（挑戰(zhàn)壓軸）專項(xiàng)1.3銳角三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用-三角形矩形模型

（挑戰(zhàn)壓軸）專項(xiàng)1.3銳角三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用三角形+矩形模型【方法技巧】已知AB、BE的長(zhǎng)度及∠DBE，∠DAC或∠DFC）的度數(shù)，過(guò)較短的邊AB作高BE，構(gòu)造矩形和直角三角形，先解直角三角形，再利用加減求解。1．（2021秋?漢壽縣期末）如圖，某辦公樓AB的后面有一建筑物CD（辦公樓AB與建筑物CD均垂直于地面BCF），當(dāng)光線與地面的夾角是22°時(shí)，辦公樓在建筑物CD的墻上留下的影子CE＝2米，而當(dāng)光線與地面夾角是45°時(shí)，辦公樓頂A在地面上的影子F與墻角C有25米的距離（點(diǎn)B，F(xiàn)，C在同一條直線上）．（1）求辦公樓AB的高度；（2）若要在A，E之間掛一些彩旗，請(qǐng)你求出A，E之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，）【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，則四邊形BCEM為矩形，∴BM＝CE＝2米，設(shè)AB＝x米，在Rt△ABF中，∠AFB＝45°，∴BF＝AB＝x米，∴BC＝BF+FC＝（x+25）米，AM＝（x﹣2）米，在Rt△AEM中，tan∠AEM＝，則≈，解得：x＝20，答：辦公樓AB的高度為20m；（2）在Rt△AME中，cos∠AEM＝，則cos22°＝，即≈，解得：AE＝48，答：A，E之間的距離約為48米．2．（2020?新賓縣模擬）如圖，某人在山坡坡腳A處測(cè)得電視塔尖點(diǎn)C的仰角為60°，沿山坡向上走到P處再測(cè)得點(diǎn)C的仰角為45°，已知OA＝100米，山坡坡度（豎直高度與水平寬度的比）i＝1：2，且O、A、B在同一條直線上．求電視塔OC的高度以及此人所在位置點(diǎn)P的鉛直高度．（測(cè)傾器高度忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號(hào)形式）【解答】解：作PE⊥OB于點(diǎn)E，PF⊥CO于點(diǎn)F，在Rt△AOC中，AO＝100，∠CAO＝60°，∴CO＝AO?tan60°＝100（米）．設(shè)PE＝x米，∵tan∠PAB＝＝，∴AE＝2x．在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，CF＝100﹣x，PF＝OA+AE＝100+2x，∵PF＝CF，∴100+2x＝100﹣x，解得x＝（米）．答：電視塔OC高為100米，點(diǎn)P的鉛直高度為（米）．3．（2015?通遼）如圖，建筑物AB后有一座假山，其坡度為i＝1：，山坡上E點(diǎn)處有一涼亭，測(cè)得假山坡腳C與建筑物水平距離BC＝25米，與涼亭距離CE＝20米，某人從建筑物頂端測(cè)得E點(diǎn)的俯角為45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比）【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AB于點(diǎn)N，∵建筑物AB后有一座假山，其坡度為i＝1：，∴設(shè)EF＝x，則FC＝x，∵CE＝20米，∴x2+（x）2＝400，解得：x＝10，則FC＝10m，∵BC＝25m，∴BF＝NE＝（25+10）m，∴AB＝AN+BN＝NE+EF＝10+25+10＝（35+10）m，答：建筑物AB的高為（35+10）m．4．（2018?黃岡）如圖，在大樓AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE＝30°，樓高AB＝60米，在斜坡下的點(diǎn)C處測(cè)得樓頂B的仰角為60°，在斜坡上的D處測(cè)得樓頂B的仰角為45°，其中點(diǎn)A，C，E在同一直線上．（1）求坡底C點(diǎn)到大樓距離AC的值；（2）求斜坡CD的長(zhǎng)度．【解答】解：（1）在直角△ABC中，∠BAC＝90°，∠BCA＝60°，AB＝60米，則AC＝＝＝20（米）答：坡底C點(diǎn)到大樓距離AC的值是20米．（2）設(shè)CD＝2x，則DE＝x，CE＝x，在Rt△BDF中，∵∠BDF＝45°，∴BF＝DF，∴60﹣x＝20+x，∴x＝40﹣60，∴CD＝2x＝（80﹣120）（米），∴CD的長(zhǎng)為（80﹣120）米．5．（內(nèi)江）如圖，某校綜合實(shí)踐活動(dòng)小組的同學(xué)欲測(cè)量公園內(nèi)一棵樹(shù)DE的高度，他們?cè)谶@棵樹(shù)的正前方一座樓亭前的臺(tái)階上A點(diǎn)處測(cè)得樹(shù)頂端D的仰角為30°，朝著這棵樹(shù)的方向走到臺(tái)階下的點(diǎn)C處，測(cè)得樹(shù)頂端D的仰角為60°．已知A點(diǎn)的高度AB為3米，臺(tái)階AC的坡度為1：（即AB：BC＝1：），且B、C、E三點(diǎn)在同一條直線上．請(qǐng)根據(jù)以上條件求出樹(shù)DE的高度（測(cè)傾器的高度忽略不計(jì)）．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥DE于H，則四邊形ABEH為矩形，∴AH＝BE，EH＝AB＝3（米），設(shè)DE＝x米，在Rt△CDE中，CE＝＝x，在Rt△ABC中，∵＝，AB＝3米，∴BC＝3（米），在Rt△AHD中，DH＝DE﹣EH＝（x﹣3）米，∴AH＝＝（x﹣3），∵AH＝BE＝BC+CE，∴（x﹣3）＝3+x，解得x＝9．答：樹(shù)高為9米．6．（2022?南召縣模擬）某廣場(chǎng)前有一個(gè)斜坡AB的坡比i＝1：，在坡角A點(diǎn)處測(cè)得商場(chǎng)主樓頂部H的仰角為63.5°，小明沿著斜坡行至距離A點(diǎn)10米的點(diǎn)D處測(cè)得主樓頂部H的仰角為39°．請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)求主樓GH的高約為多少米？（精確到0.01，參考數(shù)據(jù)：≈1.7，sin63.5°≈0.89，cos63.5°≈0.44，tan63.5°≈2.00．sin39°≈0.62，cos39°≈0.78，tan39°≈0.80）【解答】解：過(guò)點(diǎn)D作DP⊥AC，垂足為P，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥HG，垂足為M，則DP＝MG，DM＝PG，∵斜坡AB的坡比i＝1：，∴＝＝，∴∠BAC＝30°，在Rt△DPA中，AD＝10米，∴DP＝AD＝5（米），AP＝DP＝5（米），設(shè)AG＝x米，∴DM＝PG＝AP+AG＝（5+x）米，在Rt△GHA中，∠HAG＝63.5°，∴HG＝AG?tan63.5°≈2x（米），∴HM＝HG﹣MG＝（2x﹣5）米，在Rt△DMH中，∠HDM＝39°，∴tan39°＝＝≈0.8，∴x≈9.833，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝9.833是原方程的根，∴HG＝2x≈19.67（米）∴建筑物GH的高約為19.67米．7．（2020?新昌縣校級(jí)模擬）如圖，某學(xué)校體育場(chǎng)看臺(tái)的頂端C到地面的垂直距離CD為2m，看臺(tái)所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在點(diǎn)C處測(cè)得旗桿頂點(diǎn)A的仰角為30°，在點(diǎn)M處測(cè)得旗桿頂點(diǎn)A的仰角為60°，且B，M，D三點(diǎn)在同一水平線上．（1）求DM的長(zhǎng)．（2）求旗桿AB的高度．（結(jié)果保留根號(hào)）【解答】解：（1）∵CD＝2m，tan∠CMD＝，∴MD＝6m；（2）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，設(shè)BM＝xm，∴BD＝（x+6）m，∵∠AMB＝60°，∴∠BAM＝30°，∴AB＝（x）m，已知四邊形CDBE是矩形，∴BE＝CD＝2m，CE＝BD＝（x+6）m，∴AE＝AB﹣BE＝（x﹣2）m，在Rt△ACE中，∵tan30°＝，∴＝，解得：x＝3+，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝3+是分式方程的解，∴AB＝x＝（3+3）（m）．8．為了方便學(xué)校藍(lán)球隊(duì)晚間訓(xùn)練，學(xué)校操場(chǎng)安裝了高桿燈照明（如圖所示），俊強(qiáng)和同學(xué)們想知道高桿燈的高度，進(jìn)行了如下測(cè)量工作：俊強(qiáng)同學(xué)在A處用自制的測(cè)傾器測(cè)得燈桿頂部D的仰角為22°，朝著燈桿向前走12米到達(dá)點(diǎn)B處，測(cè)得燈桿頂部D的仰角為45°，已知俊強(qiáng)眼睛到地面的距離為1.7米（即圖中AE、BF的長(zhǎng)），求燈桿DC的高度．（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40．）【解答】解：連接EF并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)G，則