2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)選修4-4坐標系與參數(shù)方程學(xué)案理含解析

PAGE坐標系與參數(shù)方程[最新考綱][考情分析][核心素養(yǎng)]1.理解坐標系的作用，了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的改變狀況.2.能在極坐標系中用極坐標表示點的位置，理解在極坐標系和平面直角坐標系中表示點的位置的區(qū)分，能進行極坐標和直角坐標的互化.3.能在極坐標系中給出簡潔圖形的方程.4.了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義.5.能選擇適當?shù)膮?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程.1.極坐標與直角坐標、極坐標方程與直角坐標方程的互化，極坐標方程的應(yīng)用是2024年高考考查的熱點，題型為解答題，分值為10分.2.參數(shù)方程與一般方程互化，參數(shù)方程的應(yīng)用，參數(shù)方程與極坐標方程的綜合應(yīng)用是2024年高考考查的熱點，題型為解答題，分值為10分.1.數(shù)學(xué)建模2.數(shù)學(xué)運算‖學(xué)問梳理‖1．極坐標系的概念(1)極坐標系如圖所示，在平面內(nèi)取一個eq\x(1)定點O，叫做極點；自極點O引一條eq\x(2)射線Ox，叫做極軸；再選定一個eq\x(3)長度單位、一個eq\x(4)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系．(2)極坐標①極徑：設(shè)M是平面內(nèi)一點，極點O與點M的eq\x(5)距離|OM|叫做點M的極徑，記為ρ.②極角：以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點M的極角，記為θ.③極坐標：有序數(shù)列(ρ，θ)叫做點M的極坐標，記作M(ρ，θ)．2．極坐標與直角坐標的互化設(shè)M是平面內(nèi)隨意一點，它的直角坐標是(x，y)，極坐標是(ρ，θ)，則它們之間的關(guān)系為：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\x(6)ρcosθ，,y＝\x(7)ρsinθ；))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ρ2＝\x(8)x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x)（x≠0）.))3．參數(shù)方程的概念一般地，在平面直角坐標系中，假如曲線C上eq\x(9)隨意一點P的坐標(x，y)是某個變數(shù)t的函數(shù)：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝f（t），,y＝g（t），))并且對于t的每一個允許值，由函數(shù)式eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝f（t），,y＝g（t）))所確定的點P(x，y)都在eq\x(10)曲線C上，那么方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝f（t），,y＝g（t）))叫做這條曲線的參數(shù)方程，變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱eq\x(11)參數(shù)．相對于參數(shù)方程而言，干脆給出點的坐標間關(guān)系的方程叫做eq\x(12)一般方程．?常用結(jié)論直線、圓、橢圓的參數(shù)方程1．過點M(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(t為參數(shù))．留意t的幾何意義．2．圓心在點M0(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋rcosθ，,y＝y(tǒng)0＋rsinθ))(θ為參數(shù))．3．橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ))(φ為參數(shù))．‖基礎(chǔ)自測‖一、疑誤辨析1．推斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．(1)平面直角坐標系內(nèi)的點與坐標能建立一一對應(yīng)關(guān)系，在極坐標系中點與坐標也是一一對應(yīng)關(guān)系．()(2)若點P的直角坐標為(1，－eq\r(3))，則點P的一個極坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(π,3))).()(3)過M0(x0，y0)，傾斜角為αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))的直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(t為參數(shù))．參數(shù)t的幾何意義表示：直線l上以定點M0為起點，任一點M(x，y)為終點的有向線段M0M的數(shù)量．()(4)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝1＋2sinθ))(θ為參數(shù))表示以點(0，1)為圓心，以2為半徑的圓．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)√二、走進教材2．(選修4－4P25例3改編)曲線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋cosθ，,y＝2＋sinθ))(θ為參數(shù))的對稱中心()A．在直線y＝2x上 B．在直線y＝－2x上C．在直線y＝x－1上 D．在直線y＝x＋1上答案：B3．(選修4－4P15T3改編)若以直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則線段y＝1－x(0≤x≤1)的極坐標方程為()A．ρ＝eq\f(1,cosθ＋sinθ)，0≤θ≤eq\f(π,2)B．ρ＝eq\f(1,cosθ＋sinθ)，0≤θ≤eq\f(π,4)C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤eq\f(π,2)D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤eq\f(π,4)答案：A4．(選修4－4P37例2改編)在平面直角坐標系xOy中，若直線l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝t－a))(t為參數(shù))過橢圓C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3cosφ，,y＝2sinφ))(φ為參數(shù))的右頂點，則常數(shù)a的值為________．答案：3三、易錯自糾5．圓ρ＝5cosθ－5eq\r(3)sinθ的圓心的極坐標為________．解析：將方程ρ＝5cosθ－5eq\r(3)sinθ兩邊同乘ρ，得ρ2＝5ρcosθ－5eq\r(3)ρsinθ，化成直角坐標方程為x2＋y2－5x＋5eq\r(3)y＝0.圓心坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(5\r(3),2)))，化成極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(5π,3))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(5π,3)))(答案不唯一)6．在平面直角坐標系中，若曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2)t))(t為參數(shù))，則其一般方程為________．解析：依題意，消去參數(shù)可得x－2＝y(tǒng)－1，即x－y－1＝0.答案：x－y－1＝0eq\a\vs4\al(考點一\a\vs4\al(曲線的極坐標方程))【例1】(2024年全國卷Ⅱ)在極坐標系中，O為極點，點M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲線C：ρ＝4sinθ上，直線l過點A(4，0)且與OM垂直，垂足為P.(1)當θ0＝eq\f(π,3)時，求ρ0及l(fā)的極坐標方程；(2)當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程．[解](1)因為M(ρ0，θ0)在C上，當θ0＝eq\f(π,3)時，ρ0＝4sineq\f(π,3)＝2eq\r(3).由已知得，|OP|＝|OA|coseq\f(π,3)＝2.設(shè)Q(ρ，θ)為l上除P的隨意一點．連接OQ，在Rt△OPQ中，ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝|OP|＝2.經(jīng)檢驗，點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))在曲線ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝2上．所以l的極坐標方程為ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝2.(2)設(shè)P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.因為P在線段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))).所以P點軌跡的極坐標方程為ρ＝4cosθ，θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))).?名師點津有關(guān)曲線的極坐標方程的求解策略在已知極坐標方程求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，假如不能干脆用極坐標解決，或用極坐標解決較麻煩，可將極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程解決．|跟蹤訓(xùn)練|1．(2024年江蘇卷)在極坐標系中，已知兩點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,2)))，直線l的方程為ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝3.(1)求A，B兩點間的距離；(2)求點B到直線l的距離．解：(1)設(shè)極點為O，在△OAB中，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,2)))，由余弦定理，得AB＝eq\r(32＋（\r(2)）2－2×3×\r(2)×cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,4))))＝eq\r(5).(2)因為直線l的方程為ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝3，所以直線l過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(2)，\f(π,2)))，傾斜角為eq\f(3π,4).又Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,2)))，所以點B到直線l的距離為(3eq\r(2)－eq\r(2))×sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－\f(π,2)))＝2.eq\a\vs4\al(考點二\a\vs4\al(參數(shù)方程及應(yīng)用))【例2】(2025屆湖南五市十校聯(lián)考)在直角坐標系xOy中，設(shè)傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋tcosα，,y＝tsinα))(t為參數(shù))，直線l與曲線C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,cosθ)，,y＝tanθ))(θ為參數(shù))相交于不同的兩點A，B．(1)若α＝eq\f(π,3)，求線段AB的中點的直角坐標；(2)若直線l的斜率為2，且過已知點P(3，0)，求|PA|·|PB|的值．[解](1)由曲線C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,cosθ)，,y＝tanθ))(θ為參數(shù))，可得曲線C的一般方程是x2－y2＝1.當α＝eq\f(π,3)時，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t為參數(shù))，代入曲線C的一般方程，得t2－6t－16＝0，設(shè)A，B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2.則t1＋t2＝6，所以線段AB的中點對應(yīng)的t＝eq\f(t1＋t2,2)＝3，故線段AB的中點的直角坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，\f(3\r(3),2))).(2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的一般方程，化簡得(cos2α－sin2α)t2＋6cosαt＋8＝0，則|PA|·|PB|＝|t1t2|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(8,cos2α－sin2α)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(8（1＋tan2α）,1－tan2α)))，由已知得，tanα＝2，故|PA|·|PB|＝eq\f(40,3).?名師點津參數(shù)方程化為一般方程，主要用“消元法”消參，常用代入法、加減消元法、利用三角恒等式消元等．在將參數(shù)方程化為一般方程時，要留意保持同解變形．|跟蹤訓(xùn)練|2．已知曲線C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，直線l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝2－2t))(t為參數(shù))．(1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的一般方程；(2)過曲線C上隨意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值．解：(1)曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝3sinθ))(θ為參數(shù))．直線l的一般方程為2x＋y－6＝0.(2)曲線C上隨意一點P(2cosθ，3sinθ)到l的距離為d＝eq\f(\r(5),5)|4cosθ＋3sinθ－6|，則|PA|＝eq\f(d,sin30°)＝eq\f(2\r(5),5)|5sin(θ＋α)－6|，其中α為銳角，且tanα＝eq\f(4,3).當sin(θ＋α)＝－1時，|PA|取得最大值，最大值為eq\f(22\r(5),5).當sin(θ＋α)＝1時，|PA|取得最小值，最小值為eq\f(2\r(5),5).eq\a\vs4\al(\x(考點三)\a\vs4\al(參數(shù)方程與極坐標方程的綜合應(yīng)用))【例3】(2024年全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1－t2,1＋t2)，,y＝\f(4t,1＋t2)))(t為參數(shù))．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為2ρcosθ＋eq\r(3)ρsinθ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐標方程；(2)求C上的點到l距離的最小值．[解](1)因為－1<eq\f(1－t2,1＋t2)≤1，且x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－t2,1＋t2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(4t2,（1＋t2）2)＝1，所以C的直角坐標方程為x2＋eq\f(y2,4)＝1(x≠－1)．l的直角坐標方程為2x＋eq\r(3)y＋11＝0.(2)由(1)可設(shè)，C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosα，,y＝2sinα))(α為參數(shù)，－π<α<π)．C上的點到l的距離為eq\f(|2cosα＋2\r(3)sinα＋11|,\r(7))＝eq\f(4cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＋11,\r(7)).當α＝－eq\f(2π,3)時，4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＋11取得最小值7，故C上的點到l距離的最小值為eq\r(7).?名師點津參數(shù)方程與極坐標方程綜合問題的解題策略(1)涉及參數(shù)方程和極坐標方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為一般方程和直角坐標方程后求解．當然還要結(jié)合題目本身特點，確定選擇何種方程．(2)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾