2025屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何第三節(jié)空間圖形的基本關(guān)系與公理課時(shí)規(guī)范練文含解析北師大版

PAGE第七章立體幾何第三節(jié)空間圖形的基本關(guān)系與公理課時(shí)規(guī)范練A組——基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練1．若直線a⊥b，且直線a∥平面α，則直線b與平面α的位置關(guān)系是()A．bα B．b∥αC．bα或b∥α D．b與α相交或bα或b∥α解析：b與α相交或bα或b∥α都可以．答案：D2．(2024·江西景德鎮(zhèn)模擬)將圖①中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC上的中線折起得到空間四面體ABCD(如圖②)，則在空間四面體ABCD中，AD與BC的位置關(guān)系是()A．相交且垂直 B．相交但不垂直C．異面且垂直 D．異面但不垂直解析：在題圖①中，AD⊥BC，故在題圖②中，AD⊥BD，AD⊥DC，又因?yàn)锽D∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD，又BC平面BCD，D不在BC上，所以AD⊥BC，且AD與BC異面，故選C.答案：C3．(2024·湖北荊州模擬)設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，a，b是兩條不同的直線，則下列命題正確的是()A．若a⊥b，b⊥α，則a∥αB．若aα，bβ，α∥β，則a與b是異面直線C．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，則α⊥βD．若α∩β＝b，a∥b，則a∥α且a∥β解析：選項(xiàng)A，a可能在α內(nèi)，故A錯(cuò)；選項(xiàng)B，a與b可能平行可能異面，故B錯(cuò)；選項(xiàng)D，a可能在α或β內(nèi)，故D錯(cuò)．故選C.答案：C4．(2024·安徽安慶模擬)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P是線段BC1A．AD1⊥DP B．AC1⊥DPC．AP⊥B1C D．A1P⊥B解析：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，∵B1C⊥BC1，B1C⊥AB，BC1∩AB＝B，∴B1C⊥平面ABC1∵點(diǎn)P是線段BC1上隨意一點(diǎn)，∴AP平面ABC1D1，∴AP⊥B1C答案：C5．(2024·河北模擬)若a，b是不同的直線，α，β是不同的平面，則下列命題中正確的是()A．若a∥α，b∥β，a⊥b，則α⊥βB．若a∥α，b∥β，a∥b，則α∥βC．若a⊥α，b⊥β，a∥b，則α∥βD．若a∥α，b⊥β，a⊥b，則α∥β解析：∵a∥b，a⊥α，∴b⊥α，又b⊥β，∴α∥β.故選C.答案：C6.(2024·廣東東莞模擬)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，EA．CC1與B1E是異面直線B．AC⊥平面ABB1AC．AE，B1C1為異面直線，且AE⊥B1D．A1C1∥平面AB1解析：因?yàn)镃C1與B1E都在平面CC1B1B內(nèi)，且CC1與B1E是相交直線，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤．假設(shè)AC⊥平面ABB1A1，則AC⊥AB，即∠CAB＝90°，從而可得∠C1A1B1＝90°，這與題設(shè)“底面三角形A1B1C1是正三角形”沖突，故假設(shè)錯(cuò)誤，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤．因?yàn)辄c(diǎn)B1?AE，直線B1C1交平面AEB1于點(diǎn)B1，所以AE，B1C1為異面直線；由題意可知△ABC是正三角形，又E是BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC，結(jié)合BC∥B1C1可得AE⊥B1C1，故選項(xiàng)C正確．因?yàn)橹本€AC交平面AB1E于點(diǎn)A，又AC∥A1C1，所以直線A1C1與平面AB1E相交，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．綜上，選C.答案：C7．如圖，圓柱O1O2的底面半徑為1，高為2，AB是一條母線，BD是圓O1的直徑，C是上底面圓周上一點(diǎn)，∠CBD＝30°，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為()A.eq\f(3\r(35),35) B．eq\f(4\r(35),35)C.eq\f(3\r(7),14) D.eq\f(2\r(7),7)解析：連接AO2，設(shè)AO2的延長(zhǎng)線交下底面圓周上的點(diǎn)為E，連接CE，易知∠CAE(或其補(bǔ)角)即為異面直線AC與BD所成的角，連接CD(圖略)，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BD＝2，∠CBD＝30°，得BC＝eq\r(3)，CD＝1.又AB＝DE＝AE＝BD＝2，AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(7)，CE＝eq\r(DC2＋DE2)＝eq\r(5)，所以在△CAE中，cos∠CAE＝eq\f(AC2＋AE2－CE2,2AC·AE)＝eq\f(7＋4－5,2×\r(7)×2)＝eq\f(3\r(7),14)，即異面直線AC與BD所成角的余弦值為eq\f(3\r(7),14).答案：C8．(2024·江西高安段考)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，AA1＝eq\r(2)，則異面直線A1B1與BD1所成角的大小為________．解析：∵A1B1∥AB，∴∠ABD1為異面直線A1B1與BD1所成的角，連接AD1(圖略)，則在Rt△ABD1中，AB＝1，易得AD1＝eq\r(3)，∴tan∠ABD1＝eq\f(AD1,AB)＝eq\r(3)，∴∠ABD1＝60°.答案：60°9.(2024·贛州模擬)如圖所示是正四面體的平面綻開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是________．解析：還原成正四面體知GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE與MN為異面直線，且所成的角為90°，即DE與MN垂直．答案：②③④B組——素養(yǎng)提升練10．(2024·湘東五校聯(lián)考)已知直線m，l，平面α，β，且m⊥α，lβ，給出下列命題：①若α∥β，則m⊥l；②若α⊥β，則m∥l；③若m⊥l，則α⊥β；④若m∥l，則α⊥β.其中正確的命題是()A．①④ B．③④C．①② D．①③解析：對(duì)于①，若α∥β，m⊥α，lβ，則m⊥l，故①正確，解除B.對(duì)于④，若m∥l，m⊥α，則l⊥α，又lβ，所以α⊥β，故④正確．選A.答案：A11．如圖是一幾何體的平面綻開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面4個(gè)結(jié)論：①直線BE與直線CF異面；②直線BE與直線AF異面；③直線EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正確的有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：將綻開圖還原為幾何體(如圖)，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PA，PD的中點(diǎn)，所以EF∥AD∥BC，即直線BE與CF共面，①錯(cuò)；因?yàn)锽?平面PAD，E∈平面PAD，E?AF，所以BE與AF是異面直線，②正確；因?yàn)镋F∥AD∥BC，EF?平面PBC，BC平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正確；平面PAD與平面BCE不肯定垂直，④錯(cuò)．故選B.答案：B12．若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是()A．l與l1，l2都不相交B．l與l1，l2都相交C．l至多與l1，l2中的一條相交D．l至少與l1，l2中的一條相交解析：法一：如圖1，l1與l2是異面直線，l1與l平行，l2與l相交，故A，B不正確；如圖2，l1與l2是異面直線，l1，l2都與l相交，故C不正確，選D.法二：因?yàn)閘分別與l1，l2共面，故l與l1，l2，要么都不相交，要么至少與l1，l2中的一條相交．若l與l1，l2都不相交，則l∥l1，l∥l2，從而l1∥l2，與l1，l2是異面直線沖突，故l至少與l1，l2中的一條相交，選D.答案：D13．(2024·河南安陽一模)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)O是底面ABCD的中心，過O點(diǎn)作一條直線l與A1D平行，設(shè)直線l與直線OC1的夾角為θ，則cosθ解析：如圖所示，設(shè)正方體的表面ABB1A1的中心為P，簡(jiǎn)單證明OP∥A1D，所以直線l即為直線OP，角θ即∠POC1.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則OP＝eq\f(1,2)A1D＝eq\r(2)，OC1＝eq\r(6)，PC1＝eq\r(6)，則cos∠POC1＝eq\f(2＋6－6,2×\r(2)×\r(6))＝eq\f(1,2\r(3))＝eq\f(\r(3),6).答案：eq\f(\r(3),6)14.如圖所示，在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則當(dāng)AC，BD滿意條件________時(shí)，四邊形EFGH為菱形，當(dāng)AC，BD滿意條件________時(shí)，四邊形EFGH是正方形．解析：易知EH∥BD∥FG，且EH＝eq\f(1,2)BD＝FG，同理EF∥AC∥HG，且EF＝eq\f(1,2)AC＝HG，明顯四邊形EFGH為平行四邊形．要使平行四邊形EFGH為菱形需滿意EF＝EH，即AC＝BD；要使平行四邊形EFGH為正方形需滿意EF＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD.答案：AC＝BDAC＝BD且AC⊥BD15．如圖所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中點(diǎn)，AA1∶AB＝eq\r(2)∶1，則異面直線AB1與BD所成的角為________．解析：如圖，取A1C1的中點(diǎn)D1，連接B1D1.因?yàn)镈是AC的中點(diǎn)，所以B1D1∥BD，所以∠AB1D1即為異面直線AB1與BD所成的角或補(bǔ)角．連接AD1，設(shè)AB＝a，則AA1＝eq\r(2)a，所以AB1＝eq\r(3)a，B1D1＝eq\f(\r(3),2)a，AD1＝eq\r(\f(