高考真題+知識總結(jié)+方法總結(jié)+題型突破16解析幾何中的圓問題專題練習(xí)(學(xué)生版+解析)

第頁近年高考真題+優(yōu)質(zhì)模擬題匯編(全國通用)專題16解析幾何中的圓問題【高考真題】1．(2022·全國乙理)過四點中的三點的一個圓的方程為____________．1．答案或或或解析依題意設(shè)圓的方程為，若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；故答案為：或或或；2．(2022·全國甲文)設(shè)點M在直線上，點和均在上，則的方程為_____________．2．答案解析∵點M在直線上，∴設(shè)點M為，又因為點和均在上，∴點M到兩點的距離相等且為半徑R，∴，，解得，∴，，的方程為．故答案為．3．(2022·北京)若直線是圓的一條對稱軸，則()A．BC．1D．3．答案A解析由題可知圓心為，因為直線是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．故選A．4．(2022·新高考Ⅰ)寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．4．答案或或解析圓的圓心為，半徑為1，圓的圓心為，半徑為4，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當切線為l時，因為，所以，設(shè)方程為，O到l的距離，解得，所以l的方程為，當切線為m時，設(shè)直線方程為，其中，，由題意，解得，，當切線為n時，易知切線方程為，故答案為或或．

5．(2022·新高考Ⅱ)設(shè)點，若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點，則a的取值范圍是________．5．答案解析關(guān)于對稱的點的坐標為，在直線上，所以所在直線即為直線l，所以直線l為，即；圓，圓心，半徑，依題意圓心到直線l的距離，即，解得，即；故答案為．【知識總結(jié)】1．圓的定義和圓的方程定義平面上到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓方程標準(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圓心C(a，b)半徑為r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圓心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2．點與圓的位置關(guān)系平面上的一點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)|MC|>r?M在圓外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在圓上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|<r?M在圓內(nèi)，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2?M在圓內(nèi)．3．直線與圓的位置關(guān)系(圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r)相離相切相交圖形量化方程觀點Δ<0Δ＝0Δ>0幾何觀點d>rd＝rd<r4．圓與圓的位置關(guān)系(⊙O1，⊙O2的半徑分別為r1，r2，d＝|O1O2|)圖形量的關(guān)系外離d>r1＋r2外切d＝r1＋r2相交|r1－r2|<d<r1＋r2內(nèi)切d＝|r1－r2|內(nèi)含d<|r1－r2|5．直線被圓截得的弦長(1)幾何法：弦心距d、半徑r和弦長|AB|的一半構(gòu)成直角三角形，弦長|AB|＝2eq\r(r2－d2)．(2)代數(shù)法：設(shè)直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點M，N，代入，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，則|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(xM＋xN2－4xMxN)．【題型突破】題型一圓的方程1．已知圓M與直線3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圓心在直線y＝－x－4上，則圓M的方程為()A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝11．答案C解析到兩直線3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距離都相等的直線方程為3x－4y＋5＝0，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y＋5＝0，,y＝－x－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1.))又兩平行線間的距離為2，所以圓M的半徑為1，從而圓M的方程為(x＋3)2＋(y＋1)2＝1．2．已知圓E經(jīng)過三點A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，則圓E的標準方程為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(25,4)B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16)D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,4)2．答案C解析方法一(待定系數(shù)法)設(shè)圓E的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，則由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋E＋F＝0，,4＋2D＋F＝0，,1－E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－\f(3,2)，,E＝0，,F＝－1.))所以圓E的一般方程為x2＋y2－eq\f(3,2)x－1＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16)．方法二(幾何法)因為圓E經(jīng)過點A(0,1)，B(2,0)，所以圓E的圓心在線段AB的垂直平分線y－eq\f(1,2)＝2(x－1)上．由題意知圓E的圓心在x軸上，所以圓E的圓心坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))．則圓E的半徑為|EB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3,4)))2＋0－02)＝eq\f(5,4)，所以圓E的標準方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16)．3．在平面直角坐標系Oxy中，以點(0,1)為圓心且與直線x－by＋2b＋1＝0相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為()A．x2＋(y－1)2＝4B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝8D．x2＋(y－1)2＝163．答案B解析由直線x－by＋2b＋1＝0可得該直線過定點A(－1,2)，設(shè)圓心為B(0,1)，由題意可知要使所求圓的半徑最大，則rmax＝|AB|＝eq\r(－1－02＋2－12)＝eq\r(2)，所以半徑最大的圓的標準方程為x2＋(y－1)2＝2．4．已知圓的圓心在直線x－2y－3＝0上，且過點A(2，－3)，B(－2，－5)，則圓的一般方程為________________．4．答案x2＋y2＋2x＋4y－5＝0解析方法一設(shè)所求圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a2＋－3－b2＝r2，,－2－a2＋－5－b2＝r2，,a－2b－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，,r2＝10，))故所求圓的方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0．方法二線段AB的垂直平分線方程為2x＋y＋4＝0，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋4＝0，,x－2y－3＝0，))得交點坐標O(－1，－2)，又點O到點A的距離d＝eq\r(10)，所以圓的方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0．5．圓心在y軸上，半徑長為1，且過點A(1,2)的圓的方程是()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝45．答案A解析根據(jù)題意可設(shè)圓的方程為x2＋(y－b)2＝1，因為圓過點A(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圓的方程為x2＋(y－2)2＝1．6．若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸都相切，則該圓的標準方程是()A．(x－3)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－2)2＋(y＋1)2＝16．答案B解析設(shè)圓心坐標為(a，b)(a>0，b>0)，由圓與直線4x－3y＝0相切，可得圓心到直線的距離d＝eq\f(|4a－3b|,5)＝r＝1，化簡得|4a－3b|＝5，①，又圓與x軸相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝－1(舍去)，把b＝1代入①得4a－3＝5或4a－3＝－5，解得a＝2或a＝－eq\f(1,2)(舍去)，所以圓心坐標為(2,1)，則圓的標準方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1．7．圓(x－1)2＋(y－2)2＝1關(guān)于直線y＝x對稱的圓的方程為()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－1)2＋(y＋2)2＝17．答案A解析已知圓的圓心C(1,2)關(guān)于直線y＝x對稱的點為C′(2,1)，所以圓(x－1)2＋(y－2)2＝1關(guān)于直線y＝x對稱的圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1．8．已知圓C的半徑為2，圓心在x軸正半軸上，直線3x＋4y＋4＝0與圓C相切，則圓C的方程為()A．x2＋y2－2x－3＝0B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2＋2x－3＝0D．x2＋y2－4x＝08．答案D解析設(shè)圓心為(a，0)(a>0)，由題意知圓心到直線3x＋4y＋4＝0的距離d＝eq\f(|3a＋4|,\r(32＋42))＝eq\f(3a＋4,5)＝r＝2，解得a＝2，所以圓心坐標為(2,0)，則圓C的方程為(x－2)2＋y2＝4，化簡得x2＋y2－4x＝0，故選D．9．(多選)已知△ABC的三個頂點為A(－1,2)，B(2,1)，C(3,4)，則下列關(guān)于△ABC的外接圓圓M的說法正確的是()A．圓M的圓心坐標為(1,3)B．圓M的半徑為eq\r(5)C．圓M關(guān)于直線x＋y＝0對稱D．點(2,3)在圓M內(nèi)9．答案ABD解析設(shè)△ABC的外接圓圓M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋4－D＋2E＋F＝0，,4＋1＋2D＋E＋F＝0，,9＋16＋3D＋4E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝－6，,F＝5.))所以△ABC的外接圓圓M的方程為x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5．故圓M的圓心坐標為(1,3)，圓M的半徑為eq\r(5)，因為直線x＋y＝0不經(jīng)過圓M的圓心(1,3)，所以圓M不關(guān)于直線x＋y＝0對稱．因為(2－1)2＋(3－3)2＝1<5，故點(2,3)在圓M內(nèi)．10．(多選)設(shè)有一組圓Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命題正確的是()A．不論k如何變化，圓心C始終在一條直線上B．所有圓Ck均不經(jīng)過點(3,0)C．經(jīng)過點(2,2)的圓Ck有且只有一個D．所有圓的面積均為4π10．答案ABD解析圓心坐標為(k，k)，在直線y＝x上，A正確；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化簡得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4<0，∴2k2－6k＋5＝0無實數(shù)根，∴B正確；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化簡得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8>0，有兩個不相等實根，∴經(jīng)過點(2,2)的圓Ck有兩個，C錯誤；由圓的半徑為2，得圓的面積為4π，D正確．題型二與圓有關(guān)的最值問題11．若點P為圓x2＋y2＝1上的一個動點，A(－1,0)，B(1,0)為兩個定點，則|PA|＋|PB|的最大值為()A．2B．2eq\r(2)C．4eq\r(2)D．411．答案B解析由已知得線段AB為圓的直徑．所以|PA|2＋|PB|2＝4，由基本不等式得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PA|＋|PB|,2)))2≤eq\f(|PA|2＋|PB|2,2)＝2，所以|PA|＋|PB|≤2eq\r(2)，當且僅當|PA|＝|PB|＝eq\r(2)時，等號成立．12．已知A(－2,0)，B(2,0)，點P是圓C：(x－3)2＋(y－eq\r(7))2＝1上的動點，則|AP|2＋|BP|2的最小值為()A．9B．14C．16D．2612．答案D解析設(shè)O為坐標原點，P(x，y)，則|AP|2＋|BP|2＝(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝2(x2＋y2)＋8＝2|PO|2＋8．圓C的圓心為C(3，eq\r(7))，半徑為r＝1，OC＝4，所以|PO|2的最小值為(OC－r)2＝(4－1)2＝9，所以|AP|2＋|BP|2的最小值為26．13．已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點A(－m，0)，B(m，0)(m>0)．若圓C上存在點P，使得∠APB＝90°，則m的最大值為()A．7B．6C．5D．413．答案B解析∵在Rt△APB中，原點O為斜邊中點，|AB|＝2m(m>0)，∴|OC|－r≤m＝|OP|≤|OC|＋r，又C(3,4)，r＝1，∴4≤|OP|≤6，即4≤m≤6．14．已知x，y滿足x2＋y2－4x－2y－4＝0，則eq\f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值為()A．2B．eq\f(17,4)C．eq\f(29,5)D．eq\f(13\r(13),4)14．答案B解析由x2＋y2－4x－2y－4＝0得(x－2)2＋(y－1)2＝9．eq\f(2x＋3y＋3,x＋3)＝2＋3×eq\f(y－1,x＋3)＝2＋3kPA，其中A(－3,1)為定點，點P(x，y)為圓上一點．設(shè)過定點A的直線l：y－1＝k(x＋3)與圓相切，則eq\f(|5k|,\r(1＋k2))＝3，解得k＝±eq\f(3,4)，所以－eq\f(3,4)≤kPA≤eq\f(3,4)，所以eq\f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值為2＋3×eq\f(3,4)＝eq\f(17,4)．15．已知A(0,2)，點P在直線x＋y＋2＝0上，點Q在圓C：x2＋y2－4x－2y＝0上，則|PA|＋|PQ|的最小值是________．15．答案2eq\r(5)解析因為圓C：x2＋y2－4x－2y＝0，故圓C是以C(2,1)為圓心，半徑r＝eq\r(5)的圓．設(shè)點A(0,2)關(guān)于直線x＋y＋2＝0的對稱點為A′(m，n)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m＋0,2)＋\f(n＋2,2)＋2＝0，,\f(n－2,m－0)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n＝－2，))故A′(－4，－2)．連接A′C交圓C于Q(圖略)，由對稱性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2eq\r(5)．16．設(shè)點P(x，y)是圓x2＋(y－3)2＝1上的動點，定點A(2,0)，B(－2,0)．則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最大值為________．16．答案12解析由題意，得eq\o(PA,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝x2＋y2－4，由于點P(x，y)是圓上的點，故其坐標滿足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12．易知2≤y≤4，所以當y＝4時，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的值最大，最大值為6×4－12＝12．17．等邊△ABC的面積為9eq\r(3)，且△ABC的內(nèi)心為M，若平面內(nèi)的點N滿足|MN|＝1，則eq\o(NA,\s\up6(→))·eq\o(NB,\s\up6(→))的最小值為()A．－5－2eq\r(3)B．－5－4eq\r(3)C．－6－2eq\r(3)D．－6－4eq\r(3)17．答案A解析設(shè)等邊△ABC的邊長為a，則面積S＝eq\f(\r(3),4)a2＝9eq\r(3)，解得a＝6．以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系．由M為△ABC的內(nèi)心，則M在OC上，且OM＝eq\f(1,3)OC，則A(－3,0)，B(3,0)，C(0,3eq\r(3))，M(0，eq\r(3))，由|MN|＝1，則點N在以M為圓心，1為半徑的圓上．設(shè)N(x，y)，則x2＋(y－eq\r(3))2＝1，即x2＋y2－2eq\r(3)y＋2＝0，且eq\r(3)－1≤y≤1＋eq\r(3)，又eq\o(NA,\s\up6(→))＝(－3－x，－y)，eq\o(NB,\s\up6(→))＝(3－x，－y)，所以eq\o(NA,\s\up6(→))·eq\o(NB,\s\up6(→))＝(x＋3)(x－3)＋y2＝x2＋y2－9＝2eq\r(3)y－11≥2eq\r(3)×(eq\r(3)－1)－11＝－5－2eq\r(3)．18．已知點P在直線x＋y＝4上，過點P作圓O：x2＋y2＝4的兩條切線，切點分別為A，B，則點M(3,2)到直線AB距離的最大值為()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2D．eq\r(5)18．答案D解析設(shè)P(a，b)，則a＋b＝4，以O(shè)P為直徑的圓的方程是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(b,2)))2＝eq\f(1,4)(a2＋b2)，與圓O的方程x2＋y2＝4相減，得直線AB的方程為ax＋by＝4，即ax＋by－4＝0，因為a＋b＝4，所以b＝4－a，代入直線AB的方程，得ax＋(4－a)y－4＝0，即a(x－y)＋4y－4＝0，當x＝y(tǒng)且4y－4＝0，即x＝1，y＝1時該方程恒成立，所以直線AB過定點N(1,1)，點M到直線AB距離的最大值即為點M，N之間的距離，|MN|＝eq\r(5)，所以點M(3,2)到直線AB距離的最大值為eq\r(5)．19．若直線x＋ay－a－1＝0與圓C：(x－2)2＋y2＝4交于A，B兩點，當|AB|最小時，劣弧AB的長為()A．eq\f(π,2)B．πC．2πD．3π19．答案B解析直線x＋ay－a－1＝0可化為(x－1)＋a(y－1)＝0，則當x－1＝0且y－1＝0，即x＝1且y＝1時，等式恒成立，所以直線恒過定點M(1,1)，設(shè)圓的圓心為C(2,0)，半徑r＝2，當MC⊥AB時，|AB|取得最小值，且最小值為2eq\r(r2－|MC|2)＝2eq\r(4－2)＝2eq\r(2)，此時弦長AB對的圓心角為eq\f(π,2)，所以劣弧AB的長為eq\f(π,2)×2＝π．題型三直線與圓的位置關(guān)系20．直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2－2x－8＝0的位置關(guān)系為()A．相交、相切或相離B．相交或相切C．相交D．相切20．答案C解析方法一直線kx－y＋2－k＝0的方程可化為k(x－1)－(y－2)＝0，該直線恒過定點(1,2)．因為12＋22－2×1－8<0，所以點(1,2)在圓x2＋y2－2x－8＝0的內(nèi)部，所以直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2－2x－8＝0相交．方法二圓的方程可化為(x－1)2＋y2＝32，所以圓的圓心為(1,0)，半徑為3．圓心到直線kx－y＋2－k＝0的距離為eq\f(|k＋2－k|,\r(1＋k2))＝eq\f(2,\r(1＋k2))≤2<3，所以直線與圓相交．21．(多選)直線y＝kx－1與圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B兩點，則AB的長度可能為()A．6B．8C．12D．1621．答案BC解析因為直線y＝kx－1過定點(0，－1)，故圓C的圓心C(－3,3)到直線y＝kx－1的距離的最大值為eq\r(－3－02＋3＋12)＝5．又圓C的半徑為6，故弦長AB的最小值為2eq\r(62－52)＝2eq\r(11)．又當直線y＝kx－1過圓心時弦長AB取最大值，為直徑12，故|AB|∈[2eq\r(11)，12]．22．設(shè)圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(0,3)與圓C交于A，B兩點，若|AB|＝2eq\r(3)，則直線l的方程為()A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x＋4y－12＝0或x＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝022．答案B解析當直線l的斜率不存在，即直線l的方程為x＝0時，弦長為2eq\r(3)，符合題意；當直線l的斜率存在時，可設(shè)直線l的方程為y＝kx＋3，由弦長為2eq\r(3)，半徑為2可知，圓心到該直線的距離為1，從而有eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq\f(3,4)，綜上，直線l的方程為x＝0或3x＋4y－12＝0．23．(多選)(2021·新高考全國Ⅱ)已知直線l：ax＋by－r2＝0與圓C：x2＋y2＝r2，點A(a，b)，則下列說法正確的是()A．若點A在圓C上，則直線l與圓C相切B．若點A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點A在圓C外，則直線l與圓C相離D．若點A在直線l上，則直線l與圓C相切23．答案ABD解析圓心C(0,0)到直線l的距離d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))，若點A(a，b)在圓C上，則a2＋b2＝r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，則直線l與圓C相切，故A正確；若點A(a，b)在圓C內(nèi)，則a2＋b2<r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))>|r|，則直線l與圓C相離，故B正確；若點A(a，b)在圓C外，則a2＋b2>r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))<|r|，則直線l與圓C相交，故C錯誤；若點A(a，b)在直線l上，則a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，則直線l與圓C相切，故D正確．24．(2021·北京)已知圓C：x2＋y2＝4，直線l：y＝kx＋m，當k變化時，l截得圓C弦長的最小值為2，則m等于()A．±2B．±eq\r(2)C．±eq\r(3)D．±eq\r(5)24．答案C解析由題可得圓心為(0,0)，半徑為2，則圓心到直線的距離d＝eq\f(|m|,\r(k2＋1))，則弦長為2eq\r(4－\f(m2,k2＋1))，則當k＝0時，弦長取得最小值為2eq\r(4－m2)＝2，解得m＝±eq\r(3)．25．過點P(2,4)作圓(x－1)2＋(y－1)2＝1的切線，則切線方程為()A．3x＋4y－4＝0B．4x－3y＋4＝0C．x＝2或4x－3y＋4＝0D．y＝4或3x＋4y－4＝025．答案C解析當斜率不存在時，直線x＝2與圓相切；當斜率存在時，設(shè)切線方程為y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，則eq\f(|k－1＋4－2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(4,3)，得切線方程為4x－3y＋4＝0．綜上，得切線方程為x＝2或4x－3y＋4＝0．26．若直線x＋ay－a－1＝0與圓C：(x－2)2＋y2＝4交于A，B兩點，當|AB|最小時，劣弧AB的長為()A．eq\f(π,2)B．πC．2πD．3π26．答案B解析直線x＋ay－a－1＝0可化為(x－1)＋a(y－1)＝0，則當x－1＝0且y－1＝0，即x＝1且y＝1時，等式恒成立，所以直線恒過定點M(1,1)，設(shè)圓的圓心為C(2,0)，半徑r＝2，當MC⊥AB時，|AB|取得最小值，且最小值為2eq\r(r2－|MC|2)＝2eq\r(4－2)＝2eq\r(2)，此時弦長AB對的圓心角為eq\f(π,2)，所以劣弧AB的長為eq\f(π,2)×2＝π．27．(多選)(2021·新高考全國Ⅰ)已知點P在圓(x－5)2＋(y－5)2＝16上，點A(4,0)，B(0,2)，則()A．點P到直線AB的距離小于10B．點P到直線AB的距離大于2C．當∠PBA最小時，|PB|＝3eq\r(2)D．當∠PBA最大時，|PB|＝3eq\r(2)27．答案ACD解析設(shè)圓(x－5)2＋(y－5)2＝16的圓心為M(5,5)，由題易知直線AB的方程為eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0，則圓心M到直線AB的距離d＝eq\f(|5＋2×5－4|,\r(5))＝eq\f(11,\r(5))>4，所以直線AB與圓M相離，所以點P到直線AB的距離的最大值為4＋d＝4＋eq\f(11,\r(5))，4＋eq\f(11,\r(5))<5＋eq\r(\f(125,5))＝10，故A正確．易知點P到直線AB的距離的最小值為d－4＝eq\f(11,\r(5))－4，eq\f(11,\r(5))－4<eq\r(\f(125,5))－4＝1，故B不正確．過點B作圓M的兩條切線，切點分別為N，Q，如圖所示，連接MB，MN，MQ，則當∠PBA最小時，點P與N重合，|PB|＝eq\r(|MB|2－|MN|2)＝eq\r(52＋5－22－42)＝3eq\r(2)，當∠PBA最大時，點P與Q重合，|PB|＝3eq\r(2)，故C，D都正確．28．在平面直角坐標系Oxy中，已知圓C：(x－2)2＋y2＝4，點A是直線x－y＋2＝0上的一個動點，直線AP，AQ分別切圓C于P，Q兩點，則線段PQ的長的取值范圍為________．28．答案[2eq\r(2)，4)解析由圓的方程知，圓心C(2,0)，半徑r＝2．連接AC，PC，QC(圖略)，設(shè)|AC|＝x，則x≥eq\f(|2－0＋2|,\r(2))＝2eq\r(2)．∵AP，AQ為圓C的切線，∴CP⊥AP，CQ⊥AQ，∴|AP|＝|AQ|＝eq\r(|AC|2－r2)＝eq\r(x2－4)．∵AC是PQ的垂直平分線，∴|PQ|＝2×eq\f(|AP|·|PC|,|AC|)＝eq\f(4\r(x2－4),x)＝4eq\r(1－\f(4,x2))．∵x≥2eq\r(2)，∴eq\f(1,2)≤1－eq\f(4,x2)<1，∴2eq\r(2)≤|PQ|<4，即線段PQ的長的取值范圍為[2eq\r(2)，4)．29．(多選)(2022·深圳模擬)設(shè)直線l：y＝kx＋1(k∈R)與圓C：x2＋y2＝5，則下列結(jié)論正確的為()A．l與C可能相離B．l不可能將C的周長平分C．當k＝1時，l被C截得的弦長為eq\f(3\r(2),2)D．l被C截得的最短弦長為429．答案BD解析對于A選項，直線l過定點(0,1)，且點(0,1)在圓C內(nèi)，則直線l與圓C必相交，A選項錯誤；對于B選項，若直線l將圓C的周長平分，則直線l過原點，此時直線l的斜率不存在，B選項正確；對于C選項，當k＝1時，直線l的方程為x－y＋1＝0，圓心C到直線l的距離為d＝eq\f(\r(2),2)，所以直線l被C截得的弦長為2eq\r(5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝3eq\r(2)，C選項錯誤；對于D選項，圓心C到直線l的距離為d＝eq\f(1,\r(k2＋1))≤1，所以直線l被C截得的弦長為2eq\r(5－d2)≥4，D選項正確．題型四圓與圓的位置關(guān)系30．圓C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4與圓C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的公切線的條數(shù)是()A．1B．2C．3D．430．答案C解析圓C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圓心為C1(－1,2)，半徑為2，圓C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的圓心為C2(3,2)，半徑為2，兩圓的圓心距|C1C2|＝eq\r(－1－32＋2－22)＝4＝2＋2，即兩圓的圓心距等于兩圓的半徑之和，故兩圓外切，故公切線的條數(shù)為3．31．已知圓C1：x2＋y2＋4x－2y－4＝0，圓C2：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))2＝eq\f(11,2)，則這兩圓的公共弦長為()A．5B．2eq\r(2)C．2D．131．答案C解析由題意知圓C1：x2＋y2＋4x－2y－4＝0，圓C2：x2＋y2＋3x－3y－1＝0，將兩圓的方程相減，得x＋y－3＝0，所以兩圓的公共弦所在直線的方程為x＋y－3＝0．又因為圓C1的圓心為(－2,1)，半徑r＝3，所以圓C1的圓心到直線x＋y－3＝0的距離d＝eq\f(|－2＋1－3|,\r(2))＝2eq\r(2)．所以這兩圓的公共弦的弦長為2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(32－2\r(2)2)＝2．32．已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2eq\r(2)，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是()A．內(nèi)切B．相交C．外切D．相離32．答案B解析由題意得圓M的標準方程為x2＋(y－a)2＝a2，圓心(0，a)到直線x＋y＝0的距離d＝eq\f(a,\r(2))，所以2eq\r(a2－\f(a2,2))＝2eq\r(2)，解得a＝2，圓M，圓N的圓心距|MN|＝eq\r(2)小于兩圓半徑之和3，大于兩圓半徑之差1，故兩圓相交．33．若圓C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4與圓C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，則正實數(shù)a的取值范圍為()A．(3，＋∞)B．(2，＋∞)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))D．(3,4)33．答案A解析|C1C2|＝eq\r(9＋a＋12)，因為圓C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4與圓C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，所以|a－2|<eq\r(9＋a＋12)<a＋2，解得a>3．34．圓C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0與圓C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直線的方程為______________，公共弦長為________．34．答案x－2y＋4＝02eq\r(5)解析聯(lián)立兩圓的方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x＋10y－24＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))兩式相減并化簡，得x－2y＋4＝0，此即兩圓公共弦所在直線的方程．由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(