=(x-1)f(x),所以，所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，又因為所以x>1時，g(x)>0,x<1時，g(x)＜0，所以x>1時，(x-1)f(x)>0，所以f(x)>0;所以x<1時，