2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章解三角形1.1.1正弦定理同步作業(yè)含解析新人教A版必修5

PAGE正弦定理(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.在△ABC中,若sinA>sinB,則A與B的大小關(guān)系為 ()A.A>BB.A<BC.A≥BD.A,B的大小關(guān)系不確定【解析】選A.因?yàn)閟inA>sinB,所以2RsinA>2RsinB,即a>b,故A>B.2.在△ABC中,B=45°,C=60°,c=2,則b= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.由正弦定理得b=QUOTE×sinB=QUOTE×sin45°=QUOTE.3.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若3a=2b,則QUOTE的值為 ()A.-QUOTE B.QUOTE C.1 D.QUOTE【解析】選D.由正弦定理可得,QUOTE=2QUOTE-1=2QUOTE-1,因?yàn)?a=2b,所以QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=2×QUOTE-1=QUOTE.4.(2024·鶴崗高一檢測(cè))在銳角△ABC中,角A,B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,若2asinB=QUOTEb,則角A等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.因?yàn)?asinB=QUOTEb,由正弦定理可得:2sinAsinB=QUOTEsinB,又sinB≠0,所以sinA=QUOTE.因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形,所以A=QUOTE.5.在△ABC中,a=15,b=18,A=30°,則此三角形解的個(gè)數(shù)為 ()A.0 B.1C.2 D.不能確定【解析】選C.如圖所示:CD=AC·sin30°=18·QUOTE=9,因?yàn)?<15<18,即bsinA<a<b,所以三角形解的個(gè)數(shù)為2.6.在△ABC中,A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若A=60°,a=QUOTE,b=QUOTE,則B= ()A.30° B.45° C.60° D.135°【解析】選B.在△ABC中,由正弦定理可得QUOTE=QUOTE,即sinB=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又因?yàn)?°<B<180°,且a>b,則A>B,所以B=45°.又因?yàn)锽∈(0,π),且a>b,則A>B,所以B=45°.二、填空題(每小題5分,共10分)7.在△ABC中,acosA=bcosB,則這個(gè)三角形的形態(tài)為________.

【解析】由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=QUOTE,所以這個(gè)三角形為等腰三角形或直角三角形.答案:等腰三角形或直角三角形.8.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知b=50QUOTE,c=150,B=30°,則邊長(zhǎng)a=________或________.

【解析】由正弦定理,可得QUOTE=QUOTE,得sinC=QUOTE,因?yàn)?50>50QUOTE,所以C=60°或120°.若C=60°,則∠A=90°.由勾股定理得a=100QUOTE,若C=120°,則∠A=30°.所以a=b=50QUOTE.答案:50QUOTE100QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.在三角形ABC中,已知a=5,b=5QUOTE,A=30°,解此三角形.【解析】在△ABC中,由正弦定理QUOTE=QUOTE=QUOTE,得sinB=QUOTE=QUOTE.因?yàn)閎>a,所以B=60°或120°,當(dāng)B=60°時(shí),C=180°-(A+B)=90°,則c=QUOTE=QUOTE=10;當(dāng)B=120°時(shí),C=180°-(A+B)=30°,則c=QUOTE=QUOTE=5.綜上可得,B=60°,C=90°,c=10或B=120°,C=30°,c=5.10.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且QUOTE=QUOTE=QUOTE.(1)求C.(2)若b=QUOTE+QUOTE,求△ABC的周長(zhǎng).【解析】(1)由正弦定理得QUOTE=QUOTE=QUOTE,又因?yàn)閟inC≠0,所以sinA=cosA,從而tanA=1.因?yàn)?<A<π,所以A=QUOTE.又因?yàn)閟inC=QUOTEcosA=QUOTE,a>c,所以C=QUOTE.(2)由(1)得sinB=sin(A+C)=sinQUOTE=QUOTE,由正弦定理得QUOTE=QUOTE=QUOTE,可得a=2QUOTE,c=2.所以△ABC的周長(zhǎng)為2QUOTE+QUOTE+QUOTE+2=3QUOTE+QUOTE+2.(45分鐘75分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.在△ABC中,A=QUOTE,AB=2,BC=5,則cosC= ()A.±QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.因?yàn)锳=QUOTE,AB=2,BC=5,所以由正弦定理可得:QUOTE=QUOTE,可得:sinC=QUOTE=QUOTE,因?yàn)锳B<BC,可得:C為銳角,所以cosC=QUOTE=QUOTE.2.(2024·白山高一檢測(cè))在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若c=2bsinC,B≤QUOTE,則B= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.因?yàn)閏=2bsinC,所以sinC=2sinBsinC,所以sinB=QUOTE,則B=QUOTE或QUOTE,因?yàn)锽≤QUOTE,所以B=QUOTE.3.在△ABC中,已知tanA=QUOTE,tanB=QUOTE,且△ABC最大邊的長(zhǎng)為QUOTE,則△ABC的最小邊為 ()A.1 B.QUOTE C.QUOTE D.3【解析】選C.在△ABC中,已知tanA=QUOTE=QUOTE,tanB=QUOTE=QUOTE<1,所以A<B<QUOTE,所以C>QUOTE.再依據(jù)tanC=-tan(A+B)=-QUOTE=-1,所以C=QUOTEπ,所以C>B>A,再依據(jù)sin2A+cos2A=1,求得sinA=QUOTE,cosA=QUOTE,且△ABC最大邊的長(zhǎng)為QUOTE,則c=QUOTE,a為最小的邊.再利用正弦定理可得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得a=QUOTE.4.在△ABC中,b=17,c=24,B=45°,則此三角形解的狀況是 ()A.一解 B.兩解C.一解或兩解 D.無解【解析】選B.QUOTE=QUOTE?sinC=QUOTE=QUOTE,因?yàn)閏>b,0°<C<135°,所以角C有兩個(gè),故三角形有兩解.5.在△ABC中,已知A=60°,C=30°,c=5,則a= ()A.5B.10C.5QUOTED.5QUOTE【解析】選C.因?yàn)樵凇鰽BC中,A=60°,C=30°,c=5,所以由正弦定理QUOTE=QUOTE,得a=QUOTE=QUOTE=5QUOTE.二、填空題(每小題5分,共20分)6.在邊長(zhǎng)為2QUOTE的等邊△ABC中,點(diǎn)O為△ABC外接圓圓心,則·=________.

【解析】設(shè)三角形的外接圓半徑為r,由正弦定理得QUOTE=2r,所以r=2,由題得<,>=QUOTE,所以·=2·2·cosQUOTE=-2.答案:-27.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=QUOTE,則C=________.

【解析】由題可得sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,即sinC(sinA+cosA)=QUOTEsinCsin(A+QUOTE)=0,所以A=QUOTE.由正弦定理QUOTE=QUOTE可得QUOTE=QUOTE,即sinC=QUOTE,因?yàn)閏<a,所以C<A,所以C=QUOTE.答案:QUOTE8.△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C所對(duì)的邊,若QUOTE=QUOTE,則B=________.

【解析】因?yàn)镼UOTE=QUOTE,所以由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即cosCsinB=2sinAcosB-sinCcosB,2sinAcosB=cosCsinB+sinCcosB=sin(B+C)=sinA,因?yàn)閟inA≠0,所以cosB=QUOTE,又因?yàn)?<B<π,所以B=QUOTE.答案:QUOTE9.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,給出下列結(jié)論:①若A>B>C,則sinA>sinB>sinC;②必存在A,B,C,使tanAtanBtanC<tanA+tanB+tanC成立;③若a=40,b=20,B=25°,則△ABC必有兩解.其中,結(jié)論正確的編號(hào)為________(填寫編號(hào)).

【解析】①在三角形中,A>B>C,得a>b>c,由正弦定理QUOTE=QUOTE=QUOTE,可知sinA>sinB>sinC,所以①正確;②若A,B,C有一個(gè)為直角時(shí)不成立,若A,B,C都不為直角,因?yàn)锳+B=π-C,所以tan(A+B)=tan(π-C),即QUOTE=-tanC,則tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC,所以tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,即②錯(cuò)誤;③因?yàn)閍sinB=40sin25°<40sin30°=40×QUOTE=20,即asinB<b<a,所以,△ABC必有兩解.所以③正確.綜上,結(jié)論正確的編號(hào)為①③.答案:①③三、解答題(每小題10分,共30分)10.(2024·廈門高一檢測(cè))如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD>90°,AB=2,AC=QUOTE+QUOTE,∠BCA=30°,∠ADB=45°.(1)求sin∠BAD.(2)求AD的長(zhǎng)度.【解析】(1)在△ABC中,由正弦定理,得QUOTE=QUOTE,所以sin∠ABC=QUOTE=QUOTE,因?yàn)锳D∥BC,所以∠BAD=180°-∠ABC,sin∠BAD=sin(180°-∠ABC)=sin∠ABC=QUOTE.(2)由(1)可知cos∠BAD=-QUOTE=-QUOTE,sin∠ABD=sin(∠BAD+45°)=QUOTE(sin∠BAD+cos∠BAD)=QUOTE,在△ABD中,由正弦定理,得AD=sin∠ABD·QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE.11.在△ABC中,已知QUOTEsinA-cosA=1,cosB=QUOTE,AB=4+QUOTE.(1)求內(nèi)角A的大小.(2)求邊BC的長(zhǎng).【解析】(1)因?yàn)镼UOTEsinA-cosA=1,所以2sinQUOTE=1,即sinQUOTE=QUOTE,因?yàn)?<A<π,所以-QUOTE<A-QUOTE<QUOTE,所以A-QUOTE=QUOTE,所以A=QUOTE.(2)因?yàn)閟in2B+cos2B=1,cosB=QUOTE,B∈QUOTE,所以sinB=QUOTE=QUOTE,所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.在△ABC中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,得BC=5.12.(2024·北京高考)在△ABC中,a=7,b=8,cosB=-QUOTE.(1)求A.(2)求AC邊上的高.【解析】(1)在△ABC中,因?yàn)閏osB=-QUOTE,所以B∈QUOTE,所以sinB=