2024-2025學年高中數學第二章數列2.2.1等差數列同步作業(yè)含解析新人教A版必修51

PAGE等差數列(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.已知等差數列{an}的通項公式an=3-2n,則它的公差d為 ()A.2 B.3 C.-2 【解析】選C.由等差數列的定義,得d=a2-a1=-1-1=-2.2.(2024·嘉興高一檢測)等差數列{an}中,已知a3=7,a5=13,則a7= ()A.16 B.17 C.18 【解析】選D.由等差數列的性質可得2a5=a3+a7,所以a7=2a5-a3=19.3.已知數列{an}是等差數列,a4=25,a7=13,則過點P(3,a3),Q(5,a5)的直線斜率為 ()A.4 B.QUOTE C.-4 D.-QUOTE【解析】選C.由已知數列{an}是等差數列,所以an是關于n的“一次函數”,其圖象是一條直線上的等間隔的點(n,an),所以過點P(3,a3),Q(5,a5)的直線,即過點(4,25),(7,13)的直線,所以直線斜率k=QUOTE=-4.4.等差數列{an}中,若a4=3,則a2+a3+a7= ()A.6 B.9 C.12 【解析】選B.因為a4=3,所以a2+a3+a7=a4-2d+a4-d+a4+3d=3a4=3×3=9.5.(2024·上海高一檢測)已知數列QUOTE是等差數列,數列QUOTE分別滿意下列各式,其中數列QUOTE必為等差數列的是 ()A.bn=|an| B.bn=QUOTEC.bn=QUOTE D.bn=-QUOTE【解析】選D.設數列QUOTE的公差為d,選項A,B,C,都不滿意bn-bn-1=同一常數,所以三個選項都是錯誤的;對于選項D,bn-bn-1=-QUOTE+QUOTE=QUOTE=-QUOTE,所以數列QUOTE必為等差數列.6.在數列{an}中,a1=2,2an+1QUOTE-2an=1,則a101的值為 ()A.49 B.50 C.51 【解析】選D.因為an+1-an=QUOTE,所以數列{an}是首項為2,公差為QUOTE的等差數列,所以an=a1+(n-1)·QUOTE=2+QUOTE,所以a101=2+QUOTE=52.二、填空題(每小題5分,共10分)7.設等差數列{an}滿意:a1+a2=7,a1-a3=-6,則a5=________.

【解析】因為等差數列{an}滿意:a1+a2=7,a1-a3=-6.所以QUOTE,解得a1=2,d=3,所以a5=a1+4d=2+4×3=14.答案:148.等差數列1,-1,-3,-5,…,-89的項數為________.

【解析】因為a1=1,d=-1-1=-2,所以an=a1+(n-1)d=-2n+3.由-2n+3=-89,得n=46.答案:46三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2024·臨沂高二檢測)已知等差數列QUOTE滿意a1+a2=10,a4-a3=2.(1)求首項及公差;(2)求QUOTE的通項公式.【解析】(1)設等差數列QUOTE的公差為d.因為a4-a3=2,所以d=2.又因為a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4.(2)由(1)可知an=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2,…).10.(1)若{an}是等差數列,a15=8,a60=20,求a75.(2)已知遞減等差數列{an}的前三項和為18,前三項的乘積為66.求數列的通項公式,并推斷-34是該數列的項嗎?【解析】(1)設{an}的公差為d.由已知得QUOTE解得QUOTE所以a75=a1+74d=QUOTE+74×QUOTE=24.(2)由已知QUOTE所以QUOTE解得QUOTE或QUOTE因為數列{an}是遞減等差數列,所以d<0,a1=11,d=-5,所以an=11+(n-1)·(-5)=-5n+16,即等差數列{an}的通項公式為an=-5n+16.令an=-34,即-5n+16=-34,得n=10,所以-34是數列{an}的第10項.(45分鐘75分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2024·蚌埠高一檢測)已知等差數列{an}的前三項依次為-1,1,3,則此數列的通項公式為 ()A.an=2n-5 B.an=2n-3C.an=2n-1 D.an=2n+1【解析】選B.等差數列{an}中,a1=-1,a2=1,可得d=a2-a1=2,由通項公式可得an=a1+(n-1)×d=-1+2(n-1)=2n-3.2.(2024·烏魯木齊高一檢測)若三角形的三個內角成等差數列,則其次大的角度數為 ()A.30度 B.45度C.60度 D.75度【解析】選C.設三個角依次為A、B、C且A<B<C,則有QUOTE,解得B=60°,因此,其次大的角度數為60度.3.在等差數列{an}中,a2,a14是方程x2+6x+2=0的兩個實根,則QUOTE= ()A.-QUOTE B.-3 C.-6 D.2【解析】選A.由于a2,a14是方程x2+6x+2=0的兩個實根,所以a2+a14=2a8=-6,a8=-3,a2·a14=2,所以QUOTE=QUOTE=-QUOTE.4.在等差數列{an}中,已知a1=QUOTE,a2+a5=4,an=33,則n等于 ()A.48 B.49 C.50 【解析】選C.因為a1+d+a1+4d=4,且a1=QUOTE,所以d=QUOTE,又因為an=a1+(n-1)d=QUOTE+(n-1)×QUOTE=33,即n=50.5.設{an}是等差數列,下列結論中正確的是 ()A.若a1+a2>0,則a2+a3>0B.若a1+a3<0,則a1+a2<0C.若0<a1<a2,則a2=QUOTED.若a1<0,則(a2-a1)(a2-a3)>0【解析】選C.對a1=2,a2=-1,a3=-4,選項A,B不成立.選項C,由等差中項的定義知,a2=QUOTE,故C正確.選項D,(a2-a1)(a2-a3)=-d2≤0,不正確.二、填空題(每小題5分,共20分)6.已知{an}為等差數列,若a2=2a3+1,a4=2a3+7,則a3=________.

【解析】因為{an}為等差數列,a2=2a3+1,a4=2a3+7,所以QUOTE,解得a1=-10,d=3,所以a3=a1+2d=-10+6=-4.答案:-47.已知數列{an}中,a3=2,a7=1,且數列QUOTE為等差數列,則a5=________.

【解析】由數列QUOTE為等差數列,則有QUOTE+QUOTE=QUOTE,可解得a5=QUOTE.答案:QUOTE8.數列QUOTE滿意:log2an+1=1+log2an,若a3=10,則a8=________.

【解析】log2an+1=1+log2an,所以log2an+1-log2an=1,所以QUOTE為等差數列,公差為1,第三項為log210,所以log2a8=log2所以a8=320.答案:3209.在等差數列{an}中,若a1+a2=3,a3+a4=5,則a7+a8等于________.

【解析】設公差為d,則因為a1+a2=3,a3+a4=5,所以2a1+d=3,2a1+5d=5,所以d=QUOTE,即得a1=QUOTE,所以a7+a8=2a1+13d=2×QUOTE+13×QUOTE=9.答案:9三、解答題(每小題10分,共30分)10.已知數列{an}中,a1=-1,an+1·an=an+1-an且Cn=QUOTE,證明{Cn}是等差數列.【證明】因為an+1·an=an+1-an,所以QUOTE-QUOTE=1,即QUOTE-QUOTE=-1,故Cn+1-Cn=-1,因此{Cn}是等差數列.11.已知等差數列{an}中,a15=33,a61=217,試推斷153是不是這個數列的項,假如是,是第幾項?【解析】設首項為a1,公差為d,由已知得QUOTE,解得QUOTE,所以an=-23+(n-1)×4=4n-27,令an=153,即4n-27=153,解得n=45,所以153是該數列的第45項.12.已知數列{an}滿意a1=3,an·an-1=2an-1-1.(1)求a2,a3,a4;(2)求證:數列{QUOTE}是等差數列,并求出{an}的通項公式.【解析】(1)因為an·an-1=2an-1-1,a1=3,所以a2=QUOTE,a3=QUOTE,a4=QUOTE.(2)證明:易知an-1≠0,an=2-QUOTE.當n≥2時,QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE=1,所以{QUOTE}是以QUOTE=QUOTE為首項,以1為公差的等差數列,QUOTE=QUOTE+(n-1)·1=n-QUOTE,所以an=QUOTE+1=