專題10勾股定理的簡單應(yīng)用（1個知識點4種題型1種中考考法）

專題10勾股定理的簡單應(yīng)用（1個知識點4種題型1種中考考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1.運用勾股定理解決實際問題（重點）【方法二】實例探索法題型1.勾股定理在實際生活中的應(yīng)用題型2.勾股定理在最短路程問題中的應(yīng)用題型3.勾股定理在運動變換問題中的應(yīng)用題型4.動點問題在勾股定理中的應(yīng)用【方法三】仿真實戰(zhàn)法考法.勾股定理的應(yīng)用【方法四】成果評定法【學(xué)習(xí)目標】能運用勾股定理及其逆定理解決一些簡單的實際問題，進一步增強應(yīng)用意識。在運用勾股定理及其逆定理解決實際問題的過程中，感受數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化、建模、數(shù)形結(jié)合及方程的思想方法，體會數(shù)學(xué)的文化價值，感受數(shù)學(xué)之美?！局R導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1.運用勾股定理解決實際問題（重點）（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長度．②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．③勾股定理在實際問題中的應(yīng)用：運用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實世界的實際問題．④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正整數(shù)的直角三角形的斜邊．【方法二】實例探索法題型1.勾股定理在實際生活中的應(yīng)用一、單選題1．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，一根長的梯子，斜立在一豎直的墻上，這時梯子底端距離墻，如果梯子的頂端下滑，那么梯子底端將向外滑動（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理進行解答．求出下滑后梯子底端距離墻角的距離，再計算梯子底端滑動的距離．【詳解】解；梯子頂端距離墻角的距離為，頂端下滑后梯子底端距離墻角的距離為，．故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．2．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）將一根長的筷子，置于底面直徑為，高為的圓柱形水杯中．如圖，設(shè)筷子露在杯子外面的長度為．則h的取值范圍是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】當筷子的底端在A點時，筷子露在杯子外面的長度最短；當筷子的底端在D點時，筷子露在杯子外面的長度最長；分別求出幾的最大值和最小值即可．【詳解】解：如圖1，當筷子的底端在D點時，筷子露在杯子外面的長度最長，

∴；如圖2，當筷子的底端在A點時，筷子露在杯子外面的長度最短，

在中，，∴，此時，∴h的取值范圍是，故選：D．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，明確題意準確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．二、填空題3．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）我同古代有這樣一道數(shù)學(xué)問題：今有一豎直著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱的上端順木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（繩索比木柱長尺），牽著繩索退行，在距木柱底部尺處時繩索用盡，則木柱長為尺．【答案】【分析】設(shè)木柱長為尺，根據(jù)勾股定理列出方程解答即可．【詳解】解：如圖所示，設(shè)木柱長為尺，根據(jù)題意得：

∵則解得故答案為：【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？”翻譯成數(shù)學(xué)問題是：如圖所示，中，，，，求的長，如果設(shè)，則可列方程為．

【答案】【分析】先求出，再利用勾股定理列出方程即可得．【詳解】解：，，，，，，即，則可列方程為，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．三、解答題5．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）“某市道路交通管理條例“規(guī)定：小汽車在城市道路上行駛速度不得超過60千米/時，如圖，一輛小汽車在一條城市道路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路面對車速檢測儀A正前方24米的C處，過了1.5秒后到達B處（AC），測得小汽車與車速檢測儀間的距離為40米，請問這輛小汽車是否超速？若超速，則超速了多少？

【答案】超速了，16.8千米/時【分析】根據(jù)題意得出由勾股定理得出的長，進而得小汽車行駛速度為76.8千米/時，進而得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意，得，在中，根據(jù)勾股定理，，所以，小汽車1.5秒行駛32米，則1小時行駛76800（米），即小汽車行駛速度為76.8千米/時，因為，所以小汽車已超速行駛,超速千米/時．【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，算術(shù)平方根的含義，掌握根據(jù)已知得出的長是解題關(guān)鍵．6．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）一架方梯長25米，如圖所示，斜靠在一面上：

(1)若梯子底端離墻7米，這個梯子的頂端距地面有多高？(2)在（1）的條件下，如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？【答案】(1)梯子的頂端距地面24米(2)梯子的底端在水平方向滑動了8米【分析】（1）利用勾股定理即可解答；（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的頂端距離地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑動的距離．【詳解】（1）解：在中，（米），（米），∴（米），答：梯子的頂端距地面24米；（2）解：在中，（米），∴（米），∴（米），答：梯子的底端在水平方向滑動了8米．【點睛】本題主要考查了勾股定理在解直角三角形中的應(yīng)用，熟練掌握并正確計算是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，鐵路上A，B兩點相距，C，D為兩村莊，于點A，于點B，已知，，現(xiàn)在要在鐵路上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A站多少處？

【答案】【分析】先根據(jù)垂直的定義可得，再根據(jù)勾股定理可得，，從而可得，設(shè)，則，據(jù)此建立方程，解方程即可得．【詳解】解：∵使得兩村到站的距離相等，∴，∵，，∴，∴，，∴，設(shè)，則，∵，，∴，解得：，∴，答：站應(yīng)建在離站處．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，利用勾股定理正確建立方程是解題關(guān)鍵．題型2.勾股定理在最短路程問題中的應(yīng)用1．（2022秋·江蘇·八年級期末）如圖，圓柱形容器高為12cm，底面周長為10cm．在容器內(nèi)壁距離容器底部3cm的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，距離容器上沿3cm與蚊子相對的點A處，則壁虎捕捉蚊子需爬行的最短距離為（不計壁厚）．【答案】13【分析】將容器側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對稱點，根據(jù)兩點之間線段最短可知的長度即為所求．【詳解】解：如圖，將容器側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點，連接，則即為最短距離，∴=5cm，=3cm，∴BD=12cm，=13（cm）．故壁虎捕捉蚊子的最短距離為13cm．故答案為：13．【點睛】本題考查了平面展開最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進行計算是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，點E的邊上，，點P是線段AC上一動點，點F是線段上一動點，．當?shù)闹底钚r，【答案】10【分析】根據(jù)勾股定理即可求出；作點E關(guān)于的對稱點，過點作于點F，交于點P，通過證明得出，，進而得出，根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：在中，由勾股定理可得：，作點E關(guān)于的對稱點，過點作于點F，交于點P．∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，在和中，，∴，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理可得：，即，解得：．故答案為：10，．【點睛】本題主要考查了勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，根據(jù)題意做出輔助線構(gòu)建全等三角形，根據(jù)勾股定理列出方程求解．3．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為7寸、5寸和3寸，A和B是這個臺階的兩個相對端點，A點上有一只螞蟻想到B點去吃可口的食物，則它所走的最短路線長度是寸．【答案】25【分析】把立體幾何圖展開得到平面幾何圖，如圖，然后利用勾股定理計算，則根據(jù)兩點之間線段最短得到螞蟻所走的最短路線長度．【詳解】解：將臺階展開矩形，線段恰好是直角三角形的斜邊，兩直角邊長分別為24寸，7寸，由勾股定理得寸．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，把立體幾何圖中的問題轉(zhuǎn)化為平面幾何圖中的問題是解題的關(guān)鍵．題型3.勾股定理在運動變換問題中的應(yīng)用1．（2022秋·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，矩形邊沿折痕折疊，使點落在上的處，已知，的面積為，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，；根據(jù)，解出，可得的值，根據(jù)直角三角形，利用勾股定理，即可求出．【詳解】∵四邊形是矩形，∴，，，∵是沿折痕折疊得到的，∴，，∵，∴，∴在直角三角形中，，∴，∴，∴，，設(shè)，∴，∴在直角三角形，，∴，∴，∴．故選：A．【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)，勾股定理的知識，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)，勾股定理的運用．二、填空題2．（2022秋·江蘇蘇州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）有一架秋千，當它靜止時，踏板離地垂直高度，將它往前推送水平距離時，秋千踏板離地的垂直高度，秋千的繩索始終拉得很直，則繩索長為．【答案】【分析】設(shè)秋千的繩索長為，根據(jù)題意可得，利用勾股定理可得，再解方程即可得出答案．【詳解】解：在中，，設(shè)秋千的繩索長為，則，故，解得：，答：繩索AD的長度是．故答案為：．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，表示出的長，掌握直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．三、解答題3．（2022秋·江蘇·八年級期中）位于蘇州樂園的漂流項目深受歡迎，在景區(qū)游船放置區(qū)，工作人員把偏離的游船從點A拉回點B的位置（如圖）．在離水面垂直高度為的岸上點C，工作人員用繩子拉船移動，開始時繩子的長為，工作人員以米/秒的速度拉繩子，經(jīng)過秒后游船移動到點D的位置，問此時游船移動的距離的長是多少？【答案】此時游船移動的距離的長是【分析】在中用勾股定理求出，在中用勾股定理求出，再根據(jù)的出結(jié)果．【詳解】解：在中，，，，∴，∵工作人員以米/秒的速度拉繩子，經(jīng)過秒后游船移動到點D的位置，∴，∴，∴．答：此時游船移動的距離的長是．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理在實際問題中的應(yīng)用，從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型是解題關(guān)鍵．題型4.動點問題在勾股定理中的應(yīng)用1．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖所示，為一棵大樹，在樹上距地面的D處有兩只猴子，它們同時發(fā)現(xiàn)地面上的C處有一筐水果，一只猴子從D處向上爬到樹頂A處，利用拉在A處的滑繩，滑到C處，另一只猴子從D處滑到地面B處，再由B處跑到C處．已知兩只猴子所經(jīng)過的路程都是，求樹高的距離．【答案】12米【分析】Rt△ABC中，∠B=90°，則滿足，設(shè)AD=x，根據(jù)兩只猴子經(jīng)過的路程一樣可得再利用勾股定理可得答案．【詳解】解：Rt△ABC中，，

設(shè)AD=x，則

又在Rt△ABC中，由勾股定理得：，∴解得，x=2，即AD=2（米）∴AB=AD+DB=2+10=12（米）答：樹高AB為12米．【點睛】本題考查了勾股定理在實際生活中的應(yīng)用，本題中找到兩只猴子行走路程相等的等量關(guān)系，并且正確地運用勾股定理求AD的值是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，，點C在OA邊上，OA=36cm，OB=12cm，點P從點A出發(fā)，沿著AO方向勻速運動，點Q同時從點B出發(fā)，以相同的速度沿BC方向勻速運動，P、Q兩點恰好在C點相遇，求BC的長度？【答案】20cm【分析】由題意知：BC=AC，設(shè)BC=xcm，則OC=（36x）cm．在Rt△BOC中，由勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】解：∵點P、Q同時出發(fā)，且速度相同，∴，設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，∴，解得：，∴．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，讀懂題意BC=AC是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心，在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強的破壞力．如圖所示，據(jù)氣象預(yù)測，距沿海某城市A的正南方向千米的B處有一臺風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為級，每遠離臺風(fēng)中心千米，風(fēng)力會減弱一級．該臺風(fēng)中心正以千米/時的速度沿北偏東方向往移動，且臺風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達到或超過四級就會受臺風(fēng)影響．

(1)該城市是否受到臺風(fēng)的影響？請說明理由．(2)若受臺風(fēng)影響，臺風(fēng)影響該城市持續(xù)的時間有多長？(3)該城市受到臺風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級？【答案】(1)會，見解析(2)小時(3)級【分析】（1）求是否會受到臺風(fēng)的影響，其實就是求到的距離是否大于臺風(fēng)影響范圍的半徑，如果大于，則不受影響，反之則受影響．如果過作于，就是所求的線段．中，根據(jù)的度數(shù)，的長，即可求出．（2）受臺風(fēng)影響時，臺風(fēng)中心移動的距離，應(yīng)該是為圓心，臺風(fēng)影響范圍的半徑為半徑，所得圓截得的上的線段的長即得長，可通過在直角三角形和中，根據(jù)勾股定理求得．再根據(jù)路程和速度，即可求出時間．（3）風(fēng)力最大時，臺風(fēng)中心應(yīng)該位于點，然后根據(jù)題目給出的條件判斷出時幾級風(fēng)．【詳解】（1）解：該城市會受到這次臺風(fēng)的影響．理由是：如圖，過作于．在中，

，，，城市受到的風(fēng)力超過四級，則稱受臺風(fēng)影響，受臺風(fēng)影響范圍的半徑為．，該城市會受到這次臺風(fēng)的影響．（2）如圖以為圓心，200為半徑作交于、．則．臺風(fēng)影響該市持續(xù)的路程為：．臺風(fēng)影響該市的持續(xù)時間（小時）．（3）距臺風(fēng)中心最近，該城市受到這次臺風(fēng)最大風(fēng)力為：（級．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中抽象出直角三角形，難度不大．【方法三】仿真實戰(zhàn)法考法.勾股定理的應(yīng)用1．（2020?揚州）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．如圖所示是其中記載的一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”題意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？答：折斷處離地面尺高．【分析】根據(jù)題意結(jié)合勾股定理得出折斷處離地面的高度即可．【解答】解：設(shè)折斷處離地面x尺，根據(jù)題意可得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55．答：折斷處離地面4.55尺．故答案為：4.55．【點評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意正確應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵．2．（2021?宿遷）《九章算術(shù)》中一道“引葭赴岸”問題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個池塘，其地面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AC生長在它的中央，高出水面部分BC為1尺，如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緾恰好碰到岸邊的C'處（如圖），水深和蘆葦長各多少尺？則該問題的水深是尺．【分析】我們可將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)幾何圖形，如圖所示，根據(jù)題意，可知EC′的長為10尺，則C′B＝5尺，設(shè)蘆葦長AC＝AC′＝x尺，表示出水深A(yù)B，根據(jù)勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L和水深．【解答】解：依題意畫出圖形，設(shè)蘆葦長AC＝AC′＝x尺，則水深A(yù)B＝（x﹣1）尺，∵C′E＝10尺，∴C′B＝5尺，在Rt△AC′B中，52+（x﹣1）2＝x2，解得x＝13，即蘆葦長13尺，水深為12尺，故答案為：12．【點評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．【方法四】成果評定法一、單選題1．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，學(xué)校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少走了幾步路，卻踩傷了花草．他們少走的路長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用勾股定理求出的長，再根據(jù)少走的路長為，計算即可．【詳解】，，，，少走的路長為，故選：D．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，明確少走的路為是解本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖1，一棵大樹在一次強烈的地震中于離地面5米處折斷倒下，樹頂落在離樹根12米處，圖2是這棵大樹折斷的示意圖，則這棵大樹在折斷之前的高是（

）A．20米 B．18米 C．16米 D．15米【答案】B【分析】利用勾股定理進行求解即可．【詳解】解：設(shè)大樹在折斷之前的高是，由勾股定理得：，解得：或（不符合題意，舍去）∴大樹在折斷之前的高是；故選B．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用．熟練掌握勾股定理，是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》中記載了一個“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？題意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？設(shè)折斷處離地面的高度為尺，則可列方程為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合勾股定理列出方程即可．【詳解】解：設(shè)折斷處離地面的高度為尺，則斜邊為尺，根據(jù)勾股定理可得，，故選：C．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用及由實際問題抽象出一元二次方程的知識，根據(jù)題意正確應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵．4．（2022秋·江蘇宿遷·八年級校考期末）將一根長為25厘米的筷子置于底面直徑為8厘米，高為15厘米的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外的長為h厘米，則h的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】解：當筷子與杯底垂直時h最大，h最大．當筷子與杯底直徑及杯高構(gòu)成直角三角形時h最小，如圖所示：此時，＝，故h．故h的取值范圍是．故選：C．【點睛】此題將勾股定理與實際問題相結(jié)合，考查了同學(xué)們的觀察力和由具體到抽象的推理能力，有一定難度．5．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，有兩棵樹，一棵高，另一棵高，兩樹相距，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛行（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，連接AC，過點C作CE⊥AB于點E，可得CE=BD=8m，在中，由勾股定理，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，畫出圖形，如下圖：連接AC，過點C作CE⊥AB于點E，根據(jù)題意得：AB=8m，CD=2m，BD=8m，AB⊥BD，CD⊥BD，則四邊形BDCE是矩形，∴CE=BD=8m，在中，由勾股定理得：，即小鳥至少飛行10m．故選：C．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將現(xiàn)實問題建立數(shù)學(xué)模型，運用數(shù)學(xué)知識進行求解．6．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在水池的正中央有一根蘆葦，池底長10尺，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達池邊的水面則這根蘆葦?shù)拈L度是（

）A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺【答案】D【分析】找到題中的直角三角形，設(shè)水深為x尺，根據(jù)勾股定理解答．【詳解】解：設(shè)水深為x尺，則蘆葦長為尺，根據(jù)勾股定理得：，解得：，蘆葦?shù)拈L度＝13（尺），故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．在直角三角形中，如果兩條直角邊分別為a和b，斜邊為c，那么．也就是說，直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．當題目中出現(xiàn)直角三角形，且該直角三角形的一邊為待求量時，常使用勾股定理進行求解．有時也可以利用勾股定理列方程求解．7．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，一根垂直于地面的旗桿在離地面處撕裂折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部處，旗桿折斷之前的高度是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】圖中為一個直角三角形，根據(jù)勾股定理兩個直角邊的平方和等于斜邊的平方．此題要求斜邊和直角邊的長度，解直角三角形即可．【詳解】解：旗桿折斷后，落地點與旗桿底部的距離為，旗桿離地面折斷，且旗桿與地面是垂直的，所以折斷的旗桿與地面形成了一個直角三角形．根據(jù)勾股定理，折斷的旗桿為，所以旗桿折斷之前高度為．故選：D．【點睛】本題考查的是勾股定理的正確應(yīng)用，找出可以運用勾股定理的直角三角形是關(guān)鍵．8．（2022秋·八年級單元測試）如圖，在高為3米，斜坡長為5米的樓梯臺階上鋪地毯，則地毯的長度至少要（）A．4米 B．5米 C．6米 D．7米【答案】D【分析】先求出的長，利用平移的知識可得出地毯的長度．【詳解】解∶在中，米，故可得地毯長度米，故選：D．【點睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用及平移的知識，屬于基礎(chǔ)題，利用勾股定理求出的長度是解答本題的關(guān)鍵．9．（2021春·江蘇南通·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，將一根的筷子，置于底面直徑為，高的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長度，則h的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】當筷子的底端在點時，筷子露在杯子外面的長度最短，當筷子的底端在點時，筷子露在外面的長度最長，然后分別利用已知條件根據(jù)勾股定理即可求出的取值范圍．【詳解】解：如圖，當筷子的底端在點時，筷子露在外面的長度最長，∴，當筷子的底端在點時，筷子露在杯子外面的長度最短，在中，，，∴，此時，所以取值范圍是，故選：D．【點睛】本題考查正確運用勾股定理，善于觀察題目的信息是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·八年級單元測試）如圖，在中，，，，點E是邊上一點．將沿直線折疊到，使點B與點F重合．當時，線段的長為（

）．A．3 B．2 C．4 D．1【答案】B【分析】設(shè)與交于點H，由勾股定理得，根據(jù)三角形等面積知，設(shè)，，在中，根據(jù)勾股定理渴求的結(jié)果．【詳解】解：設(shè)與交于點H，∵，，，∴，∴，即，∴，由折疊可知：，∴HF=CFCH=，在△BCH中，=，設(shè)，則=，在中，，∴，解得：，∴，故答案為：B．【點睛】本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用折疊的性質(zhì)得到相等線段，利用勾股定理列出方程．二、填空題11．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點最短路程是dm．【答案】25【分析】把立體幾何圖展開得到平面幾何圖，如圖，然后利用勾股定理計算AB，則根據(jù)兩點之間線段最短得到螞蟻所走的最短路線長度．【詳解】解：展開圖為：則AC=20dm,BC=3×3+2×3=15（dm）,在Rt△ABC中，（dm）.所以螞蟻所走的最短路線長度為25dm.故答案為：25．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，把立體幾何圖中的問題轉(zhuǎn)化為平面幾何圖中的問題是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·江蘇·八年級期中）如圖所示，一個梯子長米，頂端A靠墻上，這時梯子下端B與墻角C距離為米，梯子滑動后停在的位置上，測得長為米，則梯子頂端A下滑了米．【答案】【分析】在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：米，由于梯子的長度不變，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得米，所以米，即梯子的頂端下滑了米．【詳解】解：在中，米，米，∴（米），在中，米，（米），∴（米），∴（米）．故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是兩次運用勾股定理，注意掌握勾股定理的表達式．13．（2022秋·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在筆直的公路旁有一個城市書房C，C到公路的距離為80米，為100米，為300米．一輛公交車以3米/秒的速度從A處向B處緩慢行駛，若公交車鳴笛聲會使以公交車為中心170米范圍內(nèi)受到噪音影響，那么公交車至少秒不鳴笛才能使在城市書房C看書的讀者不受鳴笛聲影響．【答案】70【分析】如圖，設(shè)米，由勾股定理求出和的長，則可求出答案．【詳解】解：如圖，設(shè)米，∵，米，∴（米），∵米，米，∴（米），∴（米），∴公交車鳴笛聲會受到噪音影響的時間為（秒），故答案為：70．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．14．（2020秋·江蘇宿遷·八年級沭陽縣修遠中學(xué)?？计谥校┤鐖D，將一根長的筷子，置于底面直徑為，高為的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長度是，則h的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意可知，h最長是筷子的長度減去杯子的高度，h最短是筷子的長度減去杯子斜邊長度，利用勾股定理求出杯子的斜邊長度，即可求出h的取值范圍．【詳解】解：由題意可知，h最長是筷子的長度減去杯子的高度，即，h最短是筷子的長度減去杯子斜邊長度，由勾股定理得，杯子的斜邊長度，即，h的取值范圍是，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意解題關(guān)鍵．15．（2022秋·江蘇常州·八年級常州市清潭中學(xué)校考期中）《九章算術(shù)》中有個“折竹抵地”問題：“今有竹高九尺，末折抵地，去本二尺，問折者高幾何？”意思是：現(xiàn)有竹子高9尺，折后竹尖抵地與竹子底部的距離為3尺，問折處高幾尺？即：如圖，尺，尺，則尺．【答案】4【分析】設(shè)尺，則尺，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．【詳解】解：設(shè)尺，則尺，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴尺，故答案為：4．【點睛】本題主要考查了勾股定理的實際應(yīng)用，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）一根樹在離地面9米處斷裂，樹的頂部落在離底部12米處．樹折斷之前的高度是米．【答案】24【分析】由題意可知兩直角邊的長度、從而構(gòu)造直角三角形，然后根據(jù)勾股定理就可求出斜邊的長，進而完成解答．【詳解】解：∵，∴，∴樹折斷之前的高度為()米．故答案為：24．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用．善于觀察題目的信息是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）A、B、C、D四個小城鎮(zhèn)，它們之間（除B、C外）都有筆直的公路相連接（如圖），公共汽車行駛于城鎮(zhèn)之間，其票價與路程成正比．已知各城鎮(zhèn)間的公共汽車票價如下：A﹣B：10元，A﹣C：12.5元，A﹣D：8元，B﹣D：6元，C﹣D：4.5元，為了B、C之間交通方便，在B、C之間建成筆直的公路，請按上述標準計算出B、C之間公共汽車的票價為元．【答案】7.5【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理判定△ABD為直角三角形，則△BDC也為直角三角形，再根據(jù)勾股定理計算BC的長，從而算出B、C之間的票價．【詳解】根據(jù)題意，公共汽車行駛于城鎮(zhèn)之間，其票價與路程成正比，設(shè)其比例系數(shù)為（k≠0），即票價＝×路程，則路程＝k票價；在△ABD中，AB＝10k，AD＝8k，BD＝6k，∵AD2+BD2=(8k)2+(6k)2=100k2=AB2∴△ABD為直角三角形∴∠ADB＝90°，則∠BDC＝90°；則在Rt△BDC中，BD＝6k，CD＝4.5k；由勾股定理可得BC2=BD2+DC2==56.25k2∴BC＝7.5k，則B、C之間公共汽車的票價為7.5元．故答案為7.5【點睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．18．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期末）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻壁，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為2米，頂端距離地面1.5米．若梯子底端位置保持不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2.4米，則小巷的寬度為米．

【答案】2.7【分析】在中，根據(jù)勾股定理求出的長，再在中，求出的長，最后由進行計算即可得到答案．【詳解】解：如圖，

，根據(jù)題意得：，在中，米，米，米，在中，米，米，米，米，小巷的寬度為2.7米，故答案為：2.7．【點睛】本題考查了勾股定理的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型．三、解答題19．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知一架5m長的梯子斜靠在一豎直的墻上，這時梯足距墻腳3m，若梯子的頂端下滑1m，則梯足將滑動多遠？【答案】1米【分析】根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：在直角三角形中，根據(jù)勾股定理可得，，如果梯子的頂度端下滑1米，則．在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得到：，則梯子滑動的距離就是．【點睛】本題考查的知識點是勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖是一個三級臺階，每級臺階都是長、寬和高分別等于90cm，25cm和15cm的長方體，A和B是這個臺階的兩個相對的端點．在A點處有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，請你算一算，這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點，最短路程是多少？【答案】最短路程是150cm．【分析】展開后得到下圖的直角，根據(jù)題意求出AC、BC，根據(jù)勾股定理求出AB即可．【詳解】展開后由題意得：∠C＝90°，AC＝3×25+3×15＝120，BC＝90，由勾股定理得：AB＝＝＝150cm，答：最短路程是150cm．【點睛】本題考查了平面展開最短路徑問題，解決這類問題的基本思路是化曲面問題為平面問題，再用所學(xué)的知識解決．21．（2022秋·八年級單元測試）為了豐富少年兒童的業(yè)余生活，某社區(qū)要在如圖中所在的直線上建一圖書室，本社區(qū)有兩所學(xué)校，分別在點C和點D處，于點A，于點B，已知，問：圖書室E應(yīng)建在距點A多少千米處，才能使它到兩所學(xué)校的距離相等？

【答案】距A處的地方【分析】設(shè)圖書室E應(yīng)建在距A點x千米處，才能使它到兩所學(xué)校的距離相等，則千米；由勾股定理建立方程即可求解．【詳解】解：設(shè)圖書室E應(yīng)建在距A點x千米處，才能使它到兩所學(xué)校的距離相等，則千米；∵，，∴，，∵，∴，即，解得：，答：圖書室E應(yīng)建在距A點10千米處，才能使它到兩所學(xué)校的距離相等．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，通過勾股定理建立方程是本題的關(guān)鍵．22．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）“交通管理條例第三十五條”規(guī)定：小汽車在城市街路上行駛速度不得超過70千米/小時，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀正前方50米處，過了6秒后，測得小汽車與車速檢測儀距離130米．(1)求小汽車6秒走的路程；(2)求小汽車每小時所走的路程，并判定小汽車是否超速？【答案】(1)120米(2)72千米小時，小汽車超速了【分析】（1）過點作，可得米，設(shè)汽車經(jīng)過6秒后到達點，連接，則有米，利用勾股定理可求得的長，即小汽車6秒所走的路程；（2）利用速度路程時間，即可判斷．【詳解】（1）解：過點作，設(shè)汽車經(jīng)過6秒后到達點，連接，如圖所示：由題意可得：米，米，在中，（米，答：小汽車6秒走的路程為120米；（2）解：小汽車6秒中的平均速度為：（米秒）（千米小時），，小汽車超速了．【點睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意，作出相應(yīng)的圖形．23．（2022秋·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）一款名為超級瑪麗的游戲中，瑪麗到達一個高為10米的高臺A后，利用旗桿頂部的繩索，劃過90°到達與高臺A水平距離為17米，高為3米的矮臺B．(1)求旗桿的高度OM；(2)瑪麗在蕩繩索過程中離地面的最低點的高度MN．【答案】(1)米(2)2米【分析】（1）作，，可證，可得，，則，且可求，，即可求的長．（2）根據(jù)勾股定理可求，即可求的長．【詳解】（1）如圖：作，，在和中，，，，即，，則，所以，，所以（2）由勾股定理得，．答：瑪麗在蕩繩索過程中離地面的最低點的高度為2米．【點睛】本題考查了勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．24．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強的破壞力，有一臺風(fēng)中心沿東西方向AB由點A行駛向點B，已知點C為一海港，且點C與直線AB上兩點A、B的距離分別為300km和400km，又AB＝500km，以臺風(fēng)中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域．(1)海港C會受臺風(fēng)影響嗎？為什么？(2)若臺風(fēng)的速度為20km/h，臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間有多長？【答案】(1)會，理由見解析(2)7h【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進而利用三角形面積得出CD的長，從而判斷出海港C是否受臺風(fēng)影響；（2）利用勾股定理