專題04指數(shù)與對數(shù)（考點清單知識導(dǎo)圖知識導(dǎo)圖3考點清單7題型解讀）

清單04指數(shù)與對數(shù)【清單01】根式1、n次方根的定義（1）定義：一般地，如果（，且），那么x叫做a的n次方根.（2）個數(shù)：=1\*GB3①當n是奇數(shù)時，正數(shù)的次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的次方根是一個負數(shù)，這時的次方根只有一個，記為；=2\*GB3②當n是偶數(shù)時，正數(shù)的次方根有兩個，它們互為相反數(shù)，這時，正數(shù)的正的次方根用符號，負的次方根用符號表示，它們可以合并寫成2、根式（1）根式的定義：式子叫做根式，其中n叫作根指數(shù)，a叫作被開方數(shù)．（2）根式的性質(zhì)：（，且）a；【清單02】指數(shù)冪1、分數(shù)指數(shù)冪的意義（1）正分數(shù)指數(shù)冪：規(guī)定：（2）負分數(shù)指數(shù)冪：規(guī)定：（3）性質(zhì)：0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義2、指數(shù)冪的運算性質(zhì)（1）．（2）．（3）．【清單03】對數(shù)1、對數(shù)的概念（1）對數(shù)的定義：如果（，且），那么就稱是以a為底N的對數(shù)，記作，其中a叫作對數(shù)的底數(shù)，N叫作真數(shù)．（2）常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，對數(shù)簡記為；（3）自然對數(shù)：以無理數(shù)為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，對數(shù)簡記為.2、對數(shù)的運算性質(zhì)（1）運算性質(zhì)：,且，=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③（2）換底公式及推論(a＞0，且a1；c＞0，且c1；)．可用換底公式證明以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤.【考點題型一】根式的概念與化簡方法總結(jié)：（1）解決根式的化簡與求值問題首先要分清根式是奇次根式還是偶次根式，然后運用根式的性質(zhì)進行化簡求值；（2）注意對和進行區(qū)分；（3）對根式的運算要注意變式，整體代換，以及平方差、立方差、完全平方及完全立方公式的運用，做到化繁為簡，必要時進行討論.【例1】（2223高一上·江蘇徐州·月考）下列式子中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由可知，對于A，，，故A錯誤；對于B，時，，而無意義，故B錯誤；對于C，，，且，故C正確；對于D，時，，而無意義，故D錯誤；故選：C.【變式11】（2223高一上·江蘇連云港·月考）若，則的值為（

）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】因為，所以.故選：C【變式12】（2324高一上·廣東中山·月考）化簡（其中）的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】=,選C.【變式13】（2324高一上·海南·月考）若，則的值是（

）A．3 B．3 C．9 D．9【答案】A【解析】依題意，所以，所以.故選：A.【變式14】（2324高一上·江蘇宿遷·月考）若，則.【答案】【解析】因為，所以.【考點題型二】分數(shù)指數(shù)冪與根式互化方法總結(jié)：（1）根式與分數(shù)指數(shù)冪互化的關(guān)鍵是準確把握兩種形式中相關(guān)數(shù)值的對應(yīng)：=1\*GB3①根指數(shù)?分數(shù)指數(shù)的分母；=2\*GB3②被開方數(shù)（式）的指數(shù)?分數(shù)指數(shù)的分子.（2）當根式為多重根式時，要清楚哪個是被開方數(shù)，一般由內(nèi)向外用分數(shù)指數(shù)冪依次寫出.【例2】（2324高一上·新疆·月考）把根式化成分數(shù)指數(shù)冪是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，.故選：D.【變式21】（2324高一上·陜西西安·月考）代數(shù)式化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，故選：A【變式22】（2324高一上·湖南株洲·月考）下列關(guān)于的形式的運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由于，A正確，B，C錯誤；，由于無意義，D錯誤，故選：A【變式23】（2324高一上·河南·月考）（多選）下列各式錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】對于A，當時，，故A錯誤；對于B，時顯然等式不成立，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：ABC.【變式24】（2324高一上·河北石家莊·月考）（多選）下列各式中一定成立的有（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，當時，，，所以，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：BD.【考點題型三】指數(shù)冪運算的化簡求值方法總結(jié)：指數(shù)冪運算的四個原則（1）有括號的先算括號里的，無括號的先做指數(shù)運算；（2）先乘除后加減，負指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)；（3）底數(shù)是負數(shù)，先確定符號，底數(shù)是小數(shù)，先化成分數(shù)，底數(shù)是帶分數(shù)的，先化成假分數(shù)；（4）若是根式，應(yīng)化為分數(shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運用指數(shù)冪的運算性質(zhì)來解答（化簡過程中一定要注意等價性，特別注意開偶次方根時函數(shù)的定義域）【例3】（2324高一上·江蘇徐州·月考）已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，.故選：D.【變式31】（2324高一上·湖南長沙·月考）計算（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故選：C【變式32】（2324高一上·江蘇南京·月考）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故選：B【變式33】（2425高一上·江蘇宿遷·開學(xué)考試）下列各式中，計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確；故選：D．【變式34】（2324高一上·湖北武漢·月考）求值：(1)(2)【答案】(1)；(2)【解析】（1）.（2）.【考點題型四】指數(shù)運算條件求值問題方法總結(jié)：條件求值問題的解題思路1、將條件中的式子用待求式表示出來，進而代入化簡得出結(jié)論；2、當直接代入不易時，可以從總體上把握已知式和所求式的特點，從而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式對其進行化簡，再用整體代入法來求值；3、適當應(yīng)用換元法，能使公式的使用更加清晰，過程更簡潔?！纠?】（2223高一上·廣東惠州·月考）已知，則的值為．【答案】【解析】，所以．【變式41】（2223高一上·廣西南寧·月考）已知，則的值為（

）A．7 B． C．47 D．51【答案】C【解析】因為，所以，所以，所以，所以，故選：C．【變式42】（2223高一上·河北張家口·月考）已知，則的值等于（

）A． B．6 C． D．8【答案】C【解析】，則，，，則，故選：C.【變式43】（2324高一上·河南漯河·月考）（多選）已知，下列各式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABCD【解析】A：，故A正確；B：，故B正確；C：，故C正確；D：故D正確；故選：ABCD.【考點題型五】指數(shù)式與對數(shù)式互化方法總結(jié)：根據(jù)對數(shù)的定義可得對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系：當，時，.【例5】（2223高一上·四川瀘定·月考）下列指數(shù)式與對數(shù)式互化不正確的一組是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】C【解析】由可得,C不正確故選：C【變式51】若（且），則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為（且），所以.故選：A.【變式52】下列對數(shù)式中，與指數(shù)式等價的是（

）.A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)指數(shù)式和對數(shù)式的關(guān)系,等價于.故選：C【變式53】（2324高一上·貴州安順·月考）（多選）下列指數(shù)式與對數(shù)式互化正確的一組是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】ACD【解析】對于選項A，指數(shù)式化為對數(shù)式為，故A正確；對于選項B，指數(shù)式化為對數(shù)式為，故B錯誤；對于選項C，指數(shù)式化為對數(shù)式為，故C正確；對于選項D，指數(shù)式化為對數(shù)式為，故D正確.故選：ACD.【考點題型六】用已知對數(shù)表示其他對數(shù)方法總結(jié)：觀察已知對數(shù)與所求對數(shù)的關(guān)系，通過換底公式以及對數(shù)的運算性質(zhì)建立兩者之間的聯(lián)系.【例6】（2425高一上·四川閬中·開學(xué)考）已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故選：B【變式61】（2324高一上·天津·月考），，試用a，b表示（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，，則.故選：B【變式62】（2324高一上·江蘇連云港·月考）設(shè)，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，則.故選D【變式63】（2324高一上·上?！ぴ驴迹┮阎?，試用、表示.【答案】【解析】由可得：，即，故.【考點題型七】對數(shù)運算的化簡求值方法總結(jié)：對數(shù)運算的一般原則（1）將真數(shù)和底數(shù)化成指數(shù)冪形式，使真數(shù)和底數(shù)最簡，用公式化簡合并；（2）利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化為同底的對數(shù)式；（3）將同底對數(shù)的和、差、倍運算轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪；（4）如果對數(shù)的真數(shù)可以寫成幾個因數(shù)或因式的相乘除的形式，一般改寫成幾個對數(shù)相加減的形式，然后進行化簡合并；（5）對數(shù)真數(shù)中的小數(shù)一般要化成分數(shù)，分數(shù)一般寫成對數(shù)相減的形式。【例7】（2324高一上·寧夏吳忠·月考）（多選）以下式子中，計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：ABC.【變式71】（2324高一上·浙江·月考）計算：.【答案】【解析】由題意可