專題10勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用（1個(gè)知識(shí)點(diǎn)4種題型1種中考考法）

專題10勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用（1個(gè)知識(shí)點(diǎn)4種題型1種中考考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題（重點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1.勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用題型2.勾股定理在最短路程問(wèn)題中的應(yīng)用題型3.勾股定理在運(yùn)動(dòng)變換問(wèn)題中的應(yīng)用題型4.動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題在勾股定理中的應(yīng)用【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法.勾股定理的應(yīng)用【方法四】成果評(píng)定法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】能運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)。在運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，感受數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化、建模、數(shù)形結(jié)合及方程的思想方法，體會(huì)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，感受數(shù)學(xué)之美?！局R(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題（重點(diǎn)）（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．（3）常見(jiàn)的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長(zhǎng)度．②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個(gè)直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外作正多邊形，以斜邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積等于以直角邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積和．③勾股定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用：運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問(wèn)題．④勾股定理在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個(gè)無(wú)理數(shù)表示成直角邊是兩個(gè)正整數(shù)的直角三角形的斜邊．【方法二】實(shí)例探索法題型1.勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用一、單選題1．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，一根長(zhǎng)的梯子，斜立在一豎直的墻上，這時(shí)梯子底端距離墻，如果梯子的頂端下滑，那么梯子底端將向外滑動(dòng)（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理進(jìn)行解答．求出下滑后梯子底端距離墻角的距離，再計(jì)算梯子底端滑動(dòng)的距離．【詳解】解；梯子頂端距離墻角的距離為，頂端下滑后梯子底端距離墻角的距離為，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．2．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）將一根長(zhǎng)的筷子，置于底面直徑為，高為的圓柱形水杯中．如圖，設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度為．則h的取值范圍是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】當(dāng)筷子的底端在A點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度最短；當(dāng)筷子的底端在D點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度最長(zhǎng)；分別求出幾的最大值和最小值即可．【詳解】解：如圖1，當(dāng)筷子的底端在D點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度最長(zhǎng)，

∴；如圖2，當(dāng)筷子的底端在A點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度最短，

在中，，∴，此時(shí)，∴h的取值范圍是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，明確題意準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．二、填空題3．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）我同古代有這樣一道數(shù)學(xué)問(wèn)題：今有一豎直著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱的上端順木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（繩索比木柱長(zhǎng)尺），牽著繩索退行，在距木柱底部尺處時(shí)繩索用盡，則木柱長(zhǎng)為尺．【答案】【分析】設(shè)木柱長(zhǎng)為尺，根據(jù)勾股定理列出方程解答即可．【詳解】解：如圖所示，設(shè)木柱長(zhǎng)為尺，根據(jù)題意得：

∵則解得故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問(wèn)題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問(wèn)折者高幾何？”翻譯成數(shù)學(xué)問(wèn)題是：如圖所示，中，，，，求的長(zhǎng)，如果設(shè)，則可列方程為．

【答案】【分析】先求出，再利用勾股定理列出方程即可得．【詳解】解：，，，，，，即，則可列方程為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．三、解答題5．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）“某市道路交通管理?xiàng)l例“規(guī)定：小汽車在城市道路上行駛速度不得超過(guò)60千米/時(shí)，如圖，一輛小汽車在一條城市道路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路面對(duì)車速檢測(cè)儀A正前方24米的C處，過(guò)了1.5秒后到達(dá)B處（AC），測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀間的距離為40米，請(qǐng)問(wèn)這輛小汽車是否超速？若超速，則超速了多少？

【答案】超速了，16.8千米/時(shí)【分析】根據(jù)題意得出由勾股定理得出的長(zhǎng)，進(jìn)而得小汽車行駛速度為76.8千米/時(shí)，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意，得，在中，根據(jù)勾股定理，，所以，小汽車1.5秒行駛32米，則1小時(shí)行駛76800（米），即小汽車行駛速度為76.8千米/時(shí)，因?yàn)椋孕∑囈殉傩旭?超速千米/時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，算術(shù)平方根的含義，掌握根據(jù)已知得出的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．6．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）一架方梯長(zhǎng)25米，如圖所示，斜靠在一面上：

(1)若梯子底端離墻7米，這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？(2)在（1）的條件下，如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米？【答案】(1)梯子的頂端距地面24米(2)梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了8米【分析】（1）利用勾股定理即可解答；（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的頂端距離地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑動(dòng)的距離．【詳解】（1）解：在中，（米），（米），∴（米），答：梯子的頂端距地面24米；（2）解：在中，（米），∴（米），∴（米），答：梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了8米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理在解直角三角形中的應(yīng)用，熟練掌握并正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，鐵路上A，B兩點(diǎn)相距，C，D為兩村莊，于點(diǎn)A，于點(diǎn)B，已知，，現(xiàn)在要在鐵路上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A站多少處？

【答案】【分析】先根據(jù)垂直的定義可得，再根據(jù)勾股定理可得，，從而可得，設(shè)，則，據(jù)此建立方程，解方程即可得．【詳解】解：∵使得兩村到站的距離相等，∴，∵，，∴，∴，，∴，設(shè)，則，∵，，∴，解得：，∴，答：站應(yīng)建在離站處．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，利用勾股定理正確建立方程是解題關(guān)鍵．題型2.勾股定理在最短路程問(wèn)題中的應(yīng)用1．（2022秋·江蘇·八年級(jí)期末）如圖，圓柱形容器高為12cm，底面周長(zhǎng)為10cm．在容器內(nèi)壁距離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一蚊子，此時(shí)一只壁虎正好在容器外壁，距離容器上沿3cm與蚊子相對(duì)的點(diǎn)A處，則壁虎捕捉蚊子需爬行的最短距離為（不計(jì)壁厚）．【答案】13【分析】將容器側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知的長(zhǎng)度即為所求．【詳解】解：如圖，將容器側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則即為最短距離，∴=5cm，=3cm，∴BD=12cm，=13（cm）．故壁虎捕捉蚊子的最短距離為13cm．故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開最短路徑問(wèn)題，將圖形展開，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，點(diǎn)E的邊上，，點(diǎn)P是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段上一動(dòng)點(diǎn)，．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，【答案】10【分析】根據(jù)勾股定理即可求出；作點(diǎn)E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)F，交于點(diǎn)P，通過(guò)證明得出，，進(jìn)而得出，根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：在中，由勾股定理可得：，作點(diǎn)E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)F，交于點(diǎn)P．∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，在和中，，∴，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理可得：，即，解得：．故答案為：10，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，根據(jù)題意做出輔助線構(gòu)建全等三角形，根據(jù)勾股定理列出方程求解．3．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為7寸、5寸和3寸，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則它所走的最短路線長(zhǎng)度是寸．【答案】25【分析】把立體幾何圖展開得到平面幾何圖，如圖，然后利用勾股定理計(jì)算，則根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到螞蟻所走的最短路線長(zhǎng)度．【詳解】解：將臺(tái)階展開矩形，線段恰好是直角三角形的斜邊，兩直角邊長(zhǎng)分別為24寸，7寸，由勾股定理得寸．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，把立體幾何圖中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何圖中的問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．題型3.勾股定理在運(yùn)動(dòng)變換問(wèn)題中的應(yīng)用1．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，矩形邊沿折痕折疊，使點(diǎn)落在上的處，已知，的面積為，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，；根據(jù)，解出，可得的值，根據(jù)直角三角形，利用勾股定理，即可求出．【詳解】∵四邊形是矩形，∴，，，∵是沿折痕折疊得到的，∴，，∵，∴，∴在直角三角形中，，∴，∴，∴，，設(shè)，∴，∴在直角三角形，，∴，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，勾股定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用．二、填空題2．（2022秋·江蘇蘇州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地垂直高度，將它往前推送水平距離時(shí)，秋千踏板離地的垂直高度，秋千的繩索始終拉得很直，則繩索長(zhǎng)為．【答案】【分析】設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為，根據(jù)題意可得，利用勾股定理可得，再解方程即可得出答案．【詳解】解：在中，，設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為，則，故，解得：，答：繩索AD的長(zhǎng)度是．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，表示出的長(zhǎng)，掌握直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．三、解答題3．（2022秋·江蘇·八年級(jí)期中）位于蘇州樂(lè)園的漂流項(xiàng)目深受歡迎，在景區(qū)游船放置區(qū)，工作人員把偏離的游船從點(diǎn)A拉回點(diǎn)B的位置（如圖）．在離水面垂直高度為的岸上點(diǎn)C，工作人員用繩子拉船移動(dòng)，開始時(shí)繩子的長(zhǎng)為，工作人員以米/秒的速度拉繩子，經(jīng)過(guò)秒后游船移動(dòng)到點(diǎn)D的位置，問(wèn)此時(shí)游船移動(dòng)的距離的長(zhǎng)是多少？【答案】此時(shí)游船移動(dòng)的距離的長(zhǎng)是【分析】在中用勾股定理求出，在中用勾股定理求出，再根據(jù)的出結(jié)果．【詳解】解：在中，，，，∴，∵工作人員以米/秒的速度拉繩子，經(jīng)過(guò)秒后游船移動(dòng)到點(diǎn)D的位置，∴，∴，∴．答：此時(shí)游船移動(dòng)的距離的長(zhǎng)是．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型是解題關(guān)鍵．題型4.動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題在勾股定理中的應(yīng)用1．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，為一棵大樹，在樹上距地面的D處有兩只猴子，它們同時(shí)發(fā)現(xiàn)地面上的C處有一筐水果，一只猴子從D處向上爬到樹頂A處，利用拉在A處的滑繩，滑到C處，另一只猴子從D處滑到地面B處，再由B處跑到C處．已知兩只猴子所經(jīng)過(guò)的路程都是，求樹高的距離．【答案】12米【分析】Rt△ABC中，∠B=90°，則滿足，設(shè)AD=x，根據(jù)兩只猴子經(jīng)過(guò)的路程一樣可得再利用勾股定理可得答案．【詳解】解：Rt△ABC中，，

設(shè)AD=x，則

又在Rt△ABC中，由勾股定理得：，∴解得，x=2，即AD=2（米）∴AB=AD+DB=2+10=12（米）答：樹高AB為12米．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，本題中找到兩只猴子行走路程相等的等量關(guān)系，并且正確地運(yùn)用勾股定理求AD的值是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，點(diǎn)C在OA邊上，OA=36cm，OB=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著AO方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，以相同的速度沿BC方向勻速運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)恰好在C點(diǎn)相遇，求BC的長(zhǎng)度？【答案】20cm【分析】由題意知：BC=AC，設(shè)BC=xcm，則OC=（36x）cm．在Rt△BOC中，由勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】解：∵點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，且速度相同，∴，設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，∴，解得：，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，讀懂題意BC=AC是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心，在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力．如圖所示，據(jù)氣象預(yù)測(cè)，距沿海某城市A的正南方向千米的B處有一臺(tái)風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為級(jí)，每遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心千米，風(fēng)力會(huì)減弱一級(jí)．該臺(tái)風(fēng)中心正以千米/時(shí)的速度沿北偏東方向往移動(dòng)，且臺(tái)風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)到或超過(guò)四級(jí)就會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響．

(1)該城市是否受到臺(tái)風(fēng)的影響？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)若受臺(tái)風(fēng)影響，臺(tái)風(fēng)影響該城市持續(xù)的時(shí)間有多長(zhǎng)？(3)該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)？【答案】(1)會(huì)，見(jiàn)解析(2)小時(shí)(3)級(jí)【分析】（1）求是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響，其實(shí)就是求到的距離是否大于臺(tái)風(fēng)影響范圍的半徑，如果大于，則不受影響，反之則受影響．如果過(guò)作于，就是所求的線段．中，根據(jù)的度數(shù)，的長(zhǎng)，即可求出．（2）受臺(tái)風(fēng)影響時(shí)，臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)的距離，應(yīng)該是為圓心，臺(tái)風(fēng)影響范圍的半徑為半徑，所得圓截得的上的線段的長(zhǎng)即得長(zhǎng)，可通過(guò)在直角三角形和中，根據(jù)勾股定理求得．再根據(jù)路程和速度，即可求出時(shí)間．（3）風(fēng)力最大時(shí)，臺(tái)風(fēng)中心應(yīng)該位于點(diǎn)，然后根據(jù)題目給出的條件判斷出時(shí)幾級(jí)風(fēng)．【詳解】（1）解：該城市會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響．理由是：如圖，過(guò)作于．在中，

，，，城市受到的風(fēng)力超過(guò)四級(jí)，則稱受臺(tái)風(fēng)影響，受臺(tái)風(fēng)影響范圍的半徑為．，該城市會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響．（2）如圖以為圓心，200為半徑作交于、．則．臺(tái)風(fēng)影響該市持續(xù)的路程為：．臺(tái)風(fēng)影響該市的持續(xù)時(shí)間（小時(shí)）．（3）距臺(tái)風(fēng)中心最近，該城市受到這次臺(tái)風(fēng)最大風(fēng)力為：（級(jí)．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問(wèn)題中抽象出直角三角形，難度不大．【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法.勾股定理的應(yīng)用1．（2020?揚(yáng)州）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．如圖所示是其中記載的一道“折竹”問(wèn)題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問(wèn)折者高幾何？”題意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問(wèn)折斷處離地面多高？答：折斷處離地面尺高．【分析】根據(jù)題意結(jié)合勾股定理得出折斷處離地面的高度即可．【解答】解：設(shè)折斷處離地面x尺，根據(jù)題意可得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55．答：折斷處離地面4.55尺．故答案為：4.55．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意正確應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵．2．（2021?宿遷）《九章算術(shù)》中一道“引葭赴岸”問(wèn)題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問(wèn)水深，葭長(zhǎng)各幾何？”題意是：有一個(gè)池塘，其地面是邊長(zhǎng)為10尺的正方形，一棵蘆葦AC生長(zhǎng)在它的中央，高出水面部分BC為1尺，如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緾恰好碰到岸邊的C'處（如圖），水深和蘆葦長(zhǎng)各多少尺？則該問(wèn)題的水深是尺．【分析】我們可將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)幾何圖形，如圖所示，根據(jù)題意，可知EC′的長(zhǎng)為10尺，則C′B＝5尺，設(shè)蘆葦長(zhǎng)AC＝AC′＝x尺，表示出水深A(yù)B，根據(jù)勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L(zhǎng)和水深．【解答】解：依題意畫出圖形，設(shè)蘆葦長(zhǎng)AC＝AC′＝x尺，則水深A(yù)B＝（x﹣1）尺，∵C′E＝10尺，∴C′B＝5尺，在Rt△AC′B中，52+（x﹣1）2＝x2，解得x＝13，即蘆葦長(zhǎng)13尺，水深為12尺，故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．【方法四】成果評(píng)定法一、單選題1．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花圃，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少走了幾步路，卻踩傷了花草．他們少走的路長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再根據(jù)少走的路長(zhǎng)為，計(jì)算即可．【詳解】，，，，少走的路長(zhǎng)為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，明確少走的路為是解本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，一棵大樹在一次強(qiáng)烈的地震中于離地面5米處折斷倒下，樹頂落在離樹根12米處，圖2是這棵大樹折斷的示意圖，則這棵大樹在折斷之前的高是（

）A．20米 B．18米 C．16米 D．15米【答案】B【分析】利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)大樹在折斷之前的高是，由勾股定理得：，解得：或（不符合題意，舍去）∴大樹在折斷之前的高是；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用．熟練掌握勾股定理，是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“折竹抵地”問(wèn)題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問(wèn)折者高幾何？題意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問(wèn)折斷處離地面多高？設(shè)折斷處離地面的高度為尺，則可列方程為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合勾股定理列出方程即可．【詳解】解：設(shè)折斷處離地面的高度為尺，則斜邊為尺，根據(jù)勾股定理可得，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用及由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程的知識(shí)，根據(jù)題意正確應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵．4．（2022秋·江蘇宿遷·八年級(jí)?？计谀⒁桓L(zhǎng)為25厘米的筷子置于底面直徑為8厘米，高為15厘米的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外的長(zhǎng)為h厘米，則h的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】解：當(dāng)筷子與杯底垂直時(shí)h最大，h最大．當(dāng)筷子與杯底直徑及杯高構(gòu)成直角三角形時(shí)h最小，如圖所示：此時(shí)，＝，故h．故h的取值范圍是．故選：C．【點(diǎn)睛】此題將勾股定理與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，考查了同學(xué)們的觀察力和由具體到抽象的推理能力，有一定難度．5．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，有兩棵樹，一棵高，另一棵高，兩樹相距，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛行（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，連接AC，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，可得CE=BD=8m，在中，由勾股定理，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，畫出圖形，如下圖：連接AC，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)題意得：AB=8m，CD=2m，BD=8m，AB⊥BD，CD⊥BD，則四邊形BDCE是矩形，∴CE=BD=8m，在中，由勾股定理得：，即小鳥至少飛行10m．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解．6．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在水池的正中央有一根蘆葦，池底長(zhǎng)10尺，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面則這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度是（

）A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺【答案】D【分析】找到題中的直角三角形，設(shè)水深為x尺，根據(jù)勾股定理解答．【詳解】解：設(shè)水深為x尺，則蘆葦長(zhǎng)為尺，根據(jù)勾股定理得：，解得：，蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度＝13（尺），故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．在直角三角形中，如果兩條直角邊分別為a和b，斜邊為c，那么．也就是說(shuō)，直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．當(dāng)題目中出現(xiàn)直角三角形，且該直角三角形的一邊為待求量時(shí)，常使用勾股定理進(jìn)行求解．有時(shí)也可以利用勾股定理列方程求解．7．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，一根垂直于地面的旗桿在離地面處撕裂折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部處，旗桿折斷之前的高度是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】圖中為一個(gè)直角三角形，根據(jù)勾股定理兩個(gè)直角邊的平方和等于斜邊的平方．此題要求斜邊和直角邊的長(zhǎng)度，解直角三角形即可．【詳解】解：旗桿折斷后，落地點(diǎn)與旗桿底部的距離為，旗桿離地面折斷，且旗桿與地面是垂直的，所以折斷的旗桿與地面形成了一個(gè)直角三角形．根據(jù)勾股定理，折斷的旗桿為，所以旗桿折斷之前高度為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的正確應(yīng)用，找出可以運(yùn)用勾股定理的直角三角形是關(guān)鍵．8．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在高為3米，斜坡長(zhǎng)為5米的樓梯臺(tái)階上鋪地毯，則地毯的長(zhǎng)度至少要（）A．4米 B．5米 C．6米 D．7米【答案】D【分析】先求出的長(zhǎng)，利用平移的知識(shí)可得出地毯的長(zhǎng)度．【詳解】解∶在中，米，故可得地毯長(zhǎng)度米，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用及平移的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，利用勾股定理求出的長(zhǎng)度是解答本題的關(guān)鍵．9．（2021春·江蘇南通·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，將一根的筷子，置于底面直徑為，高的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度，則h的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】當(dāng)筷子的底端在點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度最短，當(dāng)筷子的底端在點(diǎn)時(shí)，筷子露在外面的長(zhǎng)度最長(zhǎng)，然后分別利用已知條件根據(jù)勾股定理即可求出的取值范圍．【詳解】解：如圖，當(dāng)筷子的底端在點(diǎn)時(shí)，筷子露在外面的長(zhǎng)度最長(zhǎng)，∴，當(dāng)筷子的底端在點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度最短，在中，，，∴，此時(shí)，所以取值范圍是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查正確運(yùn)用勾股定理，善于觀察題目的信息是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在中，，，，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)．將沿直線折疊到，使點(diǎn)B與點(diǎn)F重合．當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)為（

）．A．3 B．2 C．4 D．1【答案】B【分析】設(shè)與交于點(diǎn)H，由勾股定理得，根據(jù)三角形等面積知，設(shè)，，在中，根據(jù)勾股定理渴求的結(jié)果．【詳解】解：設(shè)與交于點(diǎn)H，∵，，，∴，∴，即，∴，由折疊可知：，∴HF=CFCH=，在△BCH中，=，設(shè)，則=，在中，，∴，解得：，∴，故答案為：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用折疊的性質(zhì)得到相等線段，利用勾股定理列出方程．二、填空題11．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)最短路程是dm．【答案】25【分析】把立體幾何圖展開得到平面幾何圖，如圖，然后利用勾股定理計(jì)算AB，則根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到螞蟻所走的最短路線長(zhǎng)度．【詳解】解：展開圖為：則AC=20dm,BC=3×3+2×3=15（dm）,在Rt△ABC中，（dm）.所以螞蟻所走的最短路線長(zhǎng)度為25dm.故答案為：25．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，把立體幾何圖中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何圖中的問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·江蘇·八年級(jí)期中）如圖所示，一個(gè)梯子長(zhǎng)米，頂端A靠墻上，這時(shí)梯子下端B與墻角C距離為米，梯子滑動(dòng)后停在的位置上，測(cè)得長(zhǎng)為米，則梯子頂端A下滑了米．【答案】【分析】在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：米，由于梯子的長(zhǎng)度不變，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得米，所以米，即梯子的頂端下滑了米．【詳解】解：在中，米，米，∴（米），在中，米，（米），∴（米），∴（米）．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是兩次運(yùn)用勾股定理，注意掌握勾股定理的表達(dá)式．13．（2022秋·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在筆直的公路旁有一個(gè)城市書房C，C到公路的距離為80米，為100米，為300米．一輛公交車以3米/秒的速度從A處向B處緩慢行駛，若公交車?guó)Q笛聲會(huì)使以公交車為中心170米范圍內(nèi)受到噪音影響，那么公交車至少秒不鳴笛才能使在城市書房C看書的讀者不受鳴笛聲影響．【答案】70【分析】如圖，設(shè)米，由勾股定理求出和的長(zhǎng)，則可求出答案．【詳解】解：如圖，設(shè)米，∵，米，∴（米），∵米，米，∴（米），∴（米），∴公交車?guó)Q笛聲會(huì)受到噪音影響的時(shí)間為（秒），故答案為：70．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．14．（2020秋·江蘇宿遷·八年級(jí)沭陽(yáng)縣修遠(yuǎn)中學(xué)校考期中）如圖，將一根長(zhǎng)的筷子，置于底面直徑為，高為的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度是，則h的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意可知，h最長(zhǎng)是筷子的長(zhǎng)度減去杯子的高度，h最短是筷子的長(zhǎng)度減去杯子斜邊長(zhǎng)度，利用勾股定理求出杯子的斜邊長(zhǎng)度，即可求出h的取值范圍．【詳解】解：由題意可知，h最長(zhǎng)是筷子的長(zhǎng)度減去杯子的高度，即，h最短是筷子的長(zhǎng)度減去杯子斜邊長(zhǎng)度，由勾股定理得，杯子的斜邊長(zhǎng)度，即，h的取值范圍是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意解題關(guān)鍵．15．（2022秋·江蘇常州·八年級(jí)常州市清潭中學(xué)?？计谥校毒耪滤阈g(shù)》中有個(gè)“折竹抵地”問(wèn)題：“今有竹高九尺，末折抵地，去本二尺，問(wèn)折者高幾何？”意思是：現(xiàn)有竹子高9尺，折后竹尖抵地與竹子底部的距離為3尺，問(wèn)折處高幾尺？即：如圖，尺，尺，則尺．【答案】4【分析】設(shè)尺，則尺，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．【詳解】解：設(shè)尺，則尺，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴尺，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）一根樹在離地面9米處斷裂，樹的頂部落在離底部12米處．樹折斷之前的高度是米．【答案】24【分析】由題意可知兩直角邊的長(zhǎng)度、從而構(gòu)造直角三角形，然后根據(jù)勾股定理就可求出斜邊的長(zhǎng)，進(jìn)而完成解答．【詳解】解：∵，∴，∴樹折斷之前的高度為()米．故答案為：24．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用．善于觀察題目的信息是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）A、B、C、D四個(gè)小城鎮(zhèn)，它們之間（除B、C外）都有筆直的公路相連接（如圖），公共汽車行駛于城鎮(zhèn)之間，其票價(jià)與路程成正比．已知各城鎮(zhèn)間的公共汽車票價(jià)如下：A﹣B：10元，A﹣C：12.5元，A﹣D：8元，B﹣D：6元，C﹣D：4.5元，為了B、C之間交通方便，在B、C之間建成筆直的公路，請(qǐng)按上述標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算出B、C之間公共汽車的票價(jià)為元．【答案】7.5【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理判定△ABD為直角三角形，則△BDC也為直角三角形，再根據(jù)勾股定理計(jì)算BC的長(zhǎng)，從而算出B、C之間的票價(jià)．【詳解】根據(jù)題意，公共汽車行駛于城鎮(zhèn)之間，其票價(jià)與路程成正比，設(shè)其比例系數(shù)為（k≠0），即票價(jià)＝×路程，則路程＝k票價(jià)；在△ABD中，AB＝10k，AD＝8k，BD＝6k，∵AD2+BD2=(8k)2+(6k)2=100k2=AB2∴△ABD為直角三角形∴∠ADB＝90°，則∠BDC＝90°；則在Rt△BDC中，BD＝6k，CD＝4.5k；由勾股定理可得BC2=BD2+DC2==56.25k2∴BC＝7.5k，則B、C之間公共汽車的票價(jià)為7.5元．故答案為7.5【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．18．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻壁，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為2米，頂端距離地面1.5米．若梯子底端位置保持不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面2.4米，則小巷的寬度為米．

【答案】2.7【分析】在中，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，再在中，求出的長(zhǎng)，最后由進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：如圖，

，根據(jù)題意得：，在中，米，米，米，在中，米，米，米，米，小巷的寬度為2.7米，故答案為：2.7．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型．三、解答題19．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）已知一架5m長(zhǎng)的梯子斜靠在一豎直的墻上，這時(shí)梯足距墻腳3m，若梯子的頂端下滑1m，則梯足將滑動(dòng)多遠(yuǎn)？【答案】1米【分析】根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：在直角三角形中，根據(jù)勾股定理可得，，如果梯子的頂度端下滑1米，則．在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得到：，則梯子滑動(dòng)的距離就是．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，每級(jí)臺(tái)階都是長(zhǎng)、寬和高分別等于90cm，25cm和15cm的長(zhǎng)方體，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)．在A點(diǎn)處有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，請(qǐng)你算一算，這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)，最短路程是多少？【答案】最短路程是150cm．【分析】展開后得到下圖的直角，根據(jù)題意求出AC、BC，根據(jù)勾股定理求出AB即可．【詳解】展開后由題意得：∠C＝90°，AC＝3×25+3×15＝120，BC＝90，由勾股定理得：AB＝＝＝150cm，答：最短路程是150cm．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開最短路徑問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的基本思路是化曲面問(wèn)題為平面問(wèn)題，再用所學(xué)的知識(shí)解決．21．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）為了豐富少年兒童的業(yè)余生活，某社區(qū)要在如圖中所在的直線上建一圖書室，本社區(qū)有兩所學(xué)校，分別在點(diǎn)C和點(diǎn)D處，于點(diǎn)A，于點(diǎn)B，已知，問(wèn)：圖書室E應(yīng)建在距點(diǎn)A多少千米處，才能使它到兩所學(xué)校的距離相等？

【答案】距A處的地方【分析】設(shè)圖書室E應(yīng)建在距A點(diǎn)x千米處，才能使它到兩所學(xué)校的距離相等，則千米；由勾股定理建立方程即可求解．【詳解】解：設(shè)圖書室E應(yīng)建在距A點(diǎn)x千米處，才能使它到兩所學(xué)校的距離相等，則千米；∵，，∴，，∵，∴，即，解得：，答：圖書室E應(yīng)建在距A點(diǎn)10千米處，才能使它到兩所學(xué)校的距離相等．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，通過(guò)勾股定理建立方程是本題的關(guān)鍵．22．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）“交通管理?xiàng)l例第三十五條”規(guī)定：小汽車在城市街路上行駛速度不得超過(guò)70千米/小時(shí)，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車速檢測(cè)儀正前方50米處，過(guò)了6秒后，測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀距離130米．(1)求小汽車6秒走的路程；(2)求小汽車每小時(shí)所走的路程，并判定小汽車是否超速？【答案】(1)120米(2)72千米小時(shí)，小汽車超速了【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，可得米，設(shè)汽車經(jīng)過(guò)6秒后到達(dá)點(diǎn)，連接，則有米，利用勾股定理可求得的長(zhǎng)，即小汽車6秒所走的路程；（2）利用速度路程時(shí)間，即可判斷．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)作，設(shè)汽車經(jīng)過(guò)6秒后到達(dá)點(diǎn)，連接，如圖所示：由題意可得：米，米，在中，（米，答：小汽車6秒走的路程為120米；（2）解：小汽車6秒中的平均速度為：（米秒）（千米小時(shí)），，小汽車超速了．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意，作出相應(yīng)的圖形．23．（2022秋·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)校聯(lián)考期中）一款名為超級(jí)瑪麗的游戲中，瑪麗到達(dá)一個(gè)高為10米的高臺(tái)A后，利用旗桿頂部的繩索，劃過(guò)90°到達(dá)與高臺(tái)A水平距離為17米，高為3米的矮臺(tái)B．(1)求旗桿的高度OM；(2)瑪麗在蕩繩索過(guò)程中離地面的最低點(diǎn)的高度MN．【答案】(1)米(2)2米【分析】（1）作，，可證，可得，，則，且可求，，即可求的長(zhǎng)．（2）根據(jù)勾股定理可求，即可求的長(zhǎng)．【詳解】（1）如圖：作，，在和中，，，，即，，則，所以，，所以（2）由勾股定理得，．答：瑪麗在蕩繩索過(guò)程中離地面的最低點(diǎn)的高度為2米．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．24．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力，有一臺(tái)風(fēng)中心沿東西方向AB由點(diǎn)A行駛向點(diǎn)B，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線AB上兩點(diǎn)A、B的距離分別為300km和400km，又AB＝500km，以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域．(1)海港C會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？(2)若臺(tái)風(fēng)的速度為20km/h，臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長(zhǎng)？【答案】(1)會(huì)，理由見(jiàn)解析(2)7h【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進(jìn)而利用三角形面積得出CD的長(zhǎng)，從而判斷出海港C是否受臺(tái)風(fēng)影響；（2）利用勾股定理