第9講拓展三四邊形中折疊與旋轉(zhuǎn)問題（題型精講）

第9講拓展三：四邊形中折疊與旋轉(zhuǎn)問題（精講）目錄模型1：四邊形中折疊與旋轉(zhuǎn)問題中角度問題模型2：四邊形中折疊與旋轉(zhuǎn)問題中線段長度問題模型3：四邊形中折疊與旋轉(zhuǎn)問題中坐標(biāo)問題模型4：四邊形中折疊與旋轉(zhuǎn)問題中周長與面積問題模型5：四邊形中折疊與旋轉(zhuǎn)問題中最值問題模型6：四邊形中折疊與旋轉(zhuǎn)問題中位置（數(shù)量）關(guān)系問題模型7：四邊形中折疊與旋轉(zhuǎn)問題中綜合問題模型1：四邊形中折疊與旋轉(zhuǎn)問題中角度問題典型例題例題1．（2022秋·廣東茂名·九年級統(tǒng)考期末）如圖將矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到矩形的位置，若旋轉(zhuǎn)角為，為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：設(shè)與交于點(diǎn)，∵將矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到矩形的位置，旋轉(zhuǎn)角為，∴，∴，∵，∴，∴；故選A．例題2．（2023春·重慶沙坪壩·七年級重慶南開中學(xué)?？奸_學(xué)考試）將長方形紙片按如圖所示的方式折疊，和為折痕，點(diǎn)，點(diǎn)折疊后的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，點(diǎn)，若，則___________．【答案】##80度【詳解】由題意可知，∵將長方形紙片按如圖所示的方式折疊，和為折痕，點(diǎn)A，點(diǎn)D折疊后的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，故答案為．例題3．（2023秋·河南周口·七年級周口市第四初級中學(xué)?？计谀┚C合與實(shí)踐在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課上，老師讓同學(xué)們以“長方形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．(1)操作測量操作一：對折長方形紙片，使較長的一組對邊與重合，得到折痕，把紙片展平；操作二：在上選一點(diǎn)，沿將三角形折疊，點(diǎn)A在平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，把紙片展平．如圖1，當(dāng)點(diǎn)在折痕上時(shí)，連接，．測量，的度數(shù)，得________度，________度．(2)遷移探究在操作二中，若使點(diǎn)限制在長方形紙片內(nèi)，設(shè)，，請判斷，的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．(3)拓展應(yīng)用在（2）的探究中，若點(diǎn)的位置不受限制，并且長方形紙片較長的一邊足夠長，當(dāng)時(shí)，直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)，；(2)；(3)或．【詳解】（1）解：連接，由題意可知是的垂直平分線，，由翻折可知，，，是等邊三角形，，，，故答案為：，；（2）由翻折可知，如圖2，當(dāng)點(diǎn)限制在長方形紙片內(nèi)時(shí)，，設(shè)，，，即；（3）①當(dāng)點(diǎn)限制在長方形紙片內(nèi)時(shí)，由（2）可知，當(dāng)時(shí),，，解得：；②當(dāng)點(diǎn)限制在長方形紙片外時(shí)，由翻折可知，且，，即，當(dāng)時(shí),，解得：，故：或．同類題型歸類練1．（2022秋·廣西玉林·七年級校考期末）將一張正方形紙片按如圖所示的方式折疊，、為折痕，點(diǎn)折疊后的對應(yīng)點(diǎn)分別為，若，則的度數(shù)為（）A．48° B．46° C．44° D．42°【答案】B【詳解】解：設(shè)，，根據(jù)折疊可知：，，∵，∴，，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴，∴的度數(shù)為．故選：B．2．（2022秋·山東濟(jì)南·七年級校考期末）將一張長方形紙片按如圖所示的方式折疊，、為折痕，若，則______．

【答案】【詳解】解：根據(jù)翻折的性質(zhì)可知，，，又∵，∴，又，∴．故答案為：．3．（2023秋·廣西南寧·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到矩形，點(diǎn)在上，延長交于點(diǎn).(1)求證：；(2)連接，若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得：，，∴，，∵在矩形中，，∴，在和中，，∴，（2）解：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即的度數(shù)為．模型2：四邊形中折疊與旋轉(zhuǎn)問題中線段長度問題典型例題例題1．（2023春·重慶九龍坡·九年級重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校校考開學(xué)考試）如圖，在正方形中，，是的中點(diǎn)，是延長線上的點(diǎn)，將沿折疊得到．連接并延長分別交、于、兩點(diǎn)，若，則的長度為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：設(shè)，則，由翻折可知，，，E是的中點(diǎn)，，由題意可知：，，，即，解得，，，又，，，，，即：，解得：，故選：A．例題2．（2023秋·廣東深圳·八年級深圳中學(xué)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接，延長交于點(diǎn)，則四邊形為正方形，若，，則的長為____________．【答案】【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，四邊形是正方形，，，，，，，；四邊形是正方形，，，由旋轉(zhuǎn)得，，，，且，，解得，或不符合題意，舍去，，，，，

，，故答案為：．例題3．（2023秋·江蘇無錫·九年級江蘇省錫山高級中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┤鐖D，已知矩形中，是邊上一點(diǎn)，將沿折疊得到，連接．(1)如圖1，落在直線上時(shí)，求證；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，與邊相交時(shí)，在上取一點(diǎn)，使，與交于點(diǎn)，①求的值；②當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，若，求的長．【答案】(1)見解析(2)①；②定性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，勾股定理求解即可．【詳解】（1）如圖1，延長交于點(diǎn)G，根據(jù)折疊性質(zhì)得到，∴直線是的垂直平分線，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴．（2）①根據(jù)(1)得到，∵，∴，∴，∵，∴．②延長交于點(diǎn)T，根據(jù)折疊性質(zhì)得到，∴直線是的垂直平分線，∴，，∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，，，；∵，，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，，∴，，，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，解得（舍去）故．例題4．（2023秋·湖南永州·九年級統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐：數(shù)學(xué)實(shí)踐活動有利于我們在圖形運(yùn)動變化的過程中去發(fā)現(xiàn)其中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，讓我們在學(xué)習(xí)與探索中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，體會數(shù)學(xué)實(shí)踐活動帶給我們的樂趣，獲得數(shù)學(xué)知識．如圖①，在矩形中，點(diǎn)、、分別為邊、、的中點(diǎn)，連接、，為的中點(diǎn)，連接．將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，線段、和的位置和長度也隨之變化．當(dāng)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，請解決下列問題：(1)圖②中，，此時(shí)，點(diǎn)落在的延長線上，點(diǎn)落在線段上，連接，猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)圖③中，若，，則；當(dāng)，時(shí)，；(3)在（2）的條件下，連接圖③中矩形的對角線，并沿對角線剪開，得（如圖④）．點(diǎn)、分別在、上，連接，將沿翻折，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在的延長線上，若平分，則長為．【答案】(1)，理由見解析；(2)；；(3)．【詳解】（1）解：，理由如下：∵，四邊形為矩形，∴四邊形為正方形，∴，∵E、F為，中點(diǎn)，即：，∴，∴，∴，∵H為中點(diǎn)，G為中點(diǎn)，∴，∴．（2）連接，如圖所示，由題意知，，，∴，由矩形性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)知，，∴，∴，∵G為中點(diǎn)，H為中點(diǎn)，∴，∴，∴若，，則；當(dāng)，時(shí)，；．故答案為：；；（3）過作于，如圖所示，由折疊知，，，∵平分，∴，∴，∵，，∴，設(shè)，，由知，，即，，

∵，∴，∴，即，，∴，解得：，故答案為：．同類題型歸類練1．（2023秋·重慶綦江·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，將邊繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，，若，，則線段的長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵將邊繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，，∴，又∵，∴，∵，∴，解得：，∴線段C'D的長度為．故選：B2．（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）長方形紙片中，，，點(diǎn)E是邊上一動點(diǎn)，連接，把∠B沿折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長為______．【答案】或3【詳解】解：當(dāng)為直角三角形時(shí)，有兩種情況：當(dāng)點(diǎn)F落在矩形內(nèi)部時(shí)，如答圖1所示．連接，在中，，∴，∵∠B沿折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，∴，當(dāng)為直角三角形時(shí)，只能得到，∴點(diǎn)A、F、C共線，即沿折疊，使點(diǎn)B落在對角線上的點(diǎn)F處，∴，∴，設(shè)，則，在中，∵，∴解得：；②當(dāng)點(diǎn)F落在邊上時(shí)，如答圖2所示．此時(shí)為正方形，∴．故答案為：或3；3．（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鐖D，已知長方形紙片，點(diǎn)在邊上，將沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，分別交于點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)求證：；(3)求的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【詳解】（1）解：由長方形性質(zhì)可得，由折疊性質(zhì)可得，∴，在與中，，∴；（2）∵，∴，∵，∴，

即，由折疊的性質(zhì)可得，

∴；（3）由長方形的性質(zhì)得到：，，由折疊性質(zhì)可得，∵，∴，設(shè)，則，，，在中，，即，∴，∴．4．（2023秋·河北保定·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形中，，，將矩形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到矩形，連接，點(diǎn)C恰好在線段上，______．【答案】【詳解】解：矩形ABCD中，，，又∵矩形和矩形中，，解得：（不合題意舍去），．故答案為：．模型3：四邊形中折疊與旋轉(zhuǎn)問題中坐標(biāo)問題典型例題例題1．（2022秋·貴州畢節(jié)·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，長方形的邊分別在軸、軸上，點(diǎn)D在邊上，將該長方形沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處．若點(diǎn)，點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵將該長方形沿折疊，點(diǎn)C恰好落在邊上的E處．∴，由勾股定理得，，∴，設(shè)，則，在中，解得，∴，故選：A．例題2．（2023秋·河南鄭州·九年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到正方形，以此方式，繞點(diǎn)連續(xù)旋轉(zhuǎn)2023次得到正方形，如果點(diǎn)的坐標(biāo)為，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖∵四邊形是正方形，，，，連接，，∵將正方形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到正方形，，同理，∵每次旋轉(zhuǎn)，，∴8次一循環(huán)∵，點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)重合即與關(guān)于O對稱，．故選B例題3．（2022秋·廣東河源·九年級?？计谀┱郫B變換是特殊的軸對稱變換，我們生活中常對矩形紙片進(jìn)行折疊，這其中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識和思想．(1)如圖1，矩形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將矩形沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置．①求證：；②求的長度．(2)如圖2，在直角坐標(biāo)系中，把矩形沿對角線所在的直線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，與軸交于點(diǎn)，，，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求出點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)①見解析；②(2)存在，H的坐標(biāo)為，，，【詳解】（1）解：①∵，∴，∵，∴，∴；②作于點(diǎn)G，則，根據(jù)勾股定理得，∵，∴，∴；（2）解：由題意得，在和中，，∴，∴，設(shè)，則，由勾股定理得：，解得，∴，由題意知的解析式為，設(shè)，，若是菱形的對角線，則，解得，∴，綜上，H的坐標(biāo)為．例題4．（2023秋·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）模型建立：如圖1，等腰直角三角形中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，過作于，過作于．(1)求證：．(2)模型應(yīng)用：已知直線與軸交與點(diǎn)，將直線繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，如圖2，求的函數(shù)解析式．(3)如圖3，矩形，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的坐標(biāo)為，、分別在坐標(biāo)軸上，是線段上動點(diǎn)，設(shè)，已知點(diǎn)在第一象限，且是直線上的一點(diǎn)，若是不以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)見解析(2)的解析式：(3)點(diǎn)，，．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵，∴，又∵，∴，在與中，∴；（2）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過作軸于，如圖，∵，∴為等腰直角三角形，由（1）得：，∴，，∵直線，∴，，∴，，∴，∴，設(shè)的解析式為，把點(diǎn)，代入得：∴，解得：，∴的解析式：；（3）解：當(dāng)點(diǎn)位于直線上時(shí)，分兩種情況：設(shè)，①點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在矩形的內(nèi)部時(shí)，過作軸的平行線，交直線于，交直線于，則，∴，；由（1）得：，∴，即，解得：；∴；當(dāng)點(diǎn)在矩形的外部時(shí)，則，∴，；由（1）得：，∴，即，解得：；∴；②點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)位于矩形的外部，則，∴；同（1）得，，∴，；∴；∴，解得：；∴；綜合上面情況可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．同類題型歸類練1．（2022秋·福建泉州·九年級福建省惠安第一中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊在x軸上，邊在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，將矩形沿對角線折疊，使點(diǎn)B落在D點(diǎn)的位置，且交y軸交于點(diǎn)E，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（

）A．（） B．（，2） C．（） D．【答案】D【詳解】如圖，過D作于F，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∴，根據(jù)折疊可知，而∴，∴，設(shè)，那么，在中，，∴，

解得，∵，∴，∴而，∴，∴，即，∴，∴，∴D的坐標(biāo)為，故選：D．2．（2023秋·遼寧沈陽·八年級校聯(lián)考期末）如圖：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有長方形，點(diǎn)，分別在軸，軸上，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，沿折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合．若點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且面積是18，則點(diǎn)坐標(biāo)為_____．【答案】或或或【詳解】解：過作于F，如圖：∵，∴，∴，∵沿折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，點(diǎn)C與點(diǎn)重合，∴，，，，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴，∵，且，∴，∴；當(dāng)P在x軸上時(shí)，連接交x軸于H，如圖：∵，；∴直線為，令得，∴，∵面積是18，∴，即，∴，∴或；當(dāng)P在y軸上時(shí)，如圖：∵面積是18，∴，即，∴，∴或，綜上所述，P的坐標(biāo)為或或或，故答案為：或或或．3．（2023秋·江西南昌·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長為1的正方形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至2019次得到正方形，則點(diǎn)的坐標(biāo)是______．【答案】【詳解】解：由題意可得：，，，，，，，，．．．故周期為8，故答案為：4．（2022秋·廣東深圳·九年級期末）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖，在矩形中，E為邊上一點(diǎn)，且．將矩形沿折疊，使點(diǎn)A恰好落在邊上的點(diǎn)F，求線段的長．【類比遷移】如圖，在矩形中，E為邊上一點(diǎn)，且．將沿著折疊得到，延長交邊于點(diǎn)G，延長交邊于點(diǎn)H，且，求線段的長．【拓展應(yīng)用】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為矩形，，對角線交于點(diǎn)D．P為軸上一動點(diǎn)，連接，將沿著直線折疊得到，當(dāng)直線軸時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）；（3）或【詳解】解：（1）由折疊的的性質(zhì)可知，∵四邊形是矩形，∴，在中，，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴；（2）∵四邊形是矩形，∴，由折疊的性質(zhì)可知，∴，設(shè)，則，在中，，∴，解得，∴，∴，又∵，∴，∴，即，∴，，∵，∴，∴；（3）如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)且點(diǎn)在點(diǎn)D上方時(shí)，∵四邊形是矩形，，∴，，∴，由折疊的性質(zhì)可知，，∵軸，∴，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，∴，∴，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)且點(diǎn)在點(diǎn)D下方時(shí)，同理可得，，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴，解得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，不可能存在軸這種情況；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．模型4：四邊形中折疊與旋轉(zhuǎn)問題中周長與面積問題典型例題例題1．（2023秋·江蘇泰州·八年級?？计谥校┚匦渭埰倪呴L，．將矩形紙片沿折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折疊后在其一面著色（如圖），則著色部分的面積為____________．【答案】####【詳解】∵是矩形，∴，設(shè)，則，在中，∴，即，解得，∴，∴．故答案為：．例題2．（2023秋·浙江寧波·八年級校考期末）【問題情境】如圖1，在中，，點(diǎn)為邊上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)作，，垂足分別為、，過點(diǎn)作，垂足為．求證：．【結(jié)論運(yùn)用】如圖，將矩形沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)為折痕上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)作、，垂足分別為、，若，，求的值；【遷移拓展】如圖，在四邊形中，，為邊上的一點(diǎn)，，，垂足分別為、，，，，、分別為、的中點(diǎn)，連接、，求與的周長之和．【答案】【問題情境】見解析；【結(jié)論運(yùn)用】4；【遷移拓展】【詳解】[問題情境]連接，，，，且，．，．[結(jié)論運(yùn)用]過點(diǎn)作，垂足為，如圖四邊形是矩形，，．，，∴．由折疊可得：，．．，．，，．四邊形是矩形．．，．，．．由問題情境中的結(jié)論可得：．∴．的值為．[遷移拓展]延長、交于點(diǎn)，作，垂足為，如圖⑤．．由問題情境中的結(jié)論可得：．設(shè)，則．，．．，，，．解得：．．．．，且、分別為、的中點(diǎn)，，．與的周長之和．例題3．（2022春·九年級課時(shí)練習(xí)）能夠完全重合的平行四邊形紙片和按圖①方式擺放，其中，．點(diǎn)，分別在邊，上，與相交于點(diǎn)．【探究】求證：四邊形是菱形．【操作一】固定圖①中的平行四邊形紙片，將平行四邊形紙片繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，如圖②，則這兩張平行四邊形紙片未重疊部分圖形的周長和為______．【操作二】四邊形紙片繞著點(diǎn)繼續(xù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，連接，，如圖③若，則四邊形的面積為______．【答案】探究：見解析；操作一：56；操作二：72【詳解】解：探究：四邊形和都是平行四邊形，即四邊形是平行四邊形又平行四邊形是菱形；操作一：如圖，設(shè)與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)四邊形和是兩個(gè)完全重合的平行四邊形，在和中，，和的周長相等同理可得：、、、的周長均相等又的周長為則這兩張平行四邊形紙片未重疊部分圖形的周長和為故答案為：；操作二：如圖，設(shè)與相交于點(diǎn)，四邊形和是兩個(gè)完全重合的平行四邊形，，是等腰三角形，且平分，，，，在中，，即，解得，，又，，四邊形是平行四邊形，，即，平行四邊形是矩形，則四邊形的面積為，故答案為：．例題4．（2022秋·江蘇南京·八年級校考階段練習(xí)）背景資料：在已知所在平面上求一點(diǎn)，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小．這個(gè)問題是法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖1，當(dāng)三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)在內(nèi)部，當(dāng)時(shí)，則取得最小值．(1)如圖2，等邊內(nèi)有一點(diǎn)，若點(diǎn)到頂點(diǎn)、、的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到處，此時(shí)這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段、、轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出___________．知識生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120°的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與的另一頂點(diǎn)，則連線通過三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn)，請同學(xué)們探索以下問題．(2)如圖3，三個(gè)內(nèi)角均小于120°，在外側(cè)作等邊三角形，連接，求證：過的費(fèi)馬點(diǎn)．(3)如圖4，在中，，，，點(diǎn)P為的費(fèi)馬點(diǎn)，連接、、，求的值．【答案】(1)(2)答案見解析(3)【詳解】（1）解：如圖2中，連接．點(diǎn)到頂點(diǎn)、、的距離分別為3、4、5，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，，，，，即，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，，△是直角三角形，，，，故答案為：；（2）證明：在上取點(diǎn)，使．連接，再在上截取，連接．，，為正三角形，，，．為正三角形，，，，△，，，，為的費(fèi)馬點(diǎn)．過的費(fèi)馬點(diǎn)；（3）解：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△處，連接，如圖4所示：則，，，，，，是等邊三角形，，，點(diǎn)為直角三角形的費(fèi)馬點(diǎn)，，，，、、、四點(diǎn)共線，，，，，，在中，由勾股定理得：，，，在△中，由勾股定理得：，．同類題型歸類練1．（2023秋·陜西西安·八年級校考期末）如圖，將長方形沿著折疊，使得點(diǎn)D恰好落在邊上的處，若，，則的面積為_____．【答案】45【詳解】解：過點(diǎn)E作，設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理可得，，解得：，∴，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得：解得，，∴故答案為：45．2．（2023秋·安徽宣城·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將長方形沿折疊，使落在的位置，且與相交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求折疊后的重疊部分陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：如圖，長方形沿對角線對折，使落在的位置，，，又四邊形為矩形，，，而，在與中：；（2）四邊形為長方形，，，，，設(shè)，則，，在中，，即，解得．折疊后的重疊部分的面積．3．（2023秋·浙江金華·九年級統(tǒng)考期末）在矩形中，點(diǎn)E、F分別在邊、上，且，，將矩形沿直線折疊，使點(diǎn)D恰好與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)處，如圖1．(1)求證：；(2)點(diǎn)P為線段上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作、，以、為鄰邊構(gòu)造平行四邊形，如圖2．①求平行四邊形的周長．②當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動到點(diǎn)F時(shí)，求出點(diǎn)Q的運(yùn)動路徑長．【答案】(1)見解析；(2)①；②點(diǎn)Q的運(yùn)動路徑長為．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∴，由翻折可知：，∴，∴．（2）①如圖，連接，作于，則四邊形是矩形，．∵，，∴，，在中，∵，，，∴，∵，，，∴，∵，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形的周長．②過點(diǎn)作交于，延長交于，延長交于，連接，又∵，，是平行四邊形易知，，，由（1）知，，∵，∴，∴，∴∵，，∴，∴，∴，即：∴，即：，∴∴，即：點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為平行于點(diǎn)的線段，為中邊上的高的垂足，為中邊上的高的垂足（同理可知），如圖：∴∴∴，由①知：，，，∴，則，則：，即：，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動路徑長為．4．（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？奸_學(xué)考試）在等邊三角形中，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，連接，將繞D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度得到，連接，已知，；(1)如圖1，若，，連接，求的長；(2)如圖2，若，分別取的中點(diǎn)H，的中點(diǎn)F，連接，，求證：；(3)如圖3，若，P為上一點(diǎn)，且滿足，連接，將沿著所在直線翻折得到，連接，當(dāng)最大時(shí)，直接寫出的面積．【答案】(1)；(2)見解析；(3)．【詳解】（1）解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，，∵旋轉(zhuǎn)角，∴是等邊三角形，則，，∵為等邊三角形，∴，，∴，即，∴（SAS），∴，∵，，，∴，，又∵，∴，∴；（2）證明：延長，使，連接，，則，即為的中點(diǎn)，∵為的中點(diǎn)，∴為的中位線，即，旋轉(zhuǎn)角，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，∵為的中點(diǎn)，∴，平分，∴，，則，∴為等邊三角形，∴，，又∵為等邊三角形，∴，，∴，即，∴（SAS），∴，即，∵為的中點(diǎn)，∴，，∴∴．（3）由（1）知，，，，∵，則，∴，由，得，作，則：，∴，則，，，即點(diǎn)的軌跡為：以為圓心，為半徑的圓，由翻折可知，，而，當(dāng)，，在同一直線上時(shí)取最大值，即：取最大值，如圖此時(shí)，，，則．模型5：四邊形中折疊與旋轉(zhuǎn)問題中最值問題典型例題例題1．（2023秋·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將邊長為4的正方形紙片折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處（不與點(diǎn)C、D重合），連接，折痕分別交、、于點(diǎn)、、，邊折疊后交邊于點(diǎn)．(1)求證：(2)若，求的長；(3)若點(diǎn)是邊上的動點(diǎn)，四邊形的面積是否存在最值？若存在，求出這個(gè)最值；若不存在，說明理由．【答案】(1)見解析(2)2(3)存在，10【詳解】（1）∵四邊形是正方形，∴，∴，∵正方形沿Z折疊，∴，∴，∴，∴；（2）∵正方形的邊長為4，，∴，，設(shè)，則，，由勾股定理得：，∴，解得：，∴，∵，∴，即，解得：；（3）如圖，過點(diǎn)作于，∴，∴四邊形是矩形，∴，由折疊的性質(zhì)可得：，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，，∵，即，∴，，，，，，∴當(dāng)時(shí)，有最大值為10．例題2．（2022·陜西西安·?？家荒＃?）如圖1，菱形中，，，點(diǎn)，分別為邊，上的動點(diǎn)，且，則四邊形的面積為______；（2）如圖2，平行四邊形中，，，，點(diǎn)，分別為邊，上的動點(diǎn)，且，則四邊形的面積是否為定值？若是，求出定值；若不是，請求出最值；（3）如圖3，四邊形中，，，，，點(diǎn)，分別為邊，上的動點(diǎn)，且，是否存在，，使得四邊形面積最大且的周長最??？若存在，求出的周長最小值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）．【詳解】解：（1）過點(diǎn)B作BE⊥DA延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥DC延長線于點(diǎn)F，則∠BEA＝∠BFC＝90°，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD∥BC，∠ABC＝∠D＝60°，∴∠BAE＝∠BCF＝60°，∴BE＝BF＝，連接BD，設(shè)DM＝x，則DN＝4﹣x，S四邊形BMDN＝S△BMD+S△BND＝＝＝，故四邊形BMDN的面積為，故答案為：；（2）過點(diǎn)B作BP⊥DA延長線于點(diǎn)P，過點(diǎn)B作BQ⊥DC延長線于點(diǎn)Q，則∠BPA＝∠BQC＝90°，設(shè)DM＝x，則DN＝4﹣x，AM＝AD﹣DM＝BC﹣DM＝5﹣x，CN＝CD﹣DN＝AB﹣DN＝3﹣（4﹣x）＝x﹣1，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠BAP＝∠ABC＝60°，∠BCQ＝∠ABC＝60°，在Rt△ABP中，BP＝AB?sin60°＝，在Rt△BCQ中，BQ＝BC?sin60°＝，S四邊形BMDN＝S?ABCD﹣S△ABM﹣S△BCN＝5×＝，∵DN≤DC＝3，∴4﹣x≤3，∴x≥1，∵k＝＜0，∴S隨著x的增大而減小，∴x＝1時(shí)，四邊形BMDN的面積最大為＝；（3）連接BD，∵AB＝AD，∠A＝90°，∴∠ADB＝∠ABD＝45°，∵∠ABC＝60°，∴∠DBC＝15°，又∵∠BCD＝90°，∴∠BDC＝75°，∠ADC＝120°，設(shè)DM＝x，則DN＝2﹣x，∴2﹣x≤1，∴x≥1，過點(diǎn)M作MH⊥BD，過點(diǎn)N作NJ⊥BD，S四邊形BMDN＝S△BMD+S△BDN＝＝＝，∵sin45°﹣sin75°＜0，∴當(dāng)x＝1時(shí)，S四邊形BMDN存在最大值，過點(diǎn)M作CD的垂線交于延長線于點(diǎn)K，∴∠MDK＝60°，∴DK＝，MK＝，NK＝2﹣x+＝2﹣，在Rt△MKN中，MN2＝＝（x﹣1）2+3，當(dāng)x＝1時(shí)，MN2存在最小值，最小值為3，∴MN最小值為，∴存在M、N，使得四邊形BMDN面積最大且△DMN的周長最小，△DMN的周長最小為．例題3．（2022·湖北隨州·統(tǒng)考一模）在求線段最值問題中，我們常通過尋找（或構(gòu)造）待求線段的“關(guān)聯(lián)三角形”來解決問題．“關(guān)聯(lián)三角形”中除待求線段外的兩條線段的長度是已知（或可求的），再利用三角形三邊關(guān)系定理求解，線段取得最值時(shí)“關(guān)聯(lián)三角形”不復(fù)存在（即三頂點(diǎn)共線）．例：如圖1，，矩形的頂點(diǎn)，分別在邊，上，當(dāng)在邊上運(yùn)動時(shí)，隨之在邊上運(yùn)動，矩形的形狀保持不變，其中，，運(yùn)動過程中，點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離是多少？分析：如圖1，取的中點(diǎn)，連接、，則中，為待求線段，，的長是可求的，即為待求線段的“關(guān)聯(lián)三角形”，在中利用三角形三邊關(guān)系定理可以得到的不等式，當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)（如圖2），“關(guān)聯(lián)三角形”不存在，此時(shí)可得到的最值．(1)根據(jù)上面的分析，完成下列填空：解：如圖1，取的中點(diǎn)，連接，．在中，，在中，，在中，，即______，如圖2，當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，_________，綜上所述：，即點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離是________．(2)如圖3，點(diǎn)在第一象限，是邊長為2的等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)在軸的正半軸上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)隨之在軸的正半軸上運(yùn)動，運(yùn)動過程中，點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離是________．(3)如圖4，點(diǎn)，是正方形的邊上的兩個(gè)動點(diǎn)，滿足，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．若正方形的邊長為2，試求長度的最小值．【答案】(1)<，=，(2)(3)（1）解：取的中點(diǎn)E，連接DE，OE．在中，，在中，，在中，，即<，如圖2，當(dāng)點(diǎn)O，E，D三點(diǎn)共線時(shí)，=，綜上所述：，即點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離是．故答案為：<，=，．（2）如下圖，取AB中點(diǎn)Q，連接OQ、PQ，∵，Q為AB中點(diǎn)，∴，∵為等邊三角形，Q為AB中點(diǎn)，∴，，∴，在中，，即當(dāng)點(diǎn)O，Q，P三點(diǎn)共線時(shí)，，綜上所述：，即點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離是．故答案為：．（3）如下圖，取AB中點(diǎn)O，連接OH、OD，∵四邊形ABCD為正方形，∴，，，在和中，有，∴（SAS），∴，在和中，有，∴（SAS），∴，∴，∵，∴，∴，∵O為AB中點(diǎn)，∴，在中，，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，，∴當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH的長度最小，DH的最小值為：．同類題型歸類練1．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，AD＝10，折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的點(diǎn)E處，折痕為PQ．過點(diǎn)E作EF∥AB交PQ于F，連接BF．（1）求證：四邊形PBFE為菱形；（2）當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上移動時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動．①當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)（如圖2），求菱形PBFE的邊長；②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動，菱形PBFE的面積有最值嗎？若有，請寫出，若沒有，填“無”．最大值為；最小值為．【答案】（1）見解析；（2）①；②36，【詳解】解：（1）證明：∵折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的E處，折痕為PQ，∴點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于PQ對稱，∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，又∵EF∥AB，∴∠BPF＝∠EFP，∴∠EPF＝∠EFP，∵EP＝EF，∴BP＝BF＝EF＝EP，∴四邊形BFEP為菱形；（2）①∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，∠A＝∠D＝90°，∵點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于PQ對稱，∴CE＝BC＝10，在Rt△CDE中，DE＝＝8，∴AE＝AD﹣DE＝2；在Rt△APE中，AE＝2，AP＝6PB＝6﹣PE，∴，解得：，∴菱形BFEP的邊長為；②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)E離點(diǎn)A最近，由①知，此時(shí)AE＝2，，，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)E離點(diǎn)A最遠(yuǎn)，此時(shí)四邊形ABQE為正方形，AE＝AB＝6，，∴菱形的面積范圍：．菱形PBFE面積的最大值是36，最小值是．2．（2021秋·江蘇揚(yáng)州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將邊長為4的正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)A落在邊CD上的點(diǎn)M處（不與點(diǎn)C、D重合），折痕EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，邊AB折疊后交邊BC于點(diǎn)G．（1）若點(diǎn)M是邊CD的中點(diǎn)，求△CMG的周長；（2）若DM＝CD，求△CMG的周長；（3）若M是邊CD上的動點(diǎn)，①你有什么猜想？證明你的猜想；②四邊形CDEF的面積S是否存在最值？若存在，求出這個(gè)最值；若不存在，說明理由．【答案】（1）8；（2）8；（3）①周長為定值，見解析；②存在，最大值為10【詳解】解：（1）∵正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)M為CD邊的中點(diǎn)，∴DM=CM=2，設(shè)AE=x，則EM=x，DE=4x，由勾股定理得：DM2+DE2=EM2，∴22+（4x）2=x2，∴x=，∴DE=，由折疊得：∠EMG=∠BAD=90°，∵∠DEM+∠DME=∠DME+∠MGC=90°，∴∠DEM=∠MGC，∵∠D=∠C=90°，∴△EDM∽△MCG，∴，∴△MCG的周長=；（2）∵正方形ABCD的邊長為4，DM=CD，∴DM=，CM=，設(shè)AE=x，則EM=x，DE=4x，由勾股定理得：DM2+DE2=EM2，∴（）2+（4x）2=x2，∴x=，∴DE=，由折疊得：∠EMG=∠BAD=90°，∵∠DEM+∠DME=∠DME+∠MGC=90°，∴∠DEM=∠MGC，∵∠D=∠C=90°，∴△EDM∽△MCG，∴，∴△MCG的周長=；（3）①△CMG的周長恒等于8，理由如下：設(shè)DE=y，DM=b，則CM=4b，EM=AE=4y，Rt△DEM中，DE2+DM2=EM2，y2+b2=（4y）2，16b2=8y，由（1）得△DEM∽△CMG，∴，∴△CMG的周長=．∴△CMG的周長恒等于8；②如圖，連接AM，過點(diǎn)F作FH⊥AD于H，∴∠FHA=∠DAB=∠ABC=90°，∴四邊形ABFH是矩形，∴HF=AB=CD=AD，由折疊的性質(zhì)可得：EF⊥AM，∴∠EAM+∠AMD=90°=∠EAM+∠AEF，∴∠AEF=∠AMD，又∵∠D=∠EHF=90°，∴△ADM≌△FHE（AAS），∴DM=EH，設(shè)DM=a=EH，DE=b，∵EM2=DE2+DM2，∴（4b）2=a2+b2，∴4b=，∵S=4×（a+b）×4a=2a+4b=+2=，∴當(dāng)a=2時(shí)，S有最大值為10．3．（2022春·四川達(dá)州·九年級專題練習(xí)）小明在一次數(shù)學(xué)活動中，進(jìn)行了如下的探究活動：如圖，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，以點(diǎn)B為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形ABCD，得到矩形BEFG，點(diǎn)A、D、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為E、F、G．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E落在CD邊上時(shí)，求DE的長；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E落在線段DF上時(shí)，BE與CD交于點(diǎn)H．①求證：△ABD≌△EBD；②求DH的長．(3)如圖3，若矩形ABCD對角線ACBD相交于點(diǎn)P，連接PE、PF，記△PEF面積為S，請直接寫出S的最值．【答案】(1)DE的長為82；(2)①見解析；②DH=；(3)9≤S≤39．【詳解】（1）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知BA=BE=8，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=6，∠C=90°，∴CE==2；∴DE=CDCE=82；（2）①證明：由旋轉(zhuǎn)知：∠A=∠BEF=90°，AB=BE，∵∠BEF=90°，∴∠BED=90°，又∵BD=BD，∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL）；②解：設(shè)DH=x，由①知△ABD≌△EBD，∴∠ABD=∠EBD，又∵在矩形ABCD中，有AB∥CD，∴∠BDC=∠ABD，∴∠BDC=∠EBD，∴BH=DH，∴在Rt△BCH中，由勾股定理得：（8x）2+62=x2，∴x=，即DH=；（3）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=8，AD=BC=6，BP=DP=AP=CP，∴BD==10，∴BP=5，∵EF=AD=6，如圖，EF始終在以B為圓心，BE為半徑的圓上，△PEF的底EF是定值為6，當(dāng)高最小或最大時(shí)，△PEF的面積就存在最小值或最大值，∴當(dāng)點(diǎn)E在線段BD上時(shí)，此時(shí)PE最短，則△PEF面積有最小值；當(dāng)點(diǎn)E在DB延長線上時(shí)，此時(shí)PE最長，則△PEF面積有最大值；分情況討論：當(dāng)點(diǎn)E在線段BD上時(shí)，△PEF面積有最小值，∴S△PEF=×6×（85）=9；當(dāng)點(diǎn)E在線段DB延長線上時(shí)，△PEF面積有最大值．∴S△PEF=×6×（8+5）=39．∴9≤S≤39．模型6：四邊形中折疊與旋轉(zhuǎn)問題中位置（數(shù)量）關(guān)系問題典型例題例題1．（2023秋·廣東深圳·八年級深圳中學(xué)?？计谀┚C合與實(shí)踐：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行線的性質(zhì)與判定，今天我們繼續(xù)探究，折紙中的數(shù)學(xué)—長方形紙條的折疊與平行線．(1)知識初探如圖1，長條中，，，將長形紙條沿直線折疊，點(diǎn)落在處，點(diǎn)落在處，交于點(diǎn)．①若，求的度數(shù)．②若，則（用含的式子表示）．(2)類比再探如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上將對折，點(diǎn)C落在直線上的處，點(diǎn)落在處，得到折痕，則折痕與有怎樣的位置關(guān)系？并說明理由．【答案】(1)①；②(2)，理由見解析【詳解】（1）解：①由題意得：，∴，∵，∴，∴；故答案為；②由題意得：，∴，∵，∴，∴，故答案為：．（2）解：，理由如下：由題意得：∠CGE，∵，∴，∴，∴．例題2．（2023秋·湖北省直轄縣級單位·九年級?？计谀┰跀?shù)學(xué)興趣小組活動中，同學(xué)們對菱形的折疊問題進(jìn)行了探究．如圖（1），在菱形中，為銳角，為中點(diǎn)，連接，將菱形沿折疊，得到四邊形，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．【觀察發(fā)現(xiàn)】與的位置關(guān)系是______；【思考表達(dá)】（1）連接，判斷與是否相等，并說明理由；（2）如圖（2），延長交于點(diǎn)，連接，請?zhí)骄康亩葦?shù)，并說明理由；【綜合運(yùn)用】如圖（3），當(dāng)時(shí)，連接，延長交于點(diǎn)，連接，請寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】【觀察發(fā)現(xiàn)】；【思考表達(dá)】（1）相等，理由見解析；（2），理由見解析；【綜合運(yùn)用】，理由見解析【詳解】解：【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖（1）中，由翻折的性質(zhì)可知，．故答案為：；【思考表達(dá)】（1）結(jié)論：．理由：如圖（2）中，連接．∵，∴，∴，∴，∴，由翻折變換的性質(zhì)可知，∴，∴；（2）結(jié)論：．理由：如圖（2）中，連接，，由翻折的性質(zhì)可知，設(shè)，．∵四邊形是菱形，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；【綜合運(yùn)用】結(jié)論：．理由：如圖（3）中，延長交的延長線于點(diǎn)T，過點(diǎn)D作交的延長線于點(diǎn)R．設(shè)，，∵，∴，∴，∴，，在中，則有，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．例題3．（2023秋·山東濟(jì)南·九年級期末）在中，，點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖（1），當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，線段與的數(shù)量關(guān)系是，．(2)探究證明當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動時(shí)（不與點(diǎn)重合），（1）中結(jié)論是否一定成立？請僅就圖（2）中的情形給出證明．(3)問題解決若，連接，當(dāng)是等邊三角形時(shí)，直接寫出的長度．【答案】(1)，45(2)結(jié)論成立，證明見解析(3)或【詳解】（1）解：如圖（1）中，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：，45．（2）結(jié)論成立，證明如下：如圖（2）中，連接．∵，∴平分，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∴．（3）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E的上方時(shí)，如圖（3）中，過點(diǎn)P作于Q．∵是等邊三角形，∴，∵，∴，設(shè)，則，，∴，∴，∴，∵，∴，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E是下方時(shí)，同理可得，，此時(shí)；綜上所述，的長度為或．例題4．（2023秋·北京海淀·九年級期末）已知正方形，等腰直角三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與重合，將此三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，兩邊分別交直線、于、．(1)正方形的內(nèi)角和是°，°；(2)當(dāng)、分別在邊、上時(shí)（如圖1），求證：；(3)當(dāng)、分別在邊、所在的直線上時(shí)（如圖2），線段、、之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論；（不用證明）(4)當(dāng)、分別在邊、所在的直線上時(shí)（如圖3），線段、、之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論并寫出證明過程．【答案】(1)；(2)證明過程見詳解(3)(4)，理由見詳解【詳解】（1）解：正方形的內(nèi)角和是，等腰直角三角板則，故答案為：，．（2）證明：如圖，延長到，使，∵，，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．（3）證明：如圖，過點(diǎn)作交于，∵，，∴，∵，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴．（4）解：，理由如下：如下圖所示，過點(diǎn)作交于，同理可得，∴，，方法一：∵，，∴，∴，∴；方法二：如下圖所示，連接ME，∵，，∵，，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴為的垂直平分線，∴，∴．同類題型歸類練1．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）【原題再現(xiàn)】課本第42頁有這樣一道題：如圖1，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)點(diǎn)的位置．試探索∠A與∠1＋∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．小明提出一種正確的解題思路：連接，則∠1、∠2分別為、的外角，……請你按照小明的思路解決上述問題．【變式探究】如圖2，若將原題中“點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)點(diǎn)A'的位置”變?yōu)椤包c(diǎn)A落在四邊形BCDE外點(diǎn)的位置”，試猜想此時(shí)∠A與∠1、∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【結(jié)論運(yùn)用】將四邊形紙片ABCD（，AB與CD不平行）沿EF折疊成圖3的形狀，若，，請直接寫出∠ABC的度數(shù)．【答案】原題再現(xiàn)：，理由見解析；變式探究：，理由見解析；結(jié)論運(yùn)用：【詳解】解：原題再現(xiàn)：，理由如下：如圖1，連接，由折疊的性質(zhì)得：，，，即；變式探究：，理由如下：如圖2，設(shè)交于點(diǎn)，由折疊的性質(zhì)得：，，，即；結(jié)論運(yùn)用：如圖3，延長，相交于點(diǎn)，由變式探究的結(jié)論得：，，，，，．2．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）綜合與實(shí)踐：折紙中的數(shù)學(xué)知識背景我們在七年級上冊第四章《幾何圖形初步》中探究了簡單圖形折疊問題，并進(jìn)行了簡單的計(jì)算與推理．七年級下冊第五章我們學(xué)習(xí)了平行線的性質(zhì)與判定，今天我們繼續(xù)探究：折紙中的數(shù)學(xué)﹣﹣長方形紙條的折疊與平行線．知識初探(1)如圖1，長方形紙條ABGH中，，∠A＝∠B＝∠G＝∠H＝，將長方形紙條沿直線CD折上，點(diǎn)A落在A'處，點(diǎn)B落在B'處，B'C交AH于點(diǎn)E，若∠ECG＝，則∠CDE＝；類比再探(2)如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上將∠HEC對折，點(diǎn)H落在直線EC上的H'處，點(diǎn)G落在G'處得到折痕EF，則折痕EF與CD有怎樣的位置關(guān)系？說明理由；(3)如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，過點(diǎn)G'作BG的平行線MN，請你猜想∠ECF和∠H'G'M的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)，理由見解析【詳解】（1）解：由折疊的性質(zhì)得：，，，，，，故答案為：．（2）解：，理由如下：由折疊的性質(zhì)得：，，，，，．（3）解：，理由如下：如圖，過點(diǎn)作于，，又，，，由折疊的性質(zhì)得：，，．3．（2023秋·江蘇宿遷·九年級南師附中宿遷分校?？计谀?）證明推斷：如圖（1），在正方形中，點(diǎn)E，Q分別在邊上，于點(diǎn)O，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在邊上，．求證：；（2）類比探究：如圖（2），在矩形中，（k為常數(shù)）．將矩形沿折疊，使點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)E處，得到四邊形交于點(diǎn)H，連接交于點(diǎn)O．試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接，當(dāng)時(shí)，若，求的長．【答案】（1）證明見詳解；（2），理由見詳解；（3）．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ，∴∠QAO+∠OAD＝90°，∵AE⊥DQ，∴∠ADO+∠OAD＝90°，∴∠QAO＝∠ADO，∴，∴AE＝DQ，∵DQ⊥AE，GF⊥AE，∴DQ∥GF，∵FQ∥DG，∴四邊形DQFG是平行四邊形，∴GF＝DQ，∵AE＝DQ，∴AE＝FG；（2）結(jié)論：．理由如下：如圖2中，過G作GM⊥AB于M，∵AE⊥GF，∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，∴∠BAE＝∠FGM，∴，∴，∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，∴四邊形AMGD是矩形，∴GM＝AD，∴，（3）解：如圖3中，過點(diǎn)P作PM⊥BC交BC的延長線于M．∵，，∴∠CGP＝∠BFE，∴，∴設(shè)，，則，，∵，，∴，∴，∴或（不合題意，舍去），∴，，，，∵，∴BC＝4，∴，，∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，∴∠FEB＝∠EPM，∴，∴，∴，∴解之得：，，∴，∴．4．（2023秋·河南鄭州·九年級?？计谀舅季S探究】數(shù)學(xué)興趣小組在研究四邊形的旋轉(zhuǎn)時(shí)，遇到了這樣的一個(gè)問題．如圖1，四邊形和都是正方形，于H，延長交于點(diǎn)M．通過測量發(fā)現(xiàn)．為了證明他們的發(fā)現(xiàn)，小穎想到了這樣的證明方法：過點(diǎn)C作于點(diǎn)N．她已經(jīng)證明了，但接下來的證明過程，她有些迷茫了．(1)請同學(xué)們幫小穎將剩余的證明過程補(bǔ)充完整；(2)【思維延伸】若將原題中的“正方形”改為“矩形”（如圖2所示），且（其中），請直接寫出線段的數(shù)量關(guān)系為；(3)【思維拓展】在圖3中，在和中，，連接，F(xiàn)為中點(diǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系為．【答案】(1)見解析；(2)；(3)．【詳解】（1）如圖1中，過點(diǎn)作于點(diǎn)．，，同法可證，，，，，，，，；（2）如圖2中，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)．四邊形是矩形，，，，，，，，同法可證，，，，，，．故答案為：；（3）結(jié)論：．理由：如圖3中，延長到，使得，連接，．，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，，，，．故答案為：．模型7：四邊形中折疊與旋轉(zhuǎn)問題中綜合問題典型例題例題1．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）有長方形紙片，，分別是上一點(diǎn)，將紙片沿折疊成圖1，再沿折疊成圖2．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，_____度；(2)如圖2，作的平分線交直線于點(diǎn)，則_____（用的式子表示）．【答案】(1)64(2)【詳解】（1）由折疊可得，∵長方形的對邊是平行的，∴，∴，∴，∴當(dāng)度時(shí)，的度數(shù)是．故答案為：64；（2）．由折疊可得，∵長方形的對邊是平行的，∴設(shè)，∴，∴，由折疊可得，∵平分，∴，∴，∴．故答案為：．例題2．（2023秋·山西晉中·九年級統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐在數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們對“菱形”進(jìn)行了深入的探究．實(shí)驗(yàn)材料為同一規(guī)格的菱形紙片，對角線，相交于點(diǎn)，對角線，．(1)如圖1，互助小組發(fā)現(xiàn)：若將菱形紙片沿對角線，剪開，將沿方向平移，使與重合，此時(shí)拼成的四邊形為矩形．其判斷的依據(jù)是________；(2)如圖2，奮勇小組發(fā)現(xiàn)：將菱形紙片沿對角線剪開，將繞的中點(diǎn)進(jìn)行逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，其旋轉(zhuǎn)角為，且，連接，，，．試探究四邊形的形狀，并說明理由；(3)在（2）的基礎(chǔ)上，博學(xué)小組還發(fā)現(xiàn)以下兩個(gè)結(jié)論：①當(dāng)________時(shí)，四邊形為正方形；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)正好落在菱形的邊上時(shí)，________．【答案】(1)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形或者三個(gè)角是直角的四邊形是矩形(2)四邊形為矩形，證明見解析(3)①，②【詳解】（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形或者三個(gè)角是直角的四邊形是矩形∵四邊形是菱形，，，由平移得，，（2）四邊形為矩形.理由：∵是的中點(diǎn)，∴.由旋轉(zhuǎn)可知，，.∴.∴四邊形為平行四邊形.又∵，∴四邊形為矩形.（3）①當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形，由（2）得四邊形是矩形，，即旋轉(zhuǎn)角是，∴四邊形是菱形，∴四邊形是正方形②設(shè)在菱形中，根據(jù)勾股定理得，∵四邊形是矩形，解得，故答案為：例題3．（2023秋·河南鄭州·九年級校考期末）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)活動課上，張老師找來若干張等寬的矩形紙條，讓學(xué)生們進(jìn)行折紙?zhí)骄浚?1)希望小組將如圖（1）所示的矩形紙片沿過點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕為．埴空：圖（1）中四邊形的形狀是______．(2)智慧小組準(zhǔn)備了一張如圖（2）所示的長、寬之比為的矩形紙片，用希望小組的方法折疊紙片，得到四邊形，接著沿過點(diǎn)的直線折疊紙片，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，折痕為，求的度數(shù)．(3)勤奮小組拿著一張如圖（3）所示長為5，寬為2的矩形紙片，利用希望小組的方法折疊紙片，得到四邊形，在上取一點(diǎn)F（不與點(diǎn)，重合），沿折疊，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，射線交直線于點(diǎn)．①與的數(shù)量關(guān)系為______；②當(dāng)射線經(jīng)過的直角邊的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出的長．【答案】(1)正方形(2)(3)①；②的長為或【詳解】（1）解：如圖，∵四邊形是矩形，∴∵折疊，∴，∴四邊形是矩形，又∵，∴四邊形是正方形，故答案為：正方形；（2）解：∵長、寬之比為的矩形紙片，設(shè)，則，由（1）可知四邊形是正方形，∴，∴，∵沿過點(diǎn)的直線折疊紙片，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，∴，在中，，∴，∴;（3）解：∵在上取一點(diǎn)F（不與點(diǎn)，重合），沿折疊，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，∴，∵四邊形是矩形，∴∴∴∴,故答案為：;②當(dāng)射線經(jīng)過的直角邊的中點(diǎn)時(shí)，如圖，依題意，∴，∵，設(shè)，則，∵折疊，∴，在中，，∴，解得：或（舍去）；當(dāng)射線經(jīng)過的直角邊的中點(diǎn)時(shí)，如圖，∵，∴，∴，設(shè)，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，在中，，∴，解得：或（舍去）；綜上所述，為或．例題4．（2023秋·陜西西安·九年級統(tǒng)考期末）問題提出：(1)如圖1，點(diǎn)，分別在正方形的邊，上，，連接，則線段，和之間的數(shù)量關(guān)系是．（提示：將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至）(2)問題探究：如圖2，在四邊形中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，．已知，都不是直角，則當(dāng)與滿足時(shí)，成立，(3)問題解決：為進(jìn)一步落實(shí)國家“雙減”政策，豐富學(xué)生的校園生活，某校計(jì)劃為