專題04直線中的最值、對(duì)稱、反射問題(原卷版+解析)

1/3專題04直線中的最值、對(duì)稱、反射問題題型一最值問題1．點(diǎn)到直線距離的最大值為A．1 B． C． D．22．在平面直角坐標(biāo)系中，從點(diǎn)向直線作垂線，垂足為，則點(diǎn)與點(diǎn)的距離的最小值是A． B． C． D．173．已知直線過點(diǎn)且與軸、軸的正半軸分別交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則三角形面積的最小值為．4．若，為正實(shí)數(shù)，直線與直線互相垂直，則的最大值為A． B． C． D．5．過點(diǎn)的動(dòng)直線和過點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)（點(diǎn)異于、，且，則的最大值是A． B．5 C． D．6．設(shè)直線的方程為．（1）若在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求的一般式方程；（2）若與軸正半軸的交點(diǎn)為，與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為，求為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值．題型二對(duì)稱問題7．與直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線的方程是A． B． C． D．8．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是A． B． C． D．9．已知點(diǎn)，直線，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是．10．直線關(guān)于對(duì)稱的直線方程是A． B． C． D．11．已知點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱，則，的值分別為A．1，3 B． C．，0 D．，12．與直線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為A． B． C． D．13．點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為．14．直線關(guān)于對(duì)稱的直線方程是A． B． C． D．15．直線的傾斜角為，則直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線的傾斜角不可能為A． B． C． D．16．已知直線，直線與關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的斜率為A． B． C． D．題型三光的反射問題17．一束光線從點(diǎn)射向軸上一點(diǎn)，又從點(diǎn)以軸為鏡面反射到軸上一點(diǎn)，最后從點(diǎn)以軸為鏡面反射，該光線經(jīng)過點(diǎn)，則該光線從點(diǎn)運(yùn)行到點(diǎn)的距離為A． B．13 C． D．1218．一條經(jīng)過點(diǎn)的入射光線的斜率為，若入射光線經(jīng)軸反射后與軸交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為A．16 B．12 C．8 D．619．光線沿直線入射到直線后反射，則反射光線所在直線的方程為．20．光線沿直線射入，遇直線后反射，求反射光線所在的直線方程．21．光線通過點(diǎn)，在直線上反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)，則反射光線所在直線方程為A． B． C． D．22．已知光線通過點(diǎn)，被直線反射，反射光線通過點(diǎn)，則反射光線所在直線的方程是．23．如圖，已知，，，，，一束光線從點(diǎn)出發(fā)射到上的點(diǎn)，經(jīng)反射后，再經(jīng)反射，落到線段上（不含端點(diǎn)），則直線的斜率的取值范圍為A． B． C． D．24．在等腰直角三角形中，，點(diǎn)是邊邊上異于的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)，反射后又回到點(diǎn)（如圖），若光線經(jīng)過的重心，則三角形周長(zhǎng)等于A． B． C． D．1/10專題04直線中的最值、對(duì)稱、反射問題題型一最值問題1．點(diǎn)到直線距離的最大值為A．1 B． C． D．2【解答】解：方法一：因?yàn)辄c(diǎn)到直線距離；要求距離的最大值，故需；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，可得，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．方法二：由可知，直線過定點(diǎn)，記，則點(diǎn)到直線距離．故選：．2．在平面直角坐標(biāo)系中，從點(diǎn)向直線作垂線，垂足為，則點(diǎn)與點(diǎn)的距離的最小值是A． B． C． D．17【解答】解：直線過定點(diǎn)，，可知點(diǎn)是在以為直徑的圓上，又，可得：，故選：．3．已知直線過點(diǎn)且與軸、軸的正半軸分別交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則三角形面積的最小值為4．【解答】解：設(shè)、，，，，方程為，點(diǎn)代入得，（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立），故三角形面積，故答案為4．4．若，為正實(shí)數(shù)，直線與直線互相垂直，則的最大值為A． B． C． D．【解答】解：由直線與直線互相垂直，所以，即；又、為正實(shí)數(shù)，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取“”；所以的最大值為．故選：．5．過點(diǎn)的動(dòng)直線和過點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)（點(diǎn)異于、，且，則的最大值是A． B．5 C． D．【解答】解：因?yàn)?，則，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為．故選：．6．設(shè)直線的方程為．（1）若在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求的一般式方程；（2）若與軸正半軸的交點(diǎn)為，與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為，求為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值．【解答】解：（1）對(duì)于直線的方程為，當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，，求得，此時(shí)它的方程為；當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，它的方程即，由于它兩坐標(biāo)軸上的截距相等，故有，求得，它的方程為，綜上可得，的一般式方程為，或．（2）與軸正半軸的交點(diǎn)為，與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為，的橫坐標(biāo)，的縱坐標(biāo)，求得．求為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值為6．題型二對(duì)稱問題7．與直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線的方程是A． B． C． D．【解答】解：設(shè)所求對(duì)稱直線的點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)在已知的直線上，所以所求對(duì)稱直線方程為：．故選：．8．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是A． B． C． D．【解答】解：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是，則有，解得，，故點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是．故選：．9．已知點(diǎn)，直線，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是．【解答】解：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，，故點(diǎn)，故答案為：．10．直線關(guān)于對(duì)稱的直線方程是A． B． C． D．【解答】解：因?yàn)橹本€即的斜率為1，故有將其代入直線即得：，整理即得．故選：．11．已知點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱，則，的值分別為A．1，3 B． C．，0 D．，【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱，所以直線與直線垂直且線段的中點(diǎn)在直線上，直線的斜率為，線段的中點(diǎn)為，則有，解得．故選：．12．與直線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為A． B． C． D．【解答】解：設(shè)直線點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線上的點(diǎn)，所求直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，；解得，代入直線，得，整理得：，即所求直線方程為：．故選：．13．點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為．【解答】解：設(shè)所求的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，故所求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．14．直線關(guān)于對(duì)稱的直線方程是A． B． C． D．【解答】解：直線的圖象關(guān)于對(duì)稱，可得對(duì)稱直線方程為：，即可．故選：．15．直線的傾斜角為，則直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線的傾斜角不可能為A． B． C． D．【解答】解：設(shè)直線的傾斜角為，則，，，直線和直線關(guān)于直線對(duì)稱，則也關(guān)于對(duì)稱，故或，當(dāng)，故選項(xiàng)正確；當(dāng)，故選項(xiàng)正確；當(dāng)，故選項(xiàng)正確．故選：．16．已知直線，直線與關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的斜率為A． B． C． D．【解答】解：聯(lián)立，解得，，所以直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，設(shè)直線的方程為，即，在直線上取點(diǎn)，由題設(shè)知點(diǎn)到直線，的距離相等，所以由點(diǎn)到直線的距離得，化簡(jiǎn)得，解得或，當(dāng)時(shí)，直線為，與重合，舍，所以．故選：．題型三光的反射問題17．一束光線從點(diǎn)射向軸上一點(diǎn)，又從點(diǎn)以軸為鏡面反射到軸上一點(diǎn)，最后從點(diǎn)以軸為鏡面反射，該光線經(jīng)過點(diǎn)，則該光線從點(diǎn)運(yùn)行到點(diǎn)的距離為A． B．13 C． D．12【解答】解：如圖，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，則該光線從點(diǎn)運(yùn)行到點(diǎn)的距離為．故選：．18．一條經(jīng)過點(diǎn)的入射光線的斜率為，若入射光線經(jīng)軸反射后與軸交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為A．16 B．12 C．8 D．6【解答】解：設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，因?yàn)榈姆匠虨?，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而反射光線所在直線的方程為，易求，所以的面積為，故選：．19．光線沿直線入射到直線后反射，則反射光線所在直線的方程為．【解答】解：由得，故入射光線與反射軸的交點(diǎn)為，在入射光線上再取一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于反射軸的對(duì)稱點(diǎn)在反射光線上．，解得，，根據(jù)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)式求得反射光線的方程為：，即．故答案為：．20．光線沿直線射入，遇直線后反射，求反射光線所在的直線方程．【解答】解：由得，故入射光線與反射軸的交點(diǎn)為，在入射光線上再取一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于反射軸的對(duì)稱點(diǎn)在反射光線上．，解得，，，根據(jù)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)式求得反射光線的方程為：，即．所求反射光線所在的直線方程為．21．光線通過點(diǎn)，在直線上反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)，則反射光線所在直線方程為A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)光學(xué)性質(zhì)可知點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在反射光線所在直線上，由兩點(diǎn)式可得反射光線所在直線方程為：，化簡(jiǎn)得：．故選：．22．已知光線通過點(diǎn)，被直線反射，反射光線通過點(diǎn)，則反射光線所在直線的方程是．【解答】解：光線通過點(diǎn)，直線的對(duì)稱點(diǎn)，即，，，的斜率為6，反射光線所在直線的方程是，故答案為：，23．如圖，已知，，，，，一束光線從點(diǎn)出發(fā)射到上的點(diǎn)，經(jīng)反射后，再經(jīng)反射，落到線段上（不含端點(diǎn)），則直線的斜率的取值范圍為A． B． C． D．【解答】解：，，，直線方程為，直線方程為如圖，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，，，再作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則，連接、交與點(diǎn)，則直線方程為，連接、分別交為點(diǎn)、，則直線方程為，直線方程為，，，連接，，則，之間即為點(diǎn)的變動(dòng)范圍．直線方程為，直線的斜率為斜率的范圍為故選：．24．在等腰直角三角形中，，點(diǎn)是邊邊上異于的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)，反射后又回到點(diǎn)（如圖），若光線經(jīng)過的重心，則三角形周長(zhǎng)等于A． B． C． D．【解答】解：以所在直線