專題15.3分式（章節(jié)復(fù)習(xí)考點(diǎn)講練）學(xué)生版

20232024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級上冊同步專題熱點(diǎn)難點(diǎn)專項(xiàng)練習(xí)專題15.3分式（章節(jié)復(fù)習(xí)+考點(diǎn)講練）知識點(diǎn)01：分式的有關(guān)概念及性質(zhì)1．分式一般地，如果A、B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.細(xì)節(jié)剖析:分式中的分母表示除數(shù)，由于除數(shù)不能為0，所以分式的分母不能為0，即當(dāng)B≠0時(shí)，分式才有意義.2.分式的基本性質(zhì)

（M為不等于0的整式）.

3．最簡分式分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式.如果分子分母有公因式，要進(jìn)行約分化簡.知識點(diǎn)02：分式的運(yùn)算1．約分利用分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分.2．通分利用分式的基本性質(zhì)，使分子和分母同乘適當(dāng)?shù)恼?，不改變分式的值，把異分母的分式化為同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分．3．基本運(yùn)算法則分式的運(yùn)算法則與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類似,具體運(yùn)算法則如下:（1）加減運(yùn)算；同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.；異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減.（2）乘法運(yùn)算，其中是整式，.兩個(gè)分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母.（3）除法運(yùn)算，其中是整式，.兩個(gè)分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后，與被除式相乘.（4）乘方運(yùn)算分式的乘方，把分子、分母分別乘方。

4．零指數(shù)

.

5.負(fù)整數(shù)指數(shù)

6.分式的混合運(yùn)算順序先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號先算括號里面的.知識點(diǎn)03：分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的關(guān)鍵是去分母,即方程兩邊都乘以最簡公分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程．3．分式方程的增根問題增根的產(chǎn)生：分式方程本身隱含著分母不為0的條件，當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后，方程中未知數(shù)允許取值的范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值為0，那么就會出現(xiàn)不適合原方程的根增根.細(xì)節(jié)剖析:因?yàn)榻夥质椒匠炭赡艹霈F(xiàn)增根，所以解分式方程必須驗(yàn)根．驗(yàn)根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解.知識點(diǎn)04：分式方程的應(yīng)用

列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題類似，但要稍復(fù)雜一些．解題時(shí)應(yīng)抓住“找等量關(guān)系、恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、確定主要等量關(guān)系、用含未知數(shù)的分式或整式表示未知量”等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，從而正確列出方程，并進(jìn)行求解.【典例分析】（2016秋?戚墅堰區(qū)校級月考）不改變分式的值，把分子分母中各項(xiàng)系數(shù)化為整數(shù)，結(jié)果是．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)分式的分子分母都乘以（或除以）同一個(gè)不為零整式（或整式），分式的值不變，可得答案．【規(guī)范解答】解：式的值，把分子分母中各項(xiàng)系數(shù)化為整數(shù)，結(jié)果是，故答案為：．【考點(diǎn)評析】此題考查了分式的基本性質(zhì)，關(guān)鍵是熟悉分式的分子分母都乘以（或除以）同一個(gè)不為零整式，分式的值不變的知識點(diǎn)．【變式訓(xùn)練11】（2023春?臨漳縣期末）若，則x應(yīng)滿足的條件是（）A．x≠0 B．x≠2 C．x≠0且x≠2 D．x≠0或x≠2【思路點(diǎn)撥】根據(jù)分式有意義的條件和分式的基本性質(zhì)得出x≠0且x﹣2≠0，再求出答案即可．【規(guī)范解答】解：∵，∴x≠0且x﹣2≠0，∴x≠0且x≠2．故選：C．【考點(diǎn)評析】本題考查了分式有意義的條件和分式的基本性質(zhì)，能熟練掌握分式有意義的條件（分式中分母B≠0）和分式的基本性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練12】（2022秋?南川區(qū)期末）若分式中的x和y都擴(kuò)大到原來的2倍，那么分式的值（）A．?dāng)U大到原來的2倍 B．縮小到原來的 C．不變 D．縮小到原來的【變式訓(xùn)練13】（2022秋?張店區(qū)校級月考）不改變分式的值，把分式的分子、分母的系數(shù)都化為整數(shù)的結(jié)果是．【變式訓(xùn)練14】（2021秋?龍鳳區(qū)期末）閱讀下列解題過程，然后解題：題目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．解：設(shè)，則x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k?0＝0，∴x+y+z＝0．依照上述方法解答下列問題：已知：，其中x+y+z≠0，求的值．【變式訓(xùn)練15】（2022秋?岳陽縣校級月考）．①．【典例分析】（2023?雁峰區(qū)校級一模）試卷上一個(gè)正確的式子（+）÷★＝，被小穎同學(xué)不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代數(shù)式★為．．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知分式得出被墨汁遮住部分的代數(shù)式是（+）÷，再根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【規(guī)范解答】解：∵（+）÷★＝，∴被墨汁遮住部分的代數(shù)式是：（+）÷，＝?＝?＝．故答案為：．【考點(diǎn)評析】本題考查了分式的混合運(yùn)算，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練21】（2022秋?仙居縣期末）陽陽同學(xué)在復(fù)習(xí)老師已經(jīng)批閱的作業(yè)本時(shí)，發(fā)現(xiàn)有一道填空題破了一個(gè)洞（如圖所示），■表示破損的部分．則破損部分的式子可能是（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練22】（2023?張家口模擬）若分式□的運(yùn)算結(jié)果為x（x≠0），則在“口”中添加的運(yùn)算符號為（）A．+ B．﹣ C．+或÷ D．﹣或×【變式訓(xùn)練23】（2021秋?硚口區(qū)期末）如圖，“豐收1號”小麥的試驗(yàn)田是邊長為a米的正方形減去一個(gè)邊長為1米的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號”小麥的試驗(yàn)田是邊長為（a﹣1）米的正方形，兩塊試驗(yàn)田的小麥都收獲了m千克．則高的單位面積產(chǎn)量比低的單位面積產(chǎn)量多幾分之幾？多的這個(gè)值是．【變式訓(xùn)練24】（2023春?萬州區(qū)月考）計(jì)算：（x+2y）（x﹣2y）﹣x（x+3y）；（2）．【變式訓(xùn)練25】（2022秋?仙居縣期末）如圖，“豐收1號”小麥的試驗(yàn)田是邊長為am（a＞1）的正方形去掉一個(gè)邊長為1m的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號”小麥的試驗(yàn)田是邊長為（a﹣1）m的正方形，兩塊試驗(yàn)田收獲了相同數(shù)量的小麥．（1）哪種小麥的單位面積產(chǎn)量高？請說明理由．（2）若“豐收1號”與“豐收2號”小麥單位面積產(chǎn)量之比為10：11，求a的值．【變式訓(xùn)練26】（2022秋?沙河市期末）下面是佳佳同學(xué)進(jìn)行分式化簡的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．＝①＝②＝x﹣1+2③＝x+1④（1）以上化簡步驟，從第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；（2）請給出正確的解題過程．【典例精講】（2022秋?曲靖期末）若，則的結(jié)果是（）A．23 B．25 C．27 D．29【思路點(diǎn)撥】將左右兩邊進(jìn)行平方運(yùn)算，然后化簡求值即可．【規(guī)范解答】解：∵，∴，即，∴．故選：C．【考點(diǎn)評析】本題考查的是分式的化簡求值及完全平方公式，能熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練31】（2023?市中區(qū)校級模擬）若a＝﹣1，則的值為（）A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3【變式訓(xùn)練32】（2022秋?辛集市期末）如果＝．＝．【變式訓(xùn)練32】（2022秋?海淀區(qū)校級月考）已知＝，則y2+3y+x的值為．【變式訓(xùn)練33】（2021秋?長安區(qū)期末）如果a＝﹣，那么分式（1﹣）÷的值是．【變式訓(xùn)練34】（2023?鞍山）先化簡，再求值：（+1），其中x＝4．【變式訓(xùn)練35】．（2023春?成縣期末）先化簡，然后在﹣2，﹣1，0，1中選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)代入求值．【典例精講】（2022秋?葫蘆島期末）勿忘草是多年生草本植物，它擁有世界上最小的花粉，勿忘草的花粉直徑為0.000004米，數(shù)據(jù)0.000004用科學(xué)記數(shù)法表示為4×10﹣6．【思路點(diǎn)撥】絕對值小于1的利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【規(guī)范解答】解：0.000004＝4×10﹣6，故答案為：4×10﹣6．【考點(diǎn)評析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面0的個(gè)數(shù)所決定．【變式訓(xùn)練41】（2023春?平頂山期末）皮米是較小的長度單位，已知1皮米＝0.001納米，1納米＝10﹣9米，則1皮米等于（）A．10﹣13米 B．10﹣12米 C．10﹣11米 D．10﹣10米【變式訓(xùn)練42】（2023?高新區(qū)一模）華為使用了自主研發(fā)的海思麒麟芯片，目前最新的型號是麒麟990．芯片是由很多晶體管組成的，而芯片技術(shù)追求是體積更小的晶體管，以便獲得更小的芯片和更低的電力功耗，而麒麟990的晶體管柵極的寬度達(dá)到了0.000000007毫米，將數(shù)據(jù)0.000000007用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．7×10﹣8 B．7×10﹣9 C．0.7×10﹣8 D．0.7×10﹣9【變式訓(xùn)練43】（2022秋?鐵嶺縣期末）目前我國新冠肺炎病例仍有發(fā)生，我們切不可以掉以輕心，要做好日常防護(hù)．科學(xué)研究表明，新冠病毒比細(xì)菌小很多，平均直徑僅為0.000000098m．這個(gè)數(shù)0.000000098用科學(xué)記數(shù)法表示為．【變式訓(xùn)練44】科學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，水的一個(gè)分子的質(zhì)量大約是3×10﹣26kg，10g水中大約有多少個(gè)水分子？通過進(jìn)一步研究，科學(xué)家又發(fā)現(xiàn)，一個(gè)水分子是由兩個(gè)氫原子和一個(gè)氧原子構(gòu)成的．已知一個(gè)氧原子的質(zhì)量約為2.665×10﹣26kg，求一個(gè)氫原子的質(zhì)量．【典例精講】（2023春?美蘭區(qū)校級期中）計(jì)算：5﹣2＝，＝16．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【規(guī)范解答】解：；．故答案為：；16．【考點(diǎn)評析】本題考查了整式的運(yùn)算，解決本題的關(guān)鍵是能夠熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)次冪的運(yùn)算法則．注意：其中n為整數(shù)，a≠0．【變式訓(xùn)練51】（2023春?大埔縣期末）計(jì)算的結(jié)果是（）A．﹣9 B． C． D．9【變式訓(xùn)練52】（2022秋?武昌區(qū)校級期末）設(shè)，b＝（﹣2）0，c＝（﹣3）2，則a、b、c的大小順序是（）A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a【變式訓(xùn)練53】（2022秋?江口縣校級月考）若代數(shù)式（3x+3）0+（2x﹣1）﹣2有意義，則x的取值范圍是【變式訓(xùn)練54】（2023春?金沙縣期末）計(jì)算：．【典例精講】（2022?牡丹區(qū)二模）對于實(shí)數(shù)a、b，定義一種新運(yùn)算“?”為：a?b＝，這里等式右邊是實(shí)數(shù)運(yùn)算．例如：1?3＝＝﹣．則方程x?（﹣2）＝﹣1的解是x＝5．【思路點(diǎn)撥】已知等式利用題中的新定義化簡，求出解即可．【規(guī)范解答】解：根據(jù)題中的新定義化簡得：＝﹣1，去分母得：1＝2﹣x+4，解得：x＝5，經(jīng)檢驗(yàn)x＝5是分式方程的解，故答案為：x＝5【考點(diǎn)評析】此題考查了解分式方程，以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練61】（2023?高新區(qū)校級模擬）解分式方程時(shí)，去分母化為一元一次方程，正確的是（）A．x+2＝3 B．x﹣2＝3 C．x+2＝3（2x﹣1） D．x﹣2＝3（2x﹣1）【變式訓(xùn)練62】（2022秋?臨西縣期末）小明和小亮解答“解分式方程：”的過程如下，對他們的解答過程有以下判斷，判斷正確的是（）小明的解法：解：去分母，得2x+3＝1﹣（x﹣1），①去括號，得2x+3＝1﹣x+1，②移項(xiàng)，得2x+x＝1+1﹣3，③合并同類項(xiàng)，得3x＝﹣1，④系數(shù)化為1，得x＝﹣，⑤經(jīng)檢驗(yàn)x＝﹣是原分式方程的解．⑥小亮的解法：解：去分母，得2x+3＝x﹣（x﹣1），①去括號，得2x+3＝x﹣x+1，②移項(xiàng)，得2x＝﹣3+1，③合并同類項(xiàng)，得2x＝﹣2，④系數(shù)化為1，得x＝﹣1，⑤經(jīng)檢驗(yàn)x＝﹣1是原分式方程的解．⑥A．小明正確，小亮錯(cuò)誤 B．小明錯(cuò)誤，小亮正確 C．兩人都正確 D．兩人都錯(cuò)誤【變式訓(xùn)練63】（2023春?天長市校級月考）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“※”；m※n＝，請解決下列問題：（1）3※2＝；（2）若（x﹣1）※，則2A﹣B＝．【變式訓(xùn)練64】（2023春?襄汾縣月考）已知分式方程，由于印刷問題，有一個(gè)數(shù)“▲”看不清楚．（1）若“▲”表示的數(shù)為6，求分式方程的解；（2）小華說“我看到答案是原分式方程無解”，請你求出原分式方程中“▲”代表的數(shù)．【變式訓(xùn)練65】（2023春?成縣期末）解分式方程．（2）．【典例精講】（2022秋?港北區(qū)期中）如果用換元法解分式方程，并設(shè)，那么原方程可化為（）A． B． C． D．y+【思路點(diǎn)撥】設(shè)，則＝，再把方程變形求解．【規(guī)范解答】解：設(shè)，原方程可化為：y﹣+3＝0，故選：B．【考點(diǎn)評析】本題考查了換元法解分式方程，轉(zhuǎn)換思想是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練71】（2022秋?仁壽縣校級月考）若，則＝（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2【變式訓(xùn)練72】（2022秋?青浦區(qū)校級期末）解分式方程+＝時(shí)，設(shè)＝y(tǒng)，則原方程化為關(guān)于y的整式方程是．【變式訓(xùn)練73】（2022秋?華容區(qū)期末）閱讀下面材料，解答后面的問題．解方程：﹣＝0．解：設(shè)y＝，則原方程化為：y﹣＝0，方程兩邊同時(shí)乘y得：y2﹣4＝0，解得：y1＝2，y2＝﹣2．經(jīng)檢驗(yàn)：y1＝2，y2＝﹣2都是方程y﹣＝0的解．當(dāng)y＝2時(shí)，＝2，解得：x＝﹣1；當(dāng)y＝﹣2時(shí)，＝﹣2，解得：x＝．經(jīng)檢驗(yàn)：x1＝﹣1或x2＝都是原分式方程的解．∴原分式方程的解為x1＝﹣1或x2＝．上述這種解分式方程的方法稱為換元法．問題：若在方程﹣＝0中，設(shè)y＝，則原方程可化為：（2）若在方程﹣＝0中，設(shè)y＝，則原方程可化為：（3）模仿上述換元法解方程：﹣﹣1＝0．【典例精講】（2023春?清江浦區(qū)期末）若關(guān)于x的分式方程＝有增根，則實(shí)數(shù)m的值是5．【思路點(diǎn)撥】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根得到x﹣1＝0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【規(guī)范解答】解：去分母得：3x+2＝m，由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1，把x＝1代入整式方程得：3+2＝m，解得：m＝5，故答案為：5．【考點(diǎn)評析】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．【變式訓(xùn)練81】（2023春?上城區(qū)期末）若關(guān)于x的分式方程有增根，則常數(shù)m的值是（）A．3 B．5 C．﹣3 D．﹣5【變式訓(xùn)練82】（2023春?蓮池區(qū)校級期末）若關(guān)于x的分式方程＝2有增根，則增根是（）A．0 B．﹣1 C．2 D．3【變式訓(xùn)練83】（2023春?皇姑區(qū)期末）若關(guān)于x的方程＝+2產(chǎn)生增根，那么m的值是．【變式訓(xùn)練84】（2023春?濉溪縣校級月考）已知關(guān)于x的方程．（1）當(dāng)k＝1時(shí)，求該方程的解；（2）若方程有增根，求k的值．【變式訓(xùn)練85】（2023春?和平區(qū)校級期中）關(guān)于x的分式方程．（1）若方程的增根為x＝2，求m的值；（2）若方程有增根，求m的值；（3）若方程無解，求m的值．【典例精講】（2022秋?張店區(qū)期中）通過對《分式與分式方程》一章的學(xué)習(xí)，我們知道用分式方程解決實(shí)際問題的一般步驟：請根據(jù)所給分式方程，聯(lián)系生活實(shí)際，編寫一個(gè)能通過列出此分式方程進(jìn)行解決的實(shí)際問題：（某工廠安排甲、乙兩人分別生產(chǎn)1400個(gè)零件的任務(wù)，乙每天生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)是甲每天生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)的2.8倍，且乙比甲提前9天完成任務(wù)，求甲、乙每天各生產(chǎn)多少個(gè)零件？（答案不唯一）．（要求題目完整，題意清楚，不要求解方程）【思路點(diǎn)撥】由分式方程里面的數(shù)量關(guān)系編寫題目即可．【規(guī)范解答】解：某工廠安排甲、乙兩人分別生產(chǎn)1400個(gè)零件的任務(wù)，乙每天生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)是甲每天生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)的2.8倍，且乙比甲提前9天完成任務(wù)，求甲、乙每天各生產(chǎn)多少個(gè)零件？故答案為：某工廠安排甲、乙兩人分別生產(chǎn)1400個(gè)零件的任務(wù)，乙每天生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)是甲每天生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)的2.8倍，且乙比甲提前9天完成任務(wù)，求甲、乙每天各生產(chǎn)多少個(gè)零件？【考點(diǎn)評析】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確編寫符合題意的分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練91】（2022秋?河北期末）某市為解決冬季取暖問題需鋪設(shè)一條長3500米的管道，為盡量減少施工對交通造成的影響，實(shí)際施工時(shí)“…”，設(shè)實(shí)際每天鋪設(shè)管道x米，則可得方程，根據(jù)此情景，題中用“…”表示的缺失的條件應(yīng)補(bǔ)為（）A．每天比原計(jì)劃多鋪設(shè)10米，結(jié)果提前15天完成 B．每天比原計(jì)劃少鋪設(shè)10米，結(jié)果延期15天完成 C．每天比原計(jì)劃少鋪設(shè)15米，結(jié)果延期10天完成 D．每天比原計(jì)劃多鋪設(shè)15米，結(jié)果提前10天完成【變式訓(xùn)練92】（2021秋?曹縣期末）甲、乙兩人同時(shí)分別從A，B兩地沿同一條公